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Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica
Assim como existe a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do 2o grau, existe a fórmula de Tartaglia
para resolver a equação de 3o grau ou cúbica. No caso da fórmula de Bhaskara é oportuno dizer que esta pára
na raiz quadrada, ou seja, ela não resolve a raiz quadrada, dependendo de um algoritmo ou da calculadora
para extração da raiz quadrada.
Analogamente, a fórmula de Tartaglia também não resolve a raiz cúbica.
Então o leitor pode perguntar: e a Segunda Fórmula de De Moivre ? Bem, o mesmo acontece com esta fór-
mula: utiliza-se de trigonometria, para permitir chegarmos nas raízes complexas de um radicando complexo
mas, ainda assim, depende da extração da raiz n-ésima do módulo do complexo.
Portanto, embora existam alguns algoritmos e métodos numéricos, não existiam fórmulas para extrair a raiz
cúbica de um número.
Assim, a descoberta da Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica (abaixo), preencheu
esta lacuna. Desejo registrar que embora a apresentação deste material refira-se a raízes cúbicas, já foram
concebidas fórmulas para cálculo de raiz quadrada, cúbica, quinta e estou trabalhando no caso da raiz sétima.
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
Onde,
c3
√
= k3.z
3
√
, ∀k∈C∗
Observe que os valores de c, k, z são conhecidos.
c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber o valor da raiz cúbica;
k é a base do cubo perfeito mais próximo de c ;
Dá igualdade c3
√
= k3
.z
3
√
, tem-se:
c = k3.z
Logo, z =
c
k3
O valor de z deve ser o mais próximo possível de 1.
k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro.
Devido a sua simplicidade, a fórmula luderiana racional permite-nos o cálculo das raizes cúbicas manualmente
ou, se preferir, utilizando uma calculadora comum.
Com o intuito de fazer menos cálculos, podemos reescrever a fórmula - vide mais abaixo.
Com a Fórmula Luderiana Racional, sem necessitar da segunda fórmula de De Moivre, poderemos calcular
as raízes de um número complexo.
Veja os passos para calcularmos c3
√
1o) Deve-se conhecer (estimando ou calculando) o valor de “k”
2o) Deve-se calcular z =
c
k3
1
3o) Calcula-se a primeira raiz ...
c3√
≈ k.
((29z + 261)z + 255)z + 22
(( 7z + 165) z + 324)z + 71
4o) Calcula-se a segunda raiz ...
c3
√
≈ k.
((29z + 261)z + 255)z + 22
(( 7z + 165) z + 324)z + 71
. −
1
2
+
3
√
.i
2
5o) Calcula-se a terceira raiz ...
c3
√
≈ k.
((29z + 261)z + 255)z + 22
(( 7z + 165) z + 324)z + 71
. −
1
2
−
3
√
.i
2
Exemplo:
Calcular 613√
c3
√
c = 61
27<61<64
3ş<61<4ş
k3
= 43
⇒ k = 4
c3
√
= k3
.z
3
√
⇒ c = k3
.z ⇒ z =
c
k3
⇒ z =
61
64
⇒ z = 0.953125
Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo.
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
613
√
≈ 4
29 (0.953125)3
+ 261 (0.953125)2
+ 255 (0.953125) + 22
7 (0.953125)3 +165 (0.953125)2 + 324 (0.953125) + 71
613
√
≈ 4×0.984124295794616
613
√
≈ 3.936497183 ⇒ x1 = 3.936497183
Multiplicando a raiz encontrada pelas raízes complexas da unidade, teremos as outras duas raízes:
x2 = −1.968248591 + 3.409106562i
x3 = −1.968248591 − 3.409106562i
2
Estimando o valor de "k" para Reais
Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.
Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.
Para cada um dos demais grupos, adotar zero.
No exemplo 33.143.4283√
podemos considerar k = 300
Onde,
O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, 3^3=27
Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"
Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".
Normalmente, esta estimativa retorna a raiz com cerca de 3 casas decimais de precisão. Se isto não for
suficiente, precisaremos recalcular a fórmula considerando agora que o valor de k é igual ao resultado deste
primeiro cálculo. Finalmente, terá a raiz com cerca de 12 casas decimais de precisão.
