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INSTITUTO SION
Unido Sabedoria e Conhecimento
Professor Paulo Souto
POTENCIAÇÃO
E
RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação.
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão.
1ª PARTE: POTENCIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode
ser indicado na forma 4
3 . Assim, o símbolo n
a , sendo a um número inteiro e n um número natural
maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
nvezesaaaan
......,..
- a é a base;
- n é o expoente;
- o resultado é a potência.
Por definição temos que: aaea  10
1
Exemplos:
a) 2733333

b)   4222
2

c)   82222
3

d)
16
9
4
3
4
3
4
3
2






CUIDADO !!
Cuidado com os sinais.
 Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
  1622222
4

  9333
2

 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
13
 
0;
..




















bcom
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
Ex. 1:   82.2.22
3

 24 8
 Se 2x  , qual será o valor de “ 2
x ”?
Observe:   42
2
 , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
  42x
22
 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo
“-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Quadro Resumo das Propriedades
 
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
a
a
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.









A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a) nmnm
aaa 
 Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias
de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.
Ex. 1.: 22
222 
 xx
Ex. 2.: 117474
aaaa  
Ex. 3.: 42
34   neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois
multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.
1296811634 42

Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos.
Assim: nmnm
aaa 
 ou nmnm
aaa 
Exemplo: n7n7
aaa 
b)
nm
n
m
a
a
a 
 Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases
iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1: x
x

 4
4
3
3
3
14
Ex. 2: 154
5
4

 aa
a
a
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
nm
n
m
a
a
a 
 ou n
m
nm
a
a
a 
Exemplo: x
x
a
a
a
4
4

c)   nmnm
aa 
 Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .
d)
Ex. 1:   62323
444  
Ex. 2:   xxx
bbb 
 444
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
  nmnm
aa 
 ou  nmnm
aa 
Ex.:    444
333 xxx
ou
d) m
n
m n
aa  Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa
potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente.
Ex. 1: 2
1
2 1
xxx 
Ex. 2: 3
7
3 7
xx 
Ex. 3: 52525 2
1

Ex. 4: 3 83
8
xx 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
m
n
m n
aa  ou
m nm
n
aa  Ex.: 52
5
aa 
e) 0bcom,
b
a
b
a
n
nn






Ex. 1:
9
4
3
2
3
2
2
22






Ex. 2:
25
1
5
1
5
1
2
22






Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
nn
b
a
b
a






ou
n
n
n
b
a
b
a






 Ex.:
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
1







15
f)   nnn
baba 
Ex. 1:   222
axax 
Ex. 2:   3333
6444 xxx 
Ex. 3:     2242
4
4
4
2
1
4
4
4
4
8133333 xxxxxx 




Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
  nnn
baba  ou  nnn
baba  Ex.:   yxyxyxyx  2
1
2
1
2
1
g) n
n
a
1
a 
Ex. 1: 33
33
3 111
aaa
a 






Ex. 2:
4
9
2
3
2
3
3
2
2
222













Ex. 3:  
4
1
4
1
4
1
1






 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n
n
a
1
a 
ou n
n
a
a


1
Ex.: a) 2
2
1 
 x
x
b) 3
33
3
21
3
2
3
2 
 x
xx
CUIDADO !!!
    
  8
1
2
1
2
1
2 3
33
3 








 
  
27
1
3
1
3
1
3 3
33
3








 3
3
333
a
1
a
1
a
a
1













Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não
interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
O sinal negativo no expoente
indica que a base da
potência deve ser invertida e
simultaneamente devemos
eliminar o sinal negativo do
expoente.
Primeiro eliminamos o sinal
negativo do expoente
invertendo a base.
16
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências:
a) 2
6
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h)
4
2
3






i)
4
2
3







j)
3
2
3







k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o)
2
5
3







2. O valor de [47
.410
.4]2
: (45
)7
é:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual é a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3
. b . (b . c)2
b) 7
4523
....
y
xxyyx
4. Sendo 7.3.2 87
a e 65
3.2b , o quociente de a por b é:
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expressão:
212
4
1
2
1
3
2



















A
6. Simplificando a expressão
2
3
3
1
.3
4
1
2
1
.3
2
2














, obtemos o número:
a)
7
6
b)
6
7
c)
7
6
d)
6
7
e)
7
5
7. Quando 3be
3
1
a  , qual o valor numérico da expressão 22
baba  ?
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
18
a) 2-3
=
b) 10-2
=
c) 4-1
=
Exemplos mais complexos:
(1)
 
33232
3
2
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4











(2)  
  622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1
y.x 









(3)
    912
3.33.4
3
33343343
34
b.a
1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1















