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Otimiza¸˜o de Grande Porte
       ca

       Alexandre Salles da Cunha


        DCC-UFMG, Maio 2010




Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                   ca
Escopo do Cap´
             ıtulo




   Gera¸˜o de Colunas
       ca

   Princ´ de Decomposi¸˜o de Dantzig-Wolfe
        ıpio          ca

   Aplica¸˜o em do Princ´ em PL
         ca             ıpio

   Aplica¸˜o de CG e DW em Programa¸˜o Inteira
         ca                        ca




                Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                   ca
O Problema de Cortes Unidimensional


Dados do problema:
    Uma quantidade irrestrita (t˜o grande quanto queiramos) de bobinas
                                a
    de papel de largura W e altura H.
    Um conjunto de m perfis de tiras de papel.
    Cada perfil possui altura H (a mesma altura da bobina) e largura
    wi ∈ Z+ , wi ≤ W .
    Demandas bi ∈ Z+ associadas a cada perfil i de tiras de papel.

Objetivo
Cortar bobinas de forma a atender a demanda de cada perfil de tiras de
papel, de forma que o n´mero de bobinas cortadas seja o menor poss´
                       u                                           ıvel.




                   Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                      ca
Formula¸˜o de Kantorovich (1960)
       ca
   Seja K um limite superior para o n´mero m´
                                     u      ınimo de bobinas a serem
   cortadas, por exemplo, K = m ⌈ j bi k ⌉
                                 i   W
                                                wi
   Vari´veis de decis˜o:
       a             a
     ◮   xik ∈ Z+ indicando quantos perfils i s˜o cortados na k−´sima bobina.
                                              a                e
     ◮   y k ∈ B assumindo valor 1 caso a k−´sima bobina seja usada (0, cc)
                                             e
                                     K
                   min                   yk                                 (1)
                                 k=1
                                  K
                                         xik ≥ bi        ∀i                 (2)
                                k=1
                               m
                                     wi xik ≤ Wy k       ∀k                 (3)
                              i =1
                              k
                             xk ∈ Z +                    ∀k, i              (4)
                                     j
                                y ∈B                     ∀k                 (5)
                   Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                      ca
Formula¸˜o de Gilmore e Gomory (1961)
       ca
Defini¸˜o - padr˜o de corte
     ca        a
Dizemos que um padr˜o (pattern) de corte j ´ um modo v´lido de cortar a
                    a                      e           a
bobina de largura W se a restri¸˜o da Mochila Inteira:
                               ca
                                     m
                                           aij wi ≤ W
                                    i =1

onde aij denota a quantidade de perfis do tipo i cortados no padr˜o j. As
                                                                a
sobras do padr˜o de corte n˜o s˜o reaproveitadas.
              a            a a

Vamos assumir que:
    P denota o conjunto de todos os poss´
                                        ıveis padr˜es de corte vi´veis e
                                                  o              a
    que |P| = n.
    O vetor m dimensional de entradas inteiras Aj denota o n´mero de
                                                            u
    perfis de cada tipo cortados no padr˜o j ∈ P.
                                       a
                   Alexandre Salles da Cunha    Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                       ca
Formula¸˜o de Gilmore e Gomory (1961)
       ca

   Vari´vel de decis˜o: xj ∈ Z+ que representa o n´mero de vezes que o
       a            a                             u
   perfil j ∈ P for empregado.


                                        n
                 min                         xj                                (6)
                                       j=1
                            n
                                 Aj xj = bi i = 1, . . . , m                   (7)
                           j=1
                                     xj ∈ Z j = 1, . . . , n                   (8)

   Esta formula¸˜o compreende m restri¸˜es e um n´mero
               ca                      co          u
   exponencialmente grande de vari´veis de decis˜o (colunas).
                                  a             a
   Assim sendo ´ impratic´vel resolver o problema atrav´s de um m´todo
                e        a                             e         e
   que use explicitamente todas as colunas da formula¸˜o.
                                                      ca
                 Alexandre Salles da Cunha        Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                         ca
Como se utiliza a formula¸˜o anterior ?
                         ca


    Relaxamos a integralidade das restri¸˜es, substituindo xj ∈ Z+ por
                                        co
    xj ≥ 0.

    Resolvemos o Problema de Programa¸˜o Linear associado, obtendo-se
                                         ca
    limites de Relaxa¸˜o Linear que ser˜o usados em um procedimento
                     ca                a
    enumerativo do tipo Branch-and-bound (na verdade s˜o chamados de
                                                       a
    Branch-and-price).

