SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 109
Baixar para ler offline
1     Introdu¸˜o
             ca
1.1    Defini¸oes
            c˜
Defini¸˜o 1.1. Se uma vari´vel pode assumir qualquer valor, independente
        ca                     a




                                                  .
de outra vari´vel, ela ´ chamada independente. Por exemplo, as vari´veis
               a        e                                                     a
x,y,z,t,h s˜o independentes. Para representar o conjunto de todas as vari´veis
           a                                                                  a
independentes num certo problema, usaremos a nota¸˜o {x}, onde x ´ uma
                                                             ca             e
das vari´veis do problema.
         a




                                               .S
Defini¸˜o 1.2. Quando uma vari´vel depende de outra, ou outras, ela ´ dita
        ca                           a                                       e
dependente. Dizemos tamb´m que essa vari´vel ´ uma fun¸˜o das vari´veis
                            e                    a      e         ca          a
das quais ela depende. Ela n˜o pode assumir qualquer valor, pois depende
                                a




                                            .J
de outras vari´veis. S˜o exemplos de vari´veis dependentes as seguintes
                 a       a                        a
fun¸˜es: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f (x, y). Para representar o
   co
conjunto de todas as vari´veis dependentes num certo problema, usamos a
                           a
nota¸˜o {y({x})}.
     ca
Defini¸˜o 1.3. Uma equa¸˜o diferencial ´, basicamente, uma equa¸˜o que
        ca                   ca                 e                          ca




   R
envolve as derivadas de uma ou mais vari´veis dependentes com rela¸˜o `
                                                a                            ca a




  .
uma ou mais vari´veis independentes. Ent˜o, as equa¸˜es
                   a                           a              co
                                                 2
                              d2 y      dy
                                 2
                                   + xy              =0                       (1)
                              dx        dx




A
                            d4 x    d2 x
                                 + 5 2 + 3x = cos t                           (2)
                            dt4     dt
                               d3 y    d2 x
                                    + y 2 = ln z                              (3)
                               dz 3    dz
                                  ∂v ∂v
                                     +    =v                                  (4)
                                  ∂s   ∂t
                                             3
                        ∂ 2u ∂ 2v ∂v                 ∂u
                           2
                             − 2+                +      =0                    (5)
                        ∂x    ∂x  ∂y                 ∂y
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais.
 a                    co
    Como se percebe nas equa¸˜es acima, existem v´rios tipos de equa¸˜es
                              co                    a                 co
diferenciais. Sendo assim, elas foram classificadas de acordo com alguns
crit´rios.
    e
Defini¸˜o 1.4. Uma equa¸˜o diferencial que envolve apenas derivadas or-
        ca                 ca
din´rias de uma ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a apenas uma
    a                         a                         ca
vari´vel independente ´ chamada equa¸˜o diferencial ordin´ria. As equa¸˜es
     a                 e             ca                   a           co
(1), (2) e (3) s˜o exemplos de equa¸˜es diferencias ordin´rias. Na equa¸˜o
                a                  co                    a             ca

                                        1
1.1, a vari´vel independente ´ x, enquanto que a dependente ´ y = y(x). Na
            a                    e                                        e
equa¸˜o (2), a vari´vel independente ´ t, e agora x = x(t) ´ uma vari´vel
     ca                 a                   e                             e        a
dependente. Por fim, na equa¸˜o (3) temos duas fun¸˜es da vari´vel z, que
                                   ca                          co            a
s˜o x(z) e y(z).
 a




                                                    .
Defini¸˜o 1.5. Uma equa¸˜o diferencial que envolve derivadas parciais de
        ca                     ca
um ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a mais de uma vari´vel in-
                     a                           ca                            a
dependente ´ chamada equa¸˜o diferencial parcial. As equa¸˜es (4) e (5)
              e                  ca                                       co
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais parciais. Na equa¸˜o (4), s e t s˜o
 a                        co                                        ca               a




                                                 .S
as vari´veis independentes, e temos v = v(s, t). Na equa¸˜o (5), temos
        a                                                                ca
u = u(x, y) e v = v(x, y), que s˜o vari´veis dependentes, e x e y s˜o as
                                        a     a                                  a
independentes.
Defini¸˜o 1.6. A derivada de maior ordem numa equa¸˜o diferencial define
        ca                                                       ca




                                              .J
a ordem da equa¸˜o diferencial. Assim, a equa¸˜o (1) ´ de segunda ordem,
                    ca                                 ca         e
ao passo qua a equa¸˜o (2) ´ de quarta ordem; (3) ´ de terceira ordem, (4)
                        ca       e                            e
´ de primeira ordem e (5) tamb´m ´ de segunda ordem.
e                                     e e
Defini¸˜o 1.7. Se uma equa¸˜o diferencial for tal que nos seus termos n˜o
        ca                          ca                                               a




   R
aparecem




  .
    • fun¸˜es transcendentais da vari´vel ou vari´veis dependentes, ou de
          co                                a               a
                                                                      2
suas derivadas, como, por exemplo, ln y(x), cos dt , sin ∂ x ;
                                                          dz
                                                                     ∂y 2
    • produtos entre as vari´veis dependentes, entre as vari´veis dependentes
                               a                                     a
e suas derivadas, ou entre as derivadas das vari´veis dependentes, como, por
                                                       a




A
                          2
                  2    dt         dy dz dh         ∂ 2 x ∂x
exemplo, [y(x)] , dh , y(x) dx , dt dt , x(y, z) ∂z2 ∂y ;
ent˜o a equa¸˜o diferencial ´ uma equa¸˜o diferencial linear. Se aparecer
   a            ca                e           ca
algum desses termos, a equa¸˜o ´ chamada equa¸˜o diferencial n˜o - linear.
                                 ca e                    ca                  a
As equa¸˜es (2) e (4) s˜o equa¸˜es diferenciais lineares, enquanto que as
         co                  a         co
equa¸˜es (1),(3) e (5) s˜o n˜o - lineares.
     co                     a a
    Quando uma equa¸ao diferencial ´ linear e ordin´ria de ordem n e possui
                          c˜              e                  a
apenas uma vari´vel dependente, ela pode ser posta na forma geral
                    a

              dm y         dm−1 y                 dy
         ao (x)  m
                   + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)    (6)
              dx           dx                     dx
onde ao (x) n˜o ´ identicamente nulo, x ´ a vari´vel independente e y(x) ´
             a e                          e       a                      e
a unica fun¸ao de x. A express˜o acima ´ a forma mais geral para uma
  ´         c˜                    a         e
equa¸ao diferencial linear e ordin´ria de ordem n com apenas uma vari´vel
    c˜                            a                                   a
dependente.
As equa¸˜es
        co

                               d2 y     dy
                                  2
                                    + 3x + 6y = 0                                 (7)
                               dx       dx



                                          2
d4 x 1 d2 x
                         3j 2        −        + jx = jej                   (8)
                                dj 4   j dj 2
s˜o exemplos de equa¸oes diferenciais ordin´rias lineares. A equa¸˜o (7) ´ de
 a                  c˜                     a                     ca      e




                                                   .
segunda ordem e a (8) ´ de quarta ordem.
                      e

1.2    Importˆncia das Equa¸oes Diferenciais
             a             c˜




                                                .S
Al´m do ponto de vista matem´tico, por si s´ relevante, o estudo de equa¸˜es
   e                               a          o                            co
diferenciais ´ muito importante do ponto de vista f´
                e                                    ısico. Os f´
                                                                ısicos ao estu-
darem alguns fenˆmenos, procuram inicialmente descrevˆ-lo de forma quali-
                     o                                     e
tativa e posteriormente de forma quantitativa.




                                             .J
     Para uma boa parte dos sistemas f´  ısicos conhecidos at´ o momento, a
                                                             e
equa¸ao ou equa¸oes que descrevem os fenˆmenos, pelo menos de forma apro-
      c˜            c˜                     o
ximada, s˜o equa¸˜es diferenciais. As solu¸˜es de uma equa¸ao diferencial
             a       co                      co                 c˜
s˜o expl´
 a         ıcitas pu impl´ıcitas.




   R
Defini¸˜o 1.8. Uma solu¸˜o expl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
         ca                     ca   ı                  ca              e




  .
fun¸˜o y = f ({x}) do conjunto das vari´veis independentes, a qual, quando
    ca                                    a
substitu´da na equa¸˜o diferencial, a transforma em uma igualdade.
          ı            ca
     Como exemplo, a equa¸ao diferencial
                               c˜
                                      dx




A
                                         = 2x
                                      dt
tem uma solu¸˜o expl´
            ca      ıcita dada por

                                    x(t) = ce2t

pois, se substituirmos x(t) na equa¸˜o, temos (c ´ uma constante)
                                   ca            e
                                      dx
                                         = 2x
                                      dt

                                d
                                   ce2t = 2 ce2t
                                dt


                                   2ce2t = 2ce2t

que ´ obviamente uma igualdade.
    e
Defini¸˜o 1.9. Uma solu¸˜o impl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
       ca                   ca       ı                 ca               e
fun¸˜o g ({y} , {x}) do conjunto de vari´veis dependentes e independentes, a
   ca                                    a
qual, atrav´s de deriva¸˜es impl´citas, reproduz a equa¸˜o diferencial inicial.
           e           co       ı                      ca

                                         3
Neste caso, temos que a fun¸˜o
                              ca

                         f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0

´ uma solu¸ao impl´
e         c˜      ıcita da equa¸˜o diferencial
                               ca




                                                .
                                      dy
                                x+y      =0
                                      dx
pois, tomando a derivada impl´
                             ıcita de f (x, y) com rela¸˜o a x, temos
                                                       ca




                                             .S
                     d             d 2                 d
                       f (x, y) =    (x + y 2 − 25) =    0
                    dx            dx                  dx




                                          .J
                                         dy
                               2x + 2y      =0
                                         dx

                                      dy




   R
                                x+y      =0
                                      dx




  .
que ´ a equa¸˜o diferencial inicial. Esta solu¸˜o impl´
    e       ca                                ca      ıcita pode ser desmen-
brada em duas outras, f1 e f2 , que neste caso s˜o expl´
                                                 a      ıcitas, a saber,
                                           √
                         f1 (x) = y1 (x) = 25 − x2




A
                                           √
                        f2 (x) = y2 (x) = − 25 − x2

Todavia, esse desmembrmento em geral n˜o ´ poss´
                                           a e      ıvel, e ficamos apenas com
a solu¸˜o impl´
      ca        ıcita. Alguns exemplos de aplica¸oes de equa¸oes diferenciais
                                                 c˜            c˜
s˜o:
 a
1) movimento de proj´teis, planetas e sat´lites;
                        e                  e
2) estudo do decaimento radioativo de n´cleos inst´veis;
                                          u          a
3) propaga¸ao do calor atrav´s de uma barra;
            c˜                  e
4) estudo de todos os tipos de ondas;
crescimento de popula¸˜o;ca
6) estudo de rea¸oes qu´
                  c˜       ımicas;
7) descri¸ao quˆntica de um atomo de hidrogˆnio;
         c˜      a              ´              e
8) c´lculo do potencial el´trico de uma distribui¸ao de cargas;
    a                        e                    c˜
9) estudo do oscilador harmˆnico.
                               o
    Os sistemas acima s˜o uma amostra da grande utiliza¸˜o das equa¸˜es
                            a                                 ca          co
diferenciais. E´ poss´ que, para um dado problema, al´m da equa¸˜o dife-
                      ıvel                                 e          ca
rencial em si exista mais alguma condi¸ao que o experimento deve satisfazer.
                                       c˜
Ent˜o, temos os seguintes casos:
    a

                                      4
Defini¸˜o 1.10. Quando um dado fenˆmeno, al´m de uma equa¸˜o dife-
       ca                                 o          e                ca
rencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condi¸˜es iniciais, esta-
                                                            co
belecidas a priori, para um mesmo valor da vari´vel independente, dizemos
                                                   a
que temos um problema de valor inicial. Como exemplo, considere um corpo




                                                .
em queda livre. O movimento desse ´ descrito por uma equa¸˜o diferencial,
                                     e                         ca
e as condi¸˜es s˜o a altura da qual ele foi solto e a valocidade inicial com a
           co    a
qual ele iniciou o movimento. Se a queda for no v´cuo, temos considerando
                                                     a
a origem no ch˜o e a altura representada por y(t), a equa¸˜o
                a                                           ca




                                             .S
                                   d2 y
                                        = −g
                                   dt2
com as condi¸˜es iniciais
            co




                                          .J
                                     dy
                y(0) = yo      e              = y (0) = v(0) = vo
                                     dt   0

 e a fun¸˜o y(t), que ´ solu¸˜o desta equa¸˜o diferencial, tem necessariamente
        ca            e      ca           ca
que respeitar as condi¸˜es iniciais, que foram dadas para o valor de t = 0.
                        co




   R
Defini¸˜o 1.11. Se um fenˆmeno descrito por uma equa¸˜o diferencial
        ca                       o                              ca




  .
tiver alguma condi¸˜o especificada para dois ou mais valores da vari´vel in-
                    ca                                                  a
dependente, temos um problema com condi¸˜es de contorno. Por exemplo,
                                             co
considerando um caso idˆntico ao anterior, mas com condi¸˜es dadas em
                            e                                   co
duas alturas diferentes, ou seja, algo como




A
                                   d2 y
                                        = −g
                                   dt2
com as condi¸˜es de contorno
            co

                                   y(0) = yo

                                   y(2) = y2
 temos um problema com condi¸˜es de contorno, dadas para os tempos t = 0
                              co
e t = 2. Nem sempre um problema com condi¸˜es de contorno tem solu¸˜o
                                              co                        ca
apesar de que a equa¸˜o diferencial sozinha, sem considerar as condi¸˜es de
                    ca                                              co
contorno, pode ter.


2    Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias de Pri-
          c˜                    a
     meira Ordem
Veremos alguns m´todos de resolu¸ao de equa¸˜es diferenciais de primeira
                 e               c˜          co
ordem, lembrando a equa¸˜o (6), pode ser colocada na forma
                       ca

                                      5
dy
                                  = f (x, y)                        (9)
                               dx
na qual a fun¸ao f (x, y) pode ser escrita com uma raz˜o de duas outras
               c˜                                     a




                                                 .
fun¸oes, ou seja,
   c˜

                                            M (x, y)
                             f (x, y) = −
                                            N (x, y)




                                              .S
e a equa¸˜o (9) pode ser reescrita na forma equivalente
        ca

                          M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0                  (10)




                                           .J
Por exemplo, a equa¸˜o
                   ca

                                 dy   2x2 − y
                                    =
                                 dx      x




   R
pode ser reescrita como




  .
                            xdy − (2x2 − y)dx = 0

ou




A
                            (y + 2x2 )dx + xdy = 0

e assim, temos M (x, y) = y − 2x2 e N (x, y) = x. Na nota¸ao (9) fica
                                                                c˜
claro que y ´ a fun¸ao de x, enquanto que na (10) podemos interpretar que
            e       c˜
y = y(x) ou x = x(y), conforme for o caso. Em certas situa¸oes, ´ mais f´cil
                                                           c˜ e         a
considerar um ponto de vista do que outro, e ent˜o ´ prefer´ resolver a
                                                   a e        ıvel
equa¸ao diferencial sob esse ponto de vista e, se for necess´rio, obtemos a
     c˜                                                     a
fun¸ao inversa ap´s completar a resolu¸˜o da equa¸ao. Vejamos alguns casos
    c˜            o                   ca          c˜
especiais.