(4)  
 
   
682324
22
34
positivo.fica
par,expoente
aelevado
negativonº
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1
.
yayaya
ou
yayaya
ya
ya






 











(5)  
    242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8 









Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos
parênteses.
(6)
3
4
1
2








729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
1
2 3
33333

















 








(7)
      










 







4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1
c
2
2
222
4
1c4c4 2

ou



















2
1
2
1
c
2
1
2
1
cc
2
1
c
2
1
c
2
1
c 2
2
19
4
1c4c4
4
1
cc
4
1
2
c2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
222 

EXERCÍCIOS
9. Efetue:
a) 46
.aa
b) 3
8
a
a
c) 















322
3
2
2
b
ca
c
ab
d) 
















3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
e)   
4
3x
f) 53
)(x
g) 32
)2( x
h)   
332
5 ba
i) 





4
2
3
b
a
j) 







2
4
3
5
2
x
ab
k) 






4
2
3
1
a
10. Sabendo que
2
5
4
2







a , determine o valor de a.
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:



1n33
n
28
42
Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir
todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números
que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22
e 283
por .



1n3
2n
22
22
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma
base.
 
 




2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
22
2
2
2
2 n2
2
ou n2
2
1
Exercícios
11. Simplifique as expressões:
a) 1n
n2n
33
33
E 



 b)
 
 1n
1nn
4
24
E 


 c) 1n
2n
5
10025
G 



20
Essa propriedade mostra que
todo radical pode ser escrito
na forma de uma potência.
2ª PARTE: RADICIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever:
 1nenabba nn

Ex. 1: 4224 2
 pois
Ex. 2: 8228 33
 pois
Na raiz n
a , temos:
- O número n é chamado índice;
- O número a é chamado radicando.
2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS
a) n
p
n p
aa 
Ex. 1: 3
1
3
22 
Ex. 2: 2
3
3
44 
Ex. 3: 5
2
5 2
66 
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou
seja n pn
p
aa  (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
Exemplo : 5 35
3
22  .
b) aaaa 1n
n
n n
 Ex.: 2222 13
3
3 3

c) nnn
baba  Ex.: 23
6
3
3
3 63 33 63
babababa 
21
d) n
n
n
b
a
b
a
 Ex.:
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a

e)   n
mm
n
m
n
m
n
mn
bbbbb 







1
11
1
Ex.:   2
3
1
3
2
1
3
2
13
2
13
55555 







f) nmn m
aa 
 Ex.: 6233 2
333  
EXERCÍCIOS
12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:
a) 
100
1
b) 
16
1
c) 
9
4
d)  01,0
e) 81,0
f) 25,2
13. Calcule a raiz indicada:
a) 9 3
a
b) 3
48
c) 7
t
d) 4 12
t
14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) 7
b) 4 3
2
c) 5 2
3
d) 6 5
a
e) 3 2
x
f) 
3
1
15. Escreva na forma de radical:
a) 5
1
2
b) 3
2
4
c) 4
1
x
d) 

2
1
8
e) 7
5
a
f)   4
1
3
ba
g)   

5
1
2
nm
h) 

4
3
m
12
16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?
a) 1
10
b) 2
10
c) 3
10
d) 4
10
e) 10
1
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS
Exemplos:
a)  24
32144
123432
32
32
12
2
2
2
4
24



b)  3 233 53
333243
3 23 3
33
3
2
3
3
33 
3
2
33 
ou
3 2
33
ou
3
93
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2.3 RAÍZES LITERAIS
a) 2
9
9
xx 
Escrever o radical 9
x na forma de expoente fracionário 2
9
x não resolve o problema, pois
nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.
Assim teremos:
Resultados
possíveis
Devemos fatorar 144
14432
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
24

Forma fatorada
de 144
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5

Forma fatorada
de 243
22
xxxxxxxxxx 42
8
818189
 
b) 3 2123 14
xx 
 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
3 24
3 23
12
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx




Outros Exemplos:
a) 3 633 6
x27x.27 
2
21
23
3
3
6
3 3
x3
x3
x3
3)pordivisívelé6(poisx3




b) 3 63 433 64
yx48yx48 
32
332
233
233 33
23 333 3
3
6
3por
divisível
énão
4pois
3 133 3
x6xy2
x6xy2
yxx62
yxx62
yxx62
yx6.2





 

EXERCÍCIOS
17. Calcule:
a) 3
125
b) 5
243
c) 36
d) 5
1
e) 6
0
f) 1
7
g) 3
125
h) 5
32
i) 7
1
273
3
3
3
1
3
9
27
3