Exemplo:
Calcular 331434283√
c3
√
c = 33143428
Vamos separar os digitos para estimarmos o valor de k. Logo, se c = 33.143.428 então k=300 (conforme
explicação anterior).
c3
√
= k3
.z
3
√
⇒ c = k3
.z ⇒ z =
c
k3
⇒ z =
33143428
3003
⇒ z = 1.22753437037037
Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo.
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
331434283
√
≈ 300
29 (1.22753437037037)3
+ 261 (1.22753437037037)2
+ 255 (1.22753437037037) + 22
7 (1.22753437037037)3 +165 (1.22753437037037)2 + 324 (1.22753437037037) +71
331434283
√
≈ 321.217455874677
Correto até a 5a casa decimal, ou seja,
331434283
√
≈ 321.21745
Se desejassemos maior precisão então deveriamos reaplicar o valor encontrado na fórmula, ou seja, calcular
mais uma vez 33.143.4283
√
. Desta vez, c = 33143428 e k=321.217 (o valor encontrado no 1o calculo). A
fórmula irá retornar 321.217458588148 - que é o valor correto da raiz cúbica de 33.143.428 até a 12a casa
decimal.
Se continuassemos calculando, teriamos mais de 1000 decimais exatas em 5 aplicações da fórmula e mais de
1milhão de decimais exatas em menos de 10 iterações.
3
Extraindo a raiz cúbica de Números Complexos
Para que fique claro ao leitor da grandiosidade desta fórmula, já perguntamos aos maiores profissionais
da área no Brasil e no mundo “Se existia fórmula que extraísse a raiz cúbica de um número complexo sem
explorar o teorema de De Moivre e sem utilizar trigonometria” e, resumindo, a resposta sempre foi “Não”.
Bem, com base nos tópicos anteriores foi possível perceber que a fórmula funciona quando o radicando é um
número real. Entretanto, este tópico irá realmente surpreendê-lo porque a fórmula funciona igualmente para
números complexos.
Estimando o valor de "k" para Imaginários
Seja o complexo a + bi então ...
1) Sobre o valor absoluto de “k” ...
Se |a| > |b| entao k= |a|3
Se |b| > |a| entao k= |b|3
2) Sobre o sinal de “k”
Se |a| > |b| entao k será “real” e terá o mesmo sinal de ′′
a′′
Se |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′
b′′
Exemplo:
Calcular 123 + 423i3√
c3
√
c = 123 + 423i
Seja o complexo 123 + 423i então ...
1) Sobre o valor absoluto de “k” ...
Como |b| > |a| entao k= |423|3
, ou seja, k ≈ 7.5
2) Sobre o sinal de “k”
Como |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′
b′′
. Logo, conclui-se que k ≈ −7.5i
Agora, vamos descobrir o valor de “z” ...
c3
√
= k3
.z
3
√
⇒ c = k3
.z ⇒ z =
c
k3
⇒ z =
123 + 423i
(−7.5i)3 ⇒ z =
123 + 423i
421.875i
⇒
z = 1.00266666666667 − 0.291555555555556i
Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo.
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
4
123 + 423i3
√
≈ −7.5i (1.0100100470112 − 0.0955534040479815i)
123 + 423i3
√
≈−0.716650 − 7.575075i
Novamente, a ressalva de que um segundo calculo retornaria mais de 12 casas decimais de precisão.
Ao multiplicarmos o valor calculado (−0.716650− 7.575075i) pelas raízes cúbicas da unidade, teremos todas
as raízes. A saber:
(−0.716650 − 7.575075i) (1) => −0.716650 − 7.575075i
(−0.716650 − 7.575075i) (−0.5+0.866025403i) =>6.918532 + 3.166006i
(−0.716650 − 7.575075i) (−0.5−0.866025403i) => −6.201883 + 4.408175i
5
Aplicação Prática
Resolução das Equações do 3o Grau com aplicação das “Fórmulas Luderianas”
ao Método de Tartaglia
A seguir, apresentarei uma nova maneira de chegarmos as raízes da equação cúbica reduzida.
y3
+ py + q = 0 é a cúbica reduzida e
y3 = −
q
2
+
q2
4
+
p3
27
3
+ −
q
2
−
q2
4
+
p3
27
3
é a fórmula de Tartaglia.
