[Robson] 3. Método Simplex

M´todo Simplex
e

Alexandre Salles da Cunha

DCC-UFMG, Mar¸o 2010
c

Alexandre Salles da Cunha M´todo Simplex
e

Idías centrais do m´todo
e e

Se um PL na forma padrõ possui uma solu¸õ otima, entõ existe
a ca ´ a
uma solu¸õ b´sica vi´vel ´tima para o problema.
ca a a o
O M´todo Simplex baseia-se neste fato. Iniciando em uma solu¸õ
e ca
b´sica vi´vel, move-se para uma solu¸õ b´sica vizinha de menor
a a ca a
custo.
Este processo continua at´ que uma dire¸õ que permita reduzir a
e ca
fun¸õ objetivo nõ seja encontrada, comprovando a otimalidade da
ca a
solu¸õ em mõs.
ca a

e

O Problema a ser resolvido

min c ′x
s.t.: Ax = b
x ≥ 0

onde A ∈ Rm×n , b ∈ R
a j-´sima coluna de A ´ designada por Aj
e e
a i -´sima linha de A ´ designada por ai .
e e

e

Uma idía muito comum nos algoritmos de otimiza¸õ
e ca

Dada uma solu¸õ vi´vel, procure uma solu¸õ vi´vel mais barata nas
ca a ca a
vizinhan¸as da solu¸õ atual.
c ca
Esta procura de solu¸˜es vi´veis normalmente ´ feita tentando
co a e
movimentar sobre uma dire¸õ vi´vel aprimorante.
ca a
Se uma dire¸õ aprimorante nõ existe, a solu¸õ corrente ´ um
ca a ca e
o
´timo local para o problema (nõ necess´riamente global).
a a
No caso do PL, todo ´timo local ´ global, uma vez que o PL ´ u
o e e
problema de otimiza¸õ convexa (minimizar uma fun¸õ conexa sobre
ca ca
um conjunto convexo).
O M´todo Simplex explora exatamente esta idía.
e e

e

Dire¸˜o vi´vel
ca a

Seja x um ponto em um poliedro P. Um vetor d ∈ Rn ´ dito ser uma
e
dire¸˜o vi´vel em x, se existir um escalar positivo θ para o qual
ca a
x + θd ∈ P.

e

Obtendo uma dire¸õ vi´vel conveniente
ca a

Filosofia para escolha da dire¸õ vi´vel
ca a
Vamos considerar a possibilidade de mover a partir de x para uma
solu¸õ b´sica vizinha (adjacente).
ca a
Por defini¸õ, uma solu¸õ b´sica adjacente a x deve compartilhar
ca ca a
n − 1 restri¸˜es justas, cujos vetores de defini¸õ sõ l.i.
co ca a
Como as restri¸˜es ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . m precisam ser satisfeitas em
co
qualquer solu¸õ vi´vel, escolhemos uma dire¸õ d para a qual
ca a ca
permitamos acrescer uma unica vari´vel nõ b´sica.
´ a a a
Logo, para obter uma solu¸õ b´sica adjacente a x precisarmos nos
ca a
movimentar ao longo de uma dire¸õ vi´vel que permita que apenas
ca a
uma componente nõ b´sica de x torne-se b´sica.
a a a

e

Dedu¸õ alg´brica da dire¸õ
ca e ca

Para os ´
ındices j ∈ {B(1), . . . , B(m)} das componentes nõ b´sicas:
a a
◮ dj = 1 para uma ńica vari´vel nõ b´sica
u a a a
◮ dj = 0 para todas as demais vari´veis nõ b´sicas.
a a a
◮ Vamos designar por j o ´
ındice da coluna nõ b´sica liberado para se
a a
tornar b´sica.
a

Para os ´
ındices j ∈ {B(1), . . . , B(m)}
◮ Uma vez que A(x + θd) ∈ P para algum θ > 0, temos que
Ax + θAd = b e entõ Ad = 0.
a
◮ Entõ: 0 = Ad = n=1 Ai di = m AB(i ) di + Aj = Aj + BdB .
a i i =1
◮ Portanto dB = −B −1 Aj uma vez que B admite inversa.

Dire¸õ b´sica
ca a
Vamos chamar a dire¸õ b´sica constru´ acima como a j-´sima dire¸õ
ca a ıda e ca
b´sica
a

e

E a garantia das restri¸˜es de nõ negatividade
co a

Temos que garantir que xB + θdB ≥ 0:

Apenas uma variél nõ b´sica, de ´
v a a ındice j, ser´ aumentada.
a
Logo temos que nos preocupar apenas com a varia¸õ das vari´veis
ca a
b´sicas. Temos dois casos a considerar:
a
◮ Vamos supor que xB seja nõ degenerada. Entõ xB > 0 e entõ existe
a a a
um θ > 0 suficientemente pequeno que garante a viabilidade.
◮ Se xB for degenerada, existe xB(i ) = 0 para algum
i ∈ {B(1), . . . , B(m)}. Neste caso, se para este ´ındice i tivermos
−Bi−1 d < 0, qualquer movimento no sentido de d faz com que a
restri¸õ xB(i ) seja violada. Assim sendo, a dire¸õ d neste caso nõ ´
ca ca a e
vi´vel.
a