273
3
3
3
1
3
9
27
3

486.23.2.2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
33

23
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) 3
32
b) 3
25
c) 4
27
d) 7
81
e) 8
512
f) 8
625
19. Calcule a raiz indicada:
a) 2
4a
b) 62
36 ba
c) 42
9
4
ba
d) 
100
2
x
e) 
25
16 10
a
f) 4 2
100x
g) 8
121
h) 5 105
1024 yx
i) 4
25
1
j) 3
3
6
b
a
k) 62
4
16
zy
x
20. Simplifique os radicais:
a) 5 10
xa
b) cba 24
c) ba3
d) xa4
25
e) 3
432
f) 45
3
1
3. OPERAÇÕES COM RADICAIS
3.1. Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um
único radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1)   331324132343 
2)   55555
333232323332 
 
externos
fatores
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos
os termos da soma.
3)       
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 
4)     32247253425723 
25
EXERCÍCIOS
21. Simplifique 1081061012  :
22. Determine as somas algébricas:
a)  333
2
4
5
222
3
7
b) 
3
5
5
5
2
5
6
5
c)  3333
382423825
d)  4545
610712678
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:
a)  452632203285
b)  729501518138528
c)  201010864812456
d)  10
4
1
250
4
1
90
2
3
e)  4444
24396248696
f)  33333
4
5
8
2216256
5
2
325
g)  555
248664
h)  333
125
24
10
729
375
81
64
81
4
24. Calcule as somas algébricas:
a)  xxxx 6410
b)  baba 144896814
c)  333
1000827 aa
d)  4 944 5
3122 aaaaa
e)  aaaxaxa 434 32
f)  baba 835 44
g)  x
xy
x
yx
81
10094
2
h)  4
4 544 4
1682
c
a
cbca
25. Considere mcmbma 368,1002,9  e determine:
a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c=
26. Simplifique a expressão 





 10 1056 34 42
2
1
yaayya .
3.2 Multiplicação
Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um:
1º
CASO: Radicais têm raízes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo:   824816 3

2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o
resultado obtido.
Exemplos: a) 155353 
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx   3 53
yx  pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:
26
3 23 23 33 233 233 53 33 53
yyxyyxyyxyxyxyx  
c) 10652652325322 
3º
CASO: Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida,
transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).
Exemplos: a) 44 24 14 24
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4
18232323232323  

b) 12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43
xaxaxaxaxaxa  



ATENÇÃO:
- 2222  , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.
- 222  por que?    2222
2

ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então:
222222222 12
2
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
 

opotenciaçã
deregra
3.3 Divisão
A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:
1º
CASO: Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.
Exemplo: 33:927:81 3

Conservamos a base e
somamos os expoentes.
A ordem dos fatores não altera
o produto (multiplicação)
Multiplicamos numerador e denominador da fração
por 2 e transformamos na fração equivalente
4
2
27
2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.
Exemplos:
y
x
xy
x
xy
x
xy:x
233
3

33
3
3
33
2
10
20
10
20
10:20 
3º
CASO: Radicais com índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de
potências de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
2222
2
2
2
2
2:2 


4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma
fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os
termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração
significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
  3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2

2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a) 3
x
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2
x , pois 1 + 2 = 3.
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
2 3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3










Como os índices das raízes são
iguais, podemos substituir as duas
raízes por uma só!
28
(b)
5 2
x
1
Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3
x , pois 2 + 3 = 5.
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
1 5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2




3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
 
 
 
 
   
     
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
2
22

















EXERCÍCIOS
27. Calcule
a)  737576
b)  18250325
c)  333
3524812
d)  2354
e) 55
223
f)  3234
g) 
52
108
h) 

2
4.1.455 2
i) 

2
5.1.466 2
28. Simplifique os radicais e efetue:
a)  33
8822 xxxx
b)  3333
19224323434
c)  32
5334 xxxxyxy
29. Efetue:
a)  32
9423 xxaxxxa
b)  aaaaa 335
445
c)  3216450253842 xxx
d)  32
373 aaaabab
O sinal deve ser contrário, senão a raiz
não será eliminada do denominador.
           2
3
2
7
2
37337
2
73737 
29
30. Escreva na forma mais simplificada:
a) xx.
b)  xx3
c)  aa 7
d) 
x
x3
e) 2
3
x
x
f)  43
.xx
g) 7
.xx
h) 3 43
aa
i)  aa4
j)    23
aa
k)  42
5 b
31. Efetue as multiplicações e divisões:
a) 4 223 5
.. baaba
b) 223 2
4.4 xaxa
c) xx .10 3
d) yxyxxy 33 22
..
e)  43
aaa
f) 
3
3 5
a
a
32. Efetue:
a) 
8 3
4 2
a
a
b) 
4 5
6 23
ba
ba
c) 
3
4 32
xy
yx
d) 