    Para resolver a Relaxa¸˜o Linear da formula¸˜o, precisamos usar as
                          ca                   ca
    colunas implicitamente e n˜o explicitamente, atrav´s do procedimento
                              a                       e
    de Gera¸˜o de Colunas.
            ca



                  Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                     ca
Gera¸˜o de Colunas
    ca

Vamos considerar o PL (Master Restrito):

                min                       xj                                 (9)
                                    j∈P

                              Aj xj = bi i = 1, . . . , m                   (10)
                        j∈P

                                   xj ≥ 0         j ∈P                      (11)

onde P ⊆ P : |P| << |P|.
    Exemplo: fazemos cada padr˜o de P ser exatamente equivalente ao
                                 a
    corte de um unico perfil i (|P| = m).
                ´
    Vamos assumir que uma solu¸˜o b´sica vi´vel para o PL acima seja
                                ca a         a
    poss´ de ser encontrada. No caso da escolha de P acima ´ claro
        ıvel                                                 e
    que xj = bi ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel.
                e         ca a         a

                  Alexandre Salles da Cunha    Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                      ca
Gera¸˜o de Colunas
    ca


   Resolvemos o Programa Linear dado pelo Master Restrito (definido a
   partir de P) atrav´s do M´todo Simplex, obtendo uma solu¸˜o b´sica
                     e      e                                ca a
   vi´vel associada a uma base B e o valor zP para o seu m´
     a                                                    ınimo.

   Para garantir que zP seja o valor do ´timo do Programa Linear
                                        o
   Original (Master), precisamos garantir que n˜o existam colunas
                                               a
   atrativas n˜o inclu´
              a       ıdas em P.

   Para decidir sobre esta quest˜o, precisamos verificar se existe coluna
                                 a
   j ∈ P  P que possua custo reduzido c j = 1 − p ′ Aj < 0, onde
   p ′ = cB B −1 ´ o vetor de vari´veis duais ´timas.
          ′      e                a           o

   Como determinar se existe j : c j < 0 sem enumerar todas as colunas ?



                 Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                    ca
Resolvendo o Problema de Precifica¸˜o
                                 ca
   Ao inv´s de enumerar todas as colunas e calcular c j , formulamos um
            e
   Problema de Otimiza¸˜o que nos permite decidir sobre a existˆncia de
                        ca                                       e
   j : c j < 0.
   Formulamos e resolvemos o Problema de Precifica¸˜o max p ′ Aj para
                                                    ca
   todo j (recorde que Aj = (a1j , . . . , amj )′ )
   Neste caso, o Problema de Precifica¸˜o consiste no Problema da
                                            ca
   Mochila Inteira:
                                                m
                        max                           pi aij                 (12)
                                               i =1
                                     m
                                             aij wi ≤ W                      (13)
                                    i =1
                                               aij ∈ Z+                      (14)
   que pode ser resolvido em tempo pseudo polinomial O(mW ) atrav´s
                                                                 e
   de Programa¸˜o Dinˆmica.
               ca       a
                 Alexandre Salles da Cunha      Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                       ca
O M´todo de Gera¸˜o de colunas
   e            ca

   Vamos assumir que o Problema de Precica¸˜o tenha sido resolvido e
                                             ca
   que o perfil k ∈ P seja sua solu¸˜o ´tima.
                                  ca o

   Se ck = 1 − m pi aki < 0, a coluna k deve ser introduzida no
                  i =1
   modelo. Neste caso, fazemos P ← P ∪ {k}, redefinindo um novo
   Problema Master Restrito, que ´ reotimizado e o procedimento se
                                 e
   repete, dando origem a uma nova itera¸˜o do M´todo de Gera¸˜o de
                                         ca       e            ca
   Colunas.

   Caso contr´rio, se ck = 1 − m pi aki ≥ 0, o valor do Programa
             a                   i =1
   Master Restrito corresponde ` solu¸˜o ´tima da Relaxa¸˜o Linear do
                               a      ca o               ca
   problema de corte unidimensional. Al´m disto, a solu¸˜o b´sica ´tima
                                        e              ca a       o
   do Master restrito ´ uma solu¸˜o b´sica ´tima do Programa Master.
                      e         ca a       o

   Podemos adotar v´rios crit´rios para descartar ou n˜o vari´veis
                   a         e                        a      a
   (colunas) em P ao longo de cada itera¸˜o do M´todo.
                                         ca        e

                 Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                    ca
Gera¸˜o de Planos de Corte
    ca
      Vamos considerar o Programa Linear Master e seu Dual:
                    n
                                                                             m
min                      xj
                   j=1
                                                         max                       pi bi
         n                                                                  i =1
                                                                    m
              Aj xj = bi , i = 1, . . . , m
                                                                          pi aij , ≤ cj j = 1, . . . , n
        j=1
                                                                   i =1
                xj ≥ 0 j = 1, . . . , n
      Ao inv´s de resolver o Dual, vamos resolver uma relaxa¸˜o para o
            e                                               ca
      Dual, escrito em termos apenas de um conjunto P de restri¸˜es:
                                                                co
                                                     m
                              max                        pi bi
                                                 i =1
                                          m
                                               pi aij , ≤ cj j ∈ P
                                        i =1

                         Alexandre Salles da Cunha       Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                                ca
Gera¸˜o de Planos de Corte
    ca

Considerando que o Dual Relaxado foi resolvido e que obtivemos p ∗ como
sua solu¸˜o ´tima, temos duas possibilidades:
        ca o

    Caso 1 - p ∗ ´ uma solu¸˜o vi´vel para o problema dual original. Neste
                     e        ca   a
    caso, p  ∗ tamb´m ´ solu¸˜o ´tima para o problema dual original,
                       e e     ca o
    porque qualquer solu¸˜o p deste ´ vi´vel para o relaxado e ent˜o:
                           ca        e a                           a
    p ′ b ≤ (p ∗ )′ b.