e

Exemplo no caso degenerado onde d nõ ´ vi´vel
a e a
Em E (b´sica nõ degenerada), temos como b´sicas: x2 , x4 , x5 e nó b´sicas: x1 , x3 .
a a a a a
Dire¸ao vi´vel: segmento EF , que consiste em aumentar x1 , mantendo x3 em zero.
c˜ a
Em F (b´sica degenerada), vamos considerar que as vari´veis nõ b´sicas sejam x3 , x5 .
a a a a
Observe que x4 ´ b´sica em 0. Dire¸ao b´sica: segmento FG , correpondendo a aumentar
e a c˜ a
x3 e manter x5 em zero, ´ nõ ´ vi´vel.
e a e a

e

Qual o efeito na fun¸õ objetivo de mover ao longo de d
ca

Sendo d a j-´sima dire¸õ b´sica, ao mover no sentido positivo de d,
e ca a
a taxa de varia¸õ da fun¸õ objetivo ´ por n=1 ∂xi di = n=1 ci di .
ca ca e i
∂f
i
n
Uma vez que dB = −B −1 Aj temos que i =1 ci di = cj − cB B −1 Aj ,
onde cB = (cB(1) , . . . , cB(m) ).
◮ A parcela cj ´ a taxa unit´ria de varia¸õ por permitir j aumentar.
e a ca
◮ A parcela −cB B −1 Aj ´ referente a compensa¸õ das mudan¸as nas
e ca c
vari´veis b´sicas, necess´ria para garantir a viabilidade, Ax = b.
a a a

Defini¸õ
ca
Seja x uma solu¸õ b´sica, B a base associada a x e cB o vetor de custos
ca a
das vari´veis b´sicas. Para todo j = 1, . . . , n, definimos o custo reduzido
a a
c j da vari´vel xj por meio de :
a

c j = cj − cB B −1 Aj
′

e

Exemplo

Vamos considerar o seguinte exemplo:

min c1 x1 + c2 x2 + cc x3 + c4 x4
s.t.: x1 + x2 + x3 + x4 = 2
2x1 + 3x3 + 4x4 = 2
x ≥0

Fazendo B = [A1 A2 ], temos uma matriz cujas colunas sõ l.i.
a
Fixando x3 = x4 = 0 e resolvendo o sistema, (x1 , x2 ) = (1, 1).
Assumindo que d seja a dire¸õ b´sica associada a vari´vel nõ b´sica
ca a a a a
x3 , temos: dB = −B −1 A3 = [− 3 2 ]′ .
2
1

c 3 = c3 − 3c1 /2 + c2 /2

e

Custo reduzido para as vari´veis b´sicas
a a

Aplicando a deﬁni¸˜o: c B(i ) = cB(i ) − cB B −1 AB(i ) = cB(i ) − cB eB(i ) ,
ca ′ ′

onde eB(i ) ´ um vetor m dimensional com todas as entradas nulas,
e
exceto a B(i )-´sima entrada que ´ 1.
e e
′
Logo, c B(i ) = cB(i ) − cB eB(i ) = cB(i ) − cB(i ) = 0

e

Crit´rio de Otimalidade
e

Dada nossa interpreta¸õ de custos reduzidos como a taxa de varia¸õ da
ca ca
fun¸ao objetivo na medida em que movimentamos ao longo de uma
c˜
dire¸õ, temos o seguinte resultado:
ca

Teorema
Considere uma solu¸õ b´sica x associada a uma base B. Assuma que c
ca a
seja o correspondente vetor de custos reduzidos.
1 Se c ≥ 0, entõ x ´ uma solu¸õ ´tima.
a e ca o
2 Se x ´ ´tima e nõ degenerada, entõ c ≥ 0.
eo a a

e

Prova

Prova
(1):
Vamos assumir c ≥ 0 e que y denote uma solu¸õ vi´vel qualquer
ca a
para o problema, para a qual determinamos uma dire¸õ vi´vel
ca a
d = y − x (´ vi´vel por convexidade !).
e a
A viabilidade de x, y implica que Ax = Ay = b e entõ Ad = 0.
a
Entõ Ad = 0 = BdB + i ∈N Ai xi = 0 (N ´ o conj. dos ´
a e ındices das
vari´veis nõ b´sicas em x).
a a a
Logo dB = − i ∈N B −1 Ai di
Entõ temos:
a
c ′ d = cB dB +
′
i ∈N ci di = i ∈N (ci − cB B −1 Ai )di =
′
i ∈N c i di .
Para qualquer i ∈ N, temos que xi = 0 e entõ di = yi − xi ≥ 0.
a
Logo c ′d =
i ∈N c i di ≥ 0

e

Prova

Prova
(2), por contradi¸õ:
ca
Suponha que x seja uma solu¸õ b´sica vi´vel ´tima, nõ degenerada
ca a a o a
e que exista j : c j < 0.
Entõ j necessariamente deve ser ´
a ındice de uma vari´vel nõ b´sica,
a a a
uma vez que c i = 0, ∀i ∈ {B(1), . . . , B(m)}.
Considere a dire¸õ b´sica j, d. Esta dire¸õ ´ necessariamente vi´vel
ca a ca e a
dado que x ´ nõ degenerada.
e a
Entõ existe θ > 0 tal que x + θd ´ uma solu¸õ vi´vel. Por outro
a e ca a
lado c ′ (x + θd) = c ′ x + θc ′ d < c ′ x, contrariando a hip´tese de que x
o
´ ’otima.
e

e

Observa¸˜es
co

Uma solu¸õ ´tima x pode ser tal que o custo reduzido de alguma
ca o
vari´vel nõ b´sica ´ negativo.
a a a e
De acordo com o teorema para decidir se uma solu¸õ b´sica vi´vel
ca a a
nõ degenerada x ´ ´tima, precisamos verificar os custos reduzidos de
a eo
suas n − m componentes nõ b´sicas.
a a
No caso de uma solu¸õ b´sica degenerada, um teste igualmente
ca a
simples nõ ´ dispon´
a e ıvel.

