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MATEMÁTICA


                               GEOMETRIA ANALÍTICA
1. REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESI-                                         Se P pertence ao quarto quadrante, então
   ANO                                                                     xp > 0 e yp < 0 .

       Dado um sistema de coordenadas cartesianas                       A convenção pode ser representada como a se-
xOy.                                                            guir.

                                                                                                           y
                               y

                                                                                          ( , +)               (+, +)


                                                                                                                        x

                          O                   x                                            (-, -)              (+, -)




                                                                2.1. Propriedade dos eixos cartesianos
                                                                        Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das abscissas,
                                                                           então yp = 0 .
      Cada ponto do plano Cartesiano é representado
por um par ordenado P ( xp , xp ) , em que xp representa                   Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das ordenadas,
a abscissa (eixo horizontal) e yp representa a ordena-                     então xp = 0 .
da (eixo vertical).
       Os eixos coordenados separam o plano em                  3. BISSETRIZ DOS QUADRANTES
quatro regiões denominadas quadrantes e ordenadas
no sentido anti-horário, conforme a figura.                                                    y       bissetriz dos quadrantes
                                                                           Q (a, b)                    ímpares

                 II Q                 IQ                                                              P
                                                                                         45º 45º
                                                                                                       (x, y)
                                                                                   45º          45º
                                                                              Q’                      P’            x
         segundo quadrante     primeiro quadrante                                        O


                III Q                 IVQ                                                           bissetriz dos quadrantes
                                                                                                    pares
          terceiro quadrante   quarto quadrante
                                                                      Observe que os ∆OPP ' ∆QQ ' O são isósce-
                                                                les.Logo a=b e x=y.
                                                                      Analisando os sinais, temos:
2. CONVENÇÃO DOS SINAIS NO PLANO                                      Bissetriz dos quadrantes ímpares: y=x (Coor-
                                                                denadas iguais).
       Considere um ponto P ( xp , yp ) do plano cartesi-             Bissetriz dos quadrantes pares: a=−b (coorde-
ano.                                                            nadas opostas).
          Se P pertence ao primeiro quadrante, então            Exemplo
          xp > 0 e yp > 0 .                                           E.1) Represente os pontos A(2,4), B(1,0),
          Se P pertence ao segundo quadrante, então             C(−2,−1), D(2,−3) e E(0,3).
          x p < 0 e yp > 0 .
          Se P pertence ao terceiro quadrante, então,
          x p < 0 e yp < 0 .



Editora Exato                                               8
Resolução:                                                                                                                                                    x A + xB
                                                                                                      Conclui-se pela equação (l) que x M =                              e
                                                                                                                                                                  2
                                                                                                    y A + yB
                                                                                            yM =
                                                                                                        2
                              E                                                             Exemplo
                                                                                                    E.1) Determine as coordenadas do ponto mé-
                                                                                            dio do segmento formado pelos pontos A( −2, −6) e
                                      B                                                     B ( 4,10 ) .
                          C
                                                                                            Resolução:
                                               D
                                                                                                                   −2 + 4 −6 + 10 
                                                                                                                 M       ,         ⇒ M (1 2)
                                                                                                                                           ,
                                                                                                                   2         2 

4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
                                                                                            6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
       Considere como ilustração os pontos abaixo.
                                                                                                  Se A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices
                                                                                            de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse
                                                                                            triângulo é tal que:
                                                    B
                 y
                     B                                                                                           x A + xB + x c       y + yB + y C
                                                                                                          xG =                  e yG = A                  .
                                  d                                                                                    3                  3
                                      B
                                                           yB - y
                                                                                            7. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS
                 y                                                                             PONTOS POR DETERMINANTE
                                  xB - x
                                                                                                  Três pontos A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC)
                              x                    x                                        são colineares se, e somente se:
                                                       B


                                                                                                                        xA     yA           1
       Aplicando Pitágoras no triângulo:
                                                                                                                    D = xB     yB        1 =0.
                                          ( xB − x A )             + ( yB − y A )
                                                           2                        2
       dAB = ∆x 2 + ∆y 2 ⇒ dAB =
          2
                                                                                                                        xC    yC            1
5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
                                                                                            8. ÁREA DO TRIÂNGULO (S)
     Dado o sistema cartesiano e o segmento for-
mado pelo ponto A ( x A, x A ) e B ( xB, xB ) .                                                       Dados A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), vérti-
                                                                                                                               xA           yA   1
                                                                                            ces de um triângulo e D = x B                   yB   1   , a área do tri-
                                                                                                                               xC           yC   1
                  y                                        B                                                                        D
                      B                                                                     ângulo ABC é dada por S =                   .
                                                                                                                                    2
                  yM                  M
                                                                                                               EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
                     y                                                                      1   Ache as coordenadas de M, ponto médio do seg-
                                                                                                mento AB , sendo A(2, 2) e B(8, 12):
                              x           xM               x                                    Resolução:
                                                               B
                                                                                                   A ( 2, 2)                 B ( 8,12)
                                                                                                    X + X B Y A +Y B 
       Aplicando o teorema de Tales, na figura, te-                                             M = A       ,        
                                                                                                       2        2 
mos:
                                                                                                    2 + 8 2 + 12 
                                                                                                M =      ,       
                                                                                                    2        2 
  AM X M − X A YA − YM
    =         =        = 1 (I) ,          lembre-se de que M é                                       10 14 
  MB X B − X M YB − YM                                                                          M = , 
                                                                                                     2 2
                                                   AM
              ponto médio, ou seja,                   = 1.                                      M = ( 5,7 )
                                                   MB