4
6
9
272
e)  43
3
1
53 bbb
f) 4
6
25.5
125.3
33. Quando
3
2
x , o valor numérico da expressão 23 2
 xx é:
a) 0
b) 1
c) –1
d)
3
1
e)
3
2

34. Se 6
3x e 3
9y :
a) x é o dobro de y;
b) 1 yx
c) yx 
d) y é o triplo de x;
e) 1 yx
35. Racionalize as frações:
a)
x
1
b)
4x
2

c)
x1
3

d) 3
x
4
30
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão:
a) 36 h)
16
81 o)
25
9
b) 36 i)
16
81
c) –36 j)
8
27-
d) –8 k) 0
e) –8 l) 1
f) 1 m) 1
g) 1 n) -1
2ª Questão:
d)
3ª Questão:
a) 263
cba b) 8
x
4ª Questão:
a)
5ª Questão:
4
65
A 
6ª Questão:
a)
7ª Questão:
9
73
8ª Questão:
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25
9ª Questão:
a) 10
a d)
4
3y
8x g) 6
8x j)
62
8
b4a
25x
b) 5
a e) 4
81x h) 96
ba125 k) 8
a81
c)
3
8
c
ba4 f) 15
x i)
8
4
b
a81
10ª Questão:
36
25
a 
31
11ª Questão:
a) E = 3n
b) F = 2n –3
c) G = 5 n + 4
. 2
12ª Questão:
a)
10
1 c)
3
2 e)
10
9
b)
4
1 d)
10
1- f)
10
15
13ª Questão:
a) 3
a b) 3
62 c) tt3
 d) 3
t
14ª Questão:
a)
2
1
7
c)
5
2
3
e)
3
2
x
b)
4
3
2
d)
6
5
a
f)
2
1
3

15ª Questão:
a) 5
2 c) 4 x e) 7 5
a
g)
5 2
1
nm
b) 3 2
4
d)
8
1 f) 4 3
ba
h)
4 3
m
1
16ª Questão:
c)
17ª Questão:
a) 5 c) 6 e) 0 g) -5
b) 3 d) 1 f) 7 h) –2
i) -1
18ª Questão:
a)
3
5
2
c)
4
3
3
e)
7
3
2
g)
8
9
2
b)
3
2
5
d)
4
3
5
f)
7
4
3
h)
2
1
5
19ª Questão:
a) 2a d)
10
x g) 4
11 j)
b
a2
b) 3
6ab e)
5
4a5 h) 2
4xy k)
3
2
yz
4x
c) 2
ab
3
2

f) x10 i)
5
1
32
20ª Questão:
a) 52
xa c) aba e) 3
26
b) cba2 d) xa2
5 f) 5
21ª Questão:
102
22ª Questão:
a) 3
2
12
11

b) 5
15
2 c) 223
 d) 45
6974 
23ª Questão:
a) 74 c) 52312  e) 44
32763  g) 5
22
b) 292 d) 103 f) 3
410 h) 3
344
24ª Questão:
a) x c) 3
123 a e) aaxa  g)
xy
x
.
10
89
.
6

b) ba 8716  d) 42
)12( aaa  f) ba 132 4
 h) 4
c
8
bc


25ª Questão:
a) m25 b) m31 c) m65 d) m71
26ª Questão:
a
2
y

27ª Questão:
a) 78 c) 3
313 e) 5
43 g) 24
b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1
i) 5
28ª Questão:
a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( 
29ª Questão:
a) xxa )(  b) aaa )123( 2
 c) 25 x d) )(4 aba 
30ª Questão:
a) x d)
6
1
x
g)
2
15
x
j)
2
7
a
b) x4 e) x h)
3
5
a
k) 5b4
c) a6 f) x -7
i)
4
3
a
33
31ª Questão:
a)
ba 3
8

c)
5
4
x
e) 12
aa 
b) 3 2
42 xaax  d) 3 222
yxyx  f) 6 a
32ª Questão:
a)
8
1
a
c)
12
5
6
1
yx 
e) 12 bb5
b)
12
1
4
3
ba 
 d) 2 f)
5
3
33ª Questão:
a)
34ª Questão:
c)
35ª Questão:
a)
x
x b)
4x
42x2

 c)
x1
x33

 d)
x
x4
3 2


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Potenciação e radiciação: exercícios e propriedades