e

Bases ´timas
o

Defini¸õ
ca
Uma base B ´ ´tima se:
eo
1 B −1 b ≥ 0 e
2 c ′ = c ′ − cB B −1 B −1 A ≥ 0.
′

Observe que, diante desta defini¸õ:
ca
Se uma base ´tima B ´ encontrada, a solu¸õ b´sica associada ´
o e ca a e
vi´vel, satisfaz as condi¸˜es de otimalidade e portanto ´ ´tima.
a co eo
Por outro lado uma solu¸õ b´sica vi´vel ´tima degenerada nõ
ca a a o a
necessariamente garante custos reduzidos nõ negativos.
a
Vale lembrar que mais de uma base podem ser associadas ` mesma
a
solu¸õ b´sica (no caso degenerado).
ca a

e

Desenvolvimento do m´todo
e

De in´
ıcio, vamos assumir a hip´tese de que todos as solu¸˜es b´sicas
o co a
de P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} s˜o n˜o degeneradas.
a a

Em seguida relaxaremos esta hip´tese.
o

e

Desenvolvimento do M´todo
e

Vamos supor que estejamos em um ponto x, solu¸õ b´sica vi´vel
ca a a
nõ degenerada de P e que tenhamos avaliado os custos reduzidos de
a
forma que c j ≥ 0 : ∀j ∈ {B(1), . . . , B(m)}. Entõ, pelo resultado
a
anterior, concluimos que x resolve o PL.
Caso contr´rio, existe j ∈ {B(1), . . . , B(m)} : c j < 0.
a
Entõ a j−´sima dire¸õ b´sica d, obtida fazendo-se dB = −B −1 Aj ,
a e ca a
dj = 1 e dk = 0, ∀k ∈ {j, B(1), . . . , B(m)} ´ uma dire¸õ vi´vel, de
e ca a
redu¸õ de custo.
ca
Movendo ao longo de d, a partir de x, a componente xj torna-se
positiva, as componentes xk : k ∈ {j, B(1), . . . , B(m)} permanecem
em 0 e as vari´veis b´sicas sõ alteradas.
a a a
Uma vez que d ´ uma dire¸õ de aprimoramento de custos, ´
e ca e
desej´vel nos mover o quanto pudermos ao longo desta dire¸õ.
a ca

e

Garantindo a satisfa¸õ das restri¸˜es de nõ negatividade
ca co a

x(θ) = x + θd, θ ≥ 0

O m´ximo que podemos andar na dire¸õ d ´ dado por
a ca e
θ ∗ = max{θ ≥ 0 : x + θd ∈ P}.

Dado que Ad = 0, Ax(θ) = b e precisamos verificar apenas as
restri¸˜es de nõ negatividade.
co a
Se d ≥ 0, x(θ) ≥ 0 e entõ θ ∗ = ∞.
a
Caso contr´rio, existe i ∈ {B(1), . . . , B(m)} : di < 0. Para garantir
a
x
xi + θdi ≥ 0 temos que θ ≤ − dii .
x
Entõ θ ∗ = min{− dii : dB(i ) < 0}
a
Observe que θ ∗ > 0 como consequˆncia da nõ degenera¸õ de x.
e a ca

e

O novo ponto obtido

Assumindo que θ ∗ ´ finito, y = x(θ ∗ ) = x + θ ∗ d.
e

Entõ:
a
x
yj = xj + θ ∗ = − dB(l ) , onde l ∈ {B(1), . . . , B(m)} denota o ´
B(l )
ındice da
vari´vel b´sica que definiu θ
a a ∗.

Todas as componentes b´sicas de x, pelo modo como θ ∗ ´ definido
a e
continuam nõ negativas.
a
Em particular, para l temos:
xB(l)
yB(l) = xB(l) + θdB(l) = xB(l) − d =0
dB(l) B(l)

o que sugere que a coluna Aj substitua a coluna AB(l) na base, uma
vez que houve uma troca das restri¸˜es de nõ negatividade que
co a
ficaram justas.

e

Exemplo - continua¸õ
ca

Considerando a solu¸õ b´sica x = (1, 1, 0, 0) e lembrando que
ca a
c2
c 3 = −3c1 + 2 + c3 .

