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MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE - MATEMÁTICA
3º ANO DO ENSINO MÉDIO
DOCENTE: IVE PINA
CONTEÚDO: ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análi...
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2) Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c). Lança-se uma moeda 3 vezes
seguidas e observa-se qual a face ficou vo...
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4) Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar
usando os algarismos 2, 5, 7?
Podemos ...
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6) Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar
usando os algarismos 0, 5, 7?
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5) (SAERJ- 2012) Uma comissão de 8 membros foi nomeada pela prefeitura para
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Fatorial
É comum em problemas de contagem, calcularmos o produto de fatores consecutivos,
para isso iremos adotar um sím...
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Agrupamentos e métodos de contagem
Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações.
- Arranjos: São agrupamentos em que se...
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Ou seja, pnA , = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . ... . (n – p + 1)
Com o auxílio de fatoriais podemos apresentar essa ...
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6) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão
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5) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá
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3) Quantos números com cinco algarismos distintos podemos construir com os
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c) podemos formar, de forma que as letras EDI fiquem juntas?
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Permutação com elementos repetidos
Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA?
Se as 6 letras que compõem es...
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Combinação Simples
Dado o conjunto I = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de I com 3
elementos:
{a,b,c}, {a,...
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Generalizando esse raciocínio para os números naturais n e p, com n ≥ p, obtém-se a
fórmula para o cálculo de pnC , . O...
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Exercícios:
1) Calcule:
a) 4,6C b) 4,5C c) 8,8C d) 1,9C
2) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contend...
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12) (SAERJ-2013) Uma locadora sorteará 4 dentre seus 120 clientes cadastrados para
ganhar locação de filme durante uma ...
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diferentes essa comissão pode ser formada, sabendo-se que todos os membros terão
cargos idênticos?
2) (SAERJ-2013) O pa...
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Análise combinatória 2016

  1. 1. 1 MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE - MATEMÁTICA 3º ANO DO ENSINO MÉDIO DOCENTE: IVE PINA CONTEÚDO: ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Estes foram iniciados no século XVI pelo matemático italiano Niccolo Fontana, conhecido como Tartaglia. Para que serve? Que chances uma pessoa tem de acertar na quina da loto? Foi a necessidade de calcular as possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou o desenvolvimento da Análise Combinatória. Problemas que envolvem contagem O princípio fundamental da contagem permite-nos a contagem sem descrição das possibilidades. Quando o número de possibilidade é pequeno, podemos usar o processo chamado de árvore de possibilidades. Exemplos: 1) Para a eleição da Associação de Pais e Mestres da escola, há três candidatos a presidente e dois a vice-presidente. Candidatos a presidente      )( )( )( CCarmem FFábio AArnaldo Candidatos a vice-presidente    )( )( DDárcio BBeatriz Sendo as eleições de presidente e vice-presidente independentes, quais os possíveis resultados dessa eleição? Vamos fazer um esquema para representar os possíveis resultados: A esse esquema damos o nome de árvore de possibilidades. Ela facilita o estudo e a sistematização da contagem dos possíveis agrupamentos.
  2. 2. 2 2) Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c). Lança-se uma moeda 3 vezes seguidas e observa-se qual a face ficou voltada para cima. Quantos são os resultados possíveis? São possíveis 8 resultados. Por exemplo, KKK significa cara no 1º, no 2º e no 3º lançamento, CKC significa coroa no 1º, cara no 2º e coroa no 3º lançamento. 3) Quantos e quais são os números de três algarismos que podemos formar usando os algarismos 2, 5, 7? Podemos formar 27 números de 3 algarismos, que são: 222, 225, 227, 252, 255, 257, 272, 275, 277, 522, 525, 527, 552, 555, 557, 572, 575, 577, 722, 725, 727, 752, 755, 757, 772, 775, 777.
  3. 3. 3 4) Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5, 7? Podemos formar 6 números de 3 algarismos distintos, que são: 257, 275, 527, 572, 725, 752. 5) Quantos e quais são os números de três algarismos que podemos formar usando os algarismos 0, 5, 7? Podemos formar 18 números de 3 algarismos, que são: 500, 505, 507, 550, 555, 557, 570, 575, 577, 700, 705, 707, 750, 755, 757, 770, 775, 777.
  4. 4. 4 6) Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 0, 5, 7? Podemos formar 4 números de 3 algarismos, que são: 507, 570, 705, 750. Exercícios 1) Pedro tem 5 camisas (branca, amarela, verde, azul e vermelha) e 3 calças (preta, cinza e marrom). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir, usando uma calça e uma camisa? 2) Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas sequências de resultados são possíveis? 3) Considere os algarismos 0, 1, 3, 5. a) Quantos números de três algarismos distintos são possíveis formar com esses algarismos? b) Quantos números de três algarismos são possíveis formar com esses algarismos? Princípio Multiplicativo Existem maneiras de resolver os problemas acima sem a necessidade de criar árvores de possibilidades. Considere os exemplos: 1) André tem 2 bermudas (preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta? Observe que há duas possibilidades de escolher uma bermuda e 4 possibilidades para escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneiras diferentes que André tem para se vestir é 2 . 4 = 8. 2) Os números de telefones de uma cidade tem 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero. Como o número do telefone tem 8 algarismos, ele apresenta a seguinte forma: P1 P2 P3 P4 – P5 P6 P7 P8 9 10 10 10 10 10 10 10
  5. 5. 5 10 possibilidades para P2 a P8 porque podemos usar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. E, 9 possibilidades para P1 porque não podemos usar o zero. Logo, usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é: 9 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 9 . 107 = 90.000.000 3) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne, 5 variedades de bebida e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras pode fazer o pedido? Salada Carne Bebida Sobremesa 2 . 4 . 5 . 3 = 120 maneiras 4) No sistema de numeração decimal, quantos números de 3 algarismos são formados: a) com repetição de algarismos? C D U 9 . 10 . 10 = 900 números b) sem repetição de algarismos? C D U 9 . 9 . 8 = 648 números 5) As antigas placas para automóveis, com duas letras seguidas de quatro algarismos, foram substituídas por novas com três letras seguidas de quatro algarismos. Nestas placas, bem como nas antigas, são utilizadas as 23 letras do alfabeto português, mais as letras K, W, Y. Quantos carros a mais puderam ser emplacados com o novo sistema? Placa antiga: L L N N N N 26 26 10 10 10 10 = 26².104 = 676.104 Placa Nova: L L L N N N N 26 26 26 10 10 10 10= 26³.104 = 17576.104 17576 – 676 = 16900 R: 169 000 000 de placas novas. Exercícios 1) (SAERJ – 2011) Renata vai viajar para a praia e está levando em sua bagagem: 4 maiôs, 2 óculos, 3 saídas de praia e 2 bonés. Renata pretende ir à praia todos os dias e, em cada dia, com um visual diferente. Utilizando em cada dia 1 maiô, 1 óculos, 1 saída de praia e 1 boné quantos visuais diferentes ela conseguirá montar? (A) 4 (B) 8 (C) 11 (D) 24 (E) 48 2) (SAERJ – 2012) Laura foi a uma festa de formatura. Ela possui 3 vestidos, 5 sandálias e 3 colares e, entre eles, escolheu ao acaso um vestido, uma sandália e um colar. O número de conjuntos distintos que puderam ser formados combinando um vestido, uma sandália e um colar para que Laura fizesse sua escolha foi igual a: A) 3 B) 10 C) 11 D) 45 E) 165 3) (SAERJ-2012) Érica precisa comprar móveis para seu quarto novo. Em uma loja, uma vendedora apresentou 2 opções de guarda-roupa, 4 opções de cômoda e 3 opções de cama. Considerando esses móveis, de quantas maneiras diferentes ela pode mobiliar seu quarto escolhendo um guarda-roupa, uma cômoda e uma cama? A) 2 B) 8 C) 9 D) 12 E) 24 4) (SAERJ - 2010) Uma sorveteria vende sorvetes de 30 sabores diferentes, 5 tipos de calda e 8 variedades de cobertura granulada (castanhas, nozes, etc.). Um cliente deve escolher um sabor de sorvete, uma opção de calda e uma cobertura granulada. Quantas escolhas podem ser feitas? (A) 43 (B) 158 (C) 245 (D) 960 (E) 1200