    Caso 2 - p ∗ ´ invi´vel para o problema dual original. Neste caso,
                 e     a
    existe uma restri¸˜o dual violada por p ∗ . Identificamos esta restri¸˜o,
                     ca                                                 ca
    introduzimos a mesma no dual Relaxado e reotimizamos.

Para proceder com este algoritmo, precisamos resolver o Problema de
Separa¸˜o que consiste em identificar uma restri¸˜o dual violada ou
       ca                                      ca
garantir que restri¸˜es violadas n˜o existam.
                   co             a

                   Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                      ca
Gera¸˜o de Colunas
    ca
O Problema de Separa¸˜o
                    ca

                        min       cj − (p ∗ )′ Aj
                                              j∈P


    Se o valor ´timo deste Programa Linear, obtido para a restri¸˜o k, ´
               o                                                ca     e
    n˜o negativo, garantimos que p ∗ ´ vi´vel para o Problema Dual
     a                               e a
    Original.

    Caso contr´rio, se ck < (p ∗ )Ak para a coluna que resolveu o
              a
    Problema de Separa¸˜o, introduzimos a correspondente restri¸˜o no
                        ca                                        ca
    Dual Relaxado, fazendo P ← P ∪ {k}

Aplicar o algoritmo de Gera¸˜o de Colunas no Problema Primal equivale a
                           ca
aplicar o algoritmo de Gera¸˜o de Planos de Cortes no seu dual.
                           ca
                  Alexandre Salles da Cunha    Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                      ca
Geometria do algoritmo de Gera¸˜o de Planos de Corte
                              ca




              Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                 ca
Decomposi¸˜o de Dantzig-Wolfe
         ca

Vamos considerar o seguinte Programa Linear com estrutura:
                                     ′       ′
                        min         c1 x1 + c2 x2
                                   D 1 x1 + D 2 x2          = b0
                                   F 1 x1                   = b1
                                                  F 2 x2    = b2
                                                  x1 , x2 ≥ 0

onde x1 , x2 , b0 , b1 , b2 s˜o vetores de dimens˜es n1 , n2 , m0 , m1 , m2 ,
                             a                   o
respectivamente e as matrizes D1 , D2 , F1 , F2 possuem dimens˜es      o
apropriadas.

Observe que:
    as primeiras m0 restri¸˜es fazem o acoplamento dos vetores x1 , x2
                          co
    os sistemas F1 x1 = b1 , F2 x2 = b2 s˜o independentes de x2 , x1
                                         a
    respectivamente.
                      Alexandre Salles da Cunha      Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                            ca
Reformulando o Problema


   Vamos considerar os seguintes poliedros:

                            Pi = {xi ∈ Rni : Fi xi = bi }
                                        +

   e assumir que Pi : i = 1, 2 s˜o n˜o vazios.
                                a a

   Podemos ent˜o reescrever o Programa Linear da seguinte forma:
              a
                                     ′       ′
                        min         c1 x1 + c2 x2
                                   D 1 x 1 + D 2 x 2 = b0
                                       x1 ∈ P1
                                       x2 ∈ P2



                  Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                     ca
Reformulando o Problema

   Vamos considerar ent˜o que {xij : j ∈ Ji } denota o conjunto de
                       a
   pontos extremos do poliedro Pi : i = 1, 2.
   De modo similar, vamos considerar que {wik : k ∈ Ki } denota o
   conjunto de raios extremos de Pi : i = 1, 2.
   Observe ent˜o que pelo Teorema de Minkowski, um ponto qualquer
                a
   xi ∈ Pi : i = 1, 2 pode ser escrito como:


                xi =          λj xij +
                               i                 θik wik
                       j∈Ji              k∈Ki

                                                λj = 1
                                                 i
                                         j∈Ji

                                                λij ≥ 0, j ∈ Ji
                                             θik ≥ 0, k ∈ Ki

                 Alexandre Salles da Cunha        Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                         ca
Reformulando o Problema

Problema Master:

min          λj c1 x1 +
              1
                 ′ j
                               k∈K1
                                        k ′ k
                                       θ1 c1 w1 +           λj c2 x2 +
                                                             2
                                                                ′ j                 k ′ k
                                                                                   θ2 c2 w2
      j∈J1                                           j∈J2                   k∈K2

             λj D 1 x 1 +
              1
                      j
                               k∈K1
                                       k     k
                                      θ1 D1 w1 +            λj D2 x2 +
                                                             2
                                                                   j                k     k
                                                                                   θ2 D2 w2   = b0
      j∈J1                                           j∈J2                   k∈K2

                λj = 1
                 1
        j∈J1

                λj = 1
                 2
        j∈J2

                λij ≥ 0      j ∈ Ji , i = 1, 2
                θik   ≥ 0 k ∈ Ki , i = 1, 2



                         Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                            ca
Reformulando o problema

Na forma matricial, o conjunto de restri¸˜es do Problema Master fica:
                                        co
                     j                   j
            2          3          2        3         2     k
                                                             3          2     k
                                                                                3 2    3
                D1 x 1              D2 x 2             D1 w1              D2 w2     b0
       λj
X                         X j                 X                  X
                                                   k 4                k 4
        1
            4    1     5+      λ2 4 0 5+          θ1     0   5+      θ2     0   5=4 1 5
j∈J1             0        j∈J2       1       k∈K1        0      k∈K2        0       1


        Observe que, diferentemente do Programa Linear Original que possuia
        m0 + m1 + m2 restri¸˜es, o Programa Reformulado possui apenas
                            co
        m0 + 2 linhas.

        Uma base para este programa deve envolver ter dimens˜o m0 + 2.
                                                            a

        Por outro lado, o novo programa possui |J1 | + |J2 | + |K1 | + |K2 |
        vari´veis.
            a



                            Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                               ca
O algoritmo de Decomposi¸˜o
                        ca
Vamos assumir que dispomos de um conjunto de colunas inicial, isto ´,      e
subconjuntos J 1 , J 2 , K 1 , K 2 que nos permita resolver e obter uma solu¸˜o
                                                                             ca
b´sica vi´vel para o Programa Master Restrito:
 a       a

min            λj c1 x1 +
                1
                   ′ j
                                 k∈K 1
                                          k ′ k
                                         θ1 c1 w1 +            λj c2 x2 +
                                                                2
                                                                   ′ j                  k ′ k
                                                                                       θ2 c2 w2
       j∈J 1                                           j∈J 2                   k∈K 2

               λj D 1 x 1 +
                1
                        j
                                 k∈K 1
                                          k     k
                                         θ1 D1 w1 +            λj D 2 x 2 +
                                                                2
                                                                        j               k     k
                                                                                       θ2 D2 w2   = b0
       j∈J 1                                           j∈J 2                   k∈K 2

                  λj
                   1    =1
          j∈J 1

                  λj = 1
                   2
          j∈J 2

                  λj ≥ 0
                   i            j ∈ J i , i = 1, 2
                  θik   ≥ 0 k ∈ K i , i = 1, 2

                           Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                              ca
O algoritmo de Decomposi¸˜o
                        ca



   Assumimos ent˜o que B denote a matriz b´sica associada ao
                a                            a
   Programa Master Restrito, resolvido ` otimalidade.
                                       a

   Seja p ′ = cB B −1 o vetor m0 + 2 dimensional de vari´veis duais
               ′                                        a
   o
   ´timas, do Programa Dual do Master Restrito.

   Vamos dizer que p = (q, r1 , r2 ), onde r1 e r2 s˜o as vari´veis duais
                                                    a         a
   associadas `s restri¸˜es de convexidade.
              a        co




                  Alexandre Salles da Cunha   Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                     ca
O algoritmo de Decomposi¸˜o
                        ca


Custos reduzidos
    Os custos reduzidos de uma vari´vel λj s˜o dados por
                                   a     1 a
                                               j 
                                           D 1 x1
            ′ j                                                  j
                                           1  = (c1 − q ′ D1 )x1 − r1
                                                    ′
           c1 x1 −     q ′ r1 r2
                                             0
                                         k a
    Os custos reduzidos de uma vari´vel θ1 s˜o dados por
                                   a
                                                   j 
                                                D1 w1
              ′ j                                                     j
                                                0  = (c1 − q ′ D1 )w1
                                                         ′
             c1 w1 −      q ′ r1 r2
                                                 0



                   Alexandre Salles da Cunha       Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                          ca
O algoritmo de Decomposi¸˜o
                        ca


Custos reduzidos
    Os custos reduzidos de uma vari´vel λj s˜o dados por
                                   a     2 a
                                               j 
                                           D 2 x2
            ′ j                                                  j
                                           0  = (c2 − q ′ D2 )x2 − r2
                                                    ′
           c2 x2 −     q ′ r1 r2
                                             1
                                         k a
    Os custos reduzidos de uma vari´vel θ2 s˜o dados por
                                   a
                                                   j 
                                                D2 w1
              ′ j                                                     j
                                                0  = (c2 − q ′ D2 )w2
                                                         ′
             c2 w2 −      q ′ r1 r2
                                                 0