Se c = (2, 0, 0, 0) temos que c 3 = −3. A correspondente dire¸õ
ca
3 1
b´sica ´ (− 2 , 2 , 1, 0).
a e

Considerando pontos da forma x + θd, θ > 0, a unica componente de
´
x
x que cai ´ x1 (note que d1 < 0) e portanto θ ∗ = − d1 = 2 .
e 1 3

O novo ponto obtivo ´ y = x + 2 d = (0, 3 , 2 , 0).
e 3
4
3

Observe que as novas colunas associadas `s vari´veis b´sicas (x2 , x3 )
a a a
sõ l.i..
a

e

A nova base

A nova base B ´ dada por:
e

B = [AB(1) , . . . , AB(l−1) , AB(j) , AB(l+1) , . . . , AB(m) ]

Equivalentemente, o novo conjunto de vari´veis b´sicas ´
a a e

{B(1), . . . , B(l − 1), B(j), B(l + 1), . . . , B(m)}

Mais formalmente:
Teorema
1 As colunas AB(i ) : i = l e Aj s˜o linearmente independentes e, assim,
a
B ´ uma matriz b´sica.
e a
2 O vetor y = x + θ ∗ d ´ a solu¸˜o b´sica associada a B.
e ca a

e

Prova

Prova
(1): por contradi¸õ:
ca
Vamos supor que os vetores AB(i ) sejam l.d. Entõ, existem
a
coeficientes λ1 , . . . , λm , nõ todos nulos, tais que m λi AB(i ) = 0.
a i =1
−1 temos m
Multiplicando por B i =1 λi B −1 AB(i ) = 0 e os vetores
B −1 AB(i ) tamb´m sõ l.d. Vamos mostrar que este nõ ´ o caso.
e a a e
Observe que B −1 B = I . Logo B −1 AB(i ) = ei , i = l (ei denota o vetor
de zeros, exceto na i´sima entrada, que ´ 1). Todos os vetores
e e
B −1 AB(i ) possuem um 0 na l −´sima entrada. Logo, B −1 AB(i ) , i = l
e
sõ l.i..
a
Por outro lado B −1 AB(l) = B −1 Aj = −dB .
Por defini¸õ, dB(l) < 0. Logo B −1 Aj e B −1 AB(i ) , i = l sõ l.i..
ca a
Logo, B ´ uma base.
e

e

Prova

Prova
(2):
Temos que y ≥ 0, Ay = b.
Al´m disto yi = 0, ∀i ∈ {B(i ), . . . , B(i )}.
e
Acabamos de mostrar que AB(i ) , . . . , AB(i ) s˜o l.i..
a
Portanto, segue que y ´ uma solu¸˜o b´sica associada a B
e ca a

e

Observa¸˜es
co

Uma vez que θ ∗ > 0, segue que y ´ uma solu¸õ b´sica distinta de x,
e ca a
uma vez que d ´ uma dire¸õ de redu¸õ de custos e entõ c ′ y < c ′ x.
e ca ca a

Em parte, cumprimos nosso prop´sito inicial de mover para uma
o
solu¸õ b´sica adjacente, de menor custo.
ca a

Vamos enunciar uma itera¸õ t´ ca ıpica do M´todo Simplex, definindo
e
um vetor u = (u1 , . . . , um ), de forma que u = −dB = B −1 Aj , onde Aj
´ a coluna que entra na base. Ou seja, ui = −dB(i ) : i = 1, . . . , m.
e

e

M´todo Simplex: Itera¸õ T´
e ca ıpica

1 Inicie a itera¸õ com as colunas b´sicas B(1), . . . , B(m) e a solu¸õ
ca a ca
b´sica vi´vel associada x. Seja N o conjunto dos ´
a a ındices das vari´veis
a
nõ b´sicas.
a a
2 Calcule os custos reduzidos c j = cj − cB B −1 Aj , ∀j ∈ N. Se c ≥ 0,
′

p´re, a solu¸õ x ´ ´tima. Caso contr´rio, escolha j ∈ N : c j < 0.
a ca eo a
3 Calcule u = B −1 Aj . Se u ≤ 0, temos que θ ∗ = ∞ e o custo ´timo ´
o e
−∞. P´re, o problema ´ ilimitado.
a e
xB(i )
4 Se alguma componente de u ´ positiva, fa¸a θ ∗ = mini ∈1,...,m:ui >0
e c ui .
Seja l tal que θ ∗ = xB(l ) .
ul

5 Forme uma nova base substituindo AB(l) por Aj . Denote por y a nova
solu¸õ b´sica vi´vel. Entõ yj = θ ∗ e yB(i ) = xB(i ) − θ ∗ ui , i l .
ca a a a

e

Na ausˆncia de degenera¸õ, O M´todo Simplex converge
e ca e

Teorema
Assuma que o conjunto de solu¸˜es vi´veis do PL ´ nõ vazio e que toda
co a e a
solu¸õ b´sica ´ nõ degenerada. Entõ, o M´todo Simplex termina ap´s
ca a e a a e o
um n´mero finito de itera¸˜es. Ao final, temos duas possibilidades:
u co
1 Dispomos de uma base ´tima B e a correspondente solu¸õ b´sica
o ca a
o
´tima.
2 Encontramos um vetor d : Ad = 0, d ≥ 0 e c ′ d < 0. Portanto o custo
o
´timo ´ −∞.
e

e

Prova

Prova
Se o algoritmo termina no passo 2, as condi¸˜es de otimalidade
co
propostas previamente foram satisfeitas e B ´ uma base ´tima.
e o
Se o algoritmo termina no passo 3, estamos em uma solu¸õ b´sica x
ca a
e descobrimos uma vari´vel nõ b´sica xj tal que c j < 0. A j−´sima
a a a e
dire¸õ b´sica j satisfaz Ad = 0, d ≥ 0. Em particular temos que
ca a
x + θd ∈ P para θ tõ grande quanto queiramos. Uma vez que
a
c ′ d = c j , o custo pode ser feito tõ negativo quanto queiramos.
a
Em cada itera¸õ do algoritmo, nos movemos uma quantidade θ ∗ > 0
ca
ao longo de uma dire¸õ b´sica d satisfazendo c ′ d < 0. Assim sendo,
ca a
a cada itera¸õ o custo diminui e portanto nõ visitamos a mesma
ca a
solu¸õ b´sica mais de uma vez.
ca a
Como o n´mero de solu¸˜es b´sicas ´ finito, o algoritmo entõ
u co a e a
termina.