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EXERCÍCIOS                            7   (U.PASSO FUNDO-RS) Os pontos A(-1,1),
                                                                B(2,-2) e C(3,4):
1   (FMU-SP), As coordenadas do ponto médio do                  a) estão alinhados.
    segmento de extremidades (5,-2) e ( -1, -4) são:            b) formam um triângulo retângulo.
    a) (3,1)                  b) (1,3)                          c) formam um triângulo isósceles.
    c) (-3,2)                 d) (2,-3)                         d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a.
    e) (3,3)                                                    e) formam um triângulo com 10,5 u.a.


2   (UFES) As coordenadas do ponto médio de um              8   Qual a área do quadrilátero cujos vértices são A(-
    segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que as coor-             3,-2); B(2,0); C(1,3) e D(-2,1)
    denadas do ponto A são (2,5), então as coordena-            a) 9 u.a
    das de B são:                                               b) 10 u a.
    a) (4,1)                  b) (-4,-1)                        c) 11 u.a.
    c) (4,-1)                 d) (-1,-4)                        d) 12 u.a.
    e) Nenhuma.                                                 e) 15 u.a.


3   (MACK-SP) Os vértices de um triângulo ABC               9   (CEFET-PR) Seja o quadrilátero ABCM de vér-
    são A(2,5), B(4,7) e C(-3,6). O baricentro desse            tices A(1;2), B(-3;1), C(-5;-3), sendo o quarto
    triângulo tem como coordenadas:                             vértice o ponto médio do segmento de extremi-
    a) (3,6)                   b) (1,6)                         dades (5, -2) e(-1,4). O valor da área do quadrilá-
                                                                tero ABCM é:
    c)  − , 
          1 11
                                   d)  , 9 
                                        3 
                                                              a) 25/2
        2 2                           
                                        2       
    e) (9,3)                                                    b) 12/5
                                                                c) 31/2
                                                                d) 11
4   (CESGRANRIO) A distância entre os pontos                    e) 20
    M(4,-5); e N(-1, 7) do plano xoy vale:
    a)14                        b)12
    c) 8                        d) 13                                           GABARITO
    e) 9
                                                            1   D
5   (UCP-PR) A distância da origem do sistema car-          2   B
    tesiano ao ponto médio do segmento de extremos          3   B
    (-2,-7) e (-4,1) é:
    a) 5                       b) 2 2                       4   D
    c) 2 3                     d) 3 3                       5   E
    e) 3 2                                                  6   E
                                                            7   E
6   (FGV-SP) A área da figura hachurada, no dia-
    grama a seguir, vale:                                   8   D

                  y
                                                            9   A

                  4

                  3
                  2

                  1

                  0                         x
                       1   2   3    4

    a) 4,0                         d) 5,0
    b) 3,5                         e) 4,5
    c) 3,0