Neste método, as duas raízes cúbicas, da fórmula de Tartaglia (acima), são calculadas pela “Fórmula
Luderiana Racional para Extração de Raízes Cúbicas” (abaixo). Esta fórmula resolve o “Casus Irreducibilis”,
sem apelar para trigonometria:
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
Assim, encontraremos y3 utilizando método puramente algébrico (sem trigonometria).
A partir deste ponto, basta aplicarmos a “Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica”:
y1,2 = −
y3 + A
2
±
(y3)3
+ 2A(y3)2
+ A2
y3 + 4C
4y3
Onde, no caso da equação cúbica reduzida, y3
+ py + q = 0, tem-se:
A = 0
B = p
C = q
E, quando substituímos estes valores na fórmula acima, chega-se à “Fórmula Luderiana Irracional para
Equação Cúbica Reduzida” - a qual permite-nos encontrar as outras duas raízes da equação cúbica:
y1,2 = −
y3
2
±
(y3)3
+ 4q
4y3
Exemplo:
Resolver a equação x3
− 9x − 6 = 0
1) Aplica-se a Fórmula de Tartaglia ...
y3 = −
q
2
+
q2
4
+
p3
27
3
+ −
q
2
−
q2
4
+
p3
27
3
p = −9
q = −6
y3 = −
(−6)
2
+
(−6)2
4
+
(−9)3
27
3
+ −
(−6)
2
−
(−6)2
4
+
(−9)3
27
3
6
y3 =
6
2
+
36
4
−
729
27
3
+
6
2
−
36
4
−
729
27
3
y3 = 3 + −18
√3
+ 3 − −18
√3
y3 = 3 + 18
√
i
3
+ 3 − 18
√
i
3
y3 = 3 + 4.242640687119i3
√
+ 3 − 4.242640687119i3
√
2) Aplica-se a Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica ...
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
para calcular 3 + 4.242640687119i3
√
c = 3 + 4.242640687119i
Seja o complexo 3 + 4.242640687119i então ...
1) Sobre o valor absoluto de “k” ...
Como |b| > |a| entao k= |4.242640687119|3
, ou seja, k ≈ 1.5
2) Sobre o sinal de “k”
Como |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′
b′′
. Logo, conclui-se que k ≈ −1.5i
Agora, vamos descobrir o valor de “z” ...
c3
√
= k3
.z
3
√
⇒ c = k3
.z ⇒ z =
c
k3
⇒ z =
3 + 4.242640687119i
(−1.5i)3 ⇒ z =
3 + 4.242640687119i
3.375i
⇒
z = 1.257078722109333 − 0.888888888888888i
Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo.
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 +324z+71
3 + 4.242640687119i3√
≈ −1.5i.
519.973122184300 − 911.789328156107i
601.711144636165 − 681.324710474426i
3 + 4.242640687119i3
√
≈ −1.5i. (1.130514128593 − 0.235232666150i)
3 + 4.242640687119i3√
≈ −0.352848999 − 1.695771192i
Considerando k=-0.352-1.695i faremos novo cálculo ... Finalmente, tem-se:
3 + 4.242640687119i3√
≈ −0.352859819860491 − 1.69572696727036i
Por outro lado,
3 − 4.242640687119i3√
≈ −0.352859819860491 + 1.69572696727036i
7
Agora, aplicamos os valores encontrados ...
y3 = 3 + 4.242640687119i3
√
+ 3 − 4.242640687119i3
√
y3 = (−0.352859819860491 − 1.69572696727036i) + (−0.352859819860491 + 1.69572696727036i)
y3 = −0.705719639720982 que é uma das raízes desta equação cúbica.
3) Aplica-se a Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica Reduzida ...
y1,2 = −
y3
2
±
(y3)3
+ 4q
4y3
y1,2 = −
(−0.705719639720982)
2
±
(−0.705719639720982)3 + 4(−6)
4(−0.705719639720982)
y1,2 = 0.352859819860491 ±
−0.351476757488659 − 24
−2.822878558883928
y1,2 = 0.352859819860491 ±
−24.351476757488659
−2.822878558883928
y1,2 = 0.352859819860491 ± 8.626469842583812
√
y1,2 = 0.352859819860491 ± 2.937085263076953
y2 = 0.352859819860491 + 2.937085263076953
y2 = 3.289945082937
y1 = 0.352859819860491 − 2.937085263076953
y1 = −2.584225443216
A Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica, apresentada neste documento,
é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS, Março/2015
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Fórmula racional para extração de raiz cúbica

  • 1. Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica Assim como existe a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do 2o grau, existe a fórmula de Tartaglia para resolver a equação de 3o grau ou cúbica. No caso da fórmula de Bhaskara é oportuno dizer que esta pára na raiz quadrada, ou seja, ela não resolve a raiz quadrada, dependendo de um algoritmo ou da calculadora para extração da raiz quadrada. Analogamente, a fórmula de Tartaglia também não resolve a raiz cúbica. Então o leitor pode perguntar: e a Segunda Fórmula de De Moivre ? Bem, o mesmo acontece com esta fór- mula: utiliza-se de trigonometria, para permitir chegarmos nas raízes complexas de um radicando complexo mas, ainda assim, depende da extração da raiz n-ésima do módulo do complexo. Portanto, embora existam alguns algoritmos e métodos numéricos, não existiam fórmulas para extrair a raiz cúbica de um número. Assim, a descoberta da Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica (abaixo), preencheu esta lacuna. Desejo registrar que embora a apresentação deste material refira-se a raízes cúbicas, já foram concebidas fórmulas para cálculo de raiz quadrada, cúbica, quinta e estou trabalhando no caso da raiz sétima. c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 Onde, c3 √ = k3.z 3 √ , ∀k∈C∗ Observe que os valores de c, k, z são conhecidos. c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber o valor da raiz cúbica; k é a base do cubo perfeito mais próximo de c ; Dá igualdade c3 √ = k3 .z 3 √ , tem-se: c = k3.z Logo, z = c k3 O valor de z deve ser o mais próximo possível de 1. k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. Devido a sua simplicidade, a fórmula luderiana racional permite-nos o cálculo das raizes cúbicas manualmente ou, se preferir, utilizando uma calculadora comum. Com o intuito de fazer menos cálculos, podemos reescrever a fórmula - vide mais abaixo. Com a Fórmula Luderiana Racional, sem necessitar da segunda fórmula de De Moivre, poderemos calcular as raízes de um número complexo. Veja os passos para calcularmos c3 √ 1o) Deve-se conhecer (estimando ou calculando) o valor de “k” 2o) Deve-se calcular z = c k3 1
  • 2. 3o) Calcula-se a primeira raiz ... c3√ ≈ k. ((29z + 261)z + 255)z + 22 (( 7z + 165) z + 324)z + 71 4o) Calcula-se a segunda raiz ... c3 √ ≈ k. ((29z + 261)z + 255)z + 22 (( 7z + 165) z + 324)z + 71 . − 1 2 + 3 √ .i 2 5o) Calcula-se a terceira raiz ... c3 √ ≈ k. ((29z + 261)z + 255)z + 22 (( 7z + 165) z + 324)z + 71 . − 1 2 − 3 √ .i 2 Exemplo: Calcular 613√ c3 √ c = 61 27<61<64 3ş<61<4ş k3 = 43 ⇒ k = 4 c3 √ = k3 .z 3 √ ⇒ c = k3 .z ⇒ z = c k3 ⇒ z = 61 64 ⇒ z = 0.953125 Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo. c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 613 √ ≈ 4 29 (0.953125)3 + 261 (0.953125)2 + 255 (0.953125) + 22 7 (0.953125)3 +165 (0.953125)2 + 324 (0.953125) + 71 613 √ ≈ 4×0.984124295794616 613 √ ≈ 3.936497183 ⇒ x1 = 3.936497183 Multiplicando a raiz encontrada pelas raízes complexas da unidade, teremos as outras duas raízes: x2 = −1.968248591 + 3.409106562i x3 = −1.968248591 − 3.409106562i 2