  • 1. 12 INSTITUTO SION Unido Sabedoria e Conhecimento Professor Paulo Souto POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão. 1ª PARTE: POTENCIAÇÃO 1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode ser indicado na forma 4 3 . Assim, o símbolo n a , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: nvezesaaaan ......,.. - a é a base; - n é o expoente; - o resultado é a potência. Por definição temos que: aaea  10 1 Exemplos: a) 2733333  b)   4222 2  c)   82222 3  d) 16 9 4 3 4 3 4 3 2       CUIDADO !! Cuidado com os sinais.  Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:   1622222 4    9333 2   Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
  • 2. 13   0; ..                     bcom b a b a baba a b b a n nn nnn nn Ex. 1:   82.2.22 3   24 8  Se 2x  , qual será o valor de “ 2 x ”? Observe:   42 2  , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.   42x 22  → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Quadro Resumo das Propriedades   n n m n m n nmnm nm n m nmnm a a aa aa a a a aaa 1 .          A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: a) nmnm aaa   Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. Ex. 1.: 22 222   xx Ex. 2.: 117474 aaaa   Ex. 3.: 42 34   neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 1296811634 42  Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: nmnm aaa   ou nmnm aaa  Exemplo: n7n7 aaa  b) nm n m a a a   Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes. Ex. 1: x x   4 4 3 3 3
  • 3. 14 Ex. 2: 154 5 4   aa a a Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja nm n m a a a   ou n m nm a a a  Exemplo: x x a a a 4 4  c)   nmnm aa   Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes . d) Ex. 1:   62323 444   Ex. 2:   xxx bbb   444 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja   nmnm aa   ou  nmnm aa  Ex.:    444 333 xxx ou d) m n m n aa  Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. Ex. 1: 2 1 2 1 xxx  Ex. 2: 3 7 3 7 xx  Ex. 3: 52525 2 1  Ex. 4: 3 83 8 xx  Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja m n m n aa  ou m nm n aa  Ex.: 52 5 aa  e) 0bcom, b a b a n nn       Ex. 1: 9 4 3 2 3 2 2 22       Ex. 2: 25 1 5 1 5 1 2 22       Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n nn b a b a       ou n n n b a b a        Ex.: 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1       
  • 4. 15 f)   nnn baba  Ex. 1:   222 axax  Ex. 2:   3333 6444 xxx  Ex. 3:     2242 4 4 4 2 1 4 4 4 4 8133333 xxxxxx      Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja   nnn baba  ou  nnn baba  Ex.:   yxyxyxyx  2 1 2 1 2 1 g) n n a 1 a  Ex. 1: 33 33 3 111 aaa a        Ex. 2: 4 9 2 3 2 3 3 2 2 222              Ex. 3:   4 1 4 1 4 1 1         Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n n a 1 a  ou n n a a   1 Ex.: a) 2 2 1   x x b) 3 33 3 21 3 2 3 2   x xx CUIDADO !!!        8 1 2 1 2 1 2 3 33 3               27 1 3 1 3 1 3 3 33 3          3 3 333 a 1 a 1 a a 1              Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente. Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.
  • 5. 16 EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências: a) 2 6 b) (-6)2 c) -62 d) (-2)3 e) -23 f) 50 g) (-8)0 h) 4 2 3       i) 4 2 3        j) 3 2 3        k) 028 l) 132 m) (-1)20 n) (-1)17 o) 2 5 3        2. O valor de [47 .410 .4]2 : (45 )7 é: a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 3. Qual é a forma mais simples de escrever: a) (a . b)3 . b . (b . c)2 b) 7 4523 .... y xxyyx 4. Sendo 7.3.2 87 a e 65 3.2b , o quociente de a por b é: a) 252 b) 36 c) 126 d) 48 e) 42 5. Calcule o valor da expressão: 212 4 1 2 1 3 2                    A 6. Simplificando a expressão 2 3 3 1 .3 4 1 2 1 .3 2 2               , obtemos o número: a) 7 6 b) 6 7 c) 7 6 d) 6 7 e) 7 5 7. Quando 3be 3 1 a  , qual o valor numérico da expressão 22 baba  ? 8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
