O documento apresenta definições de termos relacionados a equações diferenciais, incluindo variáveis dependentes e independentes, equações diferenciais ordinárias e parciais, lineares e não-lineares, e soluções explícitas e implícitas. Também discute a importância das equações diferenciais para descrever fenômenos físicos.
Álgebra Binária Booleana: funções booleanas, funções AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, X-NOR e função Implicação. Teoremas da Álgebra de Boole, Teoremas de De Morgan, Diagramas de Venn, Produto da Soma e Soma de Produtos.
O documento descreve os conceitos básicos da álgebra de Boole, incluindo variáveis booleanas, operações lógicas, tabelas verdade, circuitos lógicos e aplicações em sistemas digitais.
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
O documento discute conceitos básicos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e modelos probabilísticos. Ele apresenta exemplos práticos para ilustrar esses conceitos, como um sobre a montagem de um produto e a distribuição do lucro por peça montada. Também define noções como valor médio, variância, desvio padrão e funções de distribuição para variáveis aleatórias discretas.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
1) O documento introduz conceitos básicos de funções, incluindo definições de domínio, imagem e operações entre funções.
2) É explicado que o domínio de uma função é o conjunto de valores possíveis da variável independente, enquanto a imagem é o conjunto de valores da variável dependente.
3) O documento também discute extensões de domínios, notações para representar funções e operações entre funções.
Álgebra Binária Booleana: funções booleanas, funções AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, X-NOR e função Implicação. Teoremas da Álgebra de Boole, Teoremas de De Morgan, Diagramas de Venn, Produto da Soma e Soma de Produtos.
O documento descreve os conceitos básicos da álgebra de Boole, incluindo variáveis booleanas, operações lógicas, tabelas verdade, circuitos lógicos e aplicações em sistemas digitais.
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
O documento discute conceitos básicos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e modelos probabilísticos. Ele apresenta exemplos práticos para ilustrar esses conceitos, como um sobre a montagem de um produto e a distribuição do lucro por peça montada. Também define noções como valor médio, variância, desvio padrão e funções de distribuição para variáveis aleatórias discretas.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
1) O documento introduz conceitos básicos de funções, incluindo definições de domínio, imagem e operações entre funções.
2) É explicado que o domínio de uma função é o conjunto de valores possíveis da variável independente, enquanto a imagem é o conjunto de valores da variável dependente.
3) O documento também discute extensões de domínios, notações para representar funções e operações entre funções.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
O documento discute a álgebra de Boole, uma estrutura matemática formal que caracteriza propriedades comuns entre a lógica proposicional e a teoria dos conjuntos. A álgebra de Boole define operações e propriedades que qualquer modelo matemático que compartilhe essas características segue, permitindo generalizações entre contextos.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento descreve testes estatísticos para comparar duas médias amostrais, discutindo casos de amostras dependentes e independentes, com variâncias iguais ou diferentes. É apresentado um exemplo completo ilustrando o teste t para amostras dependentes e o teste t para amostras independentes com variâncias iguais.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias contínuas, incluindo: (1) definição de variável aleatória contínua e função densidade de probabilidade; (2) exemplos de distribuições como uniforme e exponencial; (3) cálculo de média, variância e outras medidas para variáveis contínuas.
Este documento discute distribuições amostrais e aproximações para distribuições discretas. Ele introduz amostras aleatórias e define estatísticas amostrais. Ele também estabelece teoremas sobre a média e variância amostrais e discute a aproximação da distribuição binomial pela normal quando o tamanho da amostra é grande. Finalmente, fornece regras práticas para calcular probabilidades envolvendo a distribuição binomial.
1) A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial e pode ser usada para determinar a taxa de variação de algo em relação a mudanças em outra coisa.
2) A derivada fornece a inclinação instantânea da função em cada ponto e corresponde à inclinação da tangente naquele ponto.
3) As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções e identificar pontos críticos como máximos, mínimos e pontos de inflexão.
Este documento apresenta uma introdução à análise de regressão. Discute conceitos como natureza da regressão, conceitos de regressão para população e amostra, estimação e hipóteses. Também fornece exemplos ilustrativos sobre regressão linear.
Este documento contém notas de aula sobre tópicos de álgebra linear como diagonalização de matrizes e operadores, formas bilineares e quadráticas reais, e teorema espectral. Os principais pontos abordados são a definição e propriedades de formas bilineares e sua representação matricial, além de conceitos como diagonalização de matrizes e operadores lineares.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
Este documento apresenta as aulas 18 a 36 de Álgebra II, Volume 2. A Aula 18 introduz o conceito de transformação linear e apresenta exemplos de transformações matriciais. As Aulas 19 a 25 discutem propriedades, núcleo, imagem e representações matriciais de transformações lineares. As Aulas 26 a 34 abordam transformações lineares especiais, operações lineares inversíveis, mudança de base, autovetores e autovalores de matrizes. Por fim, as Aulas 35 e 36 tratam de matrizes ortogonais e suas propri
1) O documento discute modelos probabilísticos discretos, incluindo variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
2) É introduzido o modelo uniforme para descrever experimentos como lançamento de dados, onde cada resultado tem a mesma probabilidade.
3) O modelo geométrico é usado para descrever o intervalo até a primeira falha em sistemas, como de aterrissagem de aviões, onde a probabilidade de falha é constante a cada uso.
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
1) O documento apresenta os principais conceitos de cálculo 1, incluindo conjuntos numéricos, funções, pares ordenados e sistema cartesiano.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
3) São explicados os conceitos de par ordenado, sistema cartesiano e tipos de funções como polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas.
O documento discute resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Ele define equações diferenciais, explica que a variável x é independente e y é dependente, e fornece exemplos de equações de diferentes ordens e graus. Também define solução geral, problema de valor inicial e apresenta um exemplo resolvido.
Este documento resume os principais tópicos da teoria de matrizes, incluindo sistemas lineares, subespaços fundamentais, autovalores e autovetores, traço de matrizes, forma quadrática e sinais de matrizes.
Aspectos da teoria de campos não comutativaRonaldo Lobato
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor processador. O novo aparelho custará US$ 100 a mais que o modelo anterior e estará disponível para pré-venda em 1 mês, com lançamento nas lojas em 2 meses. Analistas esperam que o novo smartphone ajude a empresa a aumentar suas vendas e receita no próximo trimestre.
This document reviews research on the convergence of perturbation series in quantum field theory. It discusses Dyson's argument that perturbation series in quantum electrodynamics (QED) have zero radius of convergence due to vacuum instability when the coupling constant is negative. Large-order estimates show that perturbation series coefficients grow factorially fast in quantum mechanics and field theories. Finally, it describes the method of Borel summation, which may allow extracting the exact physical quantity from a divergent perturbation series through a unique mapping.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
O documento discute a álgebra de Boole, uma estrutura matemática formal que caracteriza propriedades comuns entre a lógica proposicional e a teoria dos conjuntos. A álgebra de Boole define operações e propriedades que qualquer modelo matemático que compartilhe essas características segue, permitindo generalizações entre contextos.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento descreve testes estatísticos para comparar duas médias amostrais, discutindo casos de amostras dependentes e independentes, com variâncias iguais ou diferentes. É apresentado um exemplo completo ilustrando o teste t para amostras dependentes e o teste t para amostras independentes com variâncias iguais.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias contínuas, incluindo: (1) definição de variável aleatória contínua e função densidade de probabilidade; (2) exemplos de distribuições como uniforme e exponencial; (3) cálculo de média, variância e outras medidas para variáveis contínuas.
Este documento discute distribuições amostrais e aproximações para distribuições discretas. Ele introduz amostras aleatórias e define estatísticas amostrais. Ele também estabelece teoremas sobre a média e variância amostrais e discute a aproximação da distribuição binomial pela normal quando o tamanho da amostra é grande. Finalmente, fornece regras práticas para calcular probabilidades envolvendo a distribuição binomial.
1) A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial e pode ser usada para determinar a taxa de variação de algo em relação a mudanças em outra coisa.
2) A derivada fornece a inclinação instantânea da função em cada ponto e corresponde à inclinação da tangente naquele ponto.
3) As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções e identificar pontos críticos como máximos, mínimos e pontos de inflexão.
Este documento apresenta uma introdução à análise de regressão. Discute conceitos como natureza da regressão, conceitos de regressão para população e amostra, estimação e hipóteses. Também fornece exemplos ilustrativos sobre regressão linear.
Este documento contém notas de aula sobre tópicos de álgebra linear como diagonalização de matrizes e operadores, formas bilineares e quadráticas reais, e teorema espectral. Os principais pontos abordados são a definição e propriedades de formas bilineares e sua representação matricial, além de conceitos como diagonalização de matrizes e operadores lineares.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
Este documento apresenta as aulas 18 a 36 de Álgebra II, Volume 2. A Aula 18 introduz o conceito de transformação linear e apresenta exemplos de transformações matriciais. As Aulas 19 a 25 discutem propriedades, núcleo, imagem e representações matriciais de transformações lineares. As Aulas 26 a 34 abordam transformações lineares especiais, operações lineares inversíveis, mudança de base, autovetores e autovalores de matrizes. Por fim, as Aulas 35 e 36 tratam de matrizes ortogonais e suas propri
1) O documento discute modelos probabilísticos discretos, incluindo variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
2) É introduzido o modelo uniforme para descrever experimentos como lançamento de dados, onde cada resultado tem a mesma probabilidade.
3) O modelo geométrico é usado para descrever o intervalo até a primeira falha em sistemas, como de aterrissagem de aviões, onde a probabilidade de falha é constante a cada uso.