e

M´todo Simplex para problemas degenerados
e

Vamos considerar a partir de agora, como se comporta o algoritmo
descrito anteriormente, diante da degenera¸õ:
ca

1 Se a solu¸õ b´sica corrente x for degenerada, θ ∗ pode ser nulo, caso
ca a
xB(l) = 0 e dB(l) < 0. Por este motivo, a nova solu¸õ obtida y ´
ca e
idˆntica a x. Ainda assim, podemos definir uma nova matriz B com a
e
entrada da coluna Aj e a sa´ de AB(l) de forma que B ser´ uma
ıda a
base.

2 Mesmo se θ ∗ > 0, pode acontecer de mais de uma vari´vel b´sica se
a a
tornar zero no novo ponto x + θ ∗ d. Uma vez que apenas uma destas
vari´veis b´sicas que se tornou nula sair´ da base para a entrada da
a a a
coluna Aj , a nova solu¸õ encontrada y = x + θ ∗ d ser´ degenerada.
ca a

e

Efeito da degenera¸õ
ca

As mudan¸as de base associadas ` mesma solu¸ao b´sica podem, em
c a c˜ a
alguns casos, nõ ser in´teis, levando a descobrir uma dire¸õ b´sica
a u ca a
de redu¸õ de custo.
ca

Por outro lado, uma sequˆncia de mudan¸as de base associadas ao
e c
mesmo ponto x pode levar ` repeti¸õ das colunas associadas `
a ca a
representa¸õ da base, ocasionando a ciclagem.
ca

Para problemas altamente estruturados (fluxo em redes, etc) a
possibilidade nõ ´ remota.
a e

A ciclagem pode ser evitada atrav´s do uso de regras adequadas de
e
quais vari´veis entrarõ e/ou sairõ da base.
a a a

e

Ilustra¸õ dos dois casos em uma solu¸õ degenerada
ca ca
Neste exemplo temos n − m = 2. Vale observar a solu¸õ degenerada x.
ca

e

O M´todo Simplex pode n˜o terminar ?
e a

Quadro 1, B = {5, 6, 7}, entra x1 , sai x5
x5 = − 0.5x1 + 5.5x2 + 2.5x3 − 9x4
x6 = − 0.5x1 + 1.5x2 + 0.5x3 − x4
x7 = 1 − x1
z = + 10x1 − 57x2 − 9x3 − 24x4

x1 = + 11x2 + 5x3 − 18x4 − 2x5
x6 = − 4x2 − 2x3 + 8x4 + x5
x7 = 1 − 11x2 − 5x3 + 18x4 + 2x5
z = + 53x2 + 41x3 − 204x4 − 20x5

e

e a

x2 = − 0.5x3 + 2x4 + 0.25x5 − 0.25x6
x1 = − 0.5x3 + 4x4 + 0.75x5 − 2.75x6
x7 = 1 + 0.5x3 − 4x4 − 0.75x5 − 13.25x6
z = + 14.5x3 − 98x4 − 6.75x5 − 13.25x6

x3 = + 8x4 + 1.5x5 − 5.5x6 − 2x1
x2 = − 2x4 − 0.5x5 + 2.5x6 + x1
x7 = 1 − x1
z = + 18x4 + 15x5 − 93x6 − 29x1

e

e a

x4 = − 0.25x5 + 1.25x6 + 0.5x1 − 0.5x2
x3 = − 0.5x5 + 4.5x6 + 2x1 − 4x2
x7 = 1 − x1
z = + 10.5x5 − 70.5x6 − 20x1 − 9x2

x5 = + 9x6 + 4x1 − 8x2 − 2x3
x4 = − x6 − 0.5x1 + 1.5x2 + 0.5x3
x7 = 1 − x1
z = + 24x6 + 22x1 − 93x2 − 21x3

e

O M´todo Simplex pode n˜o terminar ? Sim, caso cicle.
e a

O pr´ximo quadro ´ igual ao quadro inicial !
o e

x6 = − 0.5x1 + 1.5x2 + 0.5x3 − x4
x5 = − 0.5x1 + 5.5x2 + 2.5x3 − 9x4
x7 = 1 − x1
z = + 10x1 − 57x2 − 9x3 − 24x4

e

Possibilidades para implementar o pivoteamento

At´ o momento, nõ particularizamos regra alguma para escolher as
e a
regras de pivoteamento, isto ´, escolher qual vari´vel entra e sai da
e a
base. Em particular, na descri¸õ que apresentamos do M´todo Simplex,
ca e
temos flexibilidade quanto ` escolha de:
a