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  • 1. MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA 1. REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESI- Se P pertence ao quarto quadrante, então ANO xp > 0 e yp < 0 . Dado um sistema de coordenadas cartesianas A convenção pode ser representada como a se- xOy. guir. y y ( , +) (+, +) x O x (-, -) (+, -) 2.1. Propriedade dos eixos cartesianos Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das abscissas, então yp = 0 . Cada ponto do plano Cartesiano é representado por um par ordenado P ( xp , xp ) , em que xp representa Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das ordenadas, a abscissa (eixo horizontal) e yp representa a ordena- então xp = 0 . da (eixo vertical). Os eixos coordenados separam o plano em 3. BISSETRIZ DOS QUADRANTES quatro regiões denominadas quadrantes e ordenadas no sentido anti-horário, conforme a figura. y bissetriz dos quadrantes Q (a, b) ímpares II Q IQ P 45º 45º (x, y) 45º 45º Q’ P’ x segundo quadrante primeiro quadrante O III Q IVQ bissetriz dos quadrantes pares terceiro quadrante quarto quadrante Observe que os ∆OPP ' ∆QQ ' O são isósce- les.Logo a=b e x=y. Analisando os sinais, temos: 2. CONVENÇÃO DOS SINAIS NO PLANO Bissetriz dos quadrantes ímpares: y=x (Coor- denadas iguais). Considere um ponto P ( xp , yp ) do plano cartesi- Bissetriz dos quadrantes pares: a=−b (coorde- ano. nadas opostas). Se P pertence ao primeiro quadrante, então Exemplo xp > 0 e yp > 0 . E.1) Represente os pontos A(2,4), B(1,0), Se P pertence ao segundo quadrante, então C(−2,−1), D(2,−3) e E(0,3). x p < 0 e yp > 0 . Se P pertence ao terceiro quadrante, então, x p < 0 e yp < 0 . Editora Exato 8
  • 2. Resolução: x A + xB Conclui-se pela equação (l) que x M = e 2 y A + yB yM = 2 E Exemplo E.1) Determine as coordenadas do ponto mé- dio do segmento formado pelos pontos A( −2, −6) e B B ( 4,10 ) . C Resolução: D  −2 + 4 −6 + 10  M ,  ⇒ M (1 2) ,  2 2  4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Considere como ilustração os pontos abaixo. Se A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse triângulo é tal que: B y B x A + xB + x c y + yB + y C xG = e yG = A . d 3 3 B yB - y 7. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS y PONTOS POR DETERMINANTE xB - x Três pontos A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) x x são colineares se, e somente se: B xA yA 1 Aplicando Pitágoras no triângulo: D = xB yB 1 =0. ( xB − x A ) + ( yB − y A ) 2 2 dAB = ∆x 2 + ∆y 2 ⇒ dAB = 2 xC yC 1 5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 8. ÁREA DO TRIÂNGULO (S) Dado o sistema cartesiano e o segmento for- mado pelo ponto A ( x A, x A ) e B ( xB, xB ) . Dados A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), vérti- xA yA 1 ces de um triângulo e D = x B yB 1 , a área do tri- xC yC 1 y B D B ângulo ABC é dada por S = . 2 yM M EXERCÍCIOS RESOLVIDOS y 1 Ache as coordenadas de M, ponto médio do seg- mento AB , sendo A(2, 2) e B(8, 12): x xM x Resolução: B A ( 2, 2) B ( 8,12)  X + X B Y A +Y B  Aplicando o teorema de Tales, na figura, te- M = A ,   2 2  mos:  2 + 8 2 + 12  M = ,   2 2  AM X M − X A YA − YM = = = 1 (I) , lembre-se de que M é  10 14  MB X B − X M YB − YM M = ,   2 2 AM ponto médio, ou seja, = 1. M = ( 5,7 ) MB Editora Exato 9
  • 3. EXERCÍCIOS 7 (U.PASSO FUNDO-RS) Os pontos A(-1,1), B(2,-2) e C(3,4): 1 (FMU-SP), As coordenadas do ponto médio do a) estão alinhados. segmento de extremidades (5,-2) e ( -1, -4) são: b) formam um triângulo retângulo. a) (3,1) b) (1,3) c) formam um triângulo isósceles. c) (-3,2) d) (2,-3) d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a. e) (3,3) e) formam um triângulo com 10,5 u.a. 2 (UFES) As coordenadas do ponto médio de um 8 Qual a área do quadrilátero cujos vértices são A(- segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que as coor- 3,-2); B(2,0); C(1,3) e D(-2,1) denadas do ponto A são (2,5), então as coordena- a) 9 u.a das de B são: b) 10 u a. a) (4,1) b) (-4,-1) c) 11 u.a. c) (4,-1) d) (-1,-4) d) 12 u.a. e) Nenhuma. e) 15 u.a. 3 (MACK-SP) Os vértices de um triângulo ABC 9 (CEFET-PR) Seja o quadrilátero ABCM de vér- são A(2,5), B(4,7) e C(-3,6). O baricentro desse tices A(1;2), B(-3;1), C(-5;-3), sendo o quarto triângulo tem como coordenadas: vértice o ponto médio do segmento de extremi- a) (3,6) b) (1,6) dades (5, -2) e(-1,4). O valor da área do quadrilá- tero ABCM é: c)  − ,  1 11 d)  , 9  3    a) 25/2  2 2  2  e) (9,3) b) 12/5 c) 31/2 d) 11 4 (CESGRANRIO) A distância entre os pontos e) 20 M(4,-5); e N(-1, 7) do plano xoy vale: a)14 b)12 c) 8 d) 13 GABARITO e) 9 1 D 5 (UCP-PR) A distância da origem do sistema car- 2 B tesiano ao ponto médio do segmento de extremos 3 B (-2,-7) e (-4,1) é: a) 5 b) 2 2 4 D c) 2 3 d) 3 3 5 E e) 3 2 6 E 7 E 6 (FGV-SP) A área da figura hachurada, no dia- grama a seguir, vale: 8 D y 9 A 4 3 2 1 0 x 1 2 3 4 a) 4,0 d) 5,0 b) 3,5 e) 4,5 c) 3,0 Editora Exato 10