  6. 6. 6 5) (SAERJ- 2012) Uma comissão de 8 membros foi nomeada pela prefeitura para analisar a ocupação do solo em um município. Entre esses 8 membros devem ser escolhidos um presidente, um vice-presidente e um relator para a comissão. De quantas maneiras distintas essas escolhas podem ser feitas? (A) 24 (B) 48 (C) 56 (D) 336 (E) 360 6) (SAERJ – 2011) Pedro é um supersticioso e acredita que os números ímpares dão sorte. Ele escolheu para a placa de seu carro um número formado por quatro dígitos todos ímpares e distintos. A quantidade de opções numéricas para a placa do carro de Pedro é igual a: (A) 5 (B) 20 (C) 120 (D) 480 (E) 625 7) (SAERJ – 2012) Para instalar um programa de computador, é necessário inserir uma senha composta por uma letra do alfabeto e dois algarismos distintos nessa ordem. Quantas são as senhas possíveis para instalar esse programa? (A) 2.600 (B) 2.340 (C) 1.170 (D) 494 (E) 116 8) (SAERJ - 2012) Pedro precisa cadastrar uma senha formada por 3 vogais distintas para acessar sua conta bancária. Quantas são as opções que Pedro pode criar? (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 60 (E) 125 9) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 3, 4, 5, 7, 8 e 9? 10) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 11) (SAERJ-2013) André se cadastrou em um site da internet e no ato do cadastramento,foi solicitada a criação de uma senha formada pelos seis dígitos: 1, 2, 3, 5, 7 e 9, sem repetição, na ordem que ele desejasse. Quantas senhas diferentes André pôde criar para se cadastrar nesse site? (A) 1 (B) 36 (C) 720 (D) 66 (E) 106 12) Para responder a certo questionário preenche-se o cartão apresentado a seguir, colocando-se X em uma só resposta para cada questão. Há quantas maneiras distintas para responder a esse questionário? 13) (SAERJ-2013) Em uma olimpíada escolar, uma das turmas resolveu criar uma bandeira para seu time. A bandeira será formada por 6 faixas horizontais. O desenho da bandeira está apresentado no desenho abaixo. As cores escolhidas para representar essa turma foram azul, vermelha e amarela. Portanto, ao pintar a bandeira, todas as três cores devem ser utilizadas, de forma que cada faixa seja pintada com uma cor e que faixas adjacentes sejam pintadas de cores diferentes. De quantas formas diferentes os alunos podem pintar essa bandeira? A) 18 B) 32 C) 96 D) 216 E) 729 Cartão Resposta Questões 1 2 3 4 5 Sim Não
  7. 7. 7 Fatorial É comum em problemas de contagem, calcularmos o produto de fatores consecutivos, para isso iremos adotar um símbolo chamado fatorial. Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo a expressão: n! = n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 3 . 2 . 1 Indicação: n! (n fatorial) Exemplos: a) 2! = 2 . 1 = 2 b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320 d) 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880 Convém notar que: 7! = 7 . 6! 9! = 9 . 8 . 7! n! = n . (n – 1)! Obs: Definimos: 0! = 1 e 1! = 1 Explicação:  Se n = 2, temos: n! = n(n – 1)! => 2! = 2(2 – 1)! => 2! = 2 . 1! => 2 . 1 = 2 . 1! => 1 = 1!  Se n = 1, temos: n! = n(n – 1) => 1! = 1(1 – 1)! => 1! = 1 . 0! => 1 = 1 . 0! => 1 = 0! Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos o exercício. Exemplos: 1) Simplifique as expressões: a) 426.7 !5 !5.6.7 !5 !7  b) 909.10 !8 !8.9.10 !8 !10  c) 1805.6.1.2.3 !4 !4.5.6!3 !4 !6!3  d) 7 1.2.3 6.7 !5!3 !5.6.7 !5!3 !7  Observação: 15 8 120 26 120 1.21.2.3 1.2.3.4.5 !2!3 !5       Exercícios: 1) Calcule o valor dos fatoriais: a) 6! b) 3! c) 0! d) 4! + 2! e) 1! f) 0! 7! g) 5! 1! h) 3! + 2! i) 5! – 4! – 3! j) !3 !5!4  k) !5 !2!3!6  l) !1 !0!2!4  2) Simplifique as expressões: a) !2!4 !8 b) !2 !4 c) !10 !12 d) !5 !2!9 e) !2!5 !7 f) !3!5 !8
  8. 8. 8 Agrupamentos e métodos de contagem Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações. - Arranjos: São agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos agrupados. Por exemplo, a palavra LAGO é um arranjo de letras, pois mudando a ordem dessas letras obtém-se outra palavra: troca de L e G, dá GALO. - Combinações: São agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos agrupados. Por exemplo, a comissão de alunos formada por Luís, Joana e Rodrigo é uma combinação de alunos, pois a ordem dos membros não altera a comissão: {Luís, Joana, Rodrigo} = {Joana, Rodrigo, Luís}. Estes tipos de agrupamento podem ser simples, quando não apresentam nenhum elemento repetido, ou compostos, quando apresentam pelo menos um elemento repetido. Os exemplos anteriores são agrupamentos simples. Arranjo Simples Com os elementos do conjunto I = {a,b,c,d}, vamos formar todas as sequências de três elementos possíveis: (a,b,c), (a,b,d), (a,c,b), (a,c,d), (a,d,b), (a,d,c), (b,a,c), (b,a,d), (b,c,a), (b,c,d), (b,d,a), (b,d,c), (c,a,b), (c,a,d), (c,b,a), (c,b,d), (c,d,a), (c,d,b), (d,a,b), (d,a,c), (d,b,a), (d,b,c), (d,c,a), (d,c,b). Essas