                   Alexandre Salles da Cunha       Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                          ca
Problema de Precifica¸˜o - para P1 (P2 an´logo)
                    ca                  a

                       min       (c1 − q ′ D1 )x1
                                   ′

                                              x1 ∈ P1
   Se o problema acima for ilimitado (custo = −∞), o M´todo Simplex
                                                                 e
   nos fornece um raio extremo w1    k que satisfaz (c ′ − q ′ D )w k < 0.
                                                       1         2  1
                                              k
                                                 
                                         D1 w1
   Neste caso, inserirmos a coluna  0  no master restrito
                                            0
                              k
   (associada a vari´vel θ1 ) e reotimizamos usando o primal Simplex.
                      a
                                                          j
   Se o problema possui ´timo finito, atingido por x1 , de forma que
                             o
                  j
   (c1 − q ′ D1 )x1 ≥ r1 , a solu¸˜o do Programa Master Reduzido resolve o
                                 ca
                                            j
   Programa Master. Caso (c1 − q ′ D1 )x1 < r1 , uma coluna com custo
                                                                           k
                                                                            
                                                                      D 1 x1
   reduzido negativo foi encontrado. Introduzimos a coluna  1  e
                                                                        0
   reotimizamos.
                  Alexandre Salles da Cunha      Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                        ca
Inicializa¸˜o do Algoritmo
          ca
    Precisamos encontrar uma solu¸˜o b´sica inicial para o Programa
                                  ca a
    Master.
    Para tanto, aplicamos o Simplex Fase I para cada um dos
    subproblemas Pi , separadamente. Com o simplex Fase I, obtemos os
                       1   1
    pontos extremos x1 e x2 de P1 e P2 .
    Construimos o Master Auxiliar e resolvemos o Simplex Fase I para
    obter solu¸˜o b´sica para o Master Original.
              ca a
                                                                         m0
    min                                                                       yt
                                                                        t=1
                                                               
                             λj Di xij +
                               i                   θik Di wik  + y = b0
          i =1,2       j∈Ji                 k∈Ki

                                                                       λj = 1, i = 1, 2
                                                                        i
                                                                j∈Ji

                                              λj
                                               i   ≥   0, θik   ≥ 0, yt ≥ 0, ∀i , k, j, t
                       Alexandre Salles da Cunha       Otimiza¸˜o de Grande Porte
                                                              ca

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[Robson] 6. Otimização de Grande Porte