1 Qual coluna nõ b´sica com custo reduzido ´ negativo deve ser eleita
a a e
para entrar na base;

2 Diante de mais de uma vari´vel que definam θ ∗ , qual escolher para
a
deixar a base.

e

Algumas prov´veis candidatas a regras de pivotemento :
a

Escolher para entrar na base, a coluna nõ b´sica Aj que possui o
a a
custo reduzido c j mais negativo.
Escoher para entrar na base, a coluna nõ b´sica Aj que promova o
a a
maior redu¸õ na fun¸õ objetivo, isto ´ θ ∗c j . Esta regra pode
ca ca e
acelerar a queda da fun¸õ objetivo, mais paga-se maior pre¸o
ca c
computacional, para se avaliar o θ ∗ associado a entrada de cada
coluna que possua c j . A experiˆncia computacional existe sugere que
e
o tempo global de cpu nõ decresce com a ado¸õ desta estrat´gia.
a ca e
Mesmo a primeira estrat´gia acima pode ser muito cara para
e
problemas de larga escala (requer que todas as colunas tenham seus
custos reduzidos avaliados). Assim sendo, uma regra simples consiste
na regra de escolher a coluna com custo reduzido negativo, de menor
´
ındice.

e

Implementa¸˜es do Simplex
co

Os vetores B −1 Aj sõ de fundamental importˆncia no algoritmo, uma
a a
vez que com estas informa¸˜es podemos obter:
co
◮ Custos reduzidos c j = cj − cB B −1 Aj
′

◮ A dire¸õ de busca d
ca
◮ O valor de θ∗

Por este motivo, a diferen¸a entre as implementa¸˜es alternativas do
c co
M´todo Simplex residem em como esta informa¸õ ´ calculada e
e ca e
quais informa¸˜es sõ preservadas de itera¸õ para itera¸õ.
co a ca ca

Dado que B ´ uma matriz m × m temos:
e
◮ Custo de resolver Bx = b: O(m3 )
◮ Custo de efetuar a mutiplica¸õ Bb: O(m2 )
ca
◮ Custo de calcular o produto interno de dois vetores m dimensionais:
O(m).

e

Implmenta¸õ Inocente
ca

1 Nenhuma informa¸õ adicional ser´ transportada de itera¸õ para
ca a ca
itera¸õ no m´todo.
ca e
2 Em cada itera¸õ t´
ca ıpica, conhecemos os ´
ındices B(1), . . . , B(m) das
vari´veis b´sicas.
a a
3 Montamos a matriz B e resolvemos o sistema linear p ′ B = cB .
′

4 O custo reduzido para qualquer coluna j ´ obtido via c j = cj − p ′ Aj .
e
5 Dependendo da regra de pivoteamento adotado, podemos evitar
calcular todos os custos reduzidos.
6 Uma vez que escolhemos a coluna Aj para entrar na base, resolvemos
Bu = Aj (ou u = B −1 Aj ).
7 A partir de entõ, podemos calcular θ ∗ e definir qual vari´vel sair´ da
a a a
base.

e

Implementa¸õ inocente - complexidade computacional
ca

Resolver os sistemas lineares (p ′ B = cB e u = B −1 Aj ): O(m3 ).
′

Dependendo da estrutura da matriz B, este custo pode ser reduzido
sensivelmente (exemplo: Problemas de Fluxo em Redes)

C´lculo do custo reduzido para todas as colunas: O(mn)
a

Custo total por itera¸õ: O(nm + m3 ).
ca

Veremos como fazer a itera¸õ a um custo de O(m2 + mn)
ca

e

Simplex Revisado

Boa parte do custo computacional por itera¸õ ´ relacionado `
ca e a
resolu¸õ de dois sistemas lineares.
ca

Neste m´todo, a matriz B −1 ´ explicitamente mantida em cada
e e
itera¸õ e os vetores cB B −1 e B −1 Aj s˜ determinados via
ca ′ a
multiplica¸õ matricial.
ca

Para ser eficiente, o m´todo requer um esquema eficiente de
e
atualiza¸õ de B
ca −1 quando implementarmos uma opera¸õ de
ca
pivoteamento.

e

Simplex Revisado

Base no in´ da itera¸õ: B = [AB(1) , . . . , AB(m) ]
ıcio ca
Base ao fim da itera¸õ: ca
B = [AB(1) , . . . , AB(l−1) , AB(j) , AB(l+1) , . . . , AB(m) ]
Todas, exceto uma coluna de B e B sõ compartilhadas.
a
Em fun¸õ disto, ´ razo´vel esperar que B −1 contenha informa¸õ
ca e a ca
−1
que possa ser usada na determina¸õ de B .
ca

e

−1
Como aproveitar informa¸˜es de B −1 para avaliar B
co

Defini¸õ
ca
Dada uma matriz, nõ necessariamente quadrada, a opera¸ao de adicionar
a c˜
um m´ltiplo de uma linha ` mesma linha ou a outra linha da matriz ´
u a e
chamada de opera¸õ linha elementar (nõ muda as informa¸˜es dos
ca a co
sistemas lineares representados pela matriz).

Exemplo
Digamos que queiramos multiplicar a terceira linha da matriz C abaixo por
2 para somar ` primeira linha da matriz. Isto equivale a multiplicar C pela
a
matriz Q dada abaixo.
     