  • 6. 18 a) 2-3 = b) 10-2 = c) 4-1 = Exemplos mais complexos: (1)   33232 3 2 1 3 2 13 yx4 1 x 1 xy4 1 1 x xy4 1 x xy4 1 x xy4            (2)     622.32232 22 3 23 y.x 1 y.x 1 y.x 1 xy 1 y.x           (3)     912 3.33.4 3 33343343 34 b.a 1 b.a 1 b.a 1 b.a b.a 1                (4)         682324 22 34 positivo.fica par,expoente aelevado negativonº 682.32.42324 2 2 34 234 111 . 1 . 1 . 1 . 1 . yayaya ou yayaya ya ya                    (5)       242222 2 22 22 2 22 a.y.64 1 a.y.8 1 a.y.8 1 a.y.8 1 a.y.8           Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses. (6) 3 4 1 2         729 64 9 4 9 4 4 9 4 18 4 1 2 3 33333                            (7)                           4 1c2c2c4 4 1c21c2 2 1c2 2 1c2 2 1 c 2 2 222 4 1c4c4 2  ou                    2 1 2 1 c 2 1 2 1 cc 2 1 c 2 1 c 2 1 c 2 2
  • 7. 19 4 1c4c4 4 1 cc 4 1 2 c2 c 4 1 2 c 2 c c 2 222   EXERCÍCIOS 9. Efetue: a) 46 .aa b) 3 8 a a c)                 322 3 2 2 b ca c ab d)                  3 22 2 2 33 2 2 3 3 ba xy ba yx e)    4 3x f) 53 )(x g) 32 )2( x h)    332 5 ba i)       4 2 3 b a j)         2 4 3 5 2 x ab k)        4 2 3 1 a 10. Sabendo que 2 5 4 2        a , determine o valor de a. Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:    1n33 n 28 42 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 283 por .    1n3 2n 22 22 Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.         2n32n2n32n 2n3 2n 1n31 2n 22 2 2 2 2 n2 2 ou n2 2 1 Exercícios 11. Simplifique as expressões: a) 1n n2n 33 33 E      b)    1n 1nn 4 24 E     c) 1n 2n 5 10025 G    
  • 8. 20 Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência. 2ª PARTE: RADICIAÇÃO 1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever:  1nenabba nn  Ex. 1: 4224 2  pois Ex. 2: 8228 33  pois Na raiz n a , temos: - O número n é chamado índice; - O número a é chamado radicando. 2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS a) n p n p aa  Ex. 1: 3 1 3 22  Ex. 2: 2 3 3 44  Ex. 3: 5 2 5 2 66  Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja n pn p aa  (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical). Exemplo : 5 35 3 22  . b) aaaa 1n n n n  Ex.: 2222 13 3 3 3  c) nnn baba  Ex.: 23 6 3 3 3 63 33 63 babababa 
  • 9. 21 d) n n n b a b a  Ex.: 5 3 2 5 3 2 5 2 6 5 6 5 6 b a ou b a b a b a b a  e)   n mm n m n m n mn bbbbb         1 11 1 Ex.:   2 3 1 3 2 1 3 2 13 2 13 55555         f) nmn m aa   Ex.: 6233 2 333   EXERCÍCIOS 12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: a)  100 1 b)  16 1 c)  9 4 d)  01,0 e) 81,0 f) 25,2 13. Calcule a raiz indicada: a) 9 3 a b) 3 48 c) 7 t d) 4 12 t 14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) 7 b) 4 3 2 c) 5 2 3 d) 6 5 a e) 3 2 x f)  3 1 15. Escreva na forma de radical: a) 5 1 2 b) 3 2 4 c) 4 1 x d)   2 1 8 e) 7 5 a f)   4 1 3 ba g)     5 1 2 nm h)   4 3 m
  • 10. 12 16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? a) 1 10 b) 2 10 c) 3 10 d) 4 10 e) 10 1 2.2 RAÍZES NUMÉRICAS Exemplos: a)  24 32144 123432 32 32 12 2 2 2 4 24    b)  3 233 53 333243 3 23 3 33 3 2 3 3 33  3 2 33  ou 3 2 33 ou 3 93 Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 2.3 RAÍZES LITERAIS a) 2 9 9 xx  Escrever o radical 9 x na forma de expoente fracionário 2 9 x não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: Resultados possíveis Devemos fatorar 144 14432 3 3 2 2 2 2 1 3 9 18 36 72 144 24  Forma fatorada de 144 2433 3 3 3 3 3 1 3 9 27 81 243 5  Forma fatorada de 243