  • 3. Estimando o valor de "k" para Reais Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início. Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo. Para cada um dos demais grupos, adotar zero. No exemplo 33.143.4283√ podemos considerar k = 300 Onde, O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, 3^3=27 Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143" Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428". Normalmente, esta estimativa retorna a raiz com cerca de 3 casas decimais de precisão. Se isto não for suficiente, precisaremos recalcular a fórmula considerando agora que o valor de k é igual ao resultado deste primeiro cálculo. Finalmente, terá a raiz com cerca de 12 casas decimais de precisão. Exemplo: Calcular 331434283√ c3 √ c = 33143428 Vamos separar os digitos para estimarmos o valor de k. Logo, se c = 33.143.428 então k=300 (conforme explicação anterior). c3 √ = k3 .z 3 √ ⇒ c = k3 .z ⇒ z = c k3 ⇒ z = 33143428 3003 ⇒ z = 1.22753437037037 Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo. c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 331434283 √ ≈ 300 29 (1.22753437037037)3 + 261 (1.22753437037037)2 + 255 (1.22753437037037) + 22 7 (1.22753437037037)3 +165 (1.22753437037037)2 + 324 (1.22753437037037) +71 331434283 √ ≈ 321.217455874677 Correto até a 5a casa decimal, ou seja, 331434283 √ ≈ 321.21745 Se desejassemos maior precisão então deveriamos reaplicar o valor encontrado na fórmula, ou seja, calcular mais uma vez 33.143.4283 √ . Desta vez, c = 33143428 e k=321.217 (o valor encontrado no 1o calculo). A fórmula irá retornar 321.217458588148 - que é o valor correto da raiz cúbica de 33.143.428 até a 12a casa decimal. Se continuassemos calculando, teriamos mais de 1000 decimais exatas em 5 aplicações da fórmula e mais de 1milhão de decimais exatas em menos de 10 iterações. 3
  • 4. Extraindo a raiz cúbica de Números Complexos Para que fique claro ao leitor da grandiosidade desta fórmula, já perguntamos aos maiores profissionais da área no Brasil e no mundo “Se existia fórmula que extraísse a raiz cúbica de um número complexo sem explorar o teorema de De Moivre e sem utilizar trigonometria” e, resumindo, a resposta sempre foi “Não”. Bem, com base nos tópicos anteriores foi possível perceber que a fórmula funciona quando o radicando é um número real. Entretanto, este tópico irá realmente surpreendê-lo porque a fórmula funciona igualmente para números complexos. Estimando o valor de "k" para Imaginários Seja o complexo a + bi então ... 1) Sobre o valor absoluto de “k” ... Se |a| > |b| entao k= |a|3 Se |b| > |a| entao k= |b|3 2) Sobre o sinal de “k” Se |a| > |b| entao k será “real” e terá o mesmo sinal de ′′ a′′ Se |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′ b′′ Exemplo: Calcular 123 + 423i3√ c3 √ c = 123 + 423i Seja o complexo 123 + 423i então ... 1) Sobre o valor absoluto de “k” ... Como |b| > |a| entao k= |423|3 , ou seja, k ≈ 7.5 2) Sobre o sinal de “k” Como |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′ b′′ . Logo, conclui-se que k ≈ −7.5i Agora, vamos descobrir o valor de “z” ... c3 √ = k3 .z 3 √ ⇒ c = k3 .z ⇒ z = c k3 ⇒ z = 123 + 423i (−7.5i)3 ⇒ z = 123 + 423i 421.875i ⇒ z = 1.00266666666667 − 0.291555555555556i Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo. c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 4
  • 5. 123 + 423i3 √ ≈ −7.5i (1.0100100470112 − 0.0955534040479815i) 123 + 423i3 √ ≈−0.716650 − 7.575075i Novamente, a ressalva de que um segundo calculo retornaria mais de 12 casas decimais de precisão. Ao multiplicarmos o valor calculado (−0.716650− 7.575075i) pelas raízes cúbicas da unidade, teremos todas as raízes. A saber: (−0.716650 − 7.575075i) (1) => −0.716650 − 7.575075i (−0.716650 − 7.575075i) (−0.5+0.866025403i) =>6.918532 + 3.166006i (−0.716650 − 7.575075i) (−0.5−0.866025403i) => −6.201883 + 4.408175i 5