sequências são chamadas de “arranjos simples dos quatro elementos de I tomados 3 a 3”. Isto é, um arranjo simples de três elementos de I é qualquer sequência formada por três elementos distintos de I. Observe que dois arranjos simples quaisquer se diferenciam pela ordem dos elementos ou pela natureza dos elementos que os compõem. Por exemplo: (a,b,c) ≠ (b,c,a) Diferem pela ordem dos elementos. (a,b,c) ≠ (a,b,d) Diferem pela natureza dos elementos. O número de arranjos simples de quatro elementos distintos tomados 3 a 3 é indicado pelo símbolo 3,4A e pode ser calculado pelo princípio fundamental de contagem. Com os quatro elementos de I devemos formar sequências de três elementos, sem repetição: 1º elemento 2º elemento 3º elemento 3,4A = 4 . 3 . 2 = 24 Cálculo do número de arranjos simples Seja I = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto formado por n elementos e seja p um número natural não-nulo, com p ≤ n. O número de arranjos simples dos n elementos de I tomados p a p, isto é, pnA , , pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem: 1º elemento 2º elemento 3º elemento 4º elemento ... pº elemento pnA , = n . n – 1 . n – 2 . n – 3 . ... . n – (p – 1)
  9. 9. 9 Ou seja, pnA , = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . ... . (n – p + 1) Com o auxílio de fatoriais podemos apresentar essa fórmula de uma maneira mais simples. Para entender a transformação que será feita, vejamos antes um caso particular. A igualdade 3,7A = 7 . 6 . 5, multiplicando e dividindo ao mesmo tempo o segundo membro por 4!, temos: 3,7A )!37( !7 !4 !7 !4 !4.5.6.7 !4 !4 .5.6.7   . Isto nos permite escrever a fórmula de arranjo simples acima de outra maneira: pnA , )!( ! pn n  Afinal: pnA , )1)....(2).(1.( )!( )!).(1)....(2).(1.( )!( !       pnnnn pn pnpnnnn pn n Exemplos: 1) Calcular, usando a fórmula pnA , )!( ! pn n   : a) 4,6A 3603.4.5.6 !2 !2.3.4.5.6 !2 !6 )!46( !6    b) 3,9A 5047.8.9 !6 !6.7.8.9 !6 !9 )!39( !9    c) 5,5A 1201.2.3.4.5 1 !5 !0 !5 )!55( !5    2) Calcular pelo princípio fundamental da contagem: a) 4,6A 3603.4.5.6  b) 3,9A 5047.8.9  c) 5,5A 1201.2.3.4.5  3) Num grande prêmio de Fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros marcarão pontos. Quais são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares? 200.907.2715.16.17.18.19.206,20 A 4) De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados em uma corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas? 600.2735.6.7.8.9.106,10 A 5) (SAERJ - 2012) Pedro precisa cadastrar uma senha formada por 3 vogais distintas para acessar sua conta bancária. Quantas são as opções que Pedro pode criar? (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 60 (E) 125 603.4.53,5 A R: “D”
  10. 10. 10 6) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3, que disputarão o cargo para diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha. 360.314.15.163,16 A 7) (SAERJ- 2012) Uma comissão de 8 membros foi nomeada pela prefeitura para analisar a ocupação do solo em um município. Entre esses 8 membros devem ser escolhidos um presidente, um vice-presidente e um relator para a comissão. De quantas maneiras distintas essas escolhas podem ser feitas? (A) 24 (B) 48 (C) 56 (D) 336 (E) 360 3366.7.83,8 A R: “D” 8) Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta? 720.64.5.6.7.85,8 A 9) Uma bandeira tem 4 faixas horizontais. Quantas são as possibilidades de pintá- la de 4 cores distintas, escolhendo entre as 7 cores do espectro solar (vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil, violeta)? 520.13.4.5.74,7 A 10) Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito? 603.4.53,5 A 11) Duas pessoas entram em um ônibus que tem sete lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares? 426.72,7 A 12) De quantos modos distintos 3 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 4 lugares? 242.3.43,4 A Exercícios: 1) Aplicando a fórmula pnA , )!( ! pn n   , calcule: a) 4,7A b) 3,4A c) 4,4A 2) Aplicando o princípio fundamental da contagem, calcule: a) 3,8A b) 4,5A c) 6,6A 3) Três pessoas entram num ônibus que tem 8 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 3 pessoas podem ocupar esses lugares? 4) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 4 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito?