1 2 1 0 2 11 14
C =  3 4  Q =  0 1 0  QC =  3 4 
5 6 0 0 1 5 6

e

Generalizando este exemplo

Multiplicar a j−´sima linha de uma matriz por β e adicionar este
e
produto ` i −´sima linha da matriz, equivale a pr´ mutiplicar a matriz
a e e
por Q = I + Dij , onde Dij ´ uma matriz de zeros, exceto em sua
e
entrada na i −´sima linha e j−´sima coluna que ´ β.
e e e
Observe que a matriz Q possui determinante 1 e entõ admite inversa.
a
Suponha que queiramos fazer uma sequˆncia de K opera¸˜es linha
e co
elementares, cada qual correspondento a pr´-multiplica¸õ por uma
e ca
matriz Qk correspondente. Esta sequˆncia de opera¸˜es consiste em
e co
pr´ multiplicar a matriz sobre a qual sõ feitas as opera¸˜es por:
e a co
QK QK −1 . . . Q2 Q1 .

e

Aplicando esta idía no M´todo Simplex
e e

Uma vez que B −1 B = I , temos que B −1 AB(i ) = ei , onde ei ´ um
e
vetor de zeros exceto pela i −´sima entrada que ´ 1.
e e
 
1 u1
.. .
. .
 

 . 

Usando esta observa¸õ temos B
ca −1 B =  ul 
. ..
 

 .
. .


um 1
Para transformar a matriz acima na identidade:
◮ Para cada i = l, adicionamos o produto da l− ´sima linha (linha pivot)
e
por −ui e somamos ` i− ´sima linha. Observe que ul = 0 e entõ esta
ul a e a
opera¸õ substitui ui por 0 na correspondente i−´sima linha.
ca e
◮ Dividimos a l− ´sima linha por ul .
e
Seja Q o produto destas m opera¸˜es linha elementares. Temos entõ
co a
que QB −1 B = I , logo B −1 = QB −1 .

e

Exemplo

Vamos considerar l = 3 (a terceira coluna de B ser´ alterada para
a
compor B) e
   
1 2 3 −4
−1
B =  −2 3 1 u =  2 
4 −3 −2 2
   
1 0 2 9 −4 −1
−1
Ent˜o temos: Q =  0 1 −1  B =  −6
a 6 3 
1
0 0 2 2 −1.5 −1

e

M´todo Simplex Revisado
e

Vamos adicionar o seguinte passo ao final da quinta opera¸õ na itera¸õ
ca ca
t´
ıpica:

Forme a matriz m × (m + 1) dada por: [B −1 | u].
Fa¸a as opera¸˜es linha elementares necess´rias para transformar a
c co a
ultima coluna desta matriz no vetor unit´rio el .
´ a
−1
As primeiras m colunas da matriz resultante fornece B .

Observe que recalcular a inversa da base agora custa O(m2 ). Desta forma,
apenas na primeira inversõ da base, pagamos o O(m3 ). Desta forma,
a
reduzimos o custo de cada itera¸õ para O(nm + m2 )
ca

e

Regras anti-ciclagem

Regra lexicogr´fica, adequada ` implementa¸õ da versõ Full table
a a ca a
implementation que, por ter o comportamento assint´tico pior que a
o
versõ do Simplex Revisado, nõ ser´ discutida.
a a a

Regra de Bland - compat´ com a implementa¸õ do Simplex
ıvel ca
Revisado.

e

Regra de Bland

Pivoteamento de Bland
1 Encontre o menor ´
ındice j para o qual o custo reduzido c j ´ negativo.
e
2 Dentre as vari´veis b´sicas xi que se anularem primeiro com o
a a
incremento da vari´vel xj (para as quais houver empate na
a
determina¸õ de θ ∗ ), escolha aquela com o menor ´
ca ındice i .

Observa¸˜es:
co
Esta regra nõ nos obriga a calcular todos os custos reduzidos.
a
´
E compatél com a implementa¸õ do Simplex Revisado, na qual os
v ca
custos reduzidos sõ calculados na ordem natural das vari´veis.
a a
Diante desta regra ´ provado que nõ pode haver ciclagem e o
e a
M´todo Simplex converge ap´s um n´merol finito de mudan¸as de
e o u c
base.

e

Encontrando uma base inicial vi´vel
a

No M´todo Simplex, assumimos dispor de uma solu¸õ b´sica vi´vel
e ca a a
inicial. Nõ descrevemos ainda como obter esta solu¸ao.
a c˜

Em alguns casos, encontrar esta solu¸õ ´ trivial. Exemplo:
ca e
P ′ = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} e o vetor b ≥ 0. Neste caso, introduzindo as
+
n m
vari´veis de folga temos P = {(x, s) ∈ (R+ , R+ ) : Ax + Is = b} e o
a
vetor (x, s) = (0, b) ´ uma solu¸õ b´sica vi´vel.
e ca a a

De um modo geral, encontrar esta solu¸õ nõ ´ tõ trivial,
ca a e a
requerendo a solu¸õ de um problema linear auxiliar (Fase 1).
ca

e

Constru¸˜o de um problema auxiliar
ca

Problema Original

min c ′x
Ax = b
x ≥0

Assumimos sem perda de generalidade que b ≥ 0 (caso contr´rio,
a
multiplicamos alguma linha do sistema linear por −1)

e

Constru¸õ de um problema auxiliar - Fase 1
ca
Problema Auxiliar (PA)

m
min yi
i =1
Ax + y = b
x ≥0
y ≥0

Introduzimos as vari´veis artificiais y ∈ Rm +.
a
Uma solu¸õ b´sica inicial para o Prob. Auxiliar ´ dada por
ca a e
(x, y ) = (0, b).
Resolvemos PA. Se a fun¸õ objetivo ´tima for 0 sabemos que h´
ca o a
solu¸õ vi´vel para o problem original. Caso contr´rio, o problema
ca a a
original ´ invi´vel.
e a
Como obter a solu¸õ b´sica inicial para o problema original ?
ca a
e