  • 6. Aplicação Prática Resolução das Equações do 3o Grau com aplicação das “Fórmulas Luderianas” ao Método de Tartaglia A seguir, apresentarei uma nova maneira de chegarmos as raízes da equação cúbica reduzida. y3 + py + q = 0 é a cúbica reduzida e y3 = − q 2 + q2 4 + p3 27 3 + − q 2 − q2 4 + p3 27 3 é a fórmula de Tartaglia. Neste método, as duas raízes cúbicas, da fórmula de Tartaglia (acima), são calculadas pela “Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raízes Cúbicas” (abaixo). Esta fórmula resolve o “Casus Irreducibilis”, sem apelar para trigonometria: c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 Assim, encontraremos y3 utilizando método puramente algébrico (sem trigonometria). A partir deste ponto, basta aplicarmos a “Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica”: y1,2 = − y3 + A 2 ± (y3)3 + 2A(y3)2 + A2 y3 + 4C 4y3 Onde, no caso da equação cúbica reduzida, y3 + py + q = 0, tem-se: A = 0 B = p C = q E, quando substituímos estes valores na fórmula acima, chega-se à “Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica Reduzida” - a qual permite-nos encontrar as outras duas raízes da equação cúbica: y1,2 = − y3 2 ± (y3)3 + 4q 4y3 Exemplo: Resolver a equação x3 − 9x − 6 = 0 1) Aplica-se a Fórmula de Tartaglia ... y3 = − q 2 + q2 4 + p3 27 3 + − q 2 − q2 4 + p3 27 3 p = −9 q = −6 y3 = − (−6) 2 + (−6)2 4 + (−9)3 27 3 + − (−6) 2 − (−6)2 4 + (−9)3 27 3 6
  • 7. y3 = 6 2 + 36 4 − 729 27 3 + 6 2 − 36 4 − 729 27 3 y3 = 3 + −18 √3 + 3 − −18 √3 y3 = 3 + 18 √ i 3 + 3 − 18 √ i 3 y3 = 3 + 4.242640687119i3 √ + 3 − 4.242640687119i3 √ 2) Aplica-se a Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica ... c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 para calcular 3 + 4.242640687119i3 √ c = 3 + 4.242640687119i Seja o complexo 3 + 4.242640687119i então ... 1) Sobre o valor absoluto de “k” ... Como |b| > |a| entao k= |4.242640687119|3 , ou seja, k ≈ 1.5 2) Sobre o sinal de “k” Como |b| > |a| entao k será “imaginário” e terá sinal oposto à ′′ b′′ . Logo, conclui-se que k ≈ −1.5i Agora, vamos descobrir o valor de “z” ... c3 √ = k3 .z 3 √ ⇒ c = k3 .z ⇒ z = c k3 ⇒ z = 3 + 4.242640687119i (−1.5i)3 ⇒ z = 3 + 4.242640687119i 3.375i ⇒ z = 1.257078722109333 − 0.888888888888888i Aplica-se os valores de “k” e “z” na fórmula luderiana, abaixo. c3 √ ≈ k. 29z3 + 261z2 + 255z + 22 7z3 + 165z2 +324z+71 3 + 4.242640687119i3√ ≈ −1.5i. 519.973122184300 − 911.789328156107i 601.711144636165 − 681.324710474426i 3 + 4.242640687119i3 √ ≈ −1.5i. (1.130514128593 − 0.235232666150i) 3 + 4.242640687119i3√ ≈ −0.352848999 − 1.695771192i Considerando k=-0.352-1.695i faremos novo cálculo ... Finalmente, tem-se: 3 + 4.242640687119i3√ ≈ −0.352859819860491 − 1.69572696727036i Por outro lado, 3 − 4.242640687119i3√ ≈ −0.352859819860491 + 1.69572696727036i 7
  • 8. Agora, aplicamos os valores encontrados ... y3 = 3 + 4.242640687119i3 √ + 3 − 4.242640687119i3 √ y3 = (−0.352859819860491 − 1.69572696727036i) + (−0.352859819860491 + 1.69572696727036i) y3 = −0.705719639720982 que é uma das raízes desta equação cúbica. 3) Aplica-se a Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica Reduzida ... y1,2 = − y3 2 ± (y3)3 + 4q 4y3 y1,2 = − (−0.705719639720982) 2 ± (−0.705719639720982)3 + 4(−6) 4(−0.705719639720982) y1,2 = 0.352859819860491 ± −0.351476757488659 − 24 −2.822878558883928 y1,2 = 0.352859819860491 ± −24.351476757488659 −2.822878558883928 y1,2 = 0.352859819860491 ± 8.626469842583812 √ y1,2 = 0.352859819860491 ± 2.937085263076953 y2 = 0.352859819860491 + 2.937085263076953 y2 = 3.289945082937 y1 = 0.352859819860491 − 2.937085263076953 y1 = −2.584225443216 A Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica, apresentada neste documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS, Março/2015 8