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
1) O documento apresenta os principais conceitos de cálculo 1, incluindo conjuntos numéricos, funções, pares ordenados e sistema cartesiano.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
3) São explicados os conceitos de par ordenado, sistema cartesiano e tipos de funções como polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas.
O documento discute resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Ele define equações diferenciais, explica que a variável x é independente e y é dependente, e fornece exemplos de equações de diferentes ordens e graus. Também define solução geral, problema de valor inicial e apresenta um exemplo resolvido.
Este documento resume os principais tópicos da teoria de matrizes, incluindo sistemas lineares, subespaços fundamentais, autovalores e autovetores, traço de matrizes, forma quadrática e sinais de matrizes.
Aspectos da teoria de campos não comutativaRonaldo Lobato
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor processador. O novo aparelho custará US$ 100 a mais que o modelo anterior e estará disponível para pré-venda em 1 mês, com lançamento nas lojas em 2 meses. Analistas esperam que o novo smartphone ajude a empresa a aumentar suas vendas e receita no próximo trimestre.
This document reviews research on the convergence of perturbation series in quantum field theory. It discusses Dyson's argument that perturbation series in quantum electrodynamics (QED) have zero radius of convergence due to vacuum instability when the coupling constant is negative. Large-order estimates show that perturbation series coefficients grow factorially fast in quantum mechanics and field theories. Finally, it describes the method of Borel summation, which may allow extracting the exact physical quantity from a divergent perturbation series through a unique mapping.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, operadores, a equação de Schrödinger, estados estacionários, oscilador harmônico, spin, perturbações, átomo de hidrogênio e mecânica quântica relativista. O documento é dividido em 33 capítulos cobrindo esses tópicos fundamentais da mecânica quântica.
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasRonaldo Lobato
Este documento apresenta um estudo sobre não-comutatividade e dualidade T em cordas bosônicas. O objetivo é investigar como a não-comutatividade se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magnético. O trabalho é organizado da seguinte forma: 1) Introdução à corda bosônica e surgimento da não-comutatividade. 2) Quantização e não-comutatividade. 3) Dualidade T em cordas fechadas e abertas. 4) Candidatos para o sistema dual e sua quantização.
Neste encontro, serão discutidas as principais características da mecânica quântica não-comutativa, uma versão da mecânica quântica que envolve coordenadas não-comutativas. Após encontrar uma representação para a álgebra das coordenadas e momentos, os participantes analisarão as mudanças devido à natureza não-comutativa das coordenadas e como, sob certas condições, o efeito da não-comutatividade é equivalente a uma interação de Landau.
Este capítulo introduz o tema das teorias quânticas de campo não-comutativas (TQCNC), motivadas pela expectativa de que o espaço-tempo adquire uma estrutura não-comutativa na escala de Planck. Apresenta-se o produto de Moyal como modelo para o produto de funções no espaço-tempo não-comutativo e discute-se como as TQCNC surgem como limites de baixa energia da teoria das cordas. Exemplifica-se o mecanismo UV/IR em uma teoria escalar não-comutativa e
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, o conceito de estado quântico, a equação de Schrödinger e suas aplicações como o oscilador harmônico e o átomo de hidrogênio. O documento também discute tópicos como operadores, perturbações, momento angular e spin.
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Learn BEM fundamentals as fast as possible. What is BEM (Block, element, modifier), BEM syntax, how it works with a real example, etc.
The document discusses how personalization and dynamic content are becoming increasingly important on websites. It notes that 52% of marketers see content personalization as critical and 75% of consumers like it when brands personalize their content. However, personalization can create issues for search engine optimization as dynamic URLs and content are more difficult for search engines to index than static pages. The document provides tips for SEOs to help address these personalization and SEO challenges, such as using static URLs when possible and submitting accurate sitemaps.
1) A aula trata da derivada em cadeia e derivada implícita.
2) A regra da cadeia permite calcular a derivada de funções compostas, como f(g(x)), sabendo-se as derivadas de f e g.
3) É possível obter a derivada dy/dx de funções dadas implicitamente por equações F(x,y)=c, derivando ambos os lados da equação.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) O documento descreve alguns conceitos sobre funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento da função quando x tende para o infinito.
2) Dois exemplos são dados para ilustrar esses conceitos, esboçando os gráficos das funções f(x) = 2x+1/(x-2) e y = x2 - 2x + 2/(x-1).
3) Os gráficos mostram retas assintotas verticais quando o denominador se anula
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
1. A expressão para du/dx se u depende de x, y(x) e z(x,y) é du/dx = fx + fy' + fz(fx + fy' ), onde y' é dy/dx e zx e zy são as derivadas parciais de z.
2. Se w depende de u e v, que dependem de x e y linearmente, então a derivada temporal de w é igual à combinação linear das derivadas espaciais.
3. A derivada de z = sen(x)cos(x) é dz/dx = (sen(x))(sen
O documento discute derivadas parciais de funções de múltiplas variáveis. Explica que uma derivada parcial é obtida fixando todas as variáveis independentes, exceto uma, e derivando em relação a essa variável. Fornece definições formais de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e discute suas notações e propriedades.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1. O documento apresenta os conceitos de antiderivada e integral indefinida, mostrando exemplos de primitivas de funções como 3x2, 2x, ex, sen x, etc.
2. São apresentadas algumas propriedades das integrais indefinidas, como o fato de duas primitivas de uma mesma função diferirem por uma constante.
3. São mostradas fórmulas para o cálculo imediato de integrais como ∫xdx, ∫senxdx, ∫exdx, ∫sec2xdx e outras. Manipulações
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute derivadas direcionais, que fornecem a taxa de variação de uma função de várias variáveis em qualquer direção. A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função ao longo de uma reta na direção de um vetor unitário. Ela pode ser calculada como a combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor unitário. Exemplos ilustram o cálculo da derivada direcional em diferentes situações.
Este documento apresenta os principais métodos para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo: (1) o método de separação de variáveis, (2) o método de substituição algébrica para equações homogêneas, e (3) o método para equações exatas. Além disso, discute aplicações destas equações diferenciais em problemas como o resfriamento/aquecimento de Newton, dinâmica populacional e crescimento de peixes.
Semelhante a Daum machado-equacoes-diferenciais (14)
1. 1 Introdu¸˜o
ca
1.1 Defini¸oes
c˜
Defini¸˜o 1.1. Se uma vari´vel pode assumir qualquer valor, independente
ca a
.
de outra vari´vel, ela ´ chamada independente. Por exemplo, as vari´veis
a e a
x,y,z,t,h s˜o independentes. Para representar o conjunto de todas as vari´veis
a a
independentes num certo problema, usaremos a nota¸˜o {x}, onde x ´ uma
ca e
das vari´veis do problema.
a
.S
Defini¸˜o 1.2. Quando uma vari´vel depende de outra, ou outras, ela ´ dita
ca a e
dependente. Dizemos tamb´m que essa vari´vel ´ uma fun¸˜o das vari´veis
e a e ca a
das quais ela depende. Ela n˜o pode assumir qualquer valor, pois depende
a
.J
de outras vari´veis. S˜o exemplos de vari´veis dependentes as seguintes
a a a
fun¸˜es: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f (x, y). Para representar o
co
conjunto de todas as vari´veis dependentes num certo problema, usamos a
a
nota¸˜o {y({x})}.
ca
Defini¸˜o 1.3. Uma equa¸˜o diferencial ´, basicamente, uma equa¸˜o que
ca ca e ca
R
envolve as derivadas de uma ou mais vari´veis dependentes com rela¸˜o `
a ca a
.
uma ou mais vari´veis independentes. Ent˜o, as equa¸˜es
a a co
2
d2 y dy
2
+ xy =0 (1)
dx dx
A
d4 x d2 x
+ 5 2 + 3x = cos t (2)
dt4 dt
d3 y d2 x
+ y 2 = ln z (3)
dz 3 dz
∂v ∂v
+ =v (4)
∂s ∂t
3
∂ 2u ∂ 2v ∂v ∂u
2
− 2+ + =0 (5)
∂x ∂x ∂y ∂y
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais.
a co
Como se percebe nas equa¸˜es acima, existem v´rios tipos de equa¸˜es
co a co
diferenciais. Sendo assim, elas foram classificadas de acordo com alguns
crit´rios.
e
Defini¸˜o 1.4. Uma equa¸˜o diferencial que envolve apenas derivadas or-
ca ca
din´rias de uma ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a apenas uma
a a ca
vari´vel independente ´ chamada equa¸˜o diferencial ordin´ria. As equa¸˜es
a e ca a co
(1), (2) e (3) s˜o exemplos de equa¸˜es diferencias ordin´rias. Na equa¸˜o
a co a ca
1
2. 1.1, a vari´vel independente ´ x, enquanto que a dependente ´ y = y(x). Na
a e e
equa¸˜o (2), a vari´vel independente ´ t, e agora x = x(t) ´ uma vari´vel
ca a e e a
dependente. Por fim, na equa¸˜o (3) temos duas fun¸˜es da vari´vel z, que
ca co a
s˜o x(z) e y(z).
a
.
Defini¸˜o 1.5. Uma equa¸˜o diferencial que envolve derivadas parciais de
ca ca
um ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a mais de uma vari´vel in-
a ca a
dependente ´ chamada equa¸˜o diferencial parcial. As equa¸˜es (4) e (5)
e ca co
s˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais parciais. Na equa¸˜o (4), s e t s˜o
a co ca a
.S
as vari´veis independentes, e temos v = v(s, t). Na equa¸˜o (5), temos
a ca
u = u(x, y) e v = v(x, y), que s˜o vari´veis dependentes, e x e y s˜o as
a a a
independentes.