2.1     Equa¸˜es Diferenciais Exatas
            co
Defini¸˜o 2.11 Seja F uma fun¸˜o de duas vari´veis reais, de forma que
      ca                          ca               a
F tenha as derivadas parciais primeiras cont´nuas. A diferencial total dF da
                                            ı
fun¸˜o F ´ definida por
   ca    e

                                 ∂F (x, y)      ∂F (x, y)
                   dF (x, y) =             dx +           dy           (11)
                                   ∂x             ∂y
Como exemplo, considere a fun¸ao
                             c˜

                                       6
F (x, y) = x2 y + 3y 3 x

Temos




                                                  .
           ∂F (x, y)                           ∂F (x, y)
                     = 2xy + 3y 3       e                = x2 + 9y 2 x
             ∂x                                  ∂y
e, portanto,




                                               .S
                  dF (x, y) = (2xy + 3y 3 )dx + (x2 + 9y 2 x)dy

Defini¸˜o 2.2. A express˜o
     ca                a




                                            .J
                            M (x, y)dx + N (x, y)dy                      (12)
´ chamada uma diferencial exata se existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que se
e                                                ca
verifique




  .R
               ∂F (x, y)                       ∂F (x, y)
                         = M (x, y)     e                = N (x, y)
                 ∂x                              ∂y
Se M (x, y)dx + N (x, y)dy ´ uma diferencial exata, a equa¸˜o diferencial
                           e                              ca




A
                          M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

´ chamada uma equa¸˜o diferencial exata.
e                    ca
    Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equa¸˜o diferen-
                                                             ca
cial s˜o exatas? A resposta ´ dada pelo seguinte teorema:
      a                     e
Teorema 2.1 A equa¸˜o diferencial
                       ca

                          M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

´ exata se, e somente se, for verificado que
e

                            ∂M (x, y)    ∂N (x, y)
                                      =                                   (13)
                               ∂y           ∂x
Demonstra¸˜o. A prova do teorema 2.1 nos conduz ao m´todo de resolu¸˜o
          ca                                               e               ca
de uma equa¸˜o diferencial exata. Vejamos a primeira parte. Consideremos
             ca
que a equa¸˜o diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata e que, portanto,
          ca                                          e
existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que
               ca
               ∂F (x, y)                       ∂F (x, y)
                         = M (x, y)     e                = N (x, y)
                 ∂x                              ∂y

                                        7
Assim,

          ∂ 2 F (x, y)   ∂M (x, y)              ∂ 2 F (x, y)   ∂N (x, y)
                       =                 e                   =
             ∂y∂x          ∂y                      ∂x∂y          ∂x




                                                   .
No entanto, a ordem das derivadas pode ser invertida, ou seja,

                            ∂ 2 F (x, y)   ∂ 2 F (x, y)
                                         =
                               ∂y∂x           ∂x∂y




                                                .S
e, dessa forma, temos
                            ∂M (x, y)   ∂N (x, y)
                                      =




                                             .J
                              ∂y          ∂x
   Na outra parte da prova, iniciamos com a hip´tese
                                               o
                            ∂M (x, y)   ∂N (x, y)
                                      =




   R
                              ∂y          ∂x




  .
e queremos provar que existe uma fun¸ao F (x, y) tal que
                                    c˜

             ∂F (x, y)                          ∂F (x, y)
                       = M (x, y)        e                = N (x, y)
               ∂x                                 ∂y




A
de forma que a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja exata.
                   c˜
Vamos assumir a express˜o
                       a
                             ∂F (x, y)
                                       = M (x, y)
                               ∂x
seja verdadeira. Ent˜o, podemos fazer
                    a

                        F (x, y) =    M (x, y)∂x + φ(y)                    (14)
onde a integral ´ efetuada apenas em x, sendo y considerado como uma
                e
constante. O termo φ(y) aparece porque deveos ter a solu¸˜o mais geral
                                                          ca
poss´ para F (x, y). Agora, diferenciamos esta equa¸ao com a y, ou seja,
    ıvel                                           c˜

                   ∂F (x, y)   ∂                          dφ(y)
                             =          M (x, y)∂x +
                     ∂y        ∂y                          dy
Se queremos provar que a diferencial ´ exata, devemos ter tamb´m
                                     e                        e
                              ∂F (x, y)
                                        = N (x, y)
                                ∂y

                                        8
e ent˜o obtemos
     a
                                   ∂                   dφ(y)
                      N (x, y) =        M (x, y)∂x +
                                   ∂y                   dy




                                                   .
                       dφ(y)                  ∂M (x, y)
                             = N (x, y) −               ∂x
                        dy                      ∂y
e, resolvendo esta express˜o para φ(y), temos
                          a




                                                .S
                                             ∂M (x, y)
                    φ(y) =    N (x, y) −               ∂x dy
                                               ∂y




                                             .J
que, combinanda com a equa¸ao (14), fornece, finalmente,
                          c˜

                                                        ∂M (x, y)
         F (x, y) =    M (x, y)∂x +      N (x, y) −               ∂x dy   (15)
                                                          ∂y




   R
e esta fun¸˜o F (x, y) est´ sujeita `s condi¸oes
          ca              a         a       c˜




  .
                             ∂M (x, y)   ∂N (x, y)
                                       =
                               ∂y          ∂x




A
e tamb´m
      e
              ∂F (x, y)                       ∂F (x, y)
                        = M (x, y)       e              = N (x, y)
                ∂x                              ∂y
e, portanto, a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata. Se, ao
                   c˜                                          e
inv´s de iniciarmos a demonstra¸ao considerando a equa¸ao
    e                            c˜                       c˜
                              ∂F (x, y)
                                        = M (x, y)
                                ∂x
us´ssemos a outra equa¸ao
  a                   c˜
                              ∂F (x, y)
                                        = N (x, y)
                                ∂y
o resultado seria

                                                        ∂N (x, y)
         F (x, y) =    N (x, y)∂y +      M (x, y) −               ∂y dx   (16)
                                                          ∂x
   Qual ´ a solu¸ao da equa¸ao M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0? A resposta ´:
         e      c˜          c˜                                             e
a solu¸ao da equa¸ao diferencial exata ´ a fun¸ao F (x, y) = c, onde F (x, y)
      c˜         c˜                    e      c˜

                                        9
´ dada por uma das express˜es (15) ou (16), e c ´ uma constante num´rica
e                          o                    e                   e
que pode ser determinada se houver alguma condi¸˜o adicional. Vejamos um
                                                ca
exemplo completo, considerando a equa¸ao abaixo:
                                       c˜




                                                 .
                     (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0

Desta equa¸˜o, temos M (x, y) = 3x2 + 4xy e N (x, y) = 2x2 + 2y. Por-
           ca
tanto, devemos verificar se ela ´ uma equa¸ao diferencial exata e, pora tanto,
                               e         c˜
calculamos




                                              .S
                  ∂M (x, y)                 ∂N (x, y)
                            = 4x      e               = 4x
                    ∂y                        ∂x




                                           .J
Vemos que s˜o iguais, logo, a equa¸˜o ´ exata. Assim, temos
           a                      ca e
 ∂F (x, y)                                     ∂F (x, y)
           = M (x, y) = 3x2 + 4xy      e                 = N (x, y) = 2x2 + 2y
   ∂x                                            ∂y




   R
Utilizando a primeira, obtemos




  .
                       F (x, y) = φ(y) +   M (x, y)∂x




A
                         = φ(y) +    (3x2 + 4xy)∂x


                        F (x, y) = x3 + 2x2 y + φ(y)

mas ` segunda nos diz que
    a
                       ∂F (x, y)
                                 = N (x, y) = 2x2 + 2y
                         ∂y

                                  dφ(y)
                          2x2 +         = 2x2 + 2y
                                   dy

                                  dφ(y)
                                        = 2y
                                   dy
A equa¸˜o acima d´, diretamente,
      ca         a

                                 dφ(y) = 2ydy

                                      10
dφ(y) =   2ydy




                                                  .
                               φ(y) = y 2 + co

e, portanto, temos




                                               .S
                       F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co

mas como a solu¸ao da equa¸˜o diferencial ´ da forma F (x, y) = c, e assim,
               c˜         ca              e




                                            .J
                     F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co = c

ou, finalmente, incorporando co a c, temos

                             x3 + 2x2 y + y 2 = c




   R
                                                                       (17)




  .
que ´ a solu¸˜o geral da equa¸ao diferencial exata inicial. Se considerar-
    e        ca                 c˜
mos uma condi¸ao inicial, como, por exemplo, y(1) = 0, podemos obter a
                c˜
constante c, pois, neste caso, devemos ter x = 1 e y = 0, ou seja,




A
                            13 + 2.12 .0 + 02 = c


                                      c=1

e, pora este caso, a solu¸ao fica
                         c˜

                             x3 + 2x2 y + y 2 = 1

   Vejamos agora mais um tipo de equa¸˜o diferencial.
                                     ca

2.2    Equa¸˜es Diferenciais Separ´veis
           co                     a
Defini¸˜o 2.3. As equa¸˜es do tipo
     ca              co

                       F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0                   (18)
s˜o chamadas de equa¸˜es diferenciais separ´veis porque elas podem sr colo-
 a                  co                     a
cadas na forma

                           F (x)      g(y)
                                 dx +      dy = 0                      (19)
                           f (x)      G(y)

                                       11
que ´ uma equa¸˜o exata, pois
    e         ca
                              F (x)                                  g(y)
        M (x, y) = M (x) =               e      N (x, y) = N (y) =
                              f (x)                                  G(y)




                                                   .
e, para verificar se ela ´ exata, calculamos
                        e

    ∂M (x, y)   ∂     F (x)                     ∂N (x, y)   ∂    g(y)
              =                =0       e                 =                 =0
      ∂y        ∂y    f (x)                       ∂x        ∂x   G(y)




                                                .S
como as derivadas acima s˜o iguais, a equa¸˜o (19) ´ exata e pode ser escrita
                         a                ca       e
na forma M (x)dx + N (y)dy = 0, que pode ser imediatamente integrada,
resultando em




                                             .J
                           M (x)dx +         N (y)dy = c                         (20)
ou tamb´m,
       e




   R
                           F (x)             g(y)




  .
                                 dx +             dy = c                         (21)
                           f (x)             G(y)
As equa¸˜es (20) ou (21) fornecem a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial separ´vel
       co                               ca          ca                  a
(19)




A
   Vejamos agora um exemplo. Considere a equa¸ao c˜

                      x sin ydx + (x2 + 1) cos ydy = 0

Esta equa¸ao n˜o ´ exata, mas pode ser transformada em uma equa¸ao dife-
          c˜ a e                                                      c˜
                                                       2
rencial separ´vel se dividirmos a equa¸˜o pelo fator (x + 1) sin y, isto ´,
             a                        ca                                 e
                               x       cos y
                                  dx +       dy = 0
                          x2   +1      sin y
o resultado fica
                               x             cos y
                                  dx +             dy = c
                          x2   +1            sin y
lembrando que
                                 du
                                    = ln |u| + C
                                 u
ficamos com
                        1
                          ln(x2 + 1) + ln |sin y| = co
                        2
                                      12
Multiplicando esta express˜o por 2 e chamando 2co = ln |c1 |, temos
                          a

                      ln(x2 + 1) + ln(sin2 y) = ln(c1 )2
ou ainda, chamamos c = c2




                                                  .
                        1

                         ln (x2 + 1) sin2 y = ln(c)
e, finalmente,




                                               .S
                             (x2 + 1) sin2 y = c                       (22)
que ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial inicial. Se houver alguma condi¸˜o
     e       ca         ca                                            ca
                                     π
adicional, como, por exemplo, y(0) = 2 teremos




                                            .J
                                   2    π
                               1 sin         =c
                                        2




   R
                                       c=1




  .
e a equa¸˜o ser´
        ca     a

                             (x2 + 1) sin2 y = 1




A
´
E importante notar que, ao dividir a equa¸˜o por (x2 + 1) sin y, etamos con-
                                           ca
siderando que sin y = 0, ou seja, se y = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .?
    A equa¸ao diferencial inicial pode ser escrita na forma
          c˜
                            dy      x sin y
                               =− 2
                            dx   x + 1 cos y
como sin y = 0, y = nπ, e, substituindo esta solu¸ao na equa¸ao diferencial,
                                                 c˜         c˜
encontramos
                          d            x sin nπ
                            (nπ) = − 2
                         dx         x + 1 cos nπ

                                        x     0
                            =0−
                                   x2   + 1 (−1)n


                                       0=0
Ent˜o, y = nπ tamb´m ´ solu¸ao e corresponde ao valor c = 0 na equa¸ao
    a               e e      c˜                                         c˜
(22). Assim, nenhuma solu¸ao da equa¸ao diferencial foi perdida ao fazermos
                          c˜        c˜
a transforma¸ao para a forma separ´vel.
             c˜                   a

                                       13
2.3    Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas
           co                     e
Defini¸˜o 2.4 Uma fun¸˜o F ´ dita homogˆnea de grau n se ocorrer que
     ca             ca    e           e

                          F (tx, ty) = tn F (x, y)




                                                  .
 ou seja, quando em F (x, y) substitu´mos x por tx e y por ty e depois fa-
                                     ı
toramos o t, a express˜o resultante fica na forma acima. Por exemplo, se
                        a
F (x, y) = x3 + x2 y, temos




                                               .S
                       F (tx, ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty)




                                            .J
                               = t3 x3 + t2 x2 ty


                                = t3 x3 + t3 x2 y




  .R
                                = t3 (x3 + x2 y)


                           F (tx, ty) = t3 F (x, y)




A
e

                              F (x, y) = x3 + x2 y

´ homogˆnea de grau 3
e      e
Defini¸˜o 2.5 A equa¸˜o de primeira ordem M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´
      ca              ca                                             e
homogˆnea se, quando escrita na forma
     e
                                 dy
                                    = f (x, y)
                                 dx
existir uma fun¸˜o g tal que f (x, y) possa ser colocada na forma
               ca
                                              y
                               f (x, y) = g
                                              x
e a equa¸˜o diferencial fica
        ca
                                 dy    y
                                    =g
                                 dx    x


                                       14
De forma equivalente, a equa¸˜o diferencial ´ homogˆnea se as fun¸˜es
                               ca            e      e             co
M (x, y) e N (x, y) forem homogˆneas de mesmo grau.
                               e
   Vejamos um exemplo. A equa¸˜o diferencial
                                 ca




                                                 .
                         xydx + (x2 + y 2 )dy = 0

´ homogˆnea. Vamos conferi-la pelos m´todos. Primeiro, escrevendo-a na
e      e                             e
forma




                                              .S
                               dy      xy
                                  =− 2
                               dx   x + y2
vemos que podemos reescrevˆ-la como
                          e




                                           .J
                            dy         xy
                               =−                    y2
                            dx    x2 (1 +            x2
                                                        )




   R
                                             x
                               dy




  .
                                       y
                                  =−                  2
                               dx    1+ y        x

e, neste caso,




A
                                      y
                               y      x
                           g     =−                       2
                               x    1+ y             x

e a equa¸ao diferencial ´ homogˆnea. Agora vamos analis´-la pelo segundo
        c˜              e      e                         a
m´todo. Neste caso, temos M (x, y) = xy e N (x, y) = x2 + y 2 . Assim,
  e

                           M (tx, ty) = (tx)(ty)


                                   = t2 xy


                          M (tx, ty) = t2 M (x, y)

e M (x, y) ´ homogˆnea de grau 2. Para N (x, y) temos
           e      e

                         N (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2


                                = t2 x2 + t2 y 2

                                      15
= t2 (x2 + y 2 )




                                                   .
                              N (tx, ty) = t2 N (x, y)

e N (x, y) tamb´m ´ homogˆnea de grau 2, como M (x, y). Portanto, a equa¸ao
               e e        e                                             c˜
diferencial ´ homogˆnea.
             e      e




                                                .S
    Como se resolve uma equa¸ao diferencial homogˆnea? A resposta ´ dada
                              c˜                  e                  e
pelo seguinte teorema, e pela sua prova.
Teorema 2.2 Se a equa¸˜o diferencial
                         ca




                                             .J
                         M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0                  (23)
                                                          y
 ´ homogˆnea, a mudan¸a de vari´veis y = vx, ou v = x , transforma a
 e       e            c          a
equa¸˜o (23) numa equa¸˜o diferencial separ´vel nas vari´veis v e x.
    ca                ca                   a            a




   R
 Demonstra¸˜o. A equa¸ao (23) ´ homogˆnea. Ent˜o, podemos escrevˆ-la na
           ca        c˜       e        e         a                   e




  .
forma
                                   dy    y
                                      =g
                                   dx    x




A
como vimos na defini¸ao 2.5. Agora, fazemos y = vx. Ent˜o,
                   c˜                                 a
                          dy    d              dv
                             =    (vx) = v + x
                          dx   dx              dx
e a equa¸˜o diferencial fica
        ca
                                  dv    y
                          v+x        =g   = g(v)
                                  dx    x
         y
pois v = x . Podemos reescrever a express˜o acima na forma
                                         a

                           [v − g(v)] dx + xdv = 0

que ´ a equa¸˜o diferencial separ´vel, e assim,
    e       ca                   a
                                  dv      dx
                                        +    =0
                               v − g(v)   x
A resolu¸˜o ´ feita por integra¸ao direta, ou seja,
        ca e                   c˜
                                  dv           dx
                                        +         =c
                               v − g(v)         x

                                        16
onde c ´ uma constante de integra¸ao. A solu¸ao geral fica
       e                         c˜         c˜
                                 dv
                                       + ln |x| = c                       (24)
                              v − g(v)




                                                   .
                                                                y
e, ap´s resolver a integral, devemos substituir novamente v =
     o                                                          x
                                                                    para voltar
as vari´veis iniciais.
`      a
    Examinamos um exemplo. J´ vimos que a equa¸ao
                                 a                  c˜

                            xydx + (x2 + y 2 )dy = 0




                                                .S
´ homogˆnea. Vamos reescrevˆ-la como
e      e                   e
                                             x
                                 dy