  • 11. 22 xxxxxxxxxx 42 8 818189   b) 3 2123 14 xx   pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz). 3 24 3 23 12 3 23 12 3 212 xx xx xx xx     Outros Exemplos: a) 3 633 6 x27x.27  2 21 23 3 3 6 3 3 x3 x3 x3 3)pordivisívelé6(poisx3     b) 3 63 433 64 yx48yx48  32 332 233 233 33 23 333 3 3 6 3por divisível énão 4pois 3 133 3 x6xy2 x6xy2 yxx62 yxx62 yxx62 yx6.2         EXERCÍCIOS 17. Calcule: a) 3 125 b) 5 243 c) 36 d) 5 1 e) 6 0 f) 1 7 g) 3 125 h) 5 32 i) 7 1 273 3 3 3 1 3 9 27 3  273 3 3 3 1 3 9 27 3  486.23.2.2 3 2 2 2 2 1 3 6 12 24 48 33 
  • 12. 23 18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) 3 32 b) 3 25 c) 4 27 d) 7 81 e) 8 512 f) 8 625 19. Calcule a raiz indicada: a) 2 4a b) 62 36 ba c) 42 9 4 ba d)  100 2 x e)  25 16 10 a f) 4 2 100x g) 8 121 h) 5 105 1024 yx i) 4 25 1 j) 3 3 6 b a k) 62 4 16 zy x 20. Simplifique os radicais: a) 5 10 xa b) cba 24 c) ba3 d) xa4 25 e) 3 432 f) 45 3 1 3. OPERAÇÕES COM RADICAIS 3.1. Adição e Subtração Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais. Exemplos: 1)   331324132343  2)   55555 333232323332    externos fatores Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 3)        reduzidamaisserpodenão 532256322456532224  4)     32247253425723 
  • 13. 25 EXERCÍCIOS 21. Simplifique 1081061012  : 22. Determine as somas algébricas: a)  333 2 4 5 222 3 7 b)  3 5 5 5 2 5 6 5 c)  3333 382423825 d)  4545 610712678 23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a)  452632203285 b)  729501518138528 c)  201010864812456 d)  10 4 1 250 4 1 90 2 3 e)  4444 24396248696 f)  33333 4 5 8 2216256 5 2 325 g)  555 248664 h)  333 125 24 10 729 375 81 64 81 4 24. Calcule as somas algébricas: a)  xxxx 6410 b)  baba 144896814 c)  333 1000827 aa d)  4 944 5 3122 aaaaa e)  aaaxaxa 434 32 f)  baba 835 44 g)  x xy x yx 81 10094 2 h)  4 4 544 4 1682 c a cbca 25. Considere mcmbma 368,1002,9  e determine: a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c= 26. Simplifique a expressão        10 1056 34 42 2 1 yaayya . 3.2 Multiplicação Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1º CASO: Radicais têm raízes exatas. Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: Exemplo:   824816 3  2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido. Exemplos: a) 155353  b) 3 423 43 23 yxyxyxyx   3 53 yx  pode parar aqui! Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:
  • 14. 26 3 23 23 33 233 233 53 33 53 yyxyyxyyxyxyxyx   c) 10652652325322  3º CASO: Radicais têm índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador). Exemplos: a) 44 24 14 24 1 4 2 4 1 2 2 2 1 4 1 2 1 4 18232323232323    b) 12 3412 312 412 3 12 4 3 3 4 1 4 4 3 1 4 1 3 1 43 xaxaxaxaxaxa      ATENÇÃO: - 2222  , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois. - 222  por que?    2222 2  ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 222222222 12 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1    opotenciaçã deregra 3.3 Divisão A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1º CASO: Os radicais têm raízes exatas. Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. Exemplo: 33:927:81 3  Conservamos a base e somamos os expoentes. A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação) Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente 4 2
  • 15. 27 2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. Exemplos: y x xy x xy x xy:x 233 3  33 3 3 33 2 10 20 10 20 10:20  3º CASO: Radicais com índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical . Exemplo: 66 1 6 23 3 1 2 1 3 1 2 1 3 3 2222 2 2 2 2 2:2    4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:   3 34 3 34 3 3 3 4 3 4 2  2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: (a) 3 x 2 Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2 x , pois 1 + 2 = 3. x x2 x x2 x x2 xx x2 x x x 2 3 2 3 3 3 2 3 21 3 2 3 21 3 2 3 2 3 2 3           Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