Defini¸˜o 1.6. A derivada de maior ordem numa equa¸˜o diferencial define
ca ca
.J
a ordem da equa¸˜o diferencial. Assim, a equa¸˜o (1) ´ de segunda ordem,
ca ca e
ao passo qua a equa¸˜o (2) ´ de quarta ordem; (3) ´ de terceira ordem, (4)
ca e e
´ de primeira ordem e (5) tamb´m ´ de segunda ordem.
e e e
Defini¸˜o 1.7. Se uma equa¸˜o diferencial for tal que nos seus termos n˜o
ca ca a
R
aparecem
.
• fun¸˜es transcendentais da vari´vel ou vari´veis dependentes, ou de
co a a
2
suas derivadas, como, por exemplo, ln y(x), cos dt , sin ∂ x ;
dz
∂y 2
• produtos entre as vari´veis dependentes, entre as vari´veis dependentes
a a
e suas derivadas, ou entre as derivadas das vari´veis dependentes, como, por
a
A
2
2 dt dy dz dh ∂ 2 x ∂x
exemplo, [y(x)] , dh , y(x) dx , dt dt , x(y, z) ∂z2 ∂y ;
ent˜o a equa¸˜o diferencial ´ uma equa¸˜o diferencial linear. Se aparecer
a ca e ca
algum desses termos, a equa¸˜o ´ chamada equa¸˜o diferencial n˜o - linear.
ca e ca a
As equa¸˜es (2) e (4) s˜o equa¸˜es diferenciais lineares, enquanto que as
co a co
equa¸˜es (1),(3) e (5) s˜o n˜o - lineares.
co a a
Quando uma equa¸ao diferencial ´ linear e ordin´ria de ordem n e possui
c˜ e a
apenas uma vari´vel dependente, ela pode ser posta na forma geral
a
dm y dm−1 y dy
ao (x) m
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) (6)
dx dx dx
onde ao (x) n˜o ´ identicamente nulo, x ´ a vari´vel independente e y(x) ´
a e e a e
a unica fun¸ao de x. A express˜o acima ´ a forma mais geral para uma
´ c˜ a e
equa¸ao diferencial linear e ordin´ria de ordem n com apenas uma vari´vel
c˜ a a
dependente.
As equa¸˜es
co
d2 y dy
2
+ 3x + 6y = 0 (7)
dx dx
2
3. d4 x 1 d2 x
3j 2 − + jx = jej (8)
dj 4 j dj 2
s˜o exemplos de equa¸oes diferenciais ordin´rias lineares. A equa¸˜o (7) ´ de
a c˜ a ca e
.
segunda ordem e a (8) ´ de quarta ordem.
e
1.2 Importˆncia das Equa¸oes Diferenciais
a c˜
.S
Al´m do ponto de vista matem´tico, por si s´ relevante, o estudo de equa¸˜es
e a o co
diferenciais ´ muito importante do ponto de vista f´
e ısico. Os f´
ısicos ao estu-
darem alguns fenˆmenos, procuram inicialmente descrevˆ-lo de forma quali-
o e
tativa e posteriormente de forma quantitativa.
.J
Para uma boa parte dos sistemas f´ ısicos conhecidos at´ o momento, a
e
equa¸ao ou equa¸oes que descrevem os fenˆmenos, pelo menos de forma apro-
c˜ c˜ o
ximada, s˜o equa¸˜es diferenciais. As solu¸˜es de uma equa¸ao diferencial
a co co c˜
s˜o expl´
a ıcitas pu impl´ıcitas.
R
Defini¸˜o 1.8. Uma solu¸˜o expl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
ca ca ı ca e
.
fun¸˜o y = f ({x}) do conjunto das vari´veis independentes, a qual, quando
ca a
substitu´da na equa¸˜o diferencial, a transforma em uma igualdade.
ı ca
Como exemplo, a equa¸ao diferencial
c˜
dx
A
= 2x
dt
tem uma solu¸˜o expl´
ca ıcita dada por
x(t) = ce2t
pois, se substituirmos x(t) na equa¸˜o, temos (c ´ uma constante)
ca e
dx
= 2x
dt
d
ce2t = 2 ce2t
dt
2ce2t = 2ce2t
que ´ obviamente uma igualdade.
e
Defini¸˜o 1.9. Uma solu¸˜o impl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma
ca ca ı ca e
fun¸˜o g ({y} , {x}) do conjunto de vari´veis dependentes e independentes, a
ca a
qual, atrav´s de deriva¸˜es impl´citas, reproduz a equa¸˜o diferencial inicial.
e co ı ca
3
4. Neste caso, temos que a fun¸˜o
ca
f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0
´ uma solu¸ao impl´
e c˜ ıcita da equa¸˜o diferencial
ca
.
dy
x+y =0
dx
pois, tomando a derivada impl´
ıcita de f (x, y) com rela¸˜o a x, temos
ca
.S
d d 2 d
f (x, y) = (x + y 2 − 25) = 0
dx dx dx
.J
dy
2x + 2y =0
dx
dy
R
x+y =0
dx
.
que ´ a equa¸˜o diferencial inicial. Esta solu¸˜o impl´
e ca ca ıcita pode ser desmen-
brada em duas outras, f1 e f2 , que neste caso s˜o expl´
a ıcitas, a saber,
√
f1 (x) = y1 (x) = 25 − x2
A
√
f2 (x) = y2 (x) = − 25 − x2
Todavia, esse desmembrmento em geral n˜o ´ poss´
a e ıvel, e ficamos apenas com
a solu¸˜o impl´
ca ıcita. Alguns exemplos de aplica¸oes de equa¸oes diferenciais
c˜ c˜
s˜o:
a
1) movimento de proj´teis, planetas e sat´lites;
e e
2) estudo do decaimento radioativo de n´cleos inst´veis;
u a
3) propaga¸ao do calor atrav´s de uma barra;
c˜ e
4) estudo de todos os tipos de ondas;
crescimento de popula¸˜o;ca
6) estudo de rea¸oes qu´
c˜ ımicas;
7) descri¸ao quˆntica de um atomo de hidrogˆnio;
c˜ a ´ e
8) c´lculo do potencial el´trico de uma distribui¸ao de cargas;
a e c˜
9) estudo do oscilador harmˆnico.
o
Os sistemas acima s˜o uma amostra da grande utiliza¸˜o das equa¸˜es
a ca co
diferenciais. E´ poss´ que, para um dado problema, al´m da equa¸˜o dife-
ıvel e ca
rencial em si exista mais alguma condi¸ao que o experimento deve satisfazer.
c˜
Ent˜o, temos os seguintes casos:
a
4
5. Defini¸˜o 1.10. Quando um dado fenˆmeno, al´m de uma equa¸˜o dife-
ca o e ca
rencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condi¸˜es iniciais, esta-
co
belecidas a priori, para um mesmo valor da vari´vel independente, dizemos
a
que temos um problema de valor inicial. Como exemplo, considere um corpo
.
em queda livre. O movimento desse ´ descrito por uma equa¸˜o diferencial,
e ca
e as condi¸˜es s˜o a altura da qual ele foi solto e a valocidade inicial com a
co a
qual ele iniciou o movimento. Se a queda for no v´cuo, temos considerando
a
a origem no ch˜o e a altura representada por y(t), a equa¸˜o
a ca
.S
d2 y
= −g
dt2
com as condi¸˜es iniciais
co
.J
dy
y(0) = yo e = y (0) = v(0) = vo
dt 0
e a fun¸˜o y(t), que ´ solu¸˜o desta equa¸˜o diferencial, tem necessariamente
ca e ca ca
que respeitar as condi¸˜es iniciais, que foram dadas para o valor de t = 0.
co
R
Defini¸˜o 1.11. Se um fenˆmeno descrito por uma equa¸˜o diferencial
ca o ca
.
tiver alguma condi¸˜o especificada para dois ou mais valores da vari´vel in-
ca a
dependente, temos um problema com condi¸˜es de contorno. Por exemplo,
co
considerando um caso idˆntico ao anterior, mas com condi¸˜es dadas em
e co
duas alturas diferentes, ou seja, algo como
A
d2 y
= −g
dt2
com as condi¸˜es de contorno
co
y(0) = yo
y(2) = y2
temos um problema com condi¸˜es de contorno, dadas para os tempos t = 0
co
e t = 2. Nem sempre um problema com condi¸˜es de contorno tem solu¸˜o
co ca
apesar de que a equa¸˜o diferencial sozinha, sem considerar as condi¸˜es de
ca co
contorno, pode ter.
2 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias de Pri-
c˜ a
meira Ordem
Veremos alguns m´todos de resolu¸ao de equa¸˜es diferenciais de primeira
e c˜ co
ordem, lembrando a equa¸˜o (6), pode ser colocada na forma
ca
5
6. dy
= f (x, y) (9)
dx
na qual a fun¸ao f (x, y) pode ser escrita com uma raz˜o de duas outras
c˜ a
.
fun¸oes, ou seja,
c˜
M (x, y)
f (x, y) = −
N (x, y)
.S
e a equa¸˜o (9) pode ser reescrita na forma equivalente
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (10)
.J
Por exemplo, a equa¸˜o
ca
dy 2x2 − y
=
dx x
R
pode ser reescrita como
.
xdy − (2x2 − y)dx = 0
ou
A
(y + 2x2 )dx + xdy = 0
e assim, temos M (x, y) = y − 2x2 e N (x, y) = x. Na nota¸ao (9) fica
c˜
claro que y ´ a fun¸ao de x, enquanto que na (10) podemos interpretar que
e c˜
y = y(x) ou x = x(y), conforme for o caso. Em certas situa¸oes, ´ mais f´cil
c˜ e a
considerar um ponto de vista do que outro, e ent˜o ´ prefer´ resolver a
a e ıvel
equa¸ao diferencial sob esse ponto de vista e, se for necess´rio, obtemos a
c˜ a
fun¸ao inversa ap´s completar a resolu¸˜o da equa¸ao. Vejamos alguns casos
c˜ o ca c˜
especiais.
2.1 Equa¸˜es Diferenciais Exatas
co
Defini¸˜o 2.11 Seja F uma fun¸˜o de duas vari´veis reais, de forma que
ca ca a
F tenha as derivadas parciais primeiras cont´nuas. A diferencial total dF da
ı
fun¸˜o F ´ definida por
ca e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
dF (x, y) = dx + dy (11)
∂x ∂y
Como exemplo, considere a fun¸ao
c˜
6
7. F (x, y) = x2 y + 3y 3 x
Temos
.
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= 2xy + 3y 3 e = x2 + 9y 2 x
∂x ∂y
e, portanto,
.S
dF (x, y) = (2xy + 3y 3 )dx + (x2 + 9y 2 x)dy
Defini¸˜o 2.2. A express˜o
ca a
.J
M (x, y)dx + N (x, y)dy (12)
´ chamada uma diferencial exata se existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que se
e ca
verifique
.R
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
Se M (x, y)dx + N (x, y)dy ´ uma diferencial exata, a equa¸˜o diferencial
e ca
A
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
´ chamada uma equa¸˜o diferencial exata.
e ca
Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equa¸˜o diferen-
ca
cial s˜o exatas? A resposta ´ dada pelo seguinte teorema:
a e
Teorema 2.1 A equa¸˜o diferencial
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
´ exata se, e somente se, for verificado que
e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= (13)
∂y ∂x
Demonstra¸˜o. A prova do teorema 2.1 nos conduz ao m´todo de resolu¸˜o
ca e ca
de uma equa¸˜o diferencial exata. Vejamos a primeira parte. Consideremos
ca
que a equa¸˜o diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata e que, portanto,
ca e
existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que
ca
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
7
8. Assim,
∂ 2 F (x, y) ∂M (x, y) ∂ 2 F (x, y) ∂N (x, y)
= e =
∂y∂x ∂y ∂x∂y ∂x
.
No entanto, a ordem das derivadas pode ser invertida, ou seja,
∂ 2 F (x, y) ∂ 2 F (x, y)
=
∂y∂x ∂x∂y
.S
e, dessa forma, temos
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
.J
∂y ∂x
Na outra parte da prova, iniciamos com a hip´tese
o
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
R
∂y ∂x
.
e queremos provar que existe uma fun¸ao F (x, y) tal que
c˜
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
A
de forma que a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja exata.
c˜
Vamos assumir a express˜o
a
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x
seja verdadeira. Ent˜o, podemos fazer
a
F (x, y) = M (x, y)∂x + φ(y) (14)
onde a integral ´ efetuada apenas em x, sendo y considerado como uma
e
constante. O termo φ(y) aparece porque deveos ter a solu¸˜o mais geral
ca
poss´ para F (x, y). Agora, diferenciamos esta equa¸ao com a y, ou seja,
ıvel c˜
∂F (x, y) ∂ dφ(y)
= M (x, y)∂x +
∂y ∂y dy
Se queremos provar que a diferencial ´ exata, devemos ter tamb´m
e e
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
8
9. e ent˜o obtemos
a
∂ dφ(y)
N (x, y) = M (x, y)∂x +
∂y dy
.
dφ(y) ∂M (x, y)
= N (x, y) − ∂x
dy ∂y
e, resolvendo esta express˜o para φ(y), temos
a
.S
∂M (x, y)
φ(y) = N (x, y) − ∂x dy
∂y
.J
que, combinanda com a equa¸ao (14), fornece, finalmente,
c˜
∂M (x, y)
F (x, y) = M (x, y)∂x + N (x, y) − ∂x dy (15)
∂y
R
e esta fun¸˜o F (x, y) est´ sujeita `s condi¸oes
ca a a c˜
.
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
∂y ∂x
A
e tamb´m
e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) e = N (x, y)
∂x ∂y
e, portanto, a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata. Se, ao
c˜ e
inv´s de iniciarmos a demonstra¸ao considerando a equa¸ao
e c˜ c˜
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x
us´ssemos a outra equa¸ao
a c˜
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
o resultado seria
∂N (x, y)
F (x, y) = N (x, y)∂y + M (x, y) − ∂y dx (16)
∂x
Qual ´ a solu¸ao da equa¸ao M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0? A resposta ´:
e c˜ c˜ e
a solu¸ao da equa¸ao diferencial exata ´ a fun¸ao F (x, y) = c, onde F (x, y)
c˜ c˜ e c˜
9
10. ´ dada por uma das express˜es (15) ou (16), e c ´ uma constante num´rica
e o e e
que pode ser determinada se houver alguma condi¸˜o adicional. Vejamos um
ca
exemplo completo, considerando a equa¸ao abaixo:
c˜
.
(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0
Desta equa¸˜o, temos M (x, y) = 3x2 + 4xy e N (x, y) = 2x2 + 2y. Por-
ca
tanto, devemos verificar se ela ´ uma equa¸ao diferencial exata e, pora tanto,
e c˜
calculamos
.S
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= 4x e = 4x
∂y ∂x
.J
Vemos que s˜o iguais, logo, a equa¸˜o ´ exata. Assim, temos
a ca e
∂F (x, y) ∂F (x, y)
= M (x, y) = 3x2 + 4xy e = N (x, y) = 2x2 + 2y
∂x ∂y
R
Utilizando a primeira, obtemos
.
F (x, y) = φ(y) + M (x, y)∂x
A
= φ(y) + (3x2 + 4xy)∂x
F (x, y) = x3 + 2x2 y + φ(y)
mas ` segunda nos diz que
a
∂F (x, y)
= N (x, y) = 2x2 + 2y
∂y
dφ(y)
2x2 + = 2x2 + 2y
dy
dφ(y)
= 2y
dy
A equa¸˜o acima d´, diretamente,
ca a
dφ(y) = 2ydy
10
11. dφ(y) = 2ydy
.
φ(y) = y 2 + co
e, portanto, temos
.S
F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co
mas como a solu¸ao da equa¸˜o diferencial ´ da forma F (x, y) = c, e assim,
c˜ ca e
.J
F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co = c
ou, finalmente, incorporando co a c, temos
x3 + 2x2 y + y 2 = c
R
(17)
.
que ´ a solu¸˜o geral da equa¸ao diferencial exata inicial. Se considerar-
e ca c˜
mos uma condi¸ao inicial, como, por exemplo, y(1) = 0, podemos obter a
c˜
constante c, pois, neste caso, devemos ter x = 1 e y = 0, ou seja,
A
13 + 2.12 .0 + 02 = c
c=1
e, pora este caso, a solu¸ao fica
c˜
x3 + 2x2 y + y 2 = 1
Vejamos agora mais um tipo de equa¸˜o diferencial.
ca
2.2 Equa¸˜es Diferenciais Separ´veis
co a
Defini¸˜o 2.3. As equa¸˜es do tipo
ca co
F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (18)
s˜o chamadas de equa¸˜es diferenciais separ´veis porque elas podem sr colo-
a co a
cadas na forma
F (x) g(y)
dx + dy = 0 (19)
f (x) G(y)
11
12. que ´ uma equa¸˜o exata, pois
e ca
F (x) g(y)
M (x, y) = M (x) = e N (x, y) = N (y) =
f (x) G(y)
.
e, para verificar se ela ´ exata, calculamos
e
∂M (x, y) ∂ F (x) ∂N (x, y) ∂ g(y)
= =0 e = =0
∂y ∂y f (x) ∂x ∂x G(y)
.S
como as derivadas acima s˜o iguais, a equa¸˜o (19) ´ exata e pode ser escrita
a ca e
na forma M (x)dx + N (y)dy = 0, que pode ser imediatamente integrada,
resultando em
.J
M (x)dx + N (y)dy = c (20)
ou tamb´m,
e
R
F (x) g(y)
.
dx + dy = c (21)
f (x) G(y)
As equa¸˜es (20) ou (21) fornecem a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial separ´vel
co ca ca a
(19)
A
Vejamos agora um exemplo. Considere a equa¸ao c˜
x sin ydx + (x2 + 1) cos ydy = 0
Esta equa¸ao n˜o ´ exata, mas pode ser transformada em uma equa¸ao dife-
c˜ a e c˜
2
rencial separ´vel se dividirmos a equa¸˜o pelo fator (x + 1) sin y, isto ´,
a ca e
x cos y
dx + dy = 0
x2 +1 sin y
o resultado fica
x cos y
dx + dy = c
x2 +1 sin y
lembrando que
du
= ln |u| + C
u
ficamos com
1
ln(x2 + 1) + ln |sin y| = co
2
12
13. Multiplicando esta express˜o por 2 e chamando 2co = ln |c1 |, temos
a
ln(x2 + 1) + ln(sin2 y) = ln(c1 )2
ou ainda, chamamos c = c2
.