                                             .J
                                         y
                                    =−               2
                                 dx    1+ x      y

e fazer a substitui¸ao y = vx. Assim, ficamos com
                   c˜




   R
                               d            v




  .
                                 (vx) = −
                              dx          1 + v2

                                     dv      v
                             v+x        =−
                                     dx    1 + v2




A
                                 dv      v
                             x      =−        −v
                                 dx    1 + v2

                                  dv    v(2 + v 2 )
                              x      =−
                                  dx     1 + v2
que pode ser escrita como
                             1 + v2         dx
                                    2)
                                       dv +    =0
                            v(2 + v         x
que ´ uma equa¸ao diferencial separav´l. Integrando esta express˜o, temos
    e         c˜                     e                          a

                             1 + v2                  dx
                                        dv +            =c
                            v(2 + v 2 )               x

que, mediante a utiliza¸˜o de fra¸˜es parciais, resulta em
                       ca        co
                     1         1
                       ln |v| + ln(v 2 + 2) + ln |x| = co
                     2         4
                                        17
Chamando co = ln |c1 |, temos
                     1         1
                       ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln |c1 | − ln |x|
                     2         4




                                                      .
                         1         1                 |c1 |
                           ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln
                         2         4                 |x|




                                                   .S
Multiplicando esta express˜o por 4, e agrupando os logaritimos, temos
                          a

                                                         c1       4
                           ln v 2 (v 2 + 2) = ln
                                                         x




                                                .J
ou
                                                   c1    4
                                v 2 (v 2 + 2) =
                                                   x




   R
         y
como v = x , temos




  .
                            y   2      y   2             c1       4
                                               +2 =
                            x          x                 x




A
                             y 2 y 2 + 2x2   c1               4
                                           =
                             x2      x2      x


                             y2 2             c1             4

                               4
                                 (y + 2x2 ) =
                             x                x


                                    y 4 + 2x2 y 2 = c4
                                                     1

e, definindo uma constante c = c4 , temos, finalmente,
                               1


                                    y 4 + 2x2 y 2 = c                   (25)
que ´ a solu¸˜o (impl´
    e       ca       ıcita) da equa¸ao diferencial inicial.
                                   c˜
   At´ agora vimos equa¸oes diferenciais que podem ser lineares. Vamos
      e                   c˜
concentrar nossa aten¸ao nas equa¸oes lineares de primeira ordem.
                      c˜          c˜




                                           18
2.4    Equa¸˜es Diferenciais Lineares
           co
Defini¸˜o 2.6 Se for poss´vel escrever uma equa¸˜o ordin´ria de primeira
      ca                ı                     ca       a
ordem na forma




                                                 .
                             dy
                                + P (x)y = Q(x)                        (26)
                            dx
esta diferencial ser´ uma equa¸˜o linear.
                    a          ca
    Como exemplo, a equa¸ao
                          c˜




                                              .S
                             dy                    1
                        x2      + (x4 − 2x + 1)y =
                             dx                    x
pode ser calocada na forma




                                           .J
                        dy   x4 − 2x + 1    1
                           +       2
                                         y= 3
                        dx       x         x




   R
ou ainda,




  .
                        dy       2  1     1
                           + x2 − + 2 y = 3
                        dx       x x     x
que ´ linear, porque est´ no tipo da equa¸˜o 2.18.
    e                   a                ca




A
   A equa¸ao (26) pode ser reescrita na forma
           c˜

                        [P (x)y − Q(x)] dx + dy = 0                    (27)
que ´ uma equa¸ao do tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y) =
     e         c˜
P (x)y − Q(x)eN (x, y) = 1. Esta equa¸ao n˜o ´ exata, pois
                                     c˜ a e

                 ∂M (x, y)                     ∂N (x, y)
                           = P (x)         e             =0
                   ∂y                            ∂x
No entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numa
equa¸ao diferencial exata.
     c˜
Defini¸˜o 2.7 Um fator integrante µ(x, y) ´ uma fun¸˜o que, multiplicada
        ca                                   e         ca
pela equa¸˜o diferencial
          ca

                        M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

a transforma numa equa¸˜o diferencial exata, ou seja, na equa¸˜o
                      ca                                     ca

                 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0             (28)
que ´, por defini¸˜o, exata
    e           ca

                                      19
Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
                      ca

                                ydx + 2xdy = 0




                                                    .
n˜o ´ exata, pois M (x, y) = y, N (x, y) = 2x e
 a e

                        ∂M (x, y)     ∂N (x, y)
                                  =1=           =2
                          ∂y            ∂x




                                                 .S
Entretanto, se multiplicarmos esta equa¸˜o por y, teremos
                                       ca

                               y 2 dx + 2xydy = 0




                                              .J
e agora, M (x, y) = y 2 , N (x, y) = 2xy e

                       ∂M (x, y)        ∂N (x, y)
                                 = 2y =           = 2y
                         ∂y               ∂x




   R
e a equa¸ao diferencial torna-se uma equa¸ao exata, sendo µ(x, y) = y o seu
         c˜                                 c˜




  .
fator integrante.
    Se utilizarmos fatores integrantes, a equa¸ao diferencial linear (26) pode
                                               c˜
ser resolvida atrav´s do seguinte teorema:
                   e
Teorema 2.3 A equa¸˜o diferencial linear
                       ca




A
                              dy
                                 + P (x)y = Q(x)
                              dx
tem um fator integrante na forma
                                              P (x)dx
                               µ(x, y) = e

e sua solu¸˜o ´ dada por
          ca e

                  y(x) = e−    P (x)dx
                                          e   P (x)dx
                                                        Q(x)dx + c       (29)

Demonstra¸˜o. Considere a equa¸ao diferencial (27). Vamos multipl´ a-la
          ca                     c˜                                  ıc´
por um fator integrante µ(x) que a torne uma equa¸˜o exata, ou seja,
                                                 ca

                  [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] dx + µ(x)dy = 0

Por defini¸ao, a equa¸ao diferencial acima ´ exata, e assim,
         c˜         c˜                    e
                   ∂                            ∂
                      [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] =    [µ(x)]
                   ∂y                           ∂x

                                         20
que se reduz a
                                                            dµ
                                           µP (x) =
                                                            dx




                                                                 .
que pode ser separada em
                                           dµ
                                              = P (x)dx
                                            µ




                                                              .S
e entegrada, resultando em

                                        ln |µ| =           P (x)dx




                                                           .J
                                                           P (x)dx
                                         µ(x) = e

Agora multiplicamos a equa¸˜o diferencial (26) pelo fator integrante, isto ´,
                          ca                                               e




  .R
                     P (x)dx dy             P (x)dx                      P (x)dx
                 e                    +e              P (x)y = e                   Q(x)
                              dx
o lado esquerdo pode ser reescrito, pois




A
                  d     P (x)dx                    P (x)dx dy             d        P (x)dx
                    e              dy = e                        +y         e
                 dx                                         dx           dx

                  d         P (x)dx               P (x)dx dy              P (x)dx
                    e                 y =e                       + ye               P (x)
                 dx                                         dx
e assim, a equa¸ao diferencial fica
               c˜
                             d          P (x)dx                P (x)dx
                               e                  dy = e                 Q(x)
                            dx

                                      P (x)dx               P (x)dx
                            d e                 y =e                  Q(x)dx


                                      P (x)dx                  P (x)dx
                            d e                 y =        e             Q(x)dx


                             P (x)dx                   P (x)dx
                        e               y=        e              Q(x)dx + c

ou, finalmente,

                                                      21
y(x) = e−      P (x)dx
                                            e   P (x)dx
                                                          Q(x)dx + c




                                                      .
   Vejamos agora um exemplo de aplica¸ao. Considere a equa¸ao diferencial
                                     c˜                   c˜
                                     dy 3
                                       + y = 6x2
                                     dx x




                                                   .S
                         3
Nesta equa¸ao, P (x) =
          c˜             x
                             e Q(x) = 6x2 . Ent˜o,
                                               a

                             µ(x) = exp         P (x)dx




                                                .J
                                                3
                                = exp             dx
                                                x




   R
                                     = exp(3 ln |x|)




  .
                                        = eln|x |
                                               3




A
                                       µ(x) = x3

multiplicando a equa¸ao diferencial por µ(x), temos
                    c˜
                                     dy
                                x3      + 3x2 y = 6x5
                                     dx
O lado esuqerdo ´, na verdade,
                e
                              d 3          dy
                                (x y) = x3    + y(3x2 )
                             dx            dx
e a equa¸˜o diferencial fica
        ca
                                       d 3
                                         (x y)6x5
                                      dx


                                  d(x3 y) = 6x5 dx


                                  d(x3 y) =         6x5 dx

                                           22
x3 y = x6 + c




                                                .
                                            c
                              y(x) = x3 +
                                            x3
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial inicial. Vejamos um outro exemplo
     e       c˜          c˜
ilustrativo. Considere a equa¸ao diferencial
                             c˜




                                             .S
                          y 2 dx + (3xy − 1)dy = 0                      (30)
que pode ser colocada na forma




                                          .J
                             dy    y2
                                −       =0
                             dx 1 − 3xy
que ´ n˜o-linear em y. Esta equa¸ao tamb´m n˜o ´ exata, sep´ravel ou
     e a                            c˜        e     a e             a




   R
homogˆnea. No entanto, como foi dito no in´
       e                                       ıcio deste cap´
                                                             ıtulo, ao definir




  .
a equa¸ao (10), quando uma equa¸ao diferencial est´ na forma da equa¸˜o
       c˜                          c˜                 a                   ca
(30), podemos interpretar que y = y(x) ou que x = x(y). Assim, vamos
tentar esta ultima interpreta¸˜o, ou seja, vamos escrever a equa¸ao como
            ´                ca                                  c˜




A
                             dx 1 − 3xy
                                −       =0
                             dy    y2
ou ainda como
                               dx 3   1
                                 + x= 2
                               dy y  y
que ´ do tipo
    e
                            dx
                               + P (y)x = Q(y)
                            dy
e ´ uma equa¸ao diferencial linear em x, podendo ser resolvida mediante a
  e           c˜
utiliza¸ao da equa¸˜o (29), com a substitui¸ao de x por y e y por x. O fator
       c˜         ca                       c˜
integrante ´
           e

                          µ(y) = exp      P (y)dy


                                          3
                             = exp          dy
                                          y

                                     23
= exp3 ln|y |
                                             3




                                                  .
                                   µ(y) = y 3

Multiplicando o fator integrante pela equa¸ao diferencial, temos
                                          c˜
                                  dx




                                               .S
                             y3      + 3y 2 x = y
                                  dy
como




                                            .J
                          d 3           dx
                            (y x) = y 3    + x(3y 2 )
                         dy             dy
obtemos




   R
                                   d 3
                                     (y x) = y




  .
                                  dy


                               d(y 3 x) = ydy




A
                               d(y 3 x) =       ydy


                                        y2
                               y3x =       +c
                                        2

                                         1   c
                              x(y) =       + 3
                                        2y y
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial (30). Vejamos uma classe especial de
    e       c˜          c˜
equa¸oes diferenciais que podem ser transformadas em equa¸˜es lineares.
    c˜                                                    co

2.5    Equa¸˜o de Bernoulli
           ca
Defini¸˜o 2.8 Uma equa¸˜o diferencial da forma
     ca              ca
                         dy
                            + P (x)y = Q(x)y n                        (31)
                         dx
´ chamada de equa¸˜o de Bernoulli de grau n.
e                ca

                                       24
Um exemplo de uma equa¸ao diferencial de Bernoulli ´ a equa¸˜o
                         c˜                           e       ca

                                dy   y      y2
                                   − =−                                    (32)
                               dx x         x




                                                     .
               1            1
pois P (x) = − x , Q(x) = − x e n = 2
   Se na equa¸˜o de Bernoulli tivermos n = 0 ou n = 1, ent˜o a equa¸˜o ´
              ca                                               a          ca e
na verdade linear e pode ser resolvida mediante algum dos m´todos vistos.
                                                                 e
nos outros casos, a equa¸˜o diferencial ´ n˜o - linear e ela pode ser resolvida
                         ca             e a




                                                  .S
atrav´s do seguinte teorema:
     e
Teorema 2.4 A equa¸˜o de Bernoulli n˜o-linear
                        ca                a
                             dy
                                + P (x)y = Q(x)y n




                                               .J
                             dx
sendo n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸˜o diferencial linear
                                                 ca
atr´ves da mudan¸a de vari´veis
   a            c         a

                                      v = y 1−n




  .R
que resulta numa equa¸˜o diferencial linear em v.
                     ca
Demonstra¸˜o. Primeiro, multiplicamos a equa¸˜o diferencial (31) por y −n ,
           ca                                  ca
ou seja,




A
                                  dy
                           y −n      + P (x)y 1−n = Q(x)                  (33)
                                  dx
Se v = y 1−n , ent˜o,
                  a
                         dv    d 1−n                dy
                            =    (y ) = (1 − n)y −n
                         dx   dx                    dx
e a equa¸˜o (33) fica
        ca
                              1   dv
                                     + P (x)v = Q(x)
                            1 − n dx
ou, de forma equivalente,
                        dv
                           + (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x)
                        dx
Chamando

            P1 (x) = (1 − n)P (x)         e       Q1 (x) = (1 − n)Q(x)


            P1 (x) = (1 − n)P (x)         e       Q1 (x) = (1 − n)Q(x)

                                          25
temos
                            dv
                               + P1 (x)v = Q1 (x)
                            dx




                                                   .
que ´ linear em v.
    e
   Como exemplo, vamos resolver a equa¸ao diferencial (32), que ´
                                      c˜                        e

                                dy  y   y2
                                   − =−




                                                .S
                                dx x    x
Neste caso, n = 2, e ent˜o, devemos multiplicar a equa¸ao por y −2 , ou seja,
                        a                             c˜

                                   dy y −1    1




                                             .J
                            y −2      −    =−
                                   dx   x     x
Como v = y 1−n = y −1 , temos
                          dv    d −1           dy




   R
                             =    (y ) = −y −2
                          dx   dx              dx




  .
Fazendo a substitui¸ao, ficamos com
                   c˜
                                    dv  v   1
                                −      − =−




A
                                    dx x    x
ou ainda,
                                    dv v  1
                                      + =
                                    dx x  x
                                                                            1
que est´ na forma padr˜o das equa¸˜es diferenciais lineares, com P (x) =
       a                a         co                                        x
          1
e Q(x) = x . O fator integrante ´
                                e

                          µ(x) = exp         P (x)dx


                                             dx
                                = exp
                                              x


                                   = exp(ln |x|)


                                     µ(x) = x

                                        26
Multiplicando a equa¸˜o diferencial por este fator integrante, temos
                    ca
                                    dv
                                x      +v =1
                                    dx




                                                 .
Como
                              d         dv
                                (xv) = x + v
                             dx         dx




                                              .S
obtemos
                                 d
                                   (xv) = 1
                                dx




                                           .J
                                d(xv) = dx




   R
                                d(xv) =      dx




  .
                                xv = x + c




A
                                            c
                               v(x) = 1 +
                                            x
Lembrando que v = y −1 , temos y = v , ou seja,
                                   1


                                1     x+c
                                    =
                               y(x)    x

                                         x
                               y(x) =
                                        x+c
que ´ a solu¸˜o da equa¸ao diferencial de Bernoulli (32).
    e       ca         c˜


3    Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias Lineares
          c˜                    a
     de Ordem Superior: T´cnicas Fundamen-
                           e
     tais
Passaremos ` discuss˜o das equa¸oes diferencias ordin´rias de ordem supe-
            a         a           c˜                   a
rior, em especial as equa¸˜es diferencias de segunda ordem.
                         co

                                      27
Defini¸˜o 3.1 Uma equa¸˜o diferencial linear ordin´ria de ordem n ´
         ca                 ca                        a            e
uma equa¸˜o que pode ser posta na forma da equa¸˜o (6), que ´
        ca                                     ca           e

                 dn y         dn−1 y                 dy
        ao (x)        + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)




                                                       .
                 dx n         dx                     dx
onde a0 (x) n˜o ´ identicamente nulo. Se b(x) = 0, a equa¸˜o acima escreve-
             a e                                         ca
se na forma




                                                    .S
              dn y         dn−1 y                 dy
          ao (x) n
                   + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0    (34)
              dx           dx                     dx
e ´ chamada homogˆnea, enquanto que a equa¸˜o diferencial (6) ´ dita n˜o
  e                e                           ca               e     a
homogˆnea. Se n = 2, ent˜o a equa¸˜o diferencial (6) se reduz ` equa¸˜o
      e                    a        ca                           a   ca




                                                 .J
n˜o homogˆnea
 a       e

                       d2 y         dy
                      ao (x)
                          2
                            + a1 (x) + a2 (x)y = b(x)                    (35)
                       dx           dx




   R
enquanto que a equa¸˜o diferencial homogˆnea (34) se reduz a
                   ca                   e