  • 1. Otimiza¸˜o de Grande Porte ca Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Maio 2010 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 2. Escopo do Cap´ ıtulo Gera¸˜o de Colunas ca Princ´ de Decomposi¸˜o de Dantzig-Wolfe ıpio ca Aplica¸˜o em do Princ´ em PL ca ıpio Aplica¸˜o de CG e DW em Programa¸˜o Inteira ca ca Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 3. O Problema de Cortes Unidimensional Dados do problema: Uma quantidade irrestrita (t˜o grande quanto queiramos) de bobinas a de papel de largura W e altura H. Um conjunto de m perfis de tiras de papel. Cada perfil possui altura H (a mesma altura da bobina) e largura wi ∈ Z+ , wi ≤ W . Demandas bi ∈ Z+ associadas a cada perfil i de tiras de papel. Objetivo Cortar bobinas de forma a atender a demanda de cada perfil de tiras de papel, de forma que o n´mero de bobinas cortadas seja o menor poss´ u ıvel. Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 4. Formula¸˜o de Kantorovich (1960) ca Seja K um limite superior para o n´mero m´ u ınimo de bobinas a serem cortadas, por exemplo, K = m ⌈ j bi k ⌉ i W wi Vari´veis de decis˜o: a a ◮ xik ∈ Z+ indicando quantos perfils i s˜o cortados na k−´sima bobina. a e ◮ y k ∈ B assumindo valor 1 caso a k−´sima bobina seja usada (0, cc) e K min yk (1) k=1 K xik ≥ bi ∀i (2) k=1 m wi xik ≤ Wy k ∀k (3) i =1 k xk ∈ Z + ∀k, i (4) j y ∈B ∀k (5) Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 5. Formula¸˜o de Gilmore e Gomory (1961) ca Defini¸˜o - padr˜o de corte ca a Dizemos que um padr˜o (pattern) de corte j ´ um modo v´lido de cortar a a e a bobina de largura W se a restri¸˜o da Mochila Inteira: ca m aij wi ≤ W i =1 onde aij denota a quantidade de perfis do tipo i cortados no padr˜o j. As a sobras do padr˜o de corte n˜o s˜o reaproveitadas. a a a Vamos assumir que: P denota o conjunto de todos os poss´ ıveis padr˜es de corte vi´veis e o a que |P| = n. O vetor m dimensional de entradas inteiras Aj denota o n´mero de u perfis de cada tipo cortados no padr˜o j ∈ P. a Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 6. Formula¸˜o de Gilmore e Gomory (1961) ca Vari´vel de decis˜o: xj ∈ Z+ que representa o n´mero de vezes que o a a u perfil j ∈ P for empregado. n min xj (6) j=1 n Aj xj = bi i = 1, . . . , m (7) j=1 xj ∈ Z j = 1, . . . , n (8) Esta formula¸˜o compreende m restri¸˜es e um n´mero ca co u exponencialmente grande de vari´veis de decis˜o (colunas). a a Assim sendo ´ impratic´vel resolver o problema atrav´s de um m´todo e a e e que use explicitamente todas as colunas da formula¸˜o. ca Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 7. Como se utiliza a formula¸˜o anterior ? ca Relaxamos a integralidade das restri¸˜es, substituindo xj ∈ Z+ por co xj ≥ 0. Resolvemos o Problema de Programa¸˜o Linear associado, obtendo-se ca limites de Relaxa¸˜o Linear que ser˜o usados em um procedimento ca a enumerativo do tipo Branch-and-bound (na verdade s˜o chamados de a Branch-and-price). Para resolver a Relaxa¸˜o Linear da formula¸˜o, precisamos usar as ca ca colunas implicitamente e n˜o explicitamente, atrav´s do procedimento a e de Gera¸˜o de Colunas. ca Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 8. Gera¸˜o de Colunas ca Vamos considerar o PL (Master Restrito): min xj (9) j∈P Aj xj = bi i = 1, . . . , m (10) j∈P xj ≥ 0 j ∈P (11) onde P ⊆ P : |P| << |P|. Exemplo: fazemos cada padr˜o de P ser exatamente equivalente ao a corte de um unico perfil i (|P| = m). ´ Vamos assumir que uma solu¸˜o b´sica vi´vel para o PL acima seja ca a a poss´ de ser encontrada. No caso da escolha de P acima ´ claro ıvel e que xj = bi ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 9. Gera¸˜o de Colunas ca Resolvemos o Programa Linear dado pelo Master Restrito (definido a partir de P) atrav´s do M´todo Simplex, obtendo uma solu¸˜o b´sica e e ca a vi´vel associada a uma base B e o valor zP para o seu m´ a ınimo. Para garantir que zP seja o valor do ´timo do Programa Linear o Original (Master), precisamos garantir que n˜o existam colunas a atrativas n˜o inclu´ a ıdas em P. Para decidir sobre esta quest˜o, precisamos verificar se existe coluna a j ∈ P P que possua custo reduzido c j = 1 − p ′ Aj < 0, onde p ′ = cB B −1 ´ o vetor de vari´veis duais ´timas. ′ e a o Como determinar se existe j : c j < 0 sem enumerar todas as colunas ? Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 10. Resolvendo o Problema de Precifica¸˜o ca Ao inv´s de enumerar todas as colunas e calcular c j , formulamos um e Problema de Otimiza¸˜o que nos permite decidir sobre a existˆncia de ca e j : c j < 0. Formulamos e resolvemos o Problema de Precifica¸˜o max p ′ Aj para ca todo j (recorde que Aj = (a1j , . . . , amj )′ ) Neste caso, o Problema de Precifica¸˜o consiste no Problema da ca Mochila Inteira: m max pi aij (12) i =1 m aij wi ≤ W (13) i =1 aij ∈ Z+ (14) que pode ser resolvido em tempo pseudo polinomial O(mW ) atrav´s e de Programa¸˜o Dinˆmica. ca a Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 11. O M´todo de Gera¸˜o de colunas e ca Vamos assumir que o Problema de Precica¸˜o tenha sido resolvido e ca que o perfil k ∈ P seja sua solu¸˜o ´tima. ca o Se ck = 1 − m pi aki < 0, a coluna k deve ser introduzida no i =1 modelo. Neste caso, fazemos P ← P ∪ {k}, redefinindo um novo Problema Master Restrito, que ´ reotimizado e o procedimento se e repete, dando origem a uma nova itera¸˜o do M´todo de Gera¸˜o de ca e ca Colunas. Caso contr´rio, se ck = 1 − m pi aki ≥ 0, o valor do Programa a i =1 Master Restrito corresponde ` solu¸˜o ´tima da Relaxa¸˜o Linear do a ca o ca problema de corte unidimensional. Al´m disto, a solu¸˜o b´sica ´tima e ca a o do Master restrito ´ uma solu¸˜o b´sica ´tima do Programa Master. e ca a o Podemos adotar v´rios crit´rios para descartar ou n˜o vari´veis a e a a (colunas) em P ao longo de cada itera¸˜o do M´todo. ca e Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 12. Gera¸˜o de Planos de Corte ca Vamos considerar o Programa Linear Master e seu Dual: n m min xj j=1 max pi bi n i =1 m Aj xj = bi , i = 1, . . . , m pi aij , ≤ cj j = 1, . . . , n j=1 i =1 xj ≥ 0 j = 1, . . . , n Ao inv´s de resolver o Dual, vamos resolver uma relaxa¸˜o para o e ca Dual, escrito em termos apenas de um conjunto P de restri¸˜es: co m max pi bi i =1 m pi aij , ≤ cj j ∈ P i =1 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 13. Gera¸˜o de Planos de Corte ca Considerando que o Dual Relaxado foi resolvido e que obtivemos p ∗ como sua solu¸˜o ´tima, temos duas possibilidades: ca o Caso 1 - p ∗ ´ uma solu¸˜o vi´vel para o problema dual original. Neste e ca a caso, p ∗ tamb´m ´ solu¸˜o ´tima para o problema dual original, e e ca o porque qualquer solu¸˜o p deste ´ vi´vel para o relaxado e ent˜o: ca e a a p ′ b ≤ (p ∗ )′ b. Caso 2 - p ∗ ´ invi´vel para o problema dual original. Neste caso, e a existe uma restri¸˜o dual violada por p ∗ . Identificamos esta restri¸˜o, ca ca introduzimos a mesma no dual Relaxado e reotimizamos. Para proceder com este algoritmo, precisamos resolver o Problema de Separa¸˜o que consiste em identificar uma restri¸˜o dual violada ou ca ca garantir que restri¸˜es violadas n˜o existam. co a Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 14. Gera¸˜o de Colunas ca O Problema de Separa¸˜o ca min cj − (p ∗ )′ Aj j∈P Se o valor ´timo deste Programa Linear, obtido para a restri¸˜o k, ´ o ca e n˜o negativo, garantimos que p ∗ ´ vi´vel para o Problema Dual a e a Original. Caso contr´rio, se ck < (p ∗ )Ak para a coluna que resolveu o a Problema de Separa¸˜o, introduzimos a correspondente restri¸˜o no ca ca Dual Relaxado, fazendo P ← P ∪ {k} Aplicar o algoritmo de Gera¸˜o de Colunas no Problema Primal equivale a ca aplicar o algoritmo de Gera¸˜o de Planos de Cortes no seu dual. ca Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 15. Geometria do algoritmo de Gera¸˜o de Planos de Corte ca Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 16. Decomposi¸˜o de Dantzig-Wolfe ca Vamos considerar o seguinte Programa Linear com estrutura: ′ ′ min c1 x1 + c2 x2 D 1 x1 + D 2 x2 = b0 F 1 x1 = b1 F 2 x2 = b2 x1 , x2 ≥ 0 onde x1 , x2 , b0 , b1 , b2 s˜o vetores de dimens˜es n1 , n2 , m0 , m1 , m2 , a o respectivamente e as matrizes D1 , D2 , F1 , F2 possuem dimens˜es o apropriadas. Observe que: as primeiras m0 restri¸˜es fazem o acoplamento dos vetores x1 , x2 co os sistemas F1 x1 = b1 , F2 x2 = b2 s˜o independentes de x2 , x1 a respectivamente. Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 17. Reformulando o Problema Vamos considerar os seguintes poliedros: Pi = {xi ∈ Rni : Fi xi = bi } + e assumir que Pi : i = 1, 2 s˜o n˜o vazios. a a Podemos ent˜o reescrever o Programa Linear da seguinte forma: a ′ ′ min c1 x1 + c2 x2 D 1 x 1 + D 2 x 2 = b0 x1 ∈ P1 x2 ∈ P2 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 18. Reformulando o Problema Vamos considerar ent˜o que {xij : j ∈ Ji } denota o conjunto de a pontos extremos do poliedro Pi : i = 1, 2. De modo similar, vamos considerar que {wik : k ∈ Ki } denota o conjunto de raios extremos de Pi : i = 1, 2. Observe ent˜o que pelo Teorema de Minkowski, um ponto qualquer a xi ∈ Pi : i = 1, 2 pode ser escrito como: xi = λj xij + i θik wik j∈Ji k∈Ki λj = 1 i j∈Ji λij ≥ 0, j ∈ Ji θik ≥ 0, k ∈ Ki Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 19. Reformulando o Problema Problema Master: min λj c1 x1 + 1 ′ j k∈K1 k ′ k θ1 c1 w1 + λj c2 x2 + 2 ′ j k ′ k θ2 c2 w2 j∈J1 j∈J2 k∈K2 λj D 1 x 1 + 1 j k∈K1 k k θ1 D1 w1 + λj D2 x2 + 2 j k k θ2 D2 w2 = b0 j∈J1 j∈J2 k∈K2 λj = 1 1 j∈J1 λj = 1 2 j∈J2 λij ≥ 0 j ∈ Ji , i = 1, 2 θik ≥ 0 k ∈ Ki , i = 1, 2 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 20. Reformulando o problema Na forma matricial, o conjunto de restri¸˜es do Problema Master fica: co j j 2 3 2 3 2 k 3 2 k 3 2 3 D1 x 1 D2 x 2 D1 w1 D2 w2 b0 λj X X j X X k 4 k 4 1 4 1 5+ λ2 4 0 5+ θ1 0 5+ θ2 0 5=4 1 5 j∈J1 0 j∈J2 1 k∈K1 0 k∈K2 0 1 Observe que, diferentemente do Programa Linear Original que possuia m0 + m1 + m2 restri¸˜es, o Programa Reformulado possui apenas co m0 + 2 linhas. Uma base para este programa deve envolver ter dimens˜o m0 + 2. a Por outro lado, o novo programa possui |J1 | + |J2 | + |K1 | + |K2 | vari´veis. a Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 21. O algoritmo de Decomposi¸˜o ca Vamos assumir que dispomos de um conjunto de colunas inicial, isto ´, e subconjuntos J 1 , J 2 , K 1 , K 2 que nos permita resolver e obter uma solu¸˜o ca b´sica vi´vel para o Programa Master Restrito: a a min λj c1 x1 + 1 ′ j k∈K 1 k ′ k θ1 c1 w1 + λj c2 x2 + 2 ′ j k ′ k θ2 c2 w2 j∈J 1 j∈J 2 k∈K 2 λj D 1 x 1 + 1 j k∈K 1 k k θ1 D1 w1 + λj D 2 x 2 + 2 j k k θ2 D2 w2 = b0 j∈J 1 j∈J 2 k∈K 2 λj 1 =1 j∈J 1 λj = 1 2 j∈J 2 λj ≥ 0 i j ∈ J i , i = 1, 2 θik ≥ 0 k ∈ K i , i = 1, 2 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 22. O algoritmo de Decomposi¸˜o ca Assumimos ent˜o que B denote a matriz b´sica associada ao a a Programa Master Restrito, resolvido ` otimalidade. a Seja p ′ = cB B −1 o vetor m0 + 2 dimensional de vari´veis duais ′ a o ´timas, do Programa Dual do Master Restrito. Vamos dizer que p = (q, r1 , r2 ), onde r1 e r2 s˜o as vari´veis duais a a associadas `s restri¸˜es de convexidade. a co Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 23. O algoritmo de Decomposi¸˜o ca Custos reduzidos Os custos reduzidos de uma vari´vel λj s˜o dados por a 1 a  j  D 1 x1 ′ j j  1  = (c1 − q ′ D1 )x1 − r1 ′ c1 x1 − q ′ r1 r2 0 k a Os custos reduzidos de uma vari´vel θ1 s˜o dados por a  j  D1 w1 ′ j j  0  = (c1 − q ′ D1 )w1 ′ c1 w1 − q ′ r1 r2 0 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 24. O algoritmo de Decomposi¸˜o ca Custos reduzidos Os custos reduzidos de uma vari´vel λj s˜o dados por a 2 a  j  D 2 x2 ′ j j  0  = (c2 − q ′ D2 )x2 − r2 ′ c2 x2 − q ′ r1 r2 1 k a Os custos reduzidos de uma vari´vel θ2 s˜o dados por a  j  D2 w1 ′ j j  0  = (c2 − q ′ D2 )w2 ′ c2 w2 − q ′ r1 r2 0 Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 25. Problema de Precifica¸˜o - para P1 (P2 an´logo) ca a min (c1 − q ′ D1 )x1 ′ x1 ∈ P1 Se o problema acima for ilimitado (custo = −∞), o M´todo Simplex e nos fornece um raio extremo w1  k que satisfaz (c ′ − q ′ D )w k < 0. 1 2 1 k  D1 w1 Neste caso, inserirmos a coluna  0  no master restrito 0 k (associada a vari´vel θ1 ) e reotimizamos usando o primal Simplex. a j Se o problema possui ´timo finito, atingido por x1 , de forma que o j (c1 − q ′ D1 )x1 ≥ r1 , a solu¸˜o do Programa Master Reduzido resolve o ca j Programa Master. Caso (c1 − q ′ D1 )x1 < r1 , uma coluna com custo k   D 1 x1 reduzido negativo foi encontrado. Introduzimos a coluna  1  e 0 reotimizamos. Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca
  • 26. Inicializa¸˜o do Algoritmo ca Precisamos encontrar uma solu¸˜o b´sica inicial para o Programa ca a Master. Para tanto, aplicamos o Simplex Fase I para cada um dos subproblemas Pi , separadamente. Com o simplex Fase I, obtemos os 1 1 pontos extremos x1 e x2 de P1 e P2 . Construimos o Master Auxiliar e resolvemos o Simplex Fase I para obter solu¸˜o b´sica para o Master Original. ca a m0 min yt t=1    λj Di xij + i θik Di wik  + y = b0 i =1,2 j∈Ji k∈Ki λj = 1, i = 1, 2 i j∈Ji λj i ≥ 0, θik ≥ 0, yt ≥ 0, ∀i , k, j, t Alexandre Salles da Cunha Otimiza¸˜o de Grande Porte ca