  • 16. 28 (b) 5 2 x 1 Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3 x , pois 2 + 3 = 5. x x x x x x xx x x x x 1 5 3 5 5 5 3 5 32 5 3 5 32 5 3 5 3 5 3 5 2     3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:                   2 37 4 372 37 372 37 372 37 37 37 2 37 2 22                  EXERCÍCIOS 27. Calcule a)  737576 b)  18250325 c)  333 3524812 d)  2354 e) 55 223 f)  3234 g)  52 108 h)   2 4.1.455 2 i)   2 5.1.466 2 28. Simplifique os radicais e efetue: a)  33 8822 xxxx b)  3333 19224323434 c)  32 5334 xxxxyxy 29. Efetue: a)  32 9423 xxaxxxa b)  aaaaa 335 445 c)  3216450253842 xxx d)  32 373 aaaabab O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.            2 3 2 7 2 37337 2 73737 
  • 17. 29 30. Escreva na forma mais simplificada: a) xx. b)  xx3 c)  aa 7 d)  x x3 e) 2 3 x x f)  43 .xx g) 7 .xx h) 3 43 aa i)  aa4 j)    23 aa k)  42 5 b 31. Efetue as multiplicações e divisões: a) 4 223 5 .. baaba b) 223 2 4.4 xaxa c) xx .10 3 d) yxyxxy 33 22 .. e)  43 aaa f)  3 3 5 a a 32. Efetue: a)  8 3 4 2 a a b)  4 5 6 23 ba ba c)  3 4 32 xy yx d)   4 6 9 272 e)  43 3 1 53 bbb f) 4 6 25.5 125.3 33. Quando 3 2 x , o valor numérico da expressão 23 2  xx é: a) 0 b) 1 c) –1 d) 3 1 e) 3 2  34. Se 6 3x e 3 9y : a) x é o dobro de y; b) 1 yx c) yx  d) y é o triplo de x; e) 1 yx 35. Racionalize as frações: a) x 1 b) 4x 2  c) x1 3  d) 3 x 4
  • 18. 30 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1ª Questão: a) 36 h) 16 81 o) 25 9 b) 36 i) 16 81 c) –36 j) 8 27- d) –8 k) 0 e) –8 l) 1 f) 1 m) 1 g) 1 n) -1 2ª Questão: d) 3ª Questão: a) 263 cba b) 8 x 4ª Questão: a) 5ª Questão: 4 65 A  6ª Questão: a) 7ª Questão: 9 73 8ª Questão: a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25 9ª Questão: a) 10 a d) 4 3y 8x g) 6 8x j) 62 8 b4a 25x b) 5 a e) 4 81x h) 96 ba125 k) 8 a81 c) 3 8 c ba4 f) 15 x i) 8 4 b a81 10ª Questão: 36 25 a 
  • 19. 31 11ª Questão: a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2 12ª Questão: a) 10 1 c) 3 2 e) 10 9 b) 4 1 d) 10 1- f) 10 15 13ª Questão: a) 3 a b) 3 62 c) tt3  d) 3 t 14ª Questão: a) 2 1 7 c) 5 2 3 e) 3 2 x b) 4 3 2 d) 6 5 a f) 2 1 3  15ª Questão: a) 5 2 c) 4 x e) 7 5 a g) 5 2 1 nm b) 3 2 4 d) 8 1 f) 4 3 ba h) 4 3 m 1 16ª Questão: c) 17ª Questão: a) 5 c) 6 e) 0 g) -5 b) 3 d) 1 f) 7 h) –2 i) -1 18ª Questão: a) 3 5 2 c) 4 3 3 e) 7 3 2 g) 8 9 2 b) 3 2 5 d) 4 3 5 f) 7 4 3 h) 2 1 5 19ª Questão: a) 2a d) 10 x g) 4 11 j) b a2 b) 3 6ab e) 5 4a5 h) 2 4xy k) 3 2 yz 4x c) 2 ab 3 2  f) x10 i) 5 1
  • 20. 32 20ª Questão: a) 52 xa c) aba e) 3 26 b) cba2 d) xa2 5 f) 5 21ª Questão: 102 22ª Questão: a) 3 2 12 11  b) 5 15 2 c) 223  d) 45 6974  23ª Questão: a) 74 c) 52312  e) 44 32763  g) 5 22 b) 292 d) 103 f) 3 410 h) 3 344 24ª Questão: a) x c) 3 123 a e) aaxa  g) xy x . 10 89 . 6  b) ba 8716  d) 42 )12( aaa  f) ba 132 4  h) 4 c 8 bc   25ª Questão: a) m25 b) m31 c) m65 d) m71 26ª Questão: a 2 y  27ª Questão: a) 78 c) 3 313 e) 5 43 g) 24 b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1 i) 5 28ª Questão: a) xx 22 b) 28 c) xxy )27(  29ª Questão: a) xxa )(  b) aaa )123( 2  c) 25 x d) )(4 aba  30ª Questão: a) x d) 6 1 x g) 2 15 x j) 2 7 a b) x4 e) x h) 3 5 a k) 5b4 c) a6 f) x -7 i) 4 3 a
  • 21. 33 31ª Questão: a) ba 3 8  c) 5 4 x e) 12 aa  b) 3 2 42 xaax  d) 3 222 yxyx  f) 6 a 32ª Questão: a) 8 1 a c) 12 5 6 1 yx  e) 12 bb5 b) 12 1 4 3 ba   d) 2 f) 5 3 33ª Questão: a) 34ª Questão: c) 35ª Questão: a) x x b) 4x 42x2   c) x1 x33   d) x x4 3 2 