Obtendo uma solu¸õ vi´vel inicial a partir de PA
ca a

Para iniciar o M´todo Simplex, necessitamos de uma solu¸õ b´sica inicial
e ca a
e a matriz b´sica associada. Vamos assumir que no ´timo de PA tenhamos
a o
m
j=1 yj = 0 (prob. original ´ vi´vel).
e a

Analisando a solu¸õ do PA:
ca
1 Se ao final da resolu¸õ de PA as colunas b´sicas na solu¸ao ´tima
ca a c˜ o
forem exclusivamente as vari´veis x, basta tomarmos esta solu¸õ
a ca
como uma sol. b´sica vi´vel inicial (e as correspondentes colunas
a a
compondo a base) para iniciar o problema original.
2 Se existirem vari´veis yj b´sicas (necessariamente degeneradas) na
a a
solu¸õ ´tima de PA, devemos fazer opera¸˜es de pivoteamento
ca o co
for¸ado para removˆ-las da base.
c e

e

Eliminando as vari´veis y para fora da base
a

Vamos supor (como de costume) que posto(A) = m.
Vamos assumir que k < m colunas de A aparecem na base ´tima de o
PA. Os ´ ındices das vari´veis b´sicas associadas a estas colunas sõ
a a a
B1 , . . . , Bk
Vale observar que as colunas AB(1) , . . . , AB(k) sõ linearmente
a
independentes, uma vez que estõ na base.
a
Como a matriz A ∈ Rm×n possui posto m, suas colunas geram o
espa¸o Rm . Logo, ´ poss´ escolher outras m − k colunas de A, que
c e ıvel
sejam linearmente independentes a AB(1) , . . . , AB(k) .
Vamos identificar estas colunas, eliminando as colunas associadas a y
da base.

e

Eliminando as vari´veis artificiais
a

Vamos supor que a l −´sima (l > k) vari´vel b´sica seja artificial.
e a a
Dentre as vari´veis xj : j ∈ {B(1), . . . , B(m)}, procuramos uma
a
coluna j tal que B −1 Aj = 0.

Claramente Aj ´ l.i. com AB(1) , . . . , AB(k) (por quˆ ?)
e e

Entõ fazemos um pivoteamento for¸ado, no qual trazemos a coluna
a c
Aj para a base e eliminados a coluna da vari´vel artificial da base.
a

Repetimos o processo enquanto houver colunas b´sicas associadas a
a
vari´veis artificiais.
a

e

Complexidade computacional do m´todo simplex
e

A complexidade do m´todo Simplex depende:
e
1 da complexidade computacional em cada itera¸õ (O(nm), por
ca
exemplo, no caso do Simplex Revisado)
2 do n´mero de itera¸˜es, ou opera¸˜es de pivoteamento.
u co co

Na pr´tica: ao longo dos anos observou-se que o m´todo
a e
normalmente executa O(m) opera¸˜es de pivoteamento na m´dia.
co e
Pior caso: esta observa¸õ que ocorre na pr´tica nõ ´ verdadeira
ca a a e
para qualquer Programa Linear e qualquer regra de pivoteamento. Há
exemplos de problemas nõ degenerados nos quais o m´todo percorre
a e
todos os v´rtices do poliedro at´ encontrar a solu¸õ ´tima.
e e ca o

e

Complexidade no pior caso

Vamos considerar o problema de minimizar −xn sobre o cubo
P = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1 dots, n}. Estes cubo possui 2n
v´rtices, metade dos quais possuem custo 0 e a outra metade custo
e
−1. Assim sendo, a fun¸˜o objetivo n˜o pode decrescer
ca a
monotonicamente ao longo das itera¸˜es do Simplex.
co
Por este motivo, vamos perturbar o cubo, mantendo o n´mero de
u
v´rtices, impondo as seguintes restri¸˜es, para ǫ ∈ (0, 1 )
e co 2

ǫ ≤ x1 ≤ 1,
ǫxi −1 ≤ xi ≤ 1 − xi −1 , i = 2, . . . , n

de forma a criar uma sequˆncia de v´rtices adjacentes para os quais a
e e
fun¸ao objetivo seja reduzida quando nos movemos de um v´rtice para o
c˜ e
outro.

e

Criamos um caminho que percorre todos os v´rtices
e
Existe uma regra de pivoteamento que faz o m´todo percorrer todos os
e
v´rtices (ver a prova em Papadimitrou e Steiglitz, pp. 166-170).
e
min −xn
ǫ ≤ x1 ≤ 1,
ǫxi −1 ≤ xi ≤ 1 − xi −1 , i = 2, . . . , n

e

Existe regra de pivoteamento imune a esta patologia ?

Questõ em aberto
a
Para v´rias regras populares de pivotemento, h´ exemplos como o
a a
indicado anteriormente, que fazem o m´todo percorrer todos os
e
v´rtices.
e
Entretanto, estes exemplos nõ excluem a possibilidade de existir uma
a
regra de pivotemento que nõ apresente o comportamento de pior
a
caso exponencial.
Esta ´ uma das quest˜es mais importantes em Teoria de Programa¸õ
e o ca
Linear, ainda em aberto.
O fato ´ que nõ se conhece uma regra de pivoteamento imune a esta
e a
patologia.
O Problema de Programa¸õ Linear ´ polinomialmente sol´vel
ca e u
(Algoritmo do Elipsíde).
o

e

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