  .
                         d2 y         dy
                        ao (x)
                            2
                              + a1 (x) + a2 (x)y = 0                     (36)
                         dx           dx
    Como exemplo, as equa¸oes diferencias
                         c˜




A
                               d3 x     d2 x
                                    − t2 2 + xt = cos t                  (37)
                               dt3      dt
e

                            d2 y       dy
                               x
                               2
                                 + 3x3    − 4xy = ex                    (38)
                            dx         dx
s˜o equa¸oes diferencias lineares n˜o-homogˆneas. A equa¸ao (37) ´ de ordem
 a       c˜                        a         e           c˜      e
n = 3, ao passo que a equa¸˜o (38) ´ de ordem n = 2. As equa¸oes diferenciais
                           ca       e                       c˜
homogˆneas correspondentes s˜o
       e                         a

                          d3 x     d2 x   dx
                               − t2 2 + 2t + xt = 0
                          dt3      dt     dt
e
                                   d2 y       dy
                               x      2
                                        + 3x3    − 4xy = 0
                                   dx         dx
  Vamos nos concentrar inicialmente no estudo da equa¸ao diferencial ho-
                                                     c˜
mogˆnea (34)
   e


                                            28
3.1     Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas de Ordem Su-
             co                    e
        perior
Apesar da aparente simplicidade, n˜o h´ um modo geral de resolu¸ao da
                                    a a                             c˜
equa¸ao diferencial (34). Existem apenas casos particulares, desenvolvidos
     c˜




                                                         .
para serem usados em situa¸oes espec´
                            c˜        ıficas. Um desses casos ocorre quando
os coeficientes ai na equa¸ao (34), que ´
                         c˜            e

                    dn y         dn−1 y                 dy




                                                      .S
           ao (x)      n
                         + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
                    dx           dx                     dx
s˜o na verdade constantes num´ricas e n˜o fun¸˜es de x. Neste caso, existe
 a                               e         a       co
um m´todo razoavelmente simples, que ser´ discutido. No entanto, antes
      e                                        a




                                                   .J
de apresentarmos o modo de resolver equa¸oes diferenciais homogˆneas com
                                             c˜                      e
coeficientes constantes, ´ preciso definir alguns conceitos que ser˜o necess´rios
                        e                                         a       a
depois, em particular os conceitos de dependˆncia e independˆncia linear.
                                                e                e
Defini¸˜o 3.2 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , a express˜o
       ca                      co                             a




  .R
                                c1 f 1 + c2 f 2 + . . . + cn f n                   (39)
onde c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes, ´ uma combina¸˜o linear f1 , f2 , . . . , fn .
                           a              e            ca
Por exemplo,




A
                                 5 ln x − 2 cos 2x + 4x2

´ uma combina¸˜o linear de f1 (x) = ln x, f2 (x) = cos 2x e f3 (x) = x2 .
e            ca
Defini¸˜o 3.3 Seja a combina¸˜o linear de f1 , f2 , . . . , fn
      ca                     ca

                        c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0              (40)
Se nesta combina¸˜o linear especial pelo menos um dos cj for diferente de
                 ca
zero, dizemos que as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o linearmente dependentes, ou
                        co                         a
LD. Em particualr, duas fun¸˜es f1 (x) e f2 (x) s˜o linearmente dependentes
                            co                         a
se, quando

                                 c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0                         (41)
pelo menos c1 ou c2 puder ser diferente de zero. Por exemplo, as fun¸˜esco
f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x s˜o LD, pois na combina¸˜o linear
                                       a                     ca

                           c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0


                             c1 (x) + c2 (2x) + c3 (3x) = 0

                                              29
1
se tomarmos c1 = 3, c2 = −2 e c3 = 3 , veremos que a igualdade ´ satisfeita.
                                                               e
Defini¸˜o 3.4 Quando o unico modo de ter a combina¸˜o linear
      ca                 ´                            ca

                      c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0




                                                            .
for o de escolher c1 = c2 = . . . = cn = 0, as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o
                                                    co                       a
linearmente independentes, ou LI. Em particular, as fun¸˜es f1 e f2 s˜o LI
                                                       co                 a
se, para se ter




                                                         .S
                                 c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0

´ necess´rio que c1 = c2 = 0. Como exemplo, as fun¸˜es f1 (x) = ex e
e        a                                        co




                                                      .J
f2 (x) = sin x s˜o LI, pois, para que
                a

                                   c1 ex + c2 sin x = 0

´ preciso que c1 = c2 = 0.
e




   R
Defini¸˜o 3.5 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , onde cada uma possui deri-
       ca                   co




  .
vadas pelo menos at´ a ordem (n − 1), o determinante
                     e

                                              f1        f2      ...       fn
                                              f1        f2      ...       fn




A
             W (f1 , f2 , . . . , fn ) =       .
                                               .         .
                                                         .      ...        .
                                                                           .   .   (42)
                                               .         .                 .
                                             (n−1)      (n−1)          (n−1)
                                            f1        f2        . . . fn
´ chamado Wronskiano dessas fun¸˜es. Se o Wronskiano de f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)
e                                co
for nulo, essas fun¸˜es s˜o LD, e se n˜o for, elas s˜o LI.
                   co    a            a             a
    Vejamos um exemplo. Vamos calcular o Wronskiano das fun¸oes dadas
                                                                c˜
no exemplo da defini¸ao 4.3, que s˜o f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x.
                      c˜           a
Temos trˆs fun¸oes e precisamos achar suas derivadas at´ a ordem 2, ou seja,
         e     c`                                       e

                      f1 (x) = 1           f2 (x) = 2        f3 (x) = 3


                     f1 (x) = 0            f2 (x) = 0        f3 (x) = 0

   Agora, calculamos o Wronskiano

                                               f1 f2 f3
                         W = (f1 , f2 , f3 ) = f1 f2 f3
                                               f1 f2 f3



                                                 30
x 2x 3x
                       W = (x, 2x, 3x) = 1 2 3
                                         0 0 0




                                                     .
                               W = (x, 2x, 3x) = 0




                                                  .S
e as fun¸oes s˜o LD, como j´ hav´
        c˜    a               a    ıamos mostrado. Vamos calcular agora o
Wronskiano das fun¸˜es dadas no exemplo da defini¸˜o 3.4, que s˜o LI. As
                     co                               ca        a
                      x
fun¸oes s˜o f1 (x) = e e f2 (x) = sin x. Suas derivadas s˜o
   c˜    a                                               a




                                               .J
                          f1 (x) = ex       f2 (x) = cos x

e o Wronskiano ´
               e
                                                 f1 f2




   R
                            W = (f1 , f2 ) =




  .
                                                 f1 f2


                                                 ex sin x
                         W = (ex , sin x) =
                                                 ex cos x




A
                      W = (ex , sin x) = ex cos x − ex sin x


                      W = (ex , sin x) = ex (cos x − sin x)

que ´ diferente de zero, e portanto as fun¸˜es s˜o LI.
    e                                     co    a
Teorema 3.1 A equa¸˜o diferencial linear homogˆnea ordin´ria (34)
                      ca                           e    a

                dn y       dn−1 y                 dy
          ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
                dx         dx                     dx
sempre possui n solu¸˜es linearmente independentes, e a sua solu¸˜o geral ´,
                    co                                          ca        e
a combina¸˜o linear dessas n solu¸˜es, na forma
         ca                      co

                   f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)

Em particular, se n = 2, a solu¸˜o geral ´
                               ca        e

                            f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x)

                                          31
Um modo de se verificar as solu¸oes f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) s˜o LI ´ calcu-
                                   c˜                                  a     e
lar o seu Wronskiano. Se n˜o for nulo, ent˜o a combina¸ao linear das solu¸˜es
                          a               a                c˜                    co
´ a solu¸ao geral da equa¸˜o diferencial. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
e        c˜              ca                                           ca

                                    d2 y




                                                    .
                                         +y =0
                                    dx2
pode ser resolvida se y(x) = cos x ou se y(x) = sin x. O Wronskiano destas
fun¸oes ´
   c˜ e




                                                 .S
                                               cos x sin x
                       W = (cos x, sin x) =
                                              − sin x cos x




                                              .J
                        W = (cos x, sin x) = cos2 x + sin2 x




   R
                              W = (cos x, sin x) = 1




  .
que ´ diferente de zero, e as fun¸oes s˜o LI. Portanto, a solu¸˜o geral da
    e                            c˜    a                      ca
equa¸ao diferencial ´
    c˜              e




A
                             f (x) = c1 cos x + c2 sin x

   Vamos agora partir para o m´todo de resolu¸ao de equa¸oes diferencias
                              e              c˜         c˜
homogˆneas com coeficientes constantes.
     e

3.2     Equa¸˜es Diferencias com Coeficientes Constantes
            co
As equa¸˜es diferenciais homogˆneas com coeficientes constantes s˜o as equa¸oes
        co                    e                                 a         c˜
diferencias na forma

                          dn y     dn−1 y              dy
                  ao         n
                               + a1 n−1 + . . . + an−1    + an y = 0           (43)
                          dx       dx                  dx
onde a0 , a1 , . . . , an s˜o constantes reais. Esta equa¸ao pode ser transformada
                           a                              c˜
numa outra, atrav´s da substitui¸ao
                         e               c˜

                                    y(x) = emx

Lembrando que
                                    dy
                                       = memx
                                    dx

                                         32
d2 y
                                       = m2 emx
                                  dx2




                                                     .
                                  d3 y
                                       = m3 emx
                                  dx3




                                                  .S
                                         . .
                                         .=.
                                         . .

                                  dn y
                                       = mn emx




                                               .J
                                  dxn
a equa¸ao diferencial (43) fica
      c˜

             ao mn + a1 mn−1 emx + . . . + an−1 memx + an emx = 0




  .R
ou

               emx ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0

Como emx = 0, ficamos com




A
                  ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0              (44)
que ´ um polinˆmio de grau n em m, chamado de equa¸ao caracter´
     e          o                                        c˜         ıstica da
                                        mx
equa¸ao diferencial (43). Se y(x) = e ´ solu¸ao de (43), ent˜o m deve ser
     c˜                                    e    c˜            a
solu¸ao de (44), ou seja, m ´ uma raiz do polinˆmio. Como um polinˆmio de
    c˜                       e                  o                    o
grau n tem n ra´  ızes, temos n valores de m, que correspondem as n solu¸oes
                                                               ´         c˜
da equa¸˜o diferencial (43). Precisamos apenas separar os casos de ra´
         ca                                                               ızes
reais e distintas, ra´ reais e repetidas e ra´ complexas.
                     ızes                     ızes

3.2.1   Ra´
          ızes Reais e Distintas
Se as ra´ de (44) s˜o reais e distintas, ent˜o as solu¸˜es s˜o
        ızes       a                        a         co    a

                              em1 x , em2 x , . . . , emn x

que s˜o LI, e a solu¸ao geral ´
     a              c˜        e

                    y(x) = c1 em1 x + c2 em2 x + . . . + cn emn          (45)
Como exemplo, considere a equa¸ao diferencial
                              c˜

                                          33
d2 (y)    dy
                                2
                                   + 5 + 6y = 0
                             dx       dx




                                                   .
Substituindo y(x) = emx , temos

                        m2 emx + 5memx + 6emx = 0




                                                .S
                              m2 + 5m + 6 = 0

que ´ a equa¸˜o caracter´
    e       ca          ıstica neste caso. As ra´ s˜o
                                                ızes a




                                             .J
                           m1 = −2           , m2 = −3

que s˜o diferentes, e as solu¸oes s˜o
     a                       c˜    a




   R
                                e−2x         , e−3x




  .
que s˜o LI e formam a solu¸˜o geral
     a                    ca

                           y(x) = c1 e−2x + c2 e−3x




A
3.2.2   Ra´
          ızes Reais e Repetidas
Vamos considerar a equa¸ao diferencial
                       c˜

                          d2 (x)    dy
                              2
                                 − 4 + 4x = 0                           (46)
                            dt      dx
   Sua equa¸ao caracter´
           c˜          ıstica ´e

                              m2 − 4m + 4 = 0

que possui a raiz dupla m = 2. Ent˜o, as solu¸oes seriam e2t e e2t . No
                                      a           c`
entanto, essas solu¸oes n˜o s˜o LI, como ´ f´cil de verificar, j´ que elas s˜o
                   c`    a a             e a                   a           a
                   2t
iguais. A fun¸˜o e ´ uma solu¸ao, como pode ser visto se a substituirmos
             ca       e         c˜
na equa¸ao diferencial
        c˜

                       d2 2         d
                         2
                           (e t) − 4 (e2t ) + 4(e2t ) = 0
                       dt           dt


                            4e2t − 8e2t + 4e2t = 0

                                        34
0=0

mas falta mais uma, pois uma equa¸˜o diferencial de ordem 2 tem duas
                                     ca




                                                 .
solu¸oes. Para achar a outra vamos tentar tomar
    c˜

                                   x = e2t y




                                              .S
e ver se isso resolve o problema. Temos ent˜o
                                           a

                     dx                dy            dy
                        = 2e2t y + e2t    = e2t 2y +
                     dt                dt            dt




                                           .J
e
                 d2 x             dy            dy d2 y
                      = 2e2t 2y +    + e2t 2y +    + 2
                 dt2              dt            dt  dt




  .R
                          d2 x     2t     dy d2 y
                               = 2e 4y + 4 + 2
                          dt2             dt dt

substituindo tudo isso na equa¸ao (46), o resultado ´
                              c˜                    e




A
                          dy d2 y            dy
             e2t 4y + 4      + 2 − 4e2t 2y +    + 4e2t y = 0
                          dt  dt             dt
ou
                            dy  d2          dy
                   4y + 4      + 2 − 4 2y +    + 4y = 0
                            dt dt           dt


                     d2    dy
                       2
                         +    (4 − 4) + y (4 − 8 + 4) = 0
                     dt    dt

                                   d2
                                       =0
                                   dt2
     A equa¸˜o diferencial acima ´ bastante simples de resolver. Chamamos
           ca                    e
                                           dy
                                   w=
                                           dt
e temos

                                      35
dy
                                              =0
                                           dt




                                                         .
                                           w=c

onde a soma c ´ uma constante que pode ser tomada como sendo c = 1 sem
              e
perda de generalidade. Agora,




                                                      .S
                                           dy
                                              =1
                                           dt




                                                   .J
                                          dy = dt


                                         y =t+d




   R
em que d ´ outra constante, que neste caso pode ser tomada como sendo
          e




  .
d = 0. O resultado ´ y = t, e a outra solu¸ao da equa¸ao diferencial (46) ´
                   e                      c˜         c˜                   e

                                             te2t




A
que LI em rela¸ao a solu¸ao e2t . A solu¸˜o geral fica
              c˜ `      c˜              ca

                     x(t) = c1 e2t + c2 te2t = e2t (c1 + c2 t)

    O procedimento acima ´ absolutamente geral, e quando uma equa¸ao
                           e                                            c˜
diferencial tem uma raiz mi que se repete k vezes, as solu¸˜es associadas a
                                                          co
essa raiz s˜o
           a

                         emi x , xemi x , x2 emi x , . . . , xk−1 emi x

e a solu¸˜o geral fica
        ca

                        c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + ck xk−1 emi x

   Se houver mais de uma rais repetida, repete-se o procedimento acima
para cada uma delas. Por exemplo, se uma equa¸ao diferencial tiver uma
                                                    c˜
equa¸ao caracter´
    c˜                         ızes s˜o m = 1, 1, 1, −3, −3, 4 a solu¸ao geral
                ıstica cujas ra´     a                               c˜
dessa equa¸ao diferencial ser´
          c˜                 a

           y(x) = c1 ex + c2 x + c3 x2 ex + c4 e−3x + c5 xe−3x + c6 e4x

e todas as fun¸oes acima s˜o LI, como deveria ser.
              c˜          a

                                              36
3.2.3   Ra´
          ızes Complexas
O procedimento a ser seguido quando as ra´ s˜o complexas ´ idˆntico aos
                                           ızes a             e e
anteriores. Se as ra´ complexas forem distintas, segue-se o caso das ra´
                    ızes                                                 ızes
distintas. Se aparecerem ra´ ızes complexas repetidas, segue-se o caso das




                                                    .
ra´
  ızes repetidas. As unicas diferen¸as s˜o que, se z = a + bi ´ raiz de uma
                      ´            c    a                     e
equa¸ao, ent˜o z = a + bi, que ´ complexo conjugado, tamb´m ´ raiz, ou seja,
     c˜      a ¯               e                          e e
elas aparecem aos pares. A outra diferen¸a ´ que, usando a rela¸ao de Euler
                                         c e                    c˜




                                                 .S
                              eiθ = cos θ + i sin θ

podemos expressar, dependendo da necessidade, as exponenciais complexas
como soma de senos e cossenos, para facilitar a “visualiza¸ao”do resultado.
                                                          c˜




                                              .J
   Como exemplo, a equa¸ao diferencial
                         c˜

                           d2 y     dy
                                = −6 + +25y = 0
                           dx2      dx




   R
tem uma equa¸˜o caracter´
            ca          ıstica dada por




  .
                              m2 − 6m + 25 = 0

que tem as ra´ complexas
             ızes




A
                           m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4i

que s˜o conjugadas, como esperado. A solu¸ao segue o caso de ra´ reais e
      a                                  c˜                    ızes
distintas, ou seja, as fun¸oes
                          c˜

                              e(3+4i)x        e(3−4i)x

formam uma solu¸˜o geral
               ca

                        y(x) = c1 e(3+4i)x        c2 e(3−4i)x

que s˜o LI, como deveria ser. Para expressar a solu¸ao na forma de senos
      a                                              c˜
e cossenos, ´ prefer´vel transformar as solu¸˜es antes de formar a solu¸ao
              e     e                       co                         c˜
geral, isto ´,
            e

         y(1) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e4xi = e3x (cos 4x + i sin 4x)


         y(2) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e−4xi = e3x (cos 4x − i sin 4x)

                                         37
e a solu¸˜o fica
        ca

                                 y(x) = k1 y1 + k2 y2




                                                       .
            = k1 e3x (cos 4x + i sin 4x) + k2 e3x (cos 4x − i sin 4x)


                  = e3x [(k1 + k2 ) cos 4x + i (k1 − k2 ) sin 4x]




                                                    .S
                         y(x) = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)




                                                 .J
que ´ a solu¸ao geral, com c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 − k2 ), expressa em senos
     e      c˜
e cossenos.
    J´ a equa¸ao diferencial
     a       c˜
                     d4 x    d3 x   d2 x   dx




   R
                          − 4 3 + 14 2 − 20 + 25x = 0
                     dt4     dt     dt     dt




  .
tem uma equa¸˜o caracter´
            ca          ıstica

                        m4 − 4m3 + 14m2 − 20m + 25 = 0




A
cujas solu¸oes s˜o
          c˜    a

                     m = 1 + 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2i

que s˜o repetidas. Ent˜o, as solu¸oes s˜o
     a                a          c˜    a

                         e(1+2i)t , te(1+2i)t , e(1−2i)t , te(1−2i)t

e a solu¸˜o geral fica
        ca

                  x(t) = (c1 + c2 t)e(1+2i)t + (c3 + c4 t)e(1−2i)t

   Na forma de senos e cossenos, temos

                  x1 = e(1+2i)t = et+2it = et (cos 2t + i sin 2t)


                      x2 = te(1+2i)t = tet (cos 2t + i sin 2t)


                  x3 = e(1−2i)t = et−2it = et (cos 2t − i sin 2t)

                                            38
x4 = te(1−2i)t = tet (cos 2t − i sin 2t)

que resulta na solu¸ao geral
                   c˜




                                                        .
                            x(t) = k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 + k4 x4




                                                     .S
              = k1 = et (cos 2t + i sin 2t) + k2 tet (cos 2t + i sin 2t)


                  +k3 et (cos 2t − i sin 2t) + k4 tet (cos 2t − i sin 2t)




                                                  .J
   = et {[(k1 + k3 ) + (k2 + k4 ) t] cos 2t + [i (k1 − k3 ) + i (k2 − k4 ) t] sin 2t}

onde c1 = k1 + k3 , c2 = k2 + k4 , c3 = i(k1 − k3 ) e c4 = i(k2 − k4 )




  .R
                    x(t) = et [(c1 + c2 t) cos 2t + (c3 + c4 t) sin 2t]

   Agora j´ sabemos como resolver a equa¸˜o diferencial homogˆnea com
           a                              ca                  e
coeficientes constantes (43). Vamos estudar o modo de resolver a equa¸ao
                                                                    c˜




A
n˜o-homogˆnea com coeficientes constantes
 a         e

                    dn y     dn−1 y              dy
                  ao (x)
                       n
                         + a1 n−1 + . . . + an−1    + an y = 0    (47)
                    dx       dx                  dx
   Para isso, vamos precisar do seguinte teorema, v´lido para qualquer
                                                        a
equa¸ao diferencial na forma (6):
    c˜
Teorema 3.2 A solu¸˜o geral da equa¸˜o diferencial n˜o-homogˆnea
                     ca              ca                a       e
                  dn y         dn−1 y                 dy
         ao (x)      n
                       + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
                  dx           dx                     dx
´ dada por
e

                                        y = yh + yp

onde yh ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial homogˆnea correspondente
        e       ca         ca                   e
                    dn y         dn−1 y                 dy
           ao (x)        + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
                    dxn          dx                     dx
e yp ´ uma solu¸˜o particular, sem constantes arbitr´rias, da equa¸˜o dife-
     e         ca                                   a             ca
rencial n˜o-homogˆnea acima.
         a        e

                                             39
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais
Daum machado-equacoes-diferenciais

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Aula 11 estimação
Aula 11   estimaçãoAula 11   estimação
Aula 11 estimação
 
Álgebra de Boole
Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
Álgebra de Boole
 
Calculo d edo_1
Calculo d edo_1Calculo d edo_1
Calculo d edo_1
 
Aula 14 new
Aula 14 newAula 14 new
Aula 14 new
 
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
 
Aula 7 variáveis aleatórias
Aula 7   variáveis aleatóriasAula 7   variáveis aleatórias
Aula 7 variáveis aleatórias
 
Modelos de probabilidade
Modelos de probabilidadeModelos de probabilidade
Modelos de probabilidade
 
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
 
Distribuições amostragem
Distribuições amostragemDistribuições amostragem
Distribuições amostragem
 
Apostila derivadas
Apostila derivadasApostila derivadas
Apostila derivadas
 
Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04
 
Álgebra Li
Álgebra LiÁlgebra Li
Álgebra Li
 
Apostila -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2
Apostila  -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2Apostila  -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2
Apostila -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2
 
Alg lin2
Alg lin2Alg lin2
Alg lin2
 
Estatística: Modelos Discretos
Estatística: Modelos DiscretosEstatística: Modelos Discretos
Estatística: Modelos Discretos
 
Livrocalculo2 miolo
Livrocalculo2 mioloLivrocalculo2 miolo
Livrocalculo2 miolo
 
Variaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasVariaveis+aleatorias
Variaveis+aleatorias
 
CáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico ICáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico I
 
CN 07
CN 07CN 07
CN 07
 
Aula4 introbusto
Aula4 introbustoAula4 introbusto
Aula4 introbusto
 

Destaque

Aspectos da teoria de campos não comutativa
Aspectos da teoria de campos não comutativaAspectos da teoria de campos não comutativa
Aspectos da teoria de campos não comutativaRonaldo Lobato
 
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
Mecanica quantica   obra coletiva hflemingMecanica quantica   obra coletiva hfleming
Mecanica quantica obra coletiva hflemingRonaldo Lobato
 
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasNão comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasRonaldo Lobato
 
Mecânica quântica não comutativa
Mecânica quântica não comutativaMecânica quântica não comutativa
Mecânica quântica não comutativaRonaldo Lobato
 
Teorias de calibres supersimetricas
Teorias de calibres supersimetricasTeorias de calibres supersimetricas
Teorias de calibres supersimetricasRonaldo Lobato
 
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
Mecanica quantica   obra coletiva hflemingMecanica quantica   obra coletiva hfleming
Mecanica quantica obra coletiva hflemingRonaldo Lobato
 
Learn BEM: CSS Naming Convention
Learn BEM: CSS Naming ConventionLearn BEM: CSS Naming Convention
Learn BEM: CSS Naming ConventionIn a Rocket
 
SEO: Getting Personal
SEO: Getting PersonalSEO: Getting Personal
SEO: Getting PersonalKirsty Hulse
 

Destaque (9)

Aspectos da teoria de campos não comutativa
Aspectos da teoria de campos não comutativaAspectos da teoria de campos não comutativa
Aspectos da teoria de campos não comutativa
 
Serie de dyson
Serie de dysonSerie de dyson
Serie de dyson
 
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
Mecanica quantica   obra coletiva hflemingMecanica quantica   obra coletiva hfleming
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
 
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasNão comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
 
Mecânica quântica não comutativa
Mecânica quântica não comutativaMecânica quântica não comutativa
Mecânica quântica não comutativa
 
Teorias de calibres supersimetricas
Teorias de calibres supersimetricasTeorias de calibres supersimetricas
Teorias de calibres supersimetricas
 
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
Mecanica quantica   obra coletiva hflemingMecanica quantica   obra coletiva hfleming
Mecanica quantica obra coletiva hfleming
 
Learn BEM: CSS Naming Convention
Learn BEM: CSS Naming ConventionLearn BEM: CSS Naming Convention
Learn BEM: CSS Naming Convention
 
SEO: Getting Personal
SEO: Getting PersonalSEO: Getting Personal
SEO: Getting Personal
 

Semelhante a Daum machado-equacoes-diferenciais

Semelhante a Daum machado-equacoes-diferenciais (14)

Calculo1 aula03
Calculo1 aula03Calculo1 aula03
Calculo1 aula03
 
Calculo1 aula03
Calculo1 aula03Calculo1 aula03
Calculo1 aula03
 
Calculo1 aula07
Calculo1 aula07Calculo1 aula07
Calculo1 aula07
 
Calculo1 aula07
Calculo1 aula07Calculo1 aula07
Calculo1 aula07
 
Calculo1 aula05
Calculo1 aula05Calculo1 aula05
Calculo1 aula05
 
Calculo1 aula05
Calculo1 aula05Calculo1 aula05
Calculo1 aula05
 
Calculo2lista6
Calculo2lista6Calculo2lista6
Calculo2lista6
 
Aula 07 derivadas parciais. 3
Aula 07    derivadas parciais. 3Aula 07    derivadas parciais. 3
Aula 07 derivadas parciais. 3
 
Calculo1 aula15
Calculo1 aula15Calculo1 aula15
Calculo1 aula15
 
Calculo1 aula15
Calculo1 aula15Calculo1 aula15
Calculo1 aula15
 
Calculo1 aula14
Calculo1 aula14Calculo1 aula14
Calculo1 aula14
 
Calculo1 aula14
Calculo1 aula14Calculo1 aula14
Calculo1 aula14
 
Derivadas direcionais
Derivadas direcionaisDerivadas direcionais
Derivadas direcionais
 
Edo
EdoEdo
Edo
 

Daum machado-equacoes-diferenciais

  • 1. 1 Introdu¸˜o ca 1.1 Defini¸oes c˜ Defini¸˜o 1.1. Se uma vari´vel pode assumir qualquer valor, independente ca a . de outra vari´vel, ela ´ chamada independente. Por exemplo, as vari´veis a e a x,y,z,t,h s˜o independentes. Para representar o conjunto de todas as vari´veis a a independentes num certo problema, usaremos a nota¸˜o {x}, onde x ´ uma ca e das vari´veis do problema. a .S Defini¸˜o 1.2. Quando uma vari´vel depende de outra, ou outras, ela ´ dita ca a e dependente. Dizemos tamb´m que essa vari´vel ´ uma fun¸˜o das vari´veis e a e ca a das quais ela depende. Ela n˜o pode assumir qualquer valor, pois depende a .J de outras vari´veis. S˜o exemplos de vari´veis dependentes as seguintes a a a fun¸˜es: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f (x, y). Para representar o co conjunto de todas as vari´veis dependentes num certo problema, usamos a a nota¸˜o {y({x})}. ca Defini¸˜o 1.3. Uma equa¸˜o diferencial ´, basicamente, uma equa¸˜o que ca ca e ca R envolve as derivadas de uma ou mais vari´veis dependentes com rela¸˜o ` a ca a . uma ou mais vari´veis independentes. Ent˜o, as equa¸˜es a a co 2 d2 y dy 2 + xy =0 (1) dx dx A d4 x d2 x + 5 2 + 3x = cos t (2) dt4 dt d3 y d2 x + y 2 = ln z (3) dz 3 dz ∂v ∂v + =v (4) ∂s ∂t 3 ∂ 2u ∂ 2v ∂v ∂u 2 − 2+ + =0 (5) ∂x ∂x ∂y ∂y s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais. a co Como se percebe nas equa¸˜es acima, existem v´rios tipos de equa¸˜es co a co diferenciais. Sendo assim, elas foram classificadas de acordo com alguns crit´rios. e Defini¸˜o 1.4. Uma equa¸˜o diferencial que envolve apenas derivadas or- ca ca din´rias de uma ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a apenas uma a a ca vari´vel independente ´ chamada equa¸˜o diferencial ordin´ria. As equa¸˜es a e ca a co (1), (2) e (3) s˜o exemplos de equa¸˜es diferencias ordin´rias. Na equa¸˜o a co a ca 1
  • 2. 1.1, a vari´vel independente ´ x, enquanto que a dependente ´ y = y(x). Na a e e equa¸˜o (2), a vari´vel independente ´ t, e agora x = x(t) ´ uma vari´vel ca a e e a dependente. Por fim, na equa¸˜o (3) temos duas fun¸˜es da vari´vel z, que ca co a s˜o x(z) e y(z). a . Defini¸˜o 1.5. Uma equa¸˜o diferencial que envolve derivadas parciais de ca ca um ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a mais de uma vari´vel in- a ca a dependente ´ chamada equa¸˜o diferencial parcial. As equa¸˜es (4) e (5) e ca co s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais parciais. Na equa¸˜o (4), s e t s˜o a co ca a .S as vari´veis independentes, e temos v = v(s, t). Na equa¸˜o (5), temos a ca u = u(x, y) e v = v(x, y), que s˜o vari´veis dependentes, e x e y s˜o as a a a independentes. Defini¸˜o 1.6. A derivada de maior ordem numa equa¸˜o diferencial define ca ca .J a ordem da equa¸˜o diferencial. Assim, a equa¸˜o (1) ´ de segunda ordem, ca ca e ao passo qua a equa¸˜o (2) ´ de quarta ordem; (3) ´ de terceira ordem, (4) ca e e ´ de primeira ordem e (5) tamb´m ´ de segunda ordem. e e e Defini¸˜o 1.7. Se uma equa¸˜o diferencial for tal que nos seus termos n˜o ca ca a R aparecem . • fun¸˜es transcendentais da vari´vel ou vari´veis dependentes, ou de co a a 2 suas derivadas, como, por exemplo, ln y(x), cos dt , sin ∂ x ; dz ∂y 2 • produtos entre as vari´veis dependentes, entre as vari´veis dependentes a a e suas derivadas, ou entre as derivadas das vari´veis dependentes, como, por a A 2 2 dt dy dz dh ∂ 2 x ∂x exemplo, [y(x)] , dh , y(x) dx , dt dt , x(y, z) ∂z2 ∂y ; ent˜o a equa¸˜o diferencial ´ uma equa¸˜o diferencial linear. Se aparecer a ca e ca algum desses termos, a equa¸˜o ´ chamada equa¸˜o diferencial n˜o - linear. ca e ca a As equa¸˜es (2) e (4) s˜o equa¸˜es diferenciais lineares, enquanto que as co a co equa¸˜es (1),(3) e (5) s˜o n˜o - lineares. co a a Quando uma equa¸ao diferencial ´ linear e ordin´ria de ordem n e possui c˜ e a apenas uma vari´vel dependente, ela pode ser posta na forma geral a dm y dm−1 y dy ao (x) m + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) (6) dx dx dx onde ao (x) n˜o ´ identicamente nulo, x ´ a vari´vel independente e y(x) ´ a e e a e a unica fun¸ao de x. A express˜o acima ´ a forma mais geral para uma ´ c˜ a e equa¸ao diferencial linear e ordin´ria de ordem n com apenas uma vari´vel c˜ a a dependente. As equa¸˜es co d2 y dy 2 + 3x + 6y = 0 (7) dx dx 2
  • 3. d4 x 1 d2 x 3j 2 − + jx = jej (8) dj 4 j dj 2 s˜o exemplos de equa¸oes diferenciais ordin´rias lineares. A equa¸˜o (7) ´ de a c˜ a ca e . segunda ordem e a (8) ´ de quarta ordem. e 1.2 Importˆncia das Equa¸oes Diferenciais a c˜ .S Al´m do ponto de vista matem´tico, por si s´ relevante, o estudo de equa¸˜es e a o co diferenciais ´ muito importante do ponto de vista f´ e ısico. Os f´ ısicos ao estu- darem alguns fenˆmenos, procuram inicialmente descrevˆ-lo de forma quali- o e tativa e posteriormente de forma quantitativa. .J Para uma boa parte dos sistemas f´ ısicos conhecidos at´ o momento, a e equa¸ao ou equa¸oes que descrevem os fenˆmenos, pelo menos de forma apro- c˜ c˜ o ximada, s˜o equa¸˜es diferenciais. As solu¸˜es de uma equa¸ao diferencial a co co c˜ s˜o expl´ a ıcitas pu impl´ıcitas. R Defini¸˜o 1.8. Uma solu¸˜o expl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma ca ca ı ca e . fun¸˜o y = f ({x}) do conjunto das vari´veis independentes, a qual, quando ca a substitu´da na equa¸˜o diferencial, a transforma em uma igualdade. ı ca Como exemplo, a equa¸ao diferencial c˜ dx A = 2x dt tem uma solu¸˜o expl´ ca ıcita dada por x(t) = ce2t pois, se substituirmos x(t) na equa¸˜o, temos (c ´ uma constante) ca e dx = 2x dt d ce2t = 2 ce2t dt 2ce2t = 2ce2t que ´ obviamente uma igualdade. e Defini¸˜o 1.9. Uma solu¸˜o impl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma ca ca ı ca e fun¸˜o g ({y} , {x}) do conjunto de vari´veis dependentes e independentes, a ca a qual, atrav´s de deriva¸˜es impl´citas, reproduz a equa¸˜o diferencial inicial. e co ı ca 3
  • 4. Neste caso, temos que a fun¸˜o ca f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0 ´ uma solu¸ao impl´ e c˜ ıcita da equa¸˜o diferencial ca . dy x+y =0 dx pois, tomando a derivada impl´ ıcita de f (x, y) com rela¸˜o a x, temos ca .S d d 2 d f (x, y) = (x + y 2 − 25) = 0 dx dx dx .J dy 2x + 2y =0 dx dy R x+y =0 dx . que ´ a equa¸˜o diferencial inicial. Esta solu¸˜o impl´ e ca ca ıcita pode ser desmen- brada em duas outras, f1 e f2 , que neste caso s˜o expl´ a ıcitas, a saber, √ f1 (x) = y1 (x) = 25 − x2 A √ f2 (x) = y2 (x) = − 25 − x2 Todavia, esse desmembrmento em geral n˜o ´ poss´ a e ıvel, e ficamos apenas com a solu¸˜o impl´ ca ıcita. Alguns exemplos de aplica¸oes de equa¸oes diferenciais c˜ c˜ s˜o: a 1) movimento de proj´teis, planetas e sat´lites; e e 2) estudo do decaimento radioativo de n´cleos inst´veis; u a 3) propaga¸ao do calor atrav´s de uma barra; c˜ e 4) estudo de todos os tipos de ondas; crescimento de popula¸˜o;ca 6) estudo de rea¸oes qu´ c˜ ımicas; 7) descri¸ao quˆntica de um atomo de hidrogˆnio; c˜ a ´ e 8) c´lculo do potencial el´trico de uma distribui¸ao de cargas; a e c˜ 9) estudo do oscilador harmˆnico. o Os sistemas acima s˜o uma amostra da grande utiliza¸˜o das equa¸˜es a ca co diferenciais. E´ poss´ que, para um dado problema, al´m da equa¸˜o dife- ıvel e ca rencial em si exista mais alguma condi¸ao que o experimento deve satisfazer. c˜ Ent˜o, temos os seguintes casos: a 4
  • 5. Defini¸˜o 1.10. Quando um dado fenˆmeno, al´m de uma equa¸˜o dife- ca o e ca rencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condi¸˜es iniciais, esta- co belecidas a priori, para um mesmo valor da vari´vel independente, dizemos a que temos um problema de valor inicial. Como exemplo, considere um corpo . em queda livre. O movimento desse ´ descrito por uma equa¸˜o diferencial, e ca e as condi¸˜es s˜o a altura da qual ele foi solto e a valocidade inicial com a co a qual ele iniciou o movimento. Se a queda for no v´cuo, temos considerando a a origem no ch˜o e a altura representada por y(t), a equa¸˜o a ca .S d2 y = −g dt2 com as condi¸˜es iniciais co .J dy y(0) = yo e = y (0) = v(0) = vo dt 0 e a fun¸˜o y(t), que ´ solu¸˜o desta equa¸˜o diferencial, tem necessariamente ca e ca ca que respeitar as condi¸˜es iniciais, que foram dadas para o valor de t = 0. co R Defini¸˜o 1.11. Se um fenˆmeno descrito por uma equa¸˜o diferencial ca o ca . tiver alguma condi¸˜o especificada para dois ou mais valores da vari´vel in- ca a dependente, temos um problema com condi¸˜es de contorno. Por exemplo, co considerando um caso idˆntico ao anterior, mas com condi¸˜es dadas em e co duas alturas diferentes, ou seja, algo como A d2 y = −g dt2 com as condi¸˜es de contorno co y(0) = yo y(2) = y2 temos um problema com condi¸˜es de contorno, dadas para os tempos t = 0 co e t = 2. Nem sempre um problema com condi¸˜es de contorno tem solu¸˜o co ca apesar de que a equa¸˜o diferencial sozinha, sem considerar as condi¸˜es de ca co contorno, pode ter. 2 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias de Pri- c˜ a meira Ordem Veremos alguns m´todos de resolu¸ao de equa¸˜es diferenciais de primeira e c˜ co ordem, lembrando a equa¸˜o (6), pode ser colocada na forma ca 5
  • 6. dy = f (x, y) (9) dx na qual a fun¸ao f (x, y) pode ser escrita com uma raz˜o de duas outras c˜ a . fun¸oes, ou seja, c˜ M (x, y) f (x, y) = − N (x, y) .S e a equa¸˜o (9) pode ser reescrita na forma equivalente ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (10) .J Por exemplo, a equa¸˜o ca dy 2x2 − y = dx x R pode ser reescrita como . xdy − (2x2 − y)dx = 0 ou A (y + 2x2 )dx + xdy = 0 e assim, temos M (x, y) = y − 2x2 e N (x, y) = x. Na nota¸ao (9) fica c˜ claro que y ´ a fun¸ao de x, enquanto que na (10) podemos interpretar que e c˜ y = y(x) ou x = x(y), conforme for o caso. Em certas situa¸oes, ´ mais f´cil c˜ e a considerar um ponto de vista do que outro, e ent˜o ´ prefer´ resolver a a e ıvel equa¸ao diferencial sob esse ponto de vista e, se for necess´rio, obtemos a c˜ a fun¸ao inversa ap´s completar a resolu¸˜o da equa¸ao. Vejamos alguns casos c˜ o ca c˜ especiais. 2.1 Equa¸˜es Diferenciais Exatas co Defini¸˜o 2.11 Seja F uma fun¸˜o de duas vari´veis reais, de forma que ca ca a F tenha as derivadas parciais primeiras cont´nuas. A diferencial total dF da ı fun¸˜o F ´ definida por ca e ∂F (x, y) ∂F (x, y) dF (x, y) = dx + dy (11) ∂x ∂y Como exemplo, considere a fun¸ao c˜ 6
  • 7. F (x, y) = x2 y + 3y 3 x Temos . ∂F (x, y) ∂F (x, y) = 2xy + 3y 3 e = x2 + 9y 2 x ∂x ∂y e, portanto, .S dF (x, y) = (2xy + 3y 3 )dx + (x2 + 9y 2 x)dy Defini¸˜o 2.2. A express˜o ca a .J M (x, y)dx + N (x, y)dy (12) ´ chamada uma diferencial exata se existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que se e ca verifique .R ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂y Se M (x, y)dx + N (x, y)dy ´ uma diferencial exata, a equa¸˜o diferencial e ca A M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ chamada uma equa¸˜o diferencial exata. e ca Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equa¸˜o diferen- ca cial s˜o exatas? A resposta ´ dada pelo seguinte teorema: a e Teorema 2.1 A equa¸˜o diferencial ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata se, e somente se, for verificado que e ∂M (x, y) ∂N (x, y) = (13) ∂y ∂x Demonstra¸˜o. A prova do teorema 2.1 nos conduz ao m´todo de resolu¸˜o ca e ca de uma equa¸˜o diferencial exata. Vejamos a primeira parte. Consideremos ca que a equa¸˜o diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata e que, portanto, ca e existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que ca ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂y 7
  • 8. Assim, ∂ 2 F (x, y) ∂M (x, y) ∂ 2 F (x, y) ∂N (x, y) = e = ∂y∂x ∂y ∂x∂y ∂x . No entanto, a ordem das derivadas pode ser invertida, ou seja, ∂ 2 F (x, y) ∂ 2 F (x, y) = ∂y∂x ∂x∂y .S e, dessa forma, temos ∂M (x, y) ∂N (x, y) = .J ∂y ∂x Na outra parte da prova, iniciamos com a hip´tese o ∂M (x, y) ∂N (x, y) = R ∂y ∂x . e queremos provar que existe uma fun¸ao F (x, y) tal que c˜ ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂y A de forma que a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja exata. c˜ Vamos assumir a express˜o a ∂F (x, y) = M (x, y) ∂x seja verdadeira. Ent˜o, podemos fazer a F (x, y) = M (x, y)∂x + φ(y) (14) onde a integral ´ efetuada apenas em x, sendo y considerado como uma e constante. O termo φ(y) aparece porque deveos ter a solu¸˜o mais geral ca poss´ para F (x, y). Agora, diferenciamos esta equa¸ao com a y, ou seja, ıvel c˜ ∂F (x, y) ∂ dφ(y) = M (x, y)∂x + ∂y ∂y dy Se queremos provar que a diferencial ´ exata, devemos ter tamb´m e e ∂F (x, y) = N (x, y) ∂y 8
  • 9. e ent˜o obtemos a ∂ dφ(y) N (x, y) = M (x, y)∂x + ∂y dy . dφ(y) ∂M (x, y) = N (x, y) − ∂x dy ∂y e, resolvendo esta express˜o para φ(y), temos a .S ∂M (x, y) φ(y) = N (x, y) − ∂x dy ∂y .J que, combinanda com a equa¸ao (14), fornece, finalmente, c˜ ∂M (x, y) F (x, y) = M (x, y)∂x + N (x, y) − ∂x dy (15) ∂y R e esta fun¸˜o F (x, y) est´ sujeita `s condi¸oes ca a a c˜ . ∂M (x, y) ∂N (x, y) = ∂y ∂x A e tamb´m e ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂y e, portanto, a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata. Se, ao c˜ e inv´s de iniciarmos a demonstra¸ao considerando a equa¸ao e c˜ c˜ ∂F (x, y) = M (x, y) ∂x us´ssemos a outra equa¸ao a c˜ ∂F (x, y) = N (x, y) ∂y o resultado seria ∂N (x, y) F (x, y) = N (x, y)∂y + M (x, y) − ∂y dx (16) ∂x Qual ´ a solu¸ao da equa¸ao M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0? A resposta ´: e c˜ c˜ e a solu¸ao da equa¸ao diferencial exata ´ a fun¸ao F (x, y) = c, onde F (x, y) c˜ c˜ e c˜ 9
  • 10. ´ dada por uma das express˜es (15) ou (16), e c ´ uma constante num´rica e o e e que pode ser determinada se houver alguma condi¸˜o adicional. Vejamos um ca exemplo completo, considerando a equa¸ao abaixo: c˜ . (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0 Desta equa¸˜o, temos M (x, y) = 3x2 + 4xy e N (x, y) = 2x2 + 2y. Por- ca tanto, devemos verificar se ela ´ uma equa¸ao diferencial exata e, pora tanto, e c˜ calculamos .S ∂M (x, y) ∂N (x, y) = 4x e = 4x ∂y ∂x .J Vemos que s˜o iguais, logo, a equa¸˜o ´ exata. Assim, temos a ca e ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) = 3x2 + 4xy e = N (x, y) = 2x2 + 2y ∂x ∂y R Utilizando a primeira, obtemos . F (x, y) = φ(y) + M (x, y)∂x A = φ(y) + (3x2 + 4xy)∂x F (x, y) = x3 + 2x2 y + φ(y) mas ` segunda nos diz que a ∂F (x, y) = N (x, y) = 2x2 + 2y ∂y dφ(y) 2x2 + = 2x2 + 2y dy dφ(y) = 2y dy A equa¸˜o acima d´, diretamente, ca a dφ(y) = 2ydy 10