1
ln (x2 + 1) sin2 y = ln(c)
e, finalmente,
.S
(x2 + 1) sin2 y = c (22)
que ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial inicial. Se houver alguma condi¸˜o
e ca ca ca
π
adicional, como, por exemplo, y(0) = 2 teremos
.J
2 π
1 sin =c
2
R
c=1
.
e a equa¸˜o ser´
ca a
(x2 + 1) sin2 y = 1
A
´
E importante notar que, ao dividir a equa¸˜o por (x2 + 1) sin y, etamos con-
ca
siderando que sin y = 0, ou seja, se y = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .?
A equa¸ao diferencial inicial pode ser escrita na forma
c˜
dy x sin y
=− 2
dx x + 1 cos y
como sin y = 0, y = nπ, e, substituindo esta solu¸ao na equa¸ao diferencial,
c˜ c˜
encontramos
d x sin nπ
(nπ) = − 2
dx x + 1 cos nπ
x 0
=0−
x2 + 1 (−1)n
0=0
Ent˜o, y = nπ tamb´m ´ solu¸ao e corresponde ao valor c = 0 na equa¸ao
a e e c˜ c˜
(22). Assim, nenhuma solu¸ao da equa¸ao diferencial foi perdida ao fazermos
c˜ c˜
a transforma¸ao para a forma separ´vel.
c˜ a
13
14. 2.3 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas
co e
Defini¸˜o 2.4 Uma fun¸˜o F ´ dita homogˆnea de grau n se ocorrer que
ca ca e e
F (tx, ty) = tn F (x, y)
.
ou seja, quando em F (x, y) substitu´mos x por tx e y por ty e depois fa-
ı
toramos o t, a express˜o resultante fica na forma acima. Por exemplo, se
a
F (x, y) = x3 + x2 y, temos
.S
F (tx, ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty)
.J
= t3 x3 + t2 x2 ty
= t3 x3 + t3 x2 y
.R
= t3 (x3 + x2 y)
F (tx, ty) = t3 F (x, y)
A
e
F (x, y) = x3 + x2 y
´ homogˆnea de grau 3
e e
Defini¸˜o 2.5 A equa¸˜o de primeira ordem M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´
ca ca e
homogˆnea se, quando escrita na forma
e
dy
= f (x, y)
dx
existir uma fun¸˜o g tal que f (x, y) possa ser colocada na forma
ca
y
f (x, y) = g
x
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
dy y
=g
dx x
14
15. De forma equivalente, a equa¸˜o diferencial ´ homogˆnea se as fun¸˜es
ca e e co
M (x, y) e N (x, y) forem homogˆneas de mesmo grau.
e
Vejamos um exemplo. A equa¸˜o diferencial
ca
.
xydx + (x2 + y 2 )dy = 0
´ homogˆnea. Vamos conferi-la pelos m´todos. Primeiro, escrevendo-a na
e e e
forma
.S
dy xy
=− 2
dx x + y2
vemos que podemos reescrevˆ-la como
e
.J
dy xy
=− y2
dx x2 (1 + x2
)
R
x
dy
.
y
=− 2
dx 1+ y x
e, neste caso,
A
y
y x
g =− 2
x 1+ y x
e a equa¸ao diferencial ´ homogˆnea. Agora vamos analis´-la pelo segundo
c˜ e e a
m´todo. Neste caso, temos M (x, y) = xy e N (x, y) = x2 + y 2 . Assim,
e
M (tx, ty) = (tx)(ty)
= t2 xy
M (tx, ty) = t2 M (x, y)
e M (x, y) ´ homogˆnea de grau 2. Para N (x, y) temos
e e
N (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2
= t2 x2 + t2 y 2
15
16. = t2 (x2 + y 2 )
.
N (tx, ty) = t2 N (x, y)
e N (x, y) tamb´m ´ homogˆnea de grau 2, como M (x, y). Portanto, a equa¸ao
e e e c˜
diferencial ´ homogˆnea.
e e
.S
Como se resolve uma equa¸ao diferencial homogˆnea? A resposta ´ dada
c˜ e e
pelo seguinte teorema, e pela sua prova.
Teorema 2.2 Se a equa¸˜o diferencial
ca
.J
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (23)
y
´ homogˆnea, a mudan¸a de vari´veis y = vx, ou v = x , transforma a
e e c a
equa¸˜o (23) numa equa¸˜o diferencial separ´vel nas vari´veis v e x.
ca ca a a
R
Demonstra¸˜o. A equa¸ao (23) ´ homogˆnea. Ent˜o, podemos escrevˆ-la na
ca c˜ e e a e
.
forma
dy y
=g
dx x
A
como vimos na defini¸ao 2.5. Agora, fazemos y = vx. Ent˜o,
c˜ a
dy d dv
= (vx) = v + x
dx dx dx
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
dv y
v+x =g = g(v)
dx x
y
pois v = x . Podemos reescrever a express˜o acima na forma
a
[v − g(v)] dx + xdv = 0
que ´ a equa¸˜o diferencial separ´vel, e assim,
e ca a
dv dx
+ =0
v − g(v) x
A resolu¸˜o ´ feita por integra¸ao direta, ou seja,
ca e c˜
dv dx
+ =c
v − g(v) x
16
17. onde c ´ uma constante de integra¸ao. A solu¸ao geral fica
e c˜ c˜
dv
+ ln |x| = c (24)
v − g(v)
.
y
e, ap´s resolver a integral, devemos substituir novamente v =
o x
para voltar
as vari´veis iniciais.
` a
Examinamos um exemplo. J´ vimos que a equa¸ao
a c˜
xydx + (x2 + y 2 )dy = 0
.S
´ homogˆnea. Vamos reescrevˆ-la como
e e e
x
dy
.J
y
=− 2
dx 1+ x y
e fazer a substitui¸ao y = vx. Assim, ficamos com
c˜
R
d v
.
(vx) = −
dx 1 + v2
dv v
v+x =−
dx 1 + v2
A
dv v
x =− −v
dx 1 + v2
dv v(2 + v 2 )
x =−
dx 1 + v2
que pode ser escrita como
1 + v2 dx
2)
dv + =0
v(2 + v x
que ´ uma equa¸ao diferencial separav´l. Integrando esta express˜o, temos
e c˜ e a
1 + v2 dx
dv + =c
v(2 + v 2 ) x
que, mediante a utiliza¸˜o de fra¸˜es parciais, resulta em
ca co
1 1
ln |v| + ln(v 2 + 2) + ln |x| = co
2 4
17
18. Chamando co = ln |c1 |, temos
1 1
ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln |c1 | − ln |x|
2 4
.
1 1 |c1 |
ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln
2 4 |x|
.S
Multiplicando esta express˜o por 4, e agrupando os logaritimos, temos
a
c1 4
ln v 2 (v 2 + 2) = ln
x
.J
ou
c1 4
v 2 (v 2 + 2) =
x
R
y
como v = x , temos
.
y 2 y 2 c1 4
+2 =
x x x
A
y 2 y 2 + 2x2 c1 4
=
x2 x2 x
y2 2 c1 4
4
(y + 2x2 ) =
x x
y 4 + 2x2 y 2 = c4
1
e, definindo uma constante c = c4 , temos, finalmente,
1
y 4 + 2x2 y 2 = c (25)
que ´ a solu¸˜o (impl´
e ca ıcita) da equa¸ao diferencial inicial.
c˜
At´ agora vimos equa¸oes diferenciais que podem ser lineares. Vamos
e c˜
concentrar nossa aten¸ao nas equa¸oes lineares de primeira ordem.
c˜ c˜
18
19. 2.4 Equa¸˜es Diferenciais Lineares
co
Defini¸˜o 2.6 Se for poss´vel escrever uma equa¸˜o ordin´ria de primeira
ca ı ca a
ordem na forma
.
dy
+ P (x)y = Q(x) (26)
dx
esta diferencial ser´ uma equa¸˜o linear.
a ca
Como exemplo, a equa¸ao
c˜
.S
dy 1
x2 + (x4 − 2x + 1)y =
dx x
pode ser calocada na forma
.J
dy x4 − 2x + 1 1
+ 2
y= 3
dx x x
R
ou ainda,
.
dy 2 1 1
+ x2 − + 2 y = 3
dx x x x
que ´ linear, porque est´ no tipo da equa¸˜o 2.18.
e a ca
A
A equa¸ao (26) pode ser reescrita na forma
c˜
[P (x)y − Q(x)] dx + dy = 0 (27)
que ´ uma equa¸ao do tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y) =
e c˜
P (x)y − Q(x)eN (x, y) = 1. Esta equa¸ao n˜o ´ exata, pois
c˜ a e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= P (x) e =0
∂y ∂x
No entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numa
equa¸ao diferencial exata.
c˜
Defini¸˜o 2.7 Um fator integrante µ(x, y) ´ uma fun¸˜o que, multiplicada
ca e ca
pela equa¸˜o diferencial
ca
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
a transforma numa equa¸˜o diferencial exata, ou seja, na equa¸˜o
ca ca
µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 (28)
que ´, por defini¸˜o, exata
e ca
19
20. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
ca
ydx + 2xdy = 0
.
n˜o ´ exata, pois M (x, y) = y, N (x, y) = 2x e
a e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=1= =2
∂y ∂x
.S
Entretanto, se multiplicarmos esta equa¸˜o por y, teremos
ca
y 2 dx + 2xydy = 0
.J
e agora, M (x, y) = y 2 , N (x, y) = 2xy e
∂M (x, y) ∂N (x, y)
= 2y = = 2y
∂y ∂x
R
e a equa¸ao diferencial torna-se uma equa¸ao exata, sendo µ(x, y) = y o seu
c˜ c˜
.
fator integrante.