  11. 11. 11 5) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor? 6) (SAERJ-2012) Vinte pilotos disputam uma corrida em que apenas dois deles não têm condição de ganhar porque se envolveram em um acidente. Quantas são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares nessa corrida? A) 54 B) 816 C) 1140 D) 4896 E) 6840 10) (SAERJ- 2013) O Brasil vai participar de um torneio de vôlei que será disputado por 8 equipes. Quantos são os possíveis resultados para os três primeiros colocados desse torneio se o Brasil ficar em primeiro lugar? A) 1 B) 42 C) 56 D) 126 E) 336 Permutação simples Consideremos o conjunto I = {a,b,c}. Os arranjos simples dos três elementos de I tomados 3 a 3 são: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) Cada um desses arranjos é chamado de permutação simples dos elementos de I. Isto é, uma permutação simples dos elementos de I é qualquer sequência dos elementos distintos formada por todos os elementos de I. Observe que 2 dessas permutações se diferenciam apenas pela ordem dos elementos: (a,b,c) ≠ (b,a,c) Cálculo do número de permutações simples Seja I = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos. O número de permutações simples dos n elementos de I, que indicamos por nP é igual ao número de arranjos simples desses n elementos tomados n a n. Isto é: nP ! 1 ! !0 ! )!( ! n nn nn n    . Assim, temos: nP !n . Exemplo: Ao representar todos os números naturais de 4 algarismos distintos com os algarismos 3, 5, 7 e 9, formaremos todas as permutações simples desses algarismos. Assim sendo: 4P 241.2.3.4!4  . Exercícios Resolvidos: 1) Em quantas sequências diferentes 6 crianças podem ser dispostas em fila indiana? 6P 7201.2.3.4.5.6!6  2) De quantos modos distintos 4 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 4 lugares? 4P 241.2.3.4!4 
  12. 12. 12 3) Quantos números com cinco algarismos distintos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. 5P 1201.2.3.4.5!5  4) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3. 4P . 2P 482.241.2.1.2.3.4!2!.4  5) De quantos modos podem se arrumar 4 livros de matemática, 3 de geografia e 2 de biologia em uma estante, de modo que: a) Fiquem dispostos em qualquer ordem? 9P 880.3621.2.3.4.5.6.7.8.9!9  b) Os livros de mesmo assunto fiquem juntos? 4P . 3P . 2P . 3P 928.86.2.6.24!3!2!3!.4  6) Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? 3P . 3P . 2P . 2P . 4P 456.324.2.2.6.6!4!2!2!3!3  7) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular? 24!44151   PPPn 8) De quantos modos distintos 6 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular? 120!55161   PPPn 9) Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO? 320.40!88 P 10) Considere a palavra FELINO. a) quantos são os anagramas dessa palavra? 720!66 P b) quantos começam com a letra N? 120!55 P 11) Com a palavra CADERNO: a) Quantos anagramas podemos formar? 040.5!77 P b) Quantos anagramas começam por C? 720!66 P c) Quantos anagramas começam por C e terminam por O? 120!55 P d) Quantos anagramas podemos formar, de forma que as letras CA fiquem juntas? 14402.720!2!6. 26 PP 12) Quantos anagramas da palavra EDITORA: a) podemos formar? 040.5!77 P
  13. 13. 13 b) começam com A e terminam com E? 120!55 P c) podemos formar, de forma que as letras EDI fiquem juntas? 7206.120!3!5. 35 PP Exercícios: 1) De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se em um banco que tem apenas 7 lugares? 2) (SAERJ –2011) Ana comprou um conjunto ornamental para jardins, composto pela branca de neve e os sete anões, e pretende organizá-los em fila. De quantas maneiras diferentes esses enfeites podem ser organizados no jardim? (A) 2 (B) 8 (C) 64 (D) 5.040 (E) 40.320 3) (SAERJ - 2013) O dono de um estacionamento disponibilizou 5 vagas, todas enfileiradas, para os moradores de um condomínio estacionarem suas motos. Cinco motos, todas diferentes, vão ser estacionadas nessas vagas. Considerando que cada vaga será ocupada por uma única moto, de quantas maneiras distintas essas motos podem ser posicionadas nesse estacionamento? A) 1 B) 5 C) 25 D) 120 E) 3125 4) (SAERJ-2012) Maria possui um livro de cada uma das disciplinas que estuda: Biologia, Matemática, Geografia, História, Língua Portuguesa, Física, Química e Língua Inglesa. De quantas maneiras diferentes Maria pode colocar todos esses livros lado a lado em uma prateleira? (A) 8 (B) 36 (C) 64 (D) 5.040 (E) 40.320 5) (SAERJ-2013) Márcia está fazendo um planejamento de estudos para o próximo sábado, escolhendo três disciplinas dentre Matemática, Geografia, História, Física, Química e Biologia, além de definir a ordem em que fará os estudos dessas disciplinas. A quantidade de planejamentos diferentes que Márcia pode fazer para seus estudos no sábado é A) 3 B) 6 C) 120 D) 216 E) 720 6) (SAERJ-2012) Felipe separou 10 livros de acordo com o assunto. Desses livros, 4 são de Matemática, 2 de Língua Portuguesa e 4 de História. De quantas maneiras diferentes Felipe pode arrumar esses livros numa estante, de forma que livros de mesmo assunto fiquem lado a lado? (A) 32 (B) 56 (C) 96 (D) 1.152 (E) 6.912 7) (SAERJ-2013) A senha de um banco é formada por 5 letras e 2 números, totalizando 7 dígitos, dispostos de forma aleatória. Lucas resolveu criar uma senha utilizando cada uma das letras de seu nome e os números formados pelo seu dia de nascimento, que é 21. Qual é o número de senhas distintas que ele pode criar? (A) 7 (B) 10 (C) 240 (D) 5 040 (E) 10 080 8) Com a palavra CABELO: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas iniciados pela letra C podemos formar? c) Quantos anagramas terminados pela sílaba LO podemos formar?
  14. 14. 14 Permutação com elementos repetidos Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA? Se as 6 letras que compõem essa palavra fossem distintas entre si, teríamos 6! Anagramas. Porém, ao permutar letras iguais, a palavra não se altera; por isso, concluímos que o número de anagramas é menor do que 6!. Para calcular o resultado deste anagrama, vamos pensar no seguinte: A, A, A e N, N quando permutados entre si, não alteram o resultado, portanto, nós teremos P3 . P2 resultados iguais. Ou seja, 3! . 2! resultados idênticos. Para ficar com apenas 1 desses resultados é só fazer: !2!3 !6 , onde 6! é a quantidade de anagramas totais da palavra BANANA. Assim: 60 2 120 1.2!.3 !3.4.5.6 !2!3 !6  anagramas distintos para a palavra BANANA. Generalizando, se tivermos: a1, a1, ..., a1 (n1 elementos iguais a a1), a2, a2, ..., a2 (n2 elementos iguais a a2), ..., ak, ak, ..., ak (nk elementos iguais ak), a permutação desses elementos será: knnnn nP ,...,,, 321 = !!...!.!. ! 321 knnnn n Exemplo: 1) Quantos anagramas tem a palavra PATA? 123.4 !2 !2.3.4 !2 !42 4 P 2) Com a palavra GARRAFA: a) Quantos anagramas podemos formar? 420 2 840 1.2 4.5.6.7 !2!3 !3.4.5.6.7 !2!3 !72,3 7 P b) Quantos anagramas começam com a letra A? 180 2 360 1.2 3.4.5.6 !2!2 !2.3.4.5.6 !2!2 !62,2 6 P 3) Quantos anagramas tem a palavra GUANABARA? 120.155.6.7.8.9 !4 !4.5.6.7.8.9 !4 !94 9 P Exercícios: 1) Determine o número de anagramas das seguintes palavras: a) BALA b) SUCESSO c) ITALIANA d) MARAJOARA
  15. 15. 15 Combinação Simples Dado o conjunto I = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de I com 3 elementos: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} Tais subconjuntos são chamados de combinações simples dos quatro elementos de I tomados 3 a 3. Ou seja, uma combinação simples de três elementos de I é qualquer subconjunto de I formado por 3 elementos. Observe que as duas combinações simples quaisquer se diferenciam apenas pela natureza dos elementos e não pela ordem da apresentação desses elementos. Por exemplo: {a,b,c} ≠ {a,b,d} Diferem pela natureza dos elementos. {b,c,d} = {c,b,d} A ordem dos elementos não altera o conjunto. Exemplo: Os alunos no 3º ano do ensino médio fizeram uma votação para eleger, dentre 5 candidatos, uma comissão de 3 representantes. Conforme o regulamento, em cada cédula, o eleitor deveria escrever apenas nomes de 3 candidatos e, não haveria cargos distintos na comissão, isto é, todos os eleitos teriam funções idênticas. As cédulas abaixo são os votos dos alunos Lígia e Gustavo: Lígia João Cláudia Luiz Gustavo Cláudia Luiz João Observemos que esses dois alunos votaram na mesma comissão, pois a ordem de apresentação dos nomes na cédula não deve ser considerada. Portanto, as possíveis comissões de 3 representantes que podem ser formadas com cinco candidatos são combinações simples de 5 elementos tomados 3 a 3. Cálculo do número de combinações simples de n elementos distintos tomados p a p: Para efetuar este cálculo, vamos relacionar o número de combinações simples com o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. Indicando por 3 43,4 CC  o número de combinações simples de 4 elementos tomados 3 a 3, temos que 3 43,4 CC  = 4. Cada uma dessas combinações gera 3! arranjos simples. Assim, multiplicando por 3! o número 3,4C , obtém-se o número 3,4A , isto é: 3,4C . 3! = 3,4A
  16. 16. 16 Generalizando esse raciocínio para os números naturais n e p, com n ≥ p, obtém-se a fórmula para o cálculo de pnC , . Observe: p npn CC , .p! = pnA , => p npn CC , = ! , p A pn => p npn CC , = ! )!( ! p pn n  => p npn CC , = )!(! ! pnp n  . Exercícios resolvidos: 1) Calcular: a) 5,7C 21 2 42 1.2 6.7 !2!5 !5.6.7 !2!5 !7 )!57(!5 !7    b) 3,7C 355.7 1.2.3 5.6.7 !4!3 !4.5.6.7 !4!3 !7 )!37(!3 !7    c) 5,5C 1 !0!5 !5 )!55(!5 !5    d) 0,5C 1 !5!0 !5 )!05(!0 !5    2) Uma comissão de 3 membros deve ser escolhida entre 7 pessoas. De quantos modos diferentes pode-se escolher a comissão, sabendo-se que as pessoas que formarem a comissão terão funções idênticas? 3,7C 355.7 1.2.3 5.6.7 !4!3 !4.5.6.7 !4!3 !7 )!37(!3 !7    3) Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? 4,9C 126 24 3024 1.2.3.4 6.7.8.9 !5!4 !5.6.7.8.9 !5!4 !9 )!49(!4 !9    4) Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões? 3,6C 204.5 1.2.3 4.5.6 !3!3 !3.4.5.6 !3!3 !6 )!36(!3 !6    5) Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis? 2,7C 21 2 42 1.2 6.7 !5!2 !5.6.7 !5!2 !7 )!27(!2 !7    6) (Faetec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos é: (A) 12 (B) 24 (C) 33 (D) 66 (E) 132 2,12C 66 2 132 1.2 11.12 !10!2 !10.11.12 !10!2 !12 )!212(!2 !12    R: “D”
  17. 17. 17 Exercícios: 1) Calcule: a) 4,6C b) 4,5C c) 8,8C d) 1,9C 2) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas? 3) Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros? 4) Um pintor, dispondo de 5 cores diferentes de tinta, pretende misturar 3 delas, em quantidades iguais, para obter uma nova cor. Quantas novas cores ele poderá obter? 5) (SAERJ – 2011 e 2012) Treze competidores disputam um campeonato de xadrez em que cada competidor joga uma vez com todos os outros. Quantos jogos são realizados nesse campeonato? (A) 26 (B) 65 (C) 78 (D) 130 (E) 169 6) (SAERJ – 2011) Um técnico de futebol de salão quer testar todas as informações possíveis para seu time que dispõe de 10 jogadores de linha, que jogam em qualquer posição, e 1 goleiro. Para cada partida, o time é formado por 4 jogadores de linha, mantendo sempre o mesmo goleiro. Quantas formações distintas esse técnico poderá testar? (A) 24 (B) 40 (C) 210 (D) 252 (E) 5.040 7) (SAERJ - 2012) Em um restaurante, o cliente escolhe um tipo de carne e mais 3 acompanhamentos para montar um prato. Nesse restaurante há 15 tipos de acompanhamentos diferentes. De quantas maneiras diferentes é possível escolher esses 3 acompanhamentos para montar um prato nesse restaurante? (A) 15 (B) 45 (C) 455 (D) 2.730 (E) 3.375 8) (SAERJ-2013) Uma indústria produz 9 modelos diferentes de borrachas escolares. Essas borrachas são vendidas em caixas que contém 4 unidades cada e, em cada caixa, são colocadas borrachas de modelos distintos. Considerando esses modelos de borrachas, quantas caixas podem ser formadas com quatro borrachas diferentes? A) 3024 B) 756 C) 126 D) 36 E) 24 9) (SAERJ-2013) Um empresário é dono de um salão de beleza com 40 funcionários. Para coordenar o salão, ele pretende formar uma equipe composta por 3 desses funcionários. Quantas equipes diferentes, formadas por 3 pessoas, podem ser formadas com esses 40 funcionários? A) 120 B) 9880 C) 19760 D) 59280 E) 64000 10) (SAERJ - 2013) Uma equipe de automobilismo formada por 9 pilotos irá participar de um campeonato. O chefe dessa equipe irá escolher três pilotos para compor o grupo que irá participar desse campeonato. Quantos grupos distintos de 3 pilotos, podem ser formados com esses 9 pilotos? A) 3 B) 12 C) 27 D) 84 E) 504 11) (SAERJ-2013) Ana faz parte de uma comissão de formatura composta por seis pessoas. Ela deverá escolher três pessoas dessa comissão para acompanhá-la a uma empresa promotora de eventos. De quantas maneiras Ana poderá escolher essas três pessoas para visitar essa empresa? A) 5 B) 6 C) 10 D) 20 E) 60
  18. 18. 18 12) (SAERJ-2013) Uma locadora sorteará 4 dentre seus 120 clientes cadastrados para ganhar locação de filme durante uma semana. A expressão que permite calcular o total de possibilidades de resultados para esse sorteio é A) 4 x 120 B) 1204 C) 120! D) 120 x 119 x 118 x 117 E) 120 x 119 x 118 x 117 4 x 3 x 2 Exemplos mais complexos: 1) Uma comissão de 4 homens e 3 mulheres deve ser escolhida dentre 6 homens e 5 mulheres. De quantos modos diferentes pode-se escolher a comissão, sabendo-se que os membros dessa comissão terão funções idênticas? H: 4,6C 15 2 30 1.2 5.6 !2!4 !4.5.6 !2!4 !6 )!46(!4 !6    M: 3,5C 10 2 20 1.2 4.5 !2!3 !3.4.5 !2!3 !5 )!35(!3 !5    R: Conectivo e: 15.10 = 150 2) (SAERJ) Em uma lanchonete, pode-se pedir salada de frutas com 3 ou 4 frutas diferentes. Essa lanchonete oferece, ao todo, 10 tipos diferentes de frutas. Nessas condições, quantos tipos diferentes de salada de frutas podem ser pedidos? A) 120 B) 210 C) 330 D) 720 E) 5040 Com 4: 4,10C 210 24 5040 1.2.3.4 7.8.9.10 !6!4 !6.7.8.9.10 !6!4 !10 )!410(!4 !10    Com 3: 3,10C 120 6 720 1.2.3 8.9.10 !7!3 !7.8.9.10 !7!3 !10 )!310(!3 !10    R: Conectivo ou: 210 + 120 = 330 “C” 3) (SAERJ) E, uma lanchonete, o freguês pode escolher 2 sabores diferentes, entre 4 disponíveis, para uma pizza, e um tipo de suco entre 3 disponíveis. Quantas são as possibilidades de o freguês escolher duas pizzas de sabores diferentes e um tipo de suco? A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 P: 2,4C 6 2 12 1.2 3.4 !2!2 !2.3.4 !2!2 !4 )!24(!2 !4    S: 1,3C 3 !2.1 !2.3 !2!1 !3 )!13(!1 !3    R: conectivo e: 6 .3 = 18 4) De quantos modos distintos 6 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 4 lugares? 4,6C . 4P 3603.4.5.6 !2 !2.3.4.5.6 !2 !6 !4. )!46(!4 !6    Exercícios: 1) Numa universidade será formada uma comissão composta de quatro biólogos e três médicos, escolhidas entre sete biólogos e oito médicos. De quantas maneiras
  19. 19. 19 diferentes essa comissão pode ser formada, sabendo-se que todos os membros terão cargos idênticos? 2) (SAERJ-2013) O parquinho de uma colônia de férias possui três brinquedos: um escorregador, uma gangorra e uma piscina de bolinhas. A recreadora dessa colônia de férias acomodará 8 crianças nesses três brinquedos. Quantas possibilidades de acomodação existem para essas 8 crianças, de forma que no escorregador brinquem 2 crianças e na gangorra e na piscina de bolinhas brinquem 3 crianças? A) 40320 B) 6720 C) 1120 D) 560 E) 49 Exercícios de Análise Combinatória – fechamento 1) (SAERJ-2014) Vinícius comprou um pacote de viagens para visitar a cidade de Fortaleza-CE. Esse pacote incluía a escolha de 2 passeios, dentre os 9 oferecidos pela empresa de turismo. De quantos modos distintos Vinícius pode fazer a escolha por esses passeios? A) 18 B) 32 C) 36 D) 72 E) 512 2) (SAERJ-2014) Quantas sequências distintas com 6 algarismos podem ser formadas utilizando-se os números 2 e 3? A) 8 B) 12 C) 30 D) 60 E) 64 3) (SAERJ-2014) Uma empresa selecionou 15 funcionários, dos quais 7 são homens, para formar uma equipe com 3 funcionários que participarão de um congresso no exterior. Quantas equipes poderão ser formadas, de modo que nelas haja pelo menos um homem? A) 399 B) 455 C) 2 184 D) 2 394 E) 2 688 4) (SAERJ – 2014) Em uma corrida automobilística, o 1º, o 2º e o 3º colocados irão receber premiações distintas. Nessa corrida, irão participar 20 pilotos. Quantas são as possibilidades possíveis para o 1º, o 2º e o 3º colocados nessa corrida? A) 57 B) 60 C) 1 140 D) 6 840 E) 8 000 5) (SAERJ – 2014) Gabriela precisa escolher 4 blusas entre as 18 que possui para levar para uma viagem. De quantos modos distintos ela pode escolher essas blusas para a viagem? A) 66 B) 72 C) 3 060 D) 73 440 E) 104 976 6) (SAERJ-2014) Um grupo de pesquisa de uma universidade é formado por um coordenador e 7 estudantes. Para representar esse grupo em um congresso, era preciso selecionar 4 pessoas, incluindo o coordenador. Qual é o número de possibilidades que pode ser formada com os integrantes desse grupo? A) 21 B) 35 C) 70 D) 210 E) 1 680

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