  • 11. dφ(y) = 2ydy . φ(y) = y 2 + co e, portanto, temos .S F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co mas como a solu¸ao da equa¸˜o diferencial ´ da forma F (x, y) = c, e assim, c˜ ca e .J F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co = c ou, finalmente, incorporando co a c, temos x3 + 2x2 y + y 2 = c R (17) . que ´ a solu¸˜o geral da equa¸ao diferencial exata inicial. Se considerar- e ca c˜ mos uma condi¸ao inicial, como, por exemplo, y(1) = 0, podemos obter a c˜ constante c, pois, neste caso, devemos ter x = 1 e y = 0, ou seja, A 13 + 2.12 .0 + 02 = c c=1 e, pora este caso, a solu¸ao fica c˜ x3 + 2x2 y + y 2 = 1 Vejamos agora mais um tipo de equa¸˜o diferencial. ca 2.2 Equa¸˜es Diferenciais Separ´veis co a Defini¸˜o 2.3. As equa¸˜es do tipo ca co F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (18) s˜o chamadas de equa¸˜es diferenciais separ´veis porque elas podem sr colo- a co a cadas na forma F (x) g(y) dx + dy = 0 (19) f (x) G(y) 11
  • 12. que ´ uma equa¸˜o exata, pois e ca F (x) g(y) M (x, y) = M (x) = e N (x, y) = N (y) = f (x) G(y) . e, para verificar se ela ´ exata, calculamos e ∂M (x, y) ∂ F (x) ∂N (x, y) ∂ g(y) = =0 e = =0 ∂y ∂y f (x) ∂x ∂x G(y) .S como as derivadas acima s˜o iguais, a equa¸˜o (19) ´ exata e pode ser escrita a ca e na forma M (x)dx + N (y)dy = 0, que pode ser imediatamente integrada, resultando em .J M (x)dx + N (y)dy = c (20) ou tamb´m, e R F (x) g(y) . dx + dy = c (21) f (x) G(y) As equa¸˜es (20) ou (21) fornecem a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial separ´vel co ca ca a (19) A Vejamos agora um exemplo. Considere a equa¸ao c˜ x sin ydx + (x2 + 1) cos ydy = 0 Esta equa¸ao n˜o ´ exata, mas pode ser transformada em uma equa¸ao dife- c˜ a e c˜ 2 rencial separ´vel se dividirmos a equa¸˜o pelo fator (x + 1) sin y, isto ´, a ca e x cos y dx + dy = 0 x2 +1 sin y o resultado fica x cos y dx + dy = c x2 +1 sin y lembrando que du = ln |u| + C u ficamos com 1 ln(x2 + 1) + ln |sin y| = co 2 12
  • 13. Multiplicando esta express˜o por 2 e chamando 2co = ln |c1 |, temos a ln(x2 + 1) + ln(sin2 y) = ln(c1 )2 ou ainda, chamamos c = c2 . 1 ln (x2 + 1) sin2 y = ln(c) e, finalmente, .S (x2 + 1) sin2 y = c (22) que ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial inicial. Se houver alguma condi¸˜o e ca ca ca π adicional, como, por exemplo, y(0) = 2 teremos .J 2 π 1 sin =c 2 R c=1 . e a equa¸˜o ser´ ca a (x2 + 1) sin2 y = 1 A ´ E importante notar que, ao dividir a equa¸˜o por (x2 + 1) sin y, etamos con- ca siderando que sin y = 0, ou seja, se y = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .? A equa¸ao diferencial inicial pode ser escrita na forma c˜ dy x sin y =− 2 dx x + 1 cos y como sin y = 0, y = nπ, e, substituindo esta solu¸ao na equa¸ao diferencial, c˜ c˜ encontramos d x sin nπ (nπ) = − 2 dx x + 1 cos nπ x 0 =0− x2 + 1 (−1)n 0=0 Ent˜o, y = nπ tamb´m ´ solu¸ao e corresponde ao valor c = 0 na equa¸ao a e e c˜ c˜ (22). Assim, nenhuma solu¸ao da equa¸ao diferencial foi perdida ao fazermos c˜ c˜ a transforma¸ao para a forma separ´vel. c˜ a 13
  • 14. 2.3 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas co e Defini¸˜o 2.4 Uma fun¸˜o F ´ dita homogˆnea de grau n se ocorrer que ca ca e e F (tx, ty) = tn F (x, y) . ou seja, quando em F (x, y) substitu´mos x por tx e y por ty e depois fa- ı toramos o t, a express˜o resultante fica na forma acima. Por exemplo, se a F (x, y) = x3 + x2 y, temos .S F (tx, ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty) .J = t3 x3 + t2 x2 ty = t3 x3 + t3 x2 y .R = t3 (x3 + x2 y) F (tx, ty) = t3 F (x, y) A e F (x, y) = x3 + x2 y ´ homogˆnea de grau 3 e e Defini¸˜o 2.5 A equa¸˜o de primeira ordem M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ ca ca e homogˆnea se, quando escrita na forma e dy = f (x, y) dx existir uma fun¸˜o g tal que f (x, y) possa ser colocada na forma ca y f (x, y) = g x e a equa¸˜o diferencial fica ca dy y =g dx x 14
  • 15. De forma equivalente, a equa¸˜o diferencial ´ homogˆnea se as fun¸˜es ca e e co M (x, y) e N (x, y) forem homogˆneas de mesmo grau. e Vejamos um exemplo. A equa¸˜o diferencial ca . xydx + (x2 + y 2 )dy = 0 ´ homogˆnea. Vamos conferi-la pelos m´todos. Primeiro, escrevendo-a na e e e forma .S dy xy =− 2 dx x + y2 vemos que podemos reescrevˆ-la como e .J dy xy =− y2 dx x2 (1 + x2 ) R x dy . y =− 2 dx 1+ y x e, neste caso, A y y x g =− 2 x 1+ y x e a equa¸ao diferencial ´ homogˆnea. Agora vamos analis´-la pelo segundo c˜ e e a m´todo. Neste caso, temos M (x, y) = xy e N (x, y) = x2 + y 2 . Assim, e M (tx, ty) = (tx)(ty) = t2 xy M (tx, ty) = t2 M (x, y) e M (x, y) ´ homogˆnea de grau 2. Para N (x, y) temos e e N (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2 x2 + t2 y 2 15
  • 16. = t2 (x2 + y 2 ) . N (tx, ty) = t2 N (x, y) e N (x, y) tamb´m ´ homogˆnea de grau 2, como M (x, y). Portanto, a equa¸ao e e e c˜ diferencial ´ homogˆnea. e e .S Como se resolve uma equa¸ao diferencial homogˆnea? A resposta ´ dada c˜ e e pelo seguinte teorema, e pela sua prova. Teorema 2.2 Se a equa¸˜o diferencial ca .J M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (23) y ´ homogˆnea, a mudan¸a de vari´veis y = vx, ou v = x , transforma a e e c a equa¸˜o (23) numa equa¸˜o diferencial separ´vel nas vari´veis v e x. ca ca a a R Demonstra¸˜o. A equa¸ao (23) ´ homogˆnea. Ent˜o, podemos escrevˆ-la na ca c˜ e e a e . forma dy y =g dx x A como vimos na defini¸ao 2.5. Agora, fazemos y = vx. Ent˜o, c˜ a dy d dv = (vx) = v + x dx dx dx e a equa¸˜o diferencial fica ca dv y v+x =g = g(v) dx x y pois v = x . Podemos reescrever a express˜o acima na forma a [v − g(v)] dx + xdv = 0 que ´ a equa¸˜o diferencial separ´vel, e assim, e ca a dv dx + =0 v − g(v) x A resolu¸˜o ´ feita por integra¸ao direta, ou seja, ca e c˜ dv dx + =c v − g(v) x 16
  • 17. onde c ´ uma constante de integra¸ao. A solu¸ao geral fica e c˜ c˜ dv + ln |x| = c (24) v − g(v) . y e, ap´s resolver a integral, devemos substituir novamente v = o x para voltar as vari´veis iniciais. ` a Examinamos um exemplo. J´ vimos que a equa¸ao a c˜ xydx + (x2 + y 2 )dy = 0 .S ´ homogˆnea. Vamos reescrevˆ-la como e e e x dy .J y =− 2 dx 1+ x y e fazer a substitui¸ao y = vx. Assim, ficamos com c˜ R d v . (vx) = − dx 1 + v2 dv v v+x =− dx 1 + v2 A dv v x =− −v dx 1 + v2 dv v(2 + v 2 ) x =− dx 1 + v2 que pode ser escrita como 1 + v2 dx 2) dv + =0 v(2 + v x que ´ uma equa¸ao diferencial separav´l. Integrando esta express˜o, temos e c˜ e a 1 + v2 dx dv + =c v(2 + v 2 ) x que, mediante a utiliza¸˜o de fra¸˜es parciais, resulta em ca co 1 1 ln |v| + ln(v 2 + 2) + ln |x| = co 2 4 17
  • 18. Chamando co = ln |c1 |, temos 1 1 ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln |c1 | − ln |x| 2 4 . 1 1 |c1 | ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln 2 4 |x| .S Multiplicando esta express˜o por 4, e agrupando os logaritimos, temos a c1 4 ln v 2 (v 2 + 2) = ln x .J ou c1 4 v 2 (v 2 + 2) = x R y como v = x , temos . y 2 y 2 c1 4 +2 = x x x A y 2 y 2 + 2x2 c1 4 = x2 x2 x y2 2 c1 4 4 (y + 2x2 ) = x x y 4 + 2x2 y 2 = c4 1 e, definindo uma constante c = c4 , temos, finalmente, 1 y 4 + 2x2 y 2 = c (25) que ´ a solu¸˜o (impl´ e ca ıcita) da equa¸ao diferencial inicial. c˜ At´ agora vimos equa¸oes diferenciais que podem ser lineares. Vamos e c˜ concentrar nossa aten¸ao nas equa¸oes lineares de primeira ordem. c˜ c˜ 18
  • 19. 2.4 Equa¸˜es Diferenciais Lineares co Defini¸˜o 2.6 Se for poss´vel escrever uma equa¸˜o ordin´ria de primeira ca ı ca a ordem na forma . dy + P (x)y = Q(x) (26) dx esta diferencial ser´ uma equa¸˜o linear. a ca Como exemplo, a equa¸ao c˜ .S dy 1 x2 + (x4 − 2x + 1)y = dx x pode ser calocada na forma .J dy x4 − 2x + 1 1 + 2 y= 3 dx x x R ou ainda, . dy 2 1 1 + x2 − + 2 y = 3 dx x x x que ´ linear, porque est´ no tipo da equa¸˜o 2.18. e a ca A A equa¸ao (26) pode ser reescrita na forma c˜ [P (x)y − Q(x)] dx + dy = 0 (27) que ´ uma equa¸ao do tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y) = e c˜ P (x)y − Q(x)eN (x, y) = 1. Esta equa¸ao n˜o ´ exata, pois c˜ a e ∂M (x, y) ∂N (x, y) = P (x) e =0 ∂y ∂x No entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numa equa¸ao diferencial exata. c˜ Defini¸˜o 2.7 Um fator integrante µ(x, y) ´ uma fun¸˜o que, multiplicada ca e ca pela equa¸˜o diferencial ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 a transforma numa equa¸˜o diferencial exata, ou seja, na equa¸˜o ca ca µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 (28) que ´, por defini¸˜o, exata e ca 19
  • 20. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial ca ydx + 2xdy = 0 . n˜o ´ exata, pois M (x, y) = y, N (x, y) = 2x e a e ∂M (x, y) ∂N (x, y) =1= =2 ∂y ∂x .S Entretanto, se multiplicarmos esta equa¸˜o por y, teremos ca y 2 dx + 2xydy = 0 .J e agora, M (x, y) = y 2 , N (x, y) = 2xy e ∂M (x, y) ∂N (x, y) = 2y = = 2y ∂y ∂x R e a equa¸ao diferencial torna-se uma equa¸ao exata, sendo µ(x, y) = y o seu c˜ c˜ . fator integrante. Se utilizarmos fatores integrantes, a equa¸ao diferencial linear (26) pode c˜ ser resolvida atrav´s do seguinte teorema: e Teorema 2.3 A equa¸˜o diferencial linear ca A dy + P (x)y = Q(x) dx tem um fator integrante na forma P (x)dx µ(x, y) = e e sua solu¸˜o ´ dada por ca e y(x) = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + c (29) Demonstra¸˜o. Considere a equa¸ao diferencial (27). Vamos multipl´ a-la ca c˜ ıc´ por um fator integrante µ(x) que a torne uma equa¸˜o exata, ou seja, ca [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] dx + µ(x)dy = 0 Por defini¸ao, a equa¸ao diferencial acima ´ exata, e assim, c˜ c˜ e ∂ ∂ [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] = [µ(x)] ∂y ∂x 20
  • 21. que se reduz a dµ µP (x) = dx . que pode ser separada em dµ = P (x)dx µ .S e entegrada, resultando em ln |µ| = P (x)dx .J P (x)dx µ(x) = e Agora multiplicamos a equa¸˜o diferencial (26) pelo fator integrante, isto ´, ca e .R P (x)dx dy P (x)dx P (x)dx e +e P (x)y = e Q(x) dx o lado esquerdo pode ser reescrito, pois A d P (x)dx P (x)dx dy d P (x)dx e dy = e +y e dx dx dx d P (x)dx P (x)dx dy P (x)dx e y =e + ye P (x) dx dx e assim, a equa¸ao diferencial fica c˜ d P (x)dx P (x)dx e dy = e Q(x) dx P (x)dx P (x)dx d e y =e Q(x)dx P (x)dx P (x)dx d e y = e Q(x)dx P (x)dx P (x)dx e y= e Q(x)dx + c ou, finalmente, 21
  • 22. y(x) = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + c . Vejamos agora um exemplo de aplica¸ao. Considere a equa¸ao diferencial c˜ c˜ dy 3 + y = 6x2 dx x .S 3 Nesta equa¸ao, P (x) = c˜ x e Q(x) = 6x2 . Ent˜o, a µ(x) = exp P (x)dx .J 3 = exp dx x R = exp(3 ln |x|) . = eln|x | 3 A µ(x) = x3 multiplicando a equa¸ao diferencial por µ(x), temos c˜ dy x3 + 3x2 y = 6x5 dx O lado esuqerdo ´, na verdade, e d 3 dy (x y) = x3 + y(3x2 ) dx dx e a equa¸˜o diferencial fica ca d 3 (x y)6x5 dx d(x3 y) = 6x5 dx d(x3 y) = 6x5 dx 22
  • 23. x3 y = x6 + c . c y(x) = x3 + x3 que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial inicial. Vejamos um outro exemplo e c˜ c˜ ilustrativo. Considere a equa¸ao diferencial c˜ .S y 2 dx + (3xy − 1)dy = 0 (30) que pode ser colocada na forma .J dy y2 − =0 dx 1 − 3xy que ´ n˜o-linear em y. Esta equa¸ao tamb´m n˜o ´ exata, sep´ravel ou e a c˜ e a e a R homogˆnea. No entanto, como foi dito no in´ e ıcio deste cap´ ıtulo, ao definir . a equa¸ao (10), quando uma equa¸ao diferencial est´ na forma da equa¸˜o c˜ c˜ a ca (30), podemos interpretar que y = y(x) ou que x = x(y). Assim, vamos tentar esta ultima interpreta¸˜o, ou seja, vamos escrever a equa¸ao como ´ ca c˜ A dx 1 − 3xy − =0 dy y2 ou ainda como dx 3 1 + x= 2 dy y y que ´ do tipo e dx + P (y)x = Q(y) dy e ´ uma equa¸ao diferencial linear em x, podendo ser resolvida mediante a e c˜ utiliza¸ao da equa¸˜o (29), com a substitui¸ao de x por y e y por x. O fator c˜ ca c˜ integrante ´ e µ(y) = exp P (y)dy 3 = exp dy y 23
  • 24. = exp3 ln|y | 3 . µ(y) = y 3 Multiplicando o fator integrante pela equa¸ao diferencial, temos c˜ dx .S y3 + 3y 2 x = y dy como .J d 3 dx (y x) = y 3 + x(3y 2 ) dy dy obtemos R d 3 (y x) = y . dy d(y 3 x) = ydy A d(y 3 x) = ydy y2 y3x = +c 2 1 c x(y) = + 3 2y y que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial (30). Vejamos uma classe especial de e c˜ c˜ equa¸oes diferenciais que podem ser transformadas em equa¸˜es lineares. c˜ co 2.5 Equa¸˜o de Bernoulli ca Defini¸˜o 2.8 Uma equa¸˜o diferencial da forma ca ca dy + P (x)y = Q(x)y n (31) dx ´ chamada de equa¸˜o de Bernoulli de grau n. e ca 24
  • 25. Um exemplo de uma equa¸ao diferencial de Bernoulli ´ a equa¸˜o c˜ e ca dy y y2 − =− (32) dx x x . 1 1 pois P (x) = − x , Q(x) = − x e n = 2 Se na equa¸˜o de Bernoulli tivermos n = 0 ou n = 1, ent˜o a equa¸˜o ´ ca a ca e na verdade linear e pode ser resolvida mediante algum dos m´todos vistos. e nos outros casos, a equa¸˜o diferencial ´ n˜o - linear e ela pode ser resolvida ca e a .S atrav´s do seguinte teorema: e Teorema 2.4 A equa¸˜o de Bernoulli n˜o-linear ca a dy + P (x)y = Q(x)y n .J dx sendo n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸˜o diferencial linear ca atr´ves da mudan¸a de vari´veis a c a v = y 1−n .R que resulta numa equa¸˜o diferencial linear em v. ca Demonstra¸˜o. Primeiro, multiplicamos a equa¸˜o diferencial (31) por y −n , ca ca ou seja, A dy y −n + P (x)y 1−n = Q(x) (33) dx Se v = y 1−n , ent˜o, a dv d 1−n dy = (y ) = (1 − n)y −n dx dx dx e a equa¸˜o (33) fica ca 1 dv + P (x)v = Q(x) 1 − n dx ou, de forma equivalente, dv + (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x) dx Chamando P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x) P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x) 25
  • 26. temos dv + P1 (x)v = Q1 (x) dx . que ´ linear em v. e Como exemplo, vamos resolver a equa¸ao diferencial (32), que ´ c˜ e dy y y2 − =− .S dx x x Neste caso, n = 2, e ent˜o, devemos multiplicar a equa¸ao por y −2 , ou seja, a c˜ dy y −1 1 .J y −2 − =− dx x x Como v = y 1−n = y −1 , temos dv d −1 dy R = (y ) = −y −2 dx dx dx . Fazendo a substitui¸ao, ficamos com c˜ dv v 1 − − =− A dx x x ou ainda, dv v 1 + = dx x x 1 que est´ na forma padr˜o das equa¸˜es diferenciais lineares, com P (x) = a a co x 1 e Q(x) = x . O fator integrante ´ e µ(x) = exp P (x)dx dx = exp x = exp(ln |x|) µ(x) = x 26
  • 27. Multiplicando a equa¸˜o diferencial por este fator integrante, temos ca dv x +v =1 dx . Como d dv (xv) = x + v dx dx .S obtemos d (xv) = 1 dx .J d(xv) = dx R d(xv) = dx . xv = x + c A c v(x) = 1 + x Lembrando que v = y −1 , temos y = v , ou seja, 1 1 x+c = y(x) x x y(x) = x+c que ´ a solu¸˜o da equa¸ao diferencial de Bernoulli (32). e ca c˜ 3 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias Lineares c˜ a de Ordem Superior: T´cnicas Fundamen- e tais Passaremos ` discuss˜o das equa¸oes diferencias ordin´rias de ordem supe- a a c˜ a rior, em especial as equa¸˜es diferencias de segunda ordem. co 27
  • 28. Defini¸˜o 3.1 Uma equa¸˜o diferencial linear ordin´ria de ordem n ´ ca ca a e uma equa¸˜o que pode ser posta na forma da equa¸˜o (6), que ´ ca ca e dn y dn−1 y dy ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) . dx n dx dx onde a0 (x) n˜o ´ identicamente nulo. Se b(x) = 0, a equa¸˜o acima escreve- a e ca se na forma .S dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 (34) dx dx dx e ´ chamada homogˆnea, enquanto que a equa¸˜o diferencial (6) ´ dita n˜o e e ca e a homogˆnea. Se n = 2, ent˜o a equa¸˜o diferencial (6) se reduz ` equa¸˜o e a ca a ca .J n˜o homogˆnea a e d2 y dy ao (x) 2 + a1 (x) + a2 (x)y = b(x) (35) dx dx R enquanto que a equa¸˜o diferencial homogˆnea (34) se reduz a ca e . d2 y dy ao (x) 2 + a1 (x) + a2 (x)y = 0 (36) dx dx Como exemplo, as equa¸oes diferencias c˜ A d3 x d2 x − t2 2 + xt = cos t (37) dt3 dt e d2 y dy x 2 + 3x3 − 4xy = ex (38) dx dx s˜o equa¸oes diferencias lineares n˜o-homogˆneas. A equa¸ao (37) ´ de ordem a c˜ a e c˜ e n = 3, ao passo que a equa¸˜o (38) ´ de ordem n = 2. As equa¸oes diferenciais ca e c˜ homogˆneas correspondentes s˜o e a d3 x d2 x dx − t2 2 + 2t + xt = 0 dt3 dt dt e d2 y dy x 2 + 3x3 − 4xy = 0 dx dx Vamos nos concentrar inicialmente no estudo da equa¸ao diferencial ho- c˜ mogˆnea (34) e 28
  • 29. 3.1 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas de Ordem Su- co e perior Apesar da aparente simplicidade, n˜o h´ um modo geral de resolu¸ao da a a c˜ equa¸ao diferencial (34). Existem apenas casos particulares, desenvolvidos c˜ . para serem usados em situa¸oes espec´ c˜ ıficas. Um desses casos ocorre quando os coeficientes ai na equa¸ao (34), que ´ c˜ e dn y dn−1 y dy .S ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 dx dx dx s˜o na verdade constantes num´ricas e n˜o fun¸˜es de x. Neste caso, existe a e a co um m´todo razoavelmente simples, que ser´ discutido. No entanto, antes e a .J de apresentarmos o modo de resolver equa¸oes diferenciais homogˆneas com c˜ e coeficientes constantes, ´ preciso definir alguns conceitos que ser˜o necess´rios e a a depois, em particular os conceitos de dependˆncia e independˆncia linear. e e Defini¸˜o 3.2 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , a express˜o ca co a .R c1 f 1 + c2 f 2 + . . . + cn f n (39) onde c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes, ´ uma combina¸˜o linear f1 , f2 , . . . , fn . a e ca Por exemplo, A 5 ln x − 2 cos 2x + 4x2 ´ uma combina¸˜o linear de f1 (x) = ln x, f2 (x) = cos 2x e f3 (x) = x2 . e ca Defini¸˜o 3.3 Seja a combina¸˜o linear de f1 , f2 , . . . , fn ca ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 (40) Se nesta combina¸˜o linear especial pelo menos um dos cj for diferente de ca zero, dizemos que as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o linearmente dependentes, ou co a LD. Em particualr, duas fun¸˜es f1 (x) e f2 (x) s˜o linearmente dependentes co a se, quando c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 (41) pelo menos c1 ou c2 puder ser diferente de zero. Por exemplo, as fun¸˜esco f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x s˜o LD, pois na combina¸˜o linear a ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0 c1 (x) + c2 (2x) + c3 (3x) = 0 29
  • 30. 1 se tomarmos c1 = 3, c2 = −2 e c3 = 3 , veremos que a igualdade ´ satisfeita. e Defini¸˜o 3.4 Quando o unico modo de ter a combina¸˜o linear ca ´ ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 . for o de escolher c1 = c2 = . . . = cn = 0, as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o co a linearmente independentes, ou LI. Em particular, as fun¸˜es f1 e f2 s˜o LI co a se, para se ter .S c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 ´ necess´rio que c1 = c2 = 0. Como exemplo, as fun¸˜es f1 (x) = ex e e a co .J f2 (x) = sin x s˜o LI, pois, para que a c1 ex + c2 sin x = 0 ´ preciso que c1 = c2 = 0. e R Defini¸˜o 3.5 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , onde cada uma possui deri- ca co . vadas pelo menos at´ a ordem (n − 1), o determinante e f1 f2 ... fn f1 f2 ... fn A W (f1 , f2 , . . . , fn ) = . . . . ... . . . (42) . . . (n−1) (n−1) (n−1) f1 f2 . . . fn ´ chamado Wronskiano dessas fun¸˜es. Se o Wronskiano de f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) e co for nulo, essas fun¸˜es s˜o LD, e se n˜o for, elas s˜o LI. co a a a Vejamos um exemplo. Vamos calcular o Wronskiano das fun¸oes dadas c˜ no exemplo da defini¸ao 4.3, que s˜o f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x. c˜ a Temos trˆs fun¸oes e precisamos achar suas derivadas at´ a ordem 2, ou seja, e c` e f1 (x) = 1 f2 (x) = 2 f3 (x) = 3 f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 f3 (x) = 0 Agora, calculamos o Wronskiano f1 f2 f3 W = (f1 , f2 , f3 ) = f1 f2 f3 f1 f2 f3 30
  • 31. x 2x 3x W = (x, 2x, 3x) = 1 2 3 0 0 0 . W = (x, 2x, 3x) = 0 .S e as fun¸oes s˜o LD, como j´ hav´ c˜ a a ıamos mostrado. Vamos calcular agora o Wronskiano das fun¸˜es dadas no exemplo da defini¸˜o 3.4, que s˜o LI. As co ca a x fun¸oes s˜o f1 (x) = e e f2 (x) = sin x. Suas derivadas s˜o c˜ a a .J f1 (x) = ex f2 (x) = cos x e o Wronskiano ´ e f1 f2 R W = (f1 , f2 ) = . f1 f2 ex sin x W = (ex , sin x) = ex cos x A W = (ex , sin x) = ex cos x − ex sin x W = (ex , sin x) = ex (cos x − sin x) que ´ diferente de zero, e portanto as fun¸˜es s˜o LI. e co a Teorema 3.1 A equa¸˜o diferencial linear homogˆnea ordin´ria (34) ca e a dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 dx dx dx sempre possui n solu¸˜es linearmente independentes, e a sua solu¸˜o geral ´, co ca e a combina¸˜o linear dessas n solu¸˜es, na forma ca co f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) Em particular, se n = 2, a solu¸˜o geral ´ ca e f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) 31
  • 32. Um modo de se verificar as solu¸oes f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) s˜o LI ´ calcu- c˜ a e lar o seu Wronskiano. Se n˜o for nulo, ent˜o a combina¸ao linear das solu¸˜es a a c˜ co ´ a solu¸ao geral da equa¸˜o diferencial. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial e c˜ ca ca d2 y . +y =0 dx2 pode ser resolvida se y(x) = cos x ou se y(x) = sin x. O Wronskiano destas fun¸oes ´ c˜ e .S cos x sin x W = (cos x, sin x) = − sin x cos x .J W = (cos x, sin x) = cos2 x + sin2 x R W = (cos x, sin x) = 1 . que ´ diferente de zero, e as fun¸oes s˜o LI. Portanto, a solu¸˜o geral da e c˜ a ca equa¸ao diferencial ´ c˜ e A f (x) = c1 cos x + c2 sin x Vamos agora partir para o m´todo de resolu¸ao de equa¸oes diferencias e c˜ c˜ homogˆneas com coeficientes constantes. e 3.2 Equa¸˜es Diferencias com Coeficientes Constantes co As equa¸˜es diferenciais homogˆneas com coeficientes constantes s˜o as equa¸oes co e a c˜ diferencias na forma dn y dn−1 y dy ao n + a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (43) dx dx dx onde a0 , a1 , . . . , an s˜o constantes reais. Esta equa¸ao pode ser transformada a c˜ numa outra, atrav´s da substitui¸ao e c˜ y(x) = emx Lembrando que dy = memx dx 32
  • 33. d2 y = m2 emx dx2 . d3 y = m3 emx dx3 .S . . .=. . . dn y = mn emx .J dxn a equa¸ao diferencial (43) fica c˜ ao mn + a1 mn−1 emx + . . . + an−1 memx + an emx = 0 .R ou emx ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0 Como emx = 0, ficamos com A ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0 (44) que ´ um polinˆmio de grau n em m, chamado de equa¸ao caracter´ e o c˜ ıstica da mx equa¸ao diferencial (43). Se y(x) = e ´ solu¸ao de (43), ent˜o m deve ser c˜ e c˜ a solu¸ao de (44), ou seja, m ´ uma raiz do polinˆmio. Como um polinˆmio de c˜ e o o grau n tem n ra´ ızes, temos n valores de m, que correspondem as n solu¸oes ´ c˜ da equa¸˜o diferencial (43). Precisamos apenas separar os casos de ra´ ca ızes reais e distintas, ra´ reais e repetidas e ra´ complexas. ızes ızes 3.2.1 Ra´ ızes Reais e Distintas Se as ra´ de (44) s˜o reais e distintas, ent˜o as solu¸˜es s˜o ızes a a co a em1 x , em2 x , . . . , emn x que s˜o LI, e a solu¸ao geral ´ a c˜ e y(x) = c1 em1 x + c2 em2 x + . . . + cn emn (45) Como exemplo, considere a equa¸ao diferencial c˜ 33
  • 34. d2 (y) dy 2 + 5 + 6y = 0 dx dx . Substituindo y(x) = emx , temos m2 emx + 5memx + 6emx = 0 .S m2 + 5m + 6 = 0 que ´ a equa¸˜o caracter´ e ca ıstica neste caso. As ra´ s˜o ızes a .J m1 = −2 , m2 = −3 que s˜o diferentes, e as solu¸oes s˜o a c˜ a R e−2x , e−3x . que s˜o LI e formam a solu¸˜o geral a ca y(x) = c1 e−2x + c2 e−3x A 3.2.2 Ra´ ızes Reais e Repetidas Vamos considerar a equa¸ao diferencial c˜ d2 (x) dy 2 − 4 + 4x = 0 (46) dt dx Sua equa¸ao caracter´ c˜ ıstica ´e m2 − 4m + 4 = 0 que possui a raiz dupla m = 2. Ent˜o, as solu¸oes seriam e2t e e2t . No a c` entanto, essas solu¸oes n˜o s˜o LI, como ´ f´cil de verificar, j´ que elas s˜o c` a a e a a a 2t iguais. A fun¸˜o e ´ uma solu¸ao, como pode ser visto se a substituirmos ca e c˜ na equa¸ao diferencial c˜ d2 2 d 2 (e t) − 4 (e2t ) + 4(e2t ) = 0 dt dt 4e2t − 8e2t + 4e2t = 0 34
  • 35. 0=0 mas falta mais uma, pois uma equa¸˜o diferencial de ordem 2 tem duas ca . solu¸oes. Para achar a outra vamos tentar tomar c˜ x = e2t y .S e ver se isso resolve o problema. Temos ent˜o a dx dy dy = 2e2t y + e2t = e2t 2y + dt dt dt .J e d2 x dy dy d2 y = 2e2t 2y + + e2t 2y + + 2 dt2 dt dt dt .R d2 x 2t dy d2 y = 2e 4y + 4 + 2 dt2 dt dt substituindo tudo isso na equa¸ao (46), o resultado ´ c˜ e A dy d2 y dy e2t 4y + 4 + 2 − 4e2t 2y + + 4e2t y = 0 dt dt dt ou dy d2 dy 4y + 4 + 2 − 4 2y + + 4y = 0 dt dt dt d2 dy 2 + (4 − 4) + y (4 − 8 + 4) = 0 dt dt d2 =0 dt2 A equa¸˜o diferencial acima ´ bastante simples de resolver. Chamamos ca e dy w= dt e temos 35
  • 36. dy =0 dt . w=c onde a soma c ´ uma constante que pode ser tomada como sendo c = 1 sem e perda de generalidade. Agora, .S dy =1 dt .J dy = dt y =t+d R em que d ´ outra constante, que neste caso pode ser tomada como sendo e . d = 0. O resultado ´ y = t, e a outra solu¸ao da equa¸ao diferencial (46) ´ e c˜ c˜ e te2t A que LI em rela¸ao a solu¸ao e2t . A solu¸˜o geral fica c˜ ` c˜ ca x(t) = c1 e2t + c2 te2t = e2t (c1 + c2 t) O procedimento acima ´ absolutamente geral, e quando uma equa¸ao e c˜ diferencial tem uma raiz mi que se repete k vezes, as solu¸˜es associadas a co essa raiz s˜o a emi x , xemi x , x2 emi x , . . . , xk−1 emi x e a solu¸˜o geral fica ca c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + ck xk−1 emi x Se houver mais de uma rais repetida, repete-se o procedimento acima para cada uma delas. Por exemplo, se uma equa¸ao diferencial tiver uma c˜ equa¸ao caracter´ c˜ ızes s˜o m = 1, 1, 1, −3, −3, 4 a solu¸ao geral ıstica cujas ra´ a c˜ dessa equa¸ao diferencial ser´ c˜ a y(x) = c1 ex + c2 x + c3 x2 ex + c4 e−3x + c5 xe−3x + c6 e4x e todas as fun¸oes acima s˜o LI, como deveria ser. c˜ a 36
  • 37. 3.2.3 Ra´ ızes Complexas O procedimento a ser seguido quando as ra´ s˜o complexas ´ idˆntico aos ızes a e e anteriores. Se as ra´ complexas forem distintas, segue-se o caso das ra´ ızes ızes distintas. Se aparecerem ra´ ızes complexas repetidas, segue-se o caso das . ra´ ızes repetidas. As unicas diferen¸as s˜o que, se z = a + bi ´ raiz de uma ´ c a e equa¸ao, ent˜o z = a + bi, que ´ complexo conjugado, tamb´m ´ raiz, ou seja, c˜ a ¯ e e e elas aparecem aos pares. A outra diferen¸a ´ que, usando a rela¸ao de Euler c e c˜ .S eiθ = cos θ + i sin θ podemos expressar, dependendo da necessidade, as exponenciais complexas como soma de senos e cossenos, para facilitar a “visualiza¸ao”do resultado. c˜ .J Como exemplo, a equa¸ao diferencial c˜ d2 y dy = −6 + +25y = 0 dx2 dx R tem uma equa¸˜o caracter´ ca ıstica dada por . m2 − 6m + 25 = 0 que tem as ra´ complexas ızes A m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4i que s˜o conjugadas, como esperado. A solu¸ao segue o caso de ra´ reais e a c˜ ızes distintas, ou seja, as fun¸oes c˜ e(3+4i)x e(3−4i)x formam uma solu¸˜o geral ca y(x) = c1 e(3+4i)x c2 e(3−4i)x que s˜o LI, como deveria ser. Para expressar a solu¸ao na forma de senos a c˜ e cossenos, ´ prefer´vel transformar as solu¸˜es antes de formar a solu¸ao e e co c˜ geral, isto ´, e y(1) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e4xi = e3x (cos 4x + i sin 4x) y(2) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e−4xi = e3x (cos 4x − i sin 4x) 37
  • 38. e a solu¸˜o fica ca y(x) = k1 y1 + k2 y2 . = k1 e3x (cos 4x + i sin 4x) + k2 e3x (cos 4x − i sin 4x) = e3x [(k1 + k2 ) cos 4x + i (k1 − k2 ) sin 4x] .S y(x) = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x) .J que ´ a solu¸ao geral, com c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 − k2 ), expressa em senos e c˜ e cossenos. J´ a equa¸ao diferencial a c˜ d4 x d3 x d2 x dx R − 4 3 + 14 2 − 20 + 25x = 0 dt4 dt dt dt . tem uma equa¸˜o caracter´ ca ıstica m4 − 4m3 + 14m2 − 20m + 25 = 0 A cujas solu¸oes s˜o c˜ a m = 1 + 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2i que s˜o repetidas. Ent˜o, as solu¸oes s˜o a a c˜ a e(1+2i)t , te(1+2i)t , e(1−2i)t , te(1−2i)t e a solu¸˜o geral fica ca x(t) = (c1 + c2 t)e(1+2i)t + (c3 + c4 t)e(1−2i)t Na forma de senos e cossenos, temos x1 = e(1+2i)t = et+2it = et (cos 2t + i sin 2t) x2 = te(1+2i)t = tet (cos 2t + i sin 2t) x3 = e(1−2i)t = et−2it = et (cos 2t − i sin 2t) 38
  • 39. x4 = te(1−2i)t = tet (cos 2t − i sin 2t) que resulta na solu¸ao geral c˜ . x(t) = k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 + k4 x4 .S = k1 = et (cos 2t + i sin 2t) + k2 tet (cos 2t + i sin 2t) +k3 et (cos 2t − i sin 2t) + k4 tet (cos 2t − i sin 2t) .J = et {[(k1 + k3 ) + (k2 + k4 ) t] cos 2t + [i (k1 − k3 ) + i (k2 − k4 ) t] sin 2t} onde c1 = k1 + k3 , c2 = k2 + k4 , c3 = i(k1 − k3 ) e c4 = i(k2 − k4 ) .R x(t) = et [(c1 + c2 t) cos 2t + (c3 + c4 t) sin 2t] Agora j´ sabemos como resolver a equa¸˜o diferencial homogˆnea com a ca e coeficientes constantes (43). Vamos estudar o modo de resolver a equa¸ao c˜ A n˜o-homogˆnea com coeficientes constantes a e dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (47) dx dx dx Para isso, vamos precisar do seguinte teorema, v´lido para qualquer a equa¸ao diferencial na forma (6): c˜ Teorema 3.2 A solu¸˜o geral da equa¸˜o diferencial n˜o-homogˆnea ca ca a e dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) dx dx dx ´ dada por e y = yh + yp onde yh ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial homogˆnea correspondente e ca ca e dn y dn−1 y dy ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 dxn dx dx e yp ´ uma solu¸˜o particular, sem constantes arbitr´rias, da equa¸˜o dife- e ca a ca rencial n˜o-homogˆnea acima. a e 39