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MATEMÁTICA


                                 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
1. TRIÂNGULOS
                                                                                                                      a
1.1. Em relação à base e à altura                                                                                                        ∆ equilátero
                                                                                             a                                           a



                            ha


                             a                       a ⋅ ha                                  a                                            a
                                              A∆ =
                                                       2
                                                                                                                     a
1.2. Fórmula de Heron
                                                                                                                              a2 3           3a2 3
                                                                                      A hex = 6 ⋅ A ∆eq ⇒ A hex = 6 ⋅              ⇒ A hex =              .
                                                                                       reg                          reg         4      reg     2
                        b               c
                                                                               4. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

                                                                               4.1. Trapézio (Atrap)
                                 a
                                                                                                                      b
                                                                                                                                               t//s
                                                              a+b+c                                        A2
        A ∆ = p(p − a)(p − b)(p − c) ,      em que p =                .
                                                                2                            H
                                                                                                                                A1
2. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO                                                                                                                          s
                                                                                                                          B

                                      60º                                                                                 (b + B ) ⋅ H
                                                                                      A trap = A1 + A 2 → A trap =
                                                                                               { {                              2
                                                                                                 B ⋅H   b ⋅H
                                                                                                  2      2

                        a                    a                                 4.2. Paralelogramo (Aparal)

                                                                                                                A                                B

                  60º             a              60º

      Usando a relação do tópico 1.2, temos:                                                                    H
                 a ⋅ a ⋅ sen60º           a2 3
       A ∆eq   =                → A ∆eq =        .
                         2                  4

3. HEXÁGONO REGULAR                                                                      D                                          C
                                                                                                                b
     Para o cálculo da área do hexágono regular,
devemos nos lembrar, que todo hexágono regular é
                                                                                      Como A ∆ABC = A ∆ACD , em que A ∆ABC e A ∆ACD re-
decomposto em seis triângulos eqüiláteros.
                                                                               presentam a área dos ∆ABC e ∆ACD, respectivamen-
                                                                               te, temos:
                                                                                                                               b ⋅H
                                                                                      A paral = 2A ∆ACD ⇒ A paral = 2 ⋅             ⇒ A paral = b ⋅ H .
                                                                                                                                2
                                                                               4.3. Retângulo (Aret)
                                                                                      Como o retângulo é um paralelogramo, então
                                                                               podemos calcular sua área da mesma forma. Deve-
                                                                               mos salientar que, no retângulo, a medida da altura é
                                                                               igual à medida do lado da figura.


Editora Exato                                                             22
MATEMÁTICA




                                                   H                                                                R



                                                                                                                                AO = πR2.
                           b                           A ret = b ⋅ H
                                                                                5.1. Setor Circular (As)
4.4. Losango (Alos)

                                  A




 B                                                              D d
                                                                                      Determinamos a área do setor circular pelas
                                                                                regras de três, a seguir.



                                  C

                                  D
                                                                                 ângulo                 área               Área             Comp. do
                                                                                                                                              arco
       A los = A ∆ABD + A ∆BDC ,
                      em que A ∆ABC e A ∆BDC repre-                               360º                   πR2               2πR2               2πR
sentam, respectivamente, as áreas dos ∆ABC e                                       α                      As                As                   l
∆BDC.                                                                                         ↓                                       ↓
                                         D⋅d                                                 α ⋅ πR 2                                     l ⋅R
       Alos = A ∆ABC + A ∆BDC ⇒ Alos   =       .                                        As =                                       As =
              { {                         2                                                  360º                                          2
                D⋅ d 2   D⋅ d 2
                  2        2                                                    Observação:
4.5. Quadrado (Aq)                                                                    Se o ângulo α for medido em radianos, en-
      A área do quadrado pode ser determinada por                                     tão a área do setor circular ( A s ) é dada por
qualquer relação dos quadriláteros notáveis. Contudo,                                        αR 2
normalmente calculamos essa área como sendo o                                                       .
                                                                                              2
quadrado da medida de seu lado.
                                                                                5.2. Coroa Circular (ACC)



                             d
                                        a
                                                                                                                   C        R

                                                                                                                       r

                                                       d2
                         a                  aq= a2 =        .
                                                       2

5. CÍRCULO (AO)
                                                                                      Considere dois círculos concêntricos (mesmo
      Determinamos a área do círculo de raio R pela                             centro) de raios R e r (com R>r).
relação A O = πR 2 .                                                             A CC = A circulo − A circulo ⇒ A CC = πR 2 − πr 2 ⇒ A CC = π (R 2 − r 2 )
                                                                                          maior         menor




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MATEMÁTICA

                EXERCÍCIOS RESOLVIDOS                        3   Um retângulo tem perímetro de 30m e as medi-
                                                                 das de seus lados são números consecutivos. Qual
1   Determine a área do trapézio isósceles de períme-            é a área deste retângulo?
    tro 26cm, que possui a medida de suas bases i-
    guais a 4cm e 12cm.

                              4
                                                             4   Um terreno tem área 450m2. Se o seu formato é
                                                                 um trapézio, onde a “frente” e o seu “fundo” são
                  x                           x
                       H           H   I                         paralelos e iguais a 40m e 50m, qual a distância
                                                                 entre esses lados?

                  4           4               4

      Resolução:
       2p = 4 + x + x + 12 = 26 ⇒ x = 5cm .                  5   A diagonal de um quadrado mede 7 2cm . Qual a
      Aplicando Pitágoras no ∆(I), temos:                        área deste quadrado?
       x 2 = H2 + 42  H = 4cm
                      x =5
                           →
                          
                   4 + 12  ⋅ 4
                    { { {
       A trap   =  b B  H → A = 32cm2 .
                        2
                                 trap
                                                             6   A área da figura abaixo é (em cm2)


2   Calcule a área do quadrado de lado 5cm.                                         2cm
      Resolução:
                                                                                                              18cm

                                                                           8cm
                                                                                    2cm
                                       5cm
                                                                                                  6cm


                           5cm
                                                                 a) 160.
                                                                 b) 180.
      A = ( 5cm)2 = 25cm2 .                                      c) 200.
                                                                 d) 220.
                                                                 e) 240.
                       EXERCÍCIOS
                                                             7   (CES/MS) Na figura a seguir, os segmentos AB ,
1   Qual a área de um trapézio de lados paralelos i-             BC , DF e AF ¨têm as medidas indicadas em cen-
    guais a 10cm e 18cm e altura 6cm?                            tímetros. O arco é uma semi-circunferência.



                                                                                F                 E


2   A área de um retângulo é 18cm2 e um de seus la-
    dos mede 0,2dm. Qual o seu perímetro em me-                                                   3
    tros?                                                                   4

                                                                                                      1
                                                                                              D           C


                                                                                A                         B
                                                                                          3


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MATEMÁTICA

    A área da figura é, em centímetros quadrados, i-            12 (FUVEST) Considere o triângulo representado
      guais a:                                                     na malha quadriculada. A área do triângulo, em
      a) 9                                                         cm2, é:
                π
      b) 9 +
                2
      c) 9+π
      d) 9 + 4π
           4+π
      e)
            2


8   (UNICAMP) Uma folha retangular de cartolina




                                                                              1cm
    mede 35cm de largura por 75cm de comprimento.
    Dos quatro cantos da folha, são cortados quatro                                 1cm
    quadrados iguais, sendo que o lado de cada um
    desses quadrados mede xcm de comprimento.                       a) 2.
    a) Calