O documento apresenta exercícios de cálculo de limites de funções. Inclui limites laterais, limites envolvendo infinitos e limites de funções racionais.
1. Cálculo I
1) Calcule os limites:
2
)
5
39
)
3
/
2
)
8
/
1
)
0
)
2
)
:
.
Resp
4
6
2
3
2
lim
)
3
4
3
5
3
lim
)
4
5
3
3
2
lim
)
4
3
5
2
3
lim
)
3
5
3
2
lim
)
)
5
7
4
(
lim
)
3
2
2
3
2
3
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1
f
e
d
c
b
a
x
x
x
f
x
x
x
x
e
x
x
x
d
x
x
x
x
c
x
x
x
b
x
x
a
x
x
x
x
x
x
2) Calcule os limites abaixo:
3) Calcule:
5
8x
4x
x
4
6x
3x
x
lim
f)
x
4
x
8
lim
e)
1
x
1
x
lim
d)
2
5x
2x
3
5x
2x
lim
c)
x
2
x
4
lim
b)
1
x
1
x
lim
a)
2
3
2
3
1
x
2
3
2
x
2
3
1
x
2
2
2
1
x
2
2
x
2
1
x
1
)
3
)
2
/
3
)
3
/
7
)
4
)
2
)
:
.
Resp f
e
d
c
b
a
)
)
)
)
)
)
)
)
:
.
Resp
1
1
lim
)
1
1
lim
)
3
2
1
lim
)
2
4
lim
)
2
5
3
lim
)
)
1
(
3
1
lim
)
)
1
(
3
2
lim
)
)
2
(
4
3
lim
)
1
1
3
2
2
2
0
2
1
2
1
2
2
h
g
f
e
d
c
b
a
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
x
x
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x
x
2. 4) Calcule os limites:
5) Calcule os limites:
7
5
3
2
)lim x
x
e
x
1
2
2
11
) 3
lim x
x
c
x
10
3
2
7
4
) 2
3
lim x
x
x
x
b
x
2
5
3
) 2
lim
x
x
a
x
1
2
1
3
) 2
3
lim x
x
x
x
d
x
12
4
12
1
) 2
3
lim x
x
f
x
8
4
6
3
)
2
lim x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
h
x 5
3
3
3
2
2
) 2
3
3
lim
3
/
2
)
)
)
5
/
2
)
)
0
)
)
)
:
.
Resp
h
g
f
e
d
c
b
a
)
)
)
)
)
:
.
Resp
)
4
3
(
lim
)
)
4
(
lim
)
)
3
4
5
(
lim
)
)
5
4
(
lim
)
)
3
2
(
lim
)
3
2
2
e
d
c
b
a
x
e
x
d
x
x
c
x
b
x
a
x
x
x
x
x
3. Exercícios Complementares
1. Calculando-se , obtém-se
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 6.
2. O é igual a
a) 1/9.
b) 1/27.
c) 1/243.
d) 1/243.
e) 1/54.
3. O valor de é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) ∞.
4. vale
a) 7e
b) e7
c) 7 – e
d) 7 + e
e) 7e
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
a) I, II e III são falsas.
b) Apenas as afirmações I e II são falsas.
c) I, II e III são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações I e III são falsas.
e) Apenas as afirmações II e III são falsas.
6. Calculando-se , obtém-se
a) 1/4.
4. b) 1/5.
c) 1/6.
d) 1/7.
e) 1/8.
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).
d)
e)
9. é igual a
a) .
b) 0.
c) 1.
d) - .
e) 4.
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:
a)
b)
c)
d)
e) f(1) = 2
Gabarito
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E E B D E C D C A C
5. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 2)
3) 4) Não existe pois e
5) 6) 7)
EXERCÍCIOS ESPECIAIS
a) RESP 0 b) RESP -2
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP 2
1
3
A
a
f) RESP 3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
i) RESP 3 j) RESP 1
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP
2
X
: x
q) RESP
3 2
1
3 x
r) RESP -1/3
6. LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS
Seja a função polinomial f(x) = an xn
+ na-1xn-1
+ ... + a2 x2
+ a1x + a0
( ) n
n
x x
Lim f x Lima x
Para o cálculo de limite com x toma-se o termo de maior grau da função
e aplica-se o limite .
Exemplos : 2 2
(2 3) 2
x x
Lim x x Lim x
Exercícios complementares:
1)
3 2
4
2 4 1
3 2 2
x
x x
Lim
x x
R 0
2)
4
4 3
4 3
3 1
x
x x
Lim
x x
R 4/3
3)
3 2
2
4 2 3
2 3 8
x
x x x
Lim
x x
R
4)
4
2
2 1
2 1
x
x x
Lim
x
R ½
7. LIMITES DE FUNÇÕES
Seja
x
f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número "
"a , exceto possivelmente
no próprio "
"a . Então, diz-se que o limite de
x
f quando x tende a "
"a
a
x é L , e representa-se
por
L
x
f
a
x
lim
se
a
x
0 para todo 0
há um número correspondente 0
tal que
L
x
f sempre que
a
x
0 , isto é, se
L
x
f
a
x
0 .
Exemplo: Provar que 7
5
4
lim
3
x
x
Solução:
(a) Encontrar um valor para :
Uma análise preliminar do problema indica que se 0
, deve encontrar-se um tal que
7
5
4x sempre que
3
0 x ,
mas
3
4
3
4
12
4
7
5
4 x
x
x
x sempre que
3
0 x ,
isto é,
4
3
x sempre que
3
0 x , logo
4
.
(b) Prova:
Por tanto, dado 0
, escolhe-se
4
, e se
3
0 x , então,
4
4
4
3
4
3
4
12
4
7
5
4 x
x
x
x
Assim
7
5
4x sempre que
3
0 x ,
por tanto
7
5
4
lim
3
x
x
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,
3
x
donde
7
5
12
5
3
4
5
4
lim
3
x
x
Exemplos:
a) 9
3
lim 2
2
3
x
x
b) 27
7
4
5
7
5
lim
4
x
x
c)
8. Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função
2
4
4
3 2
x
x
x
x
f , com 2
x , isto é,
0
0
2
4
4
3
lim
2
2
x
x
x
x
f
x
Indeterminação,
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de
x
f abrange todos os números reais, com exceção de
2
x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém,
ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,
0
2
c
bx
ax
a
ac
b
b
x
2
4
2
.
Assim,
3
2
2
6
8
4
6
48
16
4
2
1
x
x
x
2
3
2
)
2
)(
2
3
(
2
4
4
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Desta forma, tem-se que
8
2
3
lim
2
)
2
)(
2
3
(
lim
2
4
4
3
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
,
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 ,
x
f se aproxima de 8 , mas
se substituir-se 2
x na 1a
expressão,
x
f não está definida naquele ponto.
2
2
3
x
x
x
f
Ponto
8
,
2
deve ser
excluído do
gráfico, pois
naquele
ponto a
função é
indefinida.
X
2
8 Y
x
x
f
300
,
8
100
,
2
030
,
8
010
,
2
003
,
8
001
,
2
000
,
8
000
,
2
997
,
7
999
,
1
970
,
7
990
,
1
700
,
7
900
,
1
9. Exercícios:
0
0
4
16
lim
2
4
x
x
x
Indeterminação,
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto.
Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
4
8
)
4
(
lim
)
4
(
)
4
)(
4
(
lim
4
4
x
y
x
x
x
x
x
x
Em 4
x
x
f , o ponto
8
,
4 deve ser excluído do gráfico, pois 4
x , pois o domínio de
x
f é:
,
4
4
,
/
:
x
D e tem como imagem
,
8
8
,
/
:
y
I .
3.1 - Propriedades dos Limites
1)
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x
lim
lim
lim
2)
x
u
u
para
u
C
u
C
a
x
a
x
lim
lim e C é uma constante
3)
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x
lim
lim
lim
4)
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x
lim
lim
lim
5)
x
u
u
para
u
u
m
a
x
m
a
x
lim
lim
6)
x
u
u
para
u
u m
a
x
m
a
x
lim
lim
7)
x
u
u
para
u
u
a
x
a
a
a
x
lim
log
log
lim
8)
x
v
v
e
x
u
u
para
u
u
v
a
x
v
a
x
a
x
lim
lim
lim
9) ,
,
0
,
0
0
,
0
0
e 0
,
,
0
k
k
10) Indeterminações de limites:
1
,
0
,
,
,
0
0
,
0
, 0
0
Y
X
4
4
4
8
10. Exemplos:
1)
2
3
4
9
3
lim
1
8
lim
3
1
8
lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
2)
0
0
1
3
4
lim 2
2
1
x
x
x
x
Indeterminação
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,
0
3
4
2
x
x
2
12
16
4
x (Baskara)
3
1
2
2
4
2
1
x
x
x
3
1
3
4
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
c
bx
ax
donde,
)
1
(
)
3
)(
1
(
lim 2
1
z
z
z
z
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,
1
1
1
1
1
0
1 2
2
2
z
z
z
z
z
z
assim,
1
2
2
)
1
(
)
3
(
lim
)
1
)(
1
(
)
3
)(
1
(
lim
1
1
z
z
z
z
z
z
z
z
3)
1
2
lim
3
2
3
lim
0
0
3
6
5
lim
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)
0
0
2
4
lim
0
x
x
x
Indeterminação
Neste caso, para eliminar a indeterminação
0
0
, se deve racionalizar o numerador , isto é,
2
2
b
a
b
a
b
a
. Desta forma, tem-se:
2
4
4
4
lim
2
4
2
4
2
4
lim
2
4
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
2
4
lim
1
2
4
1
lim
2
4
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
11. 3.2 - Limites Notáveis
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) tende a diminuir, o
valor do
a
sen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite
notável no caso é
3.2.1 - Limite do seno
6) Calcular
x
x
x
5
sen
lim
0
faz-se
5
5
t
x
t
x
, para 0
0
t
x
5
1
5
sen
lim
5
sen
5
lim
5
sen
lim
0
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
7)
3
2
3
1
2
1
3
3
3
sen
2
2
2
sen
lim
3
sen
2
sen
lim
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8)
1
1
1
1
cos
1
lim
sen
lim
cos
1
sen
lim
tan
lim
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Limite que define o número “e ”
O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.
e
x
y
x
x
1
1
lim
x y
1 2
10 5937
,
2
100 7048
,
2
1000 7169
,
2
10000 7181
,
2
x
7182818
,
2
e
1
sen
lim
0
s
sen
a
r
S sen
, se
a
S
r sen
;
1
12. Exemplo:
a
x
x
e
x
a
1
lim põe-se az
x
z
x
a
1
para
z
x
a
a
z
z
az
z
x
x
e
z
z
x
a
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
Limites Laterais
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de
x
f quando x tende a a (ou que o limite de
x
f quando x
tende a a pela esquerda) é L e representa-se por
L
x
f
lim
a
x
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .
a
x
Exemplo:
0
1
0
1
2
2
2
2 cos
sen
x
cos
x
sen
lim
x
tan
lim
x
x
b) Definição: Diz-se que o limite direito de
x
f quando x tende a a (ou que o limite de
x
f quando x
tende a a pela direita) é L e representa-se por
L
x
f
lim
a
x
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .
a
x
Exemplo:
0
1
0
1
2
2
2
2 cos
sen
x
cos
x
sen
lim
x
tan
lim
x
x
EXERCÍCIOS:
2) Resolver os limites abaixo:
11.
2
6
5
lim
2
2
x
x
x
x
12.
2
4
lim
2
2
x
x
x
16.
h
h
h
9
)
3
(
lim
2
0
17.
h
h
h
4
2
lim
0
13. 14. y
y
y
1
0
1
lim
13.
1
1
lim 2
3
1
x
x
x
18. 3
2
3 2
6
4
lim
x
x
x
19. y
y
ay
1
0
1
lim
15.
3 3
3
7
5
lim
x
x
x
20)
3
2
3
7
lim x
x
x