Se utilizarmos fatores integrantes, a equa¸ao diferencial linear (26) pode
c˜
ser resolvida atrav´s do seguinte teorema:
e
Teorema 2.3 A equa¸˜o diferencial linear
ca
A
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
tem um fator integrante na forma
P (x)dx
µ(x, y) = e
e sua solu¸˜o ´ dada por
ca e
y(x) = e− P (x)dx
e P (x)dx
Q(x)dx + c (29)
Demonstra¸˜o. Considere a equa¸ao diferencial (27). Vamos multipl´ a-la
ca c˜ ıc´
por um fator integrante µ(x) que a torne uma equa¸˜o exata, ou seja,
ca
[µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] dx + µ(x)dy = 0
Por defini¸ao, a equa¸ao diferencial acima ´ exata, e assim,
c˜ c˜ e
∂ ∂
[µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] = [µ(x)]
∂y ∂x
20
21. que se reduz a
dµ
µP (x) =
dx
.
que pode ser separada em
dµ
= P (x)dx
µ
.S
e entegrada, resultando em
ln |µ| = P (x)dx
.J
P (x)dx
µ(x) = e
Agora multiplicamos a equa¸˜o diferencial (26) pelo fator integrante, isto ´,
ca e
.R
P (x)dx dy P (x)dx P (x)dx
e +e P (x)y = e Q(x)
dx
o lado esquerdo pode ser reescrito, pois
A
d P (x)dx P (x)dx dy d P (x)dx
e dy = e +y e
dx dx dx
d P (x)dx P (x)dx dy P (x)dx
e y =e + ye P (x)
dx dx
e assim, a equa¸ao diferencial fica
c˜
d P (x)dx P (x)dx
e dy = e Q(x)
dx
P (x)dx P (x)dx
d e y =e Q(x)dx
P (x)dx P (x)dx
d e y = e Q(x)dx
P (x)dx P (x)dx
e y= e Q(x)dx + c
ou, finalmente,
21
22. y(x) = e− P (x)dx
e P (x)dx
Q(x)dx + c
.
Vejamos agora um exemplo de aplica¸ao. Considere a equa¸ao diferencial
c˜ c˜
dy 3
+ y = 6x2
dx x
.S
3
Nesta equa¸ao, P (x) =
c˜ x
e Q(x) = 6x2 . Ent˜o,
a
µ(x) = exp P (x)dx
.J
3
= exp dx
x
R
= exp(3 ln |x|)
.
= eln|x |
3
A
µ(x) = x3
multiplicando a equa¸ao diferencial por µ(x), temos
c˜
dy
x3 + 3x2 y = 6x5
dx
O lado esuqerdo ´, na verdade,
e
d 3 dy
(x y) = x3 + y(3x2 )
dx dx
e a equa¸˜o diferencial fica
ca
d 3
(x y)6x5
dx
d(x3 y) = 6x5 dx
d(x3 y) = 6x5 dx
22
23. x3 y = x6 + c
.
c
y(x) = x3 +
x3
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial inicial. Vejamos um outro exemplo
e c˜ c˜
ilustrativo. Considere a equa¸ao diferencial
c˜
.S
y 2 dx + (3xy − 1)dy = 0 (30)
que pode ser colocada na forma
.J
dy y2
− =0
dx 1 − 3xy
que ´ n˜o-linear em y. Esta equa¸ao tamb´m n˜o ´ exata, sep´ravel ou
e a c˜ e a e a
R
homogˆnea. No entanto, como foi dito no in´
e ıcio deste cap´
ıtulo, ao definir
.
a equa¸ao (10), quando uma equa¸ao diferencial est´ na forma da equa¸˜o
c˜ c˜ a ca
(30), podemos interpretar que y = y(x) ou que x = x(y). Assim, vamos
tentar esta ultima interpreta¸˜o, ou seja, vamos escrever a equa¸ao como
´ ca c˜
A
dx 1 − 3xy
− =0
dy y2
ou ainda como
dx 3 1
+ x= 2
dy y y
que ´ do tipo
e
dx
+ P (y)x = Q(y)
dy
e ´ uma equa¸ao diferencial linear em x, podendo ser resolvida mediante a
e c˜
utiliza¸ao da equa¸˜o (29), com a substitui¸ao de x por y e y por x. O fator
c˜ ca c˜
integrante ´
e
µ(y) = exp P (y)dy
3
= exp dy
y
23
24. = exp3 ln|y |
3
.
µ(y) = y 3
Multiplicando o fator integrante pela equa¸ao diferencial, temos
c˜
dx
.S
y3 + 3y 2 x = y
dy
como
.J
d 3 dx
(y x) = y 3 + x(3y 2 )
dy dy
obtemos
R
d 3
(y x) = y
.
dy
d(y 3 x) = ydy
A
d(y 3 x) = ydy
y2
y3x = +c
2
1 c
x(y) = + 3
2y y
que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial (30). Vejamos uma classe especial de
e c˜ c˜
equa¸oes diferenciais que podem ser transformadas em equa¸˜es lineares.
c˜ co
2.5 Equa¸˜o de Bernoulli
ca
Defini¸˜o 2.8 Uma equa¸˜o diferencial da forma
ca ca
dy
+ P (x)y = Q(x)y n (31)
dx
´ chamada de equa¸˜o de Bernoulli de grau n.
e ca
24
25. Um exemplo de uma equa¸ao diferencial de Bernoulli ´ a equa¸˜o
c˜ e ca
dy y y2
− =− (32)
dx x x
.
1 1
pois P (x) = − x , Q(x) = − x e n = 2
Se na equa¸˜o de Bernoulli tivermos n = 0 ou n = 1, ent˜o a equa¸˜o ´
ca a ca e
na verdade linear e pode ser resolvida mediante algum dos m´todos vistos.
e
nos outros casos, a equa¸˜o diferencial ´ n˜o - linear e ela pode ser resolvida
ca e a
.S
atrav´s do seguinte teorema:
e
Teorema 2.4 A equa¸˜o de Bernoulli n˜o-linear
ca a
dy
+ P (x)y = Q(x)y n
.J
dx
sendo n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸˜o diferencial linear
ca
atr´ves da mudan¸a de vari´veis
a c a
v = y 1−n
.R
que resulta numa equa¸˜o diferencial linear em v.
ca
Demonstra¸˜o. Primeiro, multiplicamos a equa¸˜o diferencial (31) por y −n ,
ca ca
ou seja,
A
dy
y −n + P (x)y 1−n = Q(x) (33)
dx
Se v = y 1−n , ent˜o,
a
dv d 1−n dy
= (y ) = (1 − n)y −n
dx dx dx
e a equa¸˜o (33) fica
ca
1 dv
+ P (x)v = Q(x)
1 − n dx
ou, de forma equivalente,
dv
+ (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x)
dx
Chamando
P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x)
P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x)
25
26. temos
dv
+ P1 (x)v = Q1 (x)
dx
.
que ´ linear em v.
e
Como exemplo, vamos resolver a equa¸ao diferencial (32), que ´
c˜ e
dy y y2
− =−
.S
dx x x
Neste caso, n = 2, e ent˜o, devemos multiplicar a equa¸ao por y −2 , ou seja,
a c˜
dy y −1 1
.J
y −2 − =−
dx x x
Como v = y 1−n = y −1 , temos
dv d −1 dy
R
= (y ) = −y −2
dx dx dx
.
Fazendo a substitui¸ao, ficamos com
c˜
dv v 1
− − =−
A
dx x x
ou ainda,
dv v 1
+ =
dx x x
1
que est´ na forma padr˜o das equa¸˜es diferenciais lineares, com P (x) =
a a co x
1
e Q(x) = x . O fator integrante ´
e
µ(x) = exp P (x)dx
dx
= exp
x
= exp(ln |x|)
µ(x) = x
26
27. Multiplicando a equa¸˜o diferencial por este fator integrante, temos
ca
dv
x +v =1
dx
.
Como
d dv
(xv) = x + v
dx dx
.S
obtemos
d
(xv) = 1
dx
.J
d(xv) = dx
R
d(xv) = dx
.
xv = x + c
A
c
v(x) = 1 +
x
Lembrando que v = y −1 , temos y = v , ou seja,
1
1 x+c
=
y(x) x
x
y(x) =
x+c
que ´ a solu¸˜o da equa¸ao diferencial de Bernoulli (32).
e ca c˜
3 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias Lineares
c˜ a
de Ordem Superior: T´cnicas Fundamen-
e
tais
Passaremos ` discuss˜o das equa¸oes diferencias ordin´rias de ordem supe-
a a c˜ a
rior, em especial as equa¸˜es diferencias de segunda ordem.
co
27
28. Defini¸˜o 3.1 Uma equa¸˜o diferencial linear ordin´ria de ordem n ´
ca ca a e
uma equa¸˜o que pode ser posta na forma da equa¸˜o (6), que ´
ca ca e
dn y dn−1 y dy
ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
.
dx n dx dx
onde a0 (x) n˜o ´ identicamente nulo. Se b(x) = 0, a equa¸˜o acima escreve-
a e ca
se na forma
.S
dn y dn−1 y dy
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 (34)
dx dx dx
e ´ chamada homogˆnea, enquanto que a equa¸˜o diferencial (6) ´ dita n˜o
e e ca e a
homogˆnea. Se n = 2, ent˜o a equa¸˜o diferencial (6) se reduz ` equa¸˜o
e a ca a ca
.J
n˜o homogˆnea
a e
d2 y dy
ao (x)
2
+ a1 (x) + a2 (x)y = b(x) (35)
dx dx
R
enquanto que a equa¸˜o diferencial homogˆnea (34) se reduz a
ca e
.
d2 y dy
ao (x)
2
+ a1 (x) + a2 (x)y = 0 (36)
dx dx
Como exemplo, as equa¸oes diferencias
c˜
A
d3 x d2 x
− t2 2 + xt = cos t (37)
dt3 dt
e
d2 y dy
x
2
+ 3x3 − 4xy = ex (38)
dx dx
s˜o equa¸oes diferencias lineares n˜o-homogˆneas. A equa¸ao (37) ´ de ordem
a c˜ a e c˜ e
n = 3, ao passo que a equa¸˜o (38) ´ de ordem n = 2. As equa¸oes diferenciais
ca e c˜
homogˆneas correspondentes s˜o
e a
d3 x d2 x dx
− t2 2 + 2t + xt = 0
dt3 dt dt
e
d2 y dy
x 2
+ 3x3 − 4xy = 0
dx dx
Vamos nos concentrar inicialmente no estudo da equa¸ao diferencial ho-
c˜
mogˆnea (34)
e
28
29. 3.1 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas de Ordem Su-
co e
perior
Apesar da aparente simplicidade, n˜o h´ um modo geral de resolu¸ao da
a a c˜
equa¸ao diferencial (34). Existem apenas casos particulares, desenvolvidos
c˜
.
para serem usados em situa¸oes espec´
c˜ ıficas. Um desses casos ocorre quando
os coeficientes ai na equa¸ao (34), que ´
c˜ e
dn y dn−1 y dy
.S
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dx dx dx
s˜o na verdade constantes num´ricas e n˜o fun¸˜es de x. Neste caso, existe
a e a co
um m´todo razoavelmente simples, que ser´ discutido. No entanto, antes
e a
.J
de apresentarmos o modo de resolver equa¸oes diferenciais homogˆneas com
c˜ e
coeficientes constantes, ´ preciso definir alguns conceitos que ser˜o necess´rios
e a a
depois, em particular os conceitos de dependˆncia e independˆncia linear.
e e
Defini¸˜o 3.2 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , a express˜o
ca co a
.R
c1 f 1 + c2 f 2 + . . . + cn f n (39)
onde c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes, ´ uma combina¸˜o linear f1 , f2 , . . . , fn .
a e ca
Por exemplo,
A
5 ln x − 2 cos 2x + 4x2
´ uma combina¸˜o linear de f1 (x) = ln x, f2 (x) = cos 2x e f3 (x) = x2 .
e ca
Defini¸˜o 3.3 Seja a combina¸˜o linear de f1 , f2 , . . . , fn
ca ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 (40)
Se nesta combina¸˜o linear especial pelo menos um dos cj for diferente de
ca
zero, dizemos que as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o linearmente dependentes, ou
co a
LD. Em particualr, duas fun¸˜es f1 (x) e f2 (x) s˜o linearmente dependentes
co a
se, quando
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 (41)
pelo menos c1 ou c2 puder ser diferente de zero. Por exemplo, as fun¸˜esco
f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x s˜o LD, pois na combina¸˜o linear
a ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0
c1 (x) + c2 (2x) + c3 (3x) = 0
29
30. 1
se tomarmos c1 = 3, c2 = −2 e c3 = 3 , veremos que a igualdade ´ satisfeita.
e
Defini¸˜o 3.4 Quando o unico modo de ter a combina¸˜o linear
ca ´ ca
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0
.
for o de escolher c1 = c2 = . . . = cn = 0, as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o
co a
linearmente independentes, ou LI. Em particular, as fun¸˜es f1 e f2 s˜o LI
co a
se, para se ter
.S
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0
´ necess´rio que c1 = c2 = 0. Como exemplo, as fun¸˜es f1 (x) = ex e
e a co
.J
f2 (x) = sin x s˜o LI, pois, para que
a
c1 ex + c2 sin x = 0
´ preciso que c1 = c2 = 0.
e
R
Defini¸˜o 3.5 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , onde cada uma possui deri-
ca co
.
vadas pelo menos at´ a ordem (n − 1), o determinante
e
f1 f2 ... fn
f1 f2 ... fn
A
W (f1 , f2 , . . . , fn ) = .
. .
. ... .
. . (42)
. . .
(n−1) (n−1) (n−1)
f1 f2 . . . fn
´ chamado Wronskiano dessas fun¸˜es. Se o Wronskiano de f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)
e co
for nulo, essas fun¸˜es s˜o LD, e se n˜o for, elas s˜o LI.
co a a a
Vejamos um exemplo. Vamos calcular o Wronskiano das fun¸oes dadas
c˜
no exemplo da defini¸ao 4.3, que s˜o f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x.
c˜ a
Temos trˆs fun¸oes e precisamos achar suas derivadas at´ a ordem 2, ou seja,
e c` e
f1 (x) = 1 f2 (x) = 2 f3 (x) = 3
f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 f3 (x) = 0
Agora, calculamos o Wronskiano
f1 f2 f3
W = (f1 , f2 , f3 ) = f1 f2 f3
f1 f2 f3
30
31. x 2x 3x
W = (x, 2x, 3x) = 1 2 3
0 0 0
.
W = (x, 2x, 3x) = 0
.S
e as fun¸oes s˜o LD, como j´ hav´
c˜ a a ıamos mostrado. Vamos calcular agora o
Wronskiano das fun¸˜es dadas no exemplo da defini¸˜o 3.4, que s˜o LI. As
co ca a
x
fun¸oes s˜o f1 (x) = e e f2 (x) = sin x. Suas derivadas s˜o
c˜ a a
.J
f1 (x) = ex f2 (x) = cos x
e o Wronskiano ´
e
f1 f2
R
W = (f1 , f2 ) =
.
f1 f2
ex sin x
W = (ex , sin x) =
ex cos x
A
W = (ex , sin x) = ex cos x − ex sin x
W = (ex , sin x) = ex (cos x − sin x)
que ´ diferente de zero, e portanto as fun¸˜es s˜o LI.
e co a
Teorema 3.1 A equa¸˜o diferencial linear homogˆnea ordin´ria (34)
ca e a
dn y dn−1 y dy
ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dx dx dx
sempre possui n solu¸˜es linearmente independentes, e a sua solu¸˜o geral ´,
co ca e
a combina¸˜o linear dessas n solu¸˜es, na forma
ca co
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)
Em particular, se n = 2, a solu¸˜o geral ´
ca e
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x)
31
32. Um modo de se verificar as solu¸oes f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) s˜o LI ´ calcu-
c˜ a e
lar o seu Wronskiano. Se n˜o for nulo, ent˜o a combina¸ao linear das solu¸˜es
a a c˜ co
´ a solu¸ao geral da equa¸˜o diferencial. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial
e c˜ ca ca
d2 y
.
+y =0
dx2
pode ser resolvida se y(x) = cos x ou se y(x) = sin x. O Wronskiano destas
fun¸oes ´
c˜ e
.S
cos x sin x
W = (cos x, sin x) =
− sin x cos x
.J
W = (cos x, sin x) = cos2 x + sin2 x
R
W = (cos x, sin x) = 1
.
que ´ diferente de zero, e as fun¸oes s˜o LI. Portanto, a solu¸˜o geral da
e c˜ a ca
equa¸ao diferencial ´
c˜ e
A
f (x) = c1 cos x + c2 sin x
Vamos agora partir para o m´todo de resolu¸ao de equa¸oes diferencias
e c˜ c˜
homogˆneas com coeficientes constantes.
e
3.2 Equa¸˜es Diferencias com Coeficientes Constantes
co
As equa¸˜es diferenciais homogˆneas com coeficientes constantes s˜o as equa¸oes
co e a c˜
diferencias na forma
dn y dn−1 y dy
ao n
+ a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (43)
dx dx dx
onde a0 , a1 , . . . , an s˜o constantes reais. Esta equa¸ao pode ser transformada
a c˜
numa outra, atrav´s da substitui¸ao
e c˜
y(x) = emx
Lembrando que
dy
= memx
dx
32
33. d2 y
= m2 emx
dx2
.
d3 y
= m3 emx
dx3
.S
. .
.=.
. .
dn y
= mn emx
.J
dxn
a equa¸ao diferencial (43) fica
c˜
ao mn + a1 mn−1 emx + . . . + an−1 memx + an emx = 0
.R
ou
emx ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0
Como emx = 0, ficamos com
A
ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0 (44)
que ´ um polinˆmio de grau n em m, chamado de equa¸ao caracter´
e o c˜ ıstica da
mx
equa¸ao diferencial (43). Se y(x) = e ´ solu¸ao de (43), ent˜o m deve ser
c˜ e c˜ a
solu¸ao de (44), ou seja, m ´ uma raiz do polinˆmio. Como um polinˆmio de
c˜ e o o
grau n tem n ra´ ızes, temos n valores de m, que correspondem as n solu¸oes
´ c˜
da equa¸˜o diferencial (43). Precisamos apenas separar os casos de ra´
ca ızes
reais e distintas, ra´ reais e repetidas e ra´ complexas.
ızes ızes
3.2.1 Ra´
ızes Reais e Distintas
Se as ra´ de (44) s˜o reais e distintas, ent˜o as solu¸˜es s˜o
ızes a a co a
em1 x , em2 x , . . . , emn x
que s˜o LI, e a solu¸ao geral ´
a c˜ e
y(x) = c1 em1 x + c2 em2 x + . . . + cn emn (45)
Como exemplo, considere a equa¸ao diferencial
c˜
33
34. d2 (y) dy
2
+ 5 + 6y = 0
dx dx
.
Substituindo y(x) = emx , temos
m2 emx + 5memx + 6emx = 0
.S
m2 + 5m + 6 = 0
que ´ a equa¸˜o caracter´
e ca ıstica neste caso. As ra´ s˜o
ızes a
.J
m1 = −2 , m2 = −3
que s˜o diferentes, e as solu¸oes s˜o
a c˜ a
R
e−2x , e−3x
.
que s˜o LI e formam a solu¸˜o geral
a ca
y(x) = c1 e−2x + c2 e−3x
A
3.2.2 Ra´
ızes Reais e Repetidas
Vamos considerar a equa¸ao diferencial
c˜
d2 (x) dy
2
− 4 + 4x = 0 (46)
dt dx
Sua equa¸ao caracter´
c˜ ıstica ´e
m2 − 4m + 4 = 0
que possui a raiz dupla m = 2. Ent˜o, as solu¸oes seriam e2t e e2t . No
a c`
entanto, essas solu¸oes n˜o s˜o LI, como ´ f´cil de verificar, j´ que elas s˜o
c` a a e a a a
2t
iguais. A fun¸˜o e ´ uma solu¸ao, como pode ser visto se a substituirmos
ca e c˜
na equa¸ao diferencial
c˜
d2 2 d
2
(e t) − 4 (e2t ) + 4(e2t ) = 0
dt dt
4e2t − 8e2t + 4e2t = 0
34
35. 0=0
mas falta mais uma, pois uma equa¸˜o diferencial de ordem 2 tem duas
ca
.
solu¸oes. Para achar a outra vamos tentar tomar
c˜
x = e2t y
.S
e ver se isso resolve o problema. Temos ent˜o
a
dx dy dy
= 2e2t y + e2t = e2t 2y +
dt dt dt
.J
e
d2 x dy dy d2 y
= 2e2t 2y + + e2t 2y + + 2
dt2 dt dt dt
.R
d2 x 2t dy d2 y
= 2e 4y + 4 + 2
dt2 dt dt
substituindo tudo isso na equa¸ao (46), o resultado ´
c˜ e
A
dy d2 y dy
e2t 4y + 4 + 2 − 4e2t 2y + + 4e2t y = 0
dt dt dt
ou
dy d2 dy
4y + 4 + 2 − 4 2y + + 4y = 0
dt dt dt
d2 dy
2
+ (4 − 4) + y (4 − 8 + 4) = 0
dt dt
d2
=0
dt2
A equa¸˜o diferencial acima ´ bastante simples de resolver. Chamamos
ca e
dy
w=
dt
e temos
35
36. dy
=0
dt
.
w=c
onde a soma c ´ uma constante que pode ser tomada como sendo c = 1 sem
e
perda de generalidade. Agora,
.S
dy
=1
dt
.J
dy = dt
y =t+d
R
em que d ´ outra constante, que neste caso pode ser tomada como sendo
e
.
d = 0. O resultado ´ y = t, e a outra solu¸ao da equa¸ao diferencial (46) ´
e c˜ c˜ e
te2t
A
que LI em rela¸ao a solu¸ao e2t . A solu¸˜o geral fica
c˜ ` c˜ ca
x(t) = c1 e2t + c2 te2t = e2t (c1 + c2 t)
O procedimento acima ´ absolutamente geral, e quando uma equa¸ao
e c˜
diferencial tem uma raiz mi que se repete k vezes, as solu¸˜es associadas a
co
essa raiz s˜o
a
emi x , xemi x , x2 emi x , . . . , xk−1 emi x
e a solu¸˜o geral fica
ca
c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + ck xk−1 emi x
Se houver mais de uma rais repetida, repete-se o procedimento acima
para cada uma delas. Por exemplo, se uma equa¸ao diferencial tiver uma
c˜
equa¸ao caracter´
c˜ ızes s˜o m = 1, 1, 1, −3, −3, 4 a solu¸ao geral
ıstica cujas ra´ a c˜
dessa equa¸ao diferencial ser´
c˜ a
y(x) = c1 ex + c2 x + c3 x2 ex + c4 e−3x + c5 xe−3x + c6 e4x
e todas as fun¸oes acima s˜o LI, como deveria ser.
c˜ a
36
37. 3.2.3 Ra´
ızes Complexas
O procedimento a ser seguido quando as ra´ s˜o complexas ´ idˆntico aos
ızes a e e
anteriores. Se as ra´ complexas forem distintas, segue-se o caso das ra´
ızes ızes
distintas. Se aparecerem ra´ ızes complexas repetidas, segue-se o caso das
.
ra´
ızes repetidas. As unicas diferen¸as s˜o que, se z = a + bi ´ raiz de uma
´ c a e
equa¸ao, ent˜o z = a + bi, que ´ complexo conjugado, tamb´m ´ raiz, ou seja,
c˜ a ¯ e e e
elas aparecem aos pares. A outra diferen¸a ´ que, usando a rela¸ao de Euler
c e c˜
.S
eiθ = cos θ + i sin θ
podemos expressar, dependendo da necessidade, as exponenciais complexas
como soma de senos e cossenos, para facilitar a “visualiza¸ao”do resultado.
c˜
.J
Como exemplo, a equa¸ao diferencial
c˜
d2 y dy
= −6 + +25y = 0
dx2 dx
R
tem uma equa¸˜o caracter´
ca ıstica dada por
.
m2 − 6m + 25 = 0
que tem as ra´ complexas
ızes
A
m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4i
que s˜o conjugadas, como esperado. A solu¸ao segue o caso de ra´ reais e
a c˜ ızes
distintas, ou seja, as fun¸oes
c˜
e(3+4i)x e(3−4i)x
formam uma solu¸˜o geral
ca
y(x) = c1 e(3+4i)x c2 e(3−4i)x
que s˜o LI, como deveria ser. Para expressar a solu¸ao na forma de senos
a c˜
e cossenos, ´ prefer´vel transformar as solu¸˜es antes de formar a solu¸ao
e e co c˜
geral, isto ´,
e
y(1) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e4xi = e3x (cos 4x + i sin 4x)
y(2) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e−4xi = e3x (cos 4x − i sin 4x)
37
38. e a solu¸˜o fica
ca
y(x) = k1 y1 + k2 y2
.
= k1 e3x (cos 4x + i sin 4x) + k2 e3x (cos 4x − i sin 4x)
= e3x [(k1 + k2 ) cos 4x + i (k1 − k2 ) sin 4x]
.S
y(x) = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)
.J
que ´ a solu¸ao geral, com c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 − k2 ), expressa em senos
e c˜
e cossenos.
J´ a equa¸ao diferencial
a c˜
d4 x d3 x d2 x dx
R
− 4 3 + 14 2 − 20 + 25x = 0
dt4 dt dt dt
.
tem uma equa¸˜o caracter´
ca ıstica
m4 − 4m3 + 14m2 − 20m + 25 = 0
A
cujas solu¸oes s˜o
c˜ a
m = 1 + 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2i
que s˜o repetidas. Ent˜o, as solu¸oes s˜o
a a c˜ a
e(1+2i)t , te(1+2i)t , e(1−2i)t , te(1−2i)t
e a solu¸˜o geral fica
ca
x(t) = (c1 + c2 t)e(1+2i)t + (c3 + c4 t)e(1−2i)t
Na forma de senos e cossenos, temos
x1 = e(1+2i)t = et+2it = et (cos 2t + i sin 2t)
x2 = te(1+2i)t = tet (cos 2t + i sin 2t)
x3 = e(1−2i)t = et−2it = et (cos 2t − i sin 2t)
38
39. x4 = te(1−2i)t = tet (cos 2t − i sin 2t)
que resulta na solu¸ao geral
c˜
.
x(t) = k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 + k4 x4
.S
= k1 = et (cos 2t + i sin 2t) + k2 tet (cos 2t + i sin 2t)
+k3 et (cos 2t − i sin 2t) + k4 tet (cos 2t − i sin 2t)
.J
= et {[(k1 + k3 ) + (k2 + k4 ) t] cos 2t + [i (k1 − k3 ) + i (k2 − k4 ) t] sin 2t}
onde c1 = k1 + k3 , c2 = k2 + k4 , c3 = i(k1 − k3 ) e c4 = i(k2 − k4 )
.R
x(t) = et [(c1 + c2 t) cos 2t + (c3 + c4 t) sin 2t]
Agora j´ sabemos como resolver a equa¸˜o diferencial homogˆnea com
a ca e
coeficientes constantes (43). Vamos estudar o modo de resolver a equa¸ao
c˜
A
n˜o-homogˆnea com coeficientes constantes
a e
dn y dn−1 y dy
ao (x)
n
+ a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (47)
dx dx dx
Para isso, vamos precisar do seguinte teorema, v´lido para qualquer
a
equa¸ao diferencial na forma (6):
c˜
Teorema 3.2 A solu¸˜o geral da equa¸˜o diferencial n˜o-homogˆnea
ca ca a e
dn y dn−1 y dy
ao (x) n
+ a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
dx dx dx
´ dada por
e
y = yh + yp
onde yh ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial homogˆnea correspondente
e ca ca e
dn y dn−1 y dy
ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0
dxn dx dx
e yp ´ uma solu¸˜o particular, sem constantes arbitr´rias, da equa¸˜o dife-
e ca a ca
rencial n˜o-homogˆnea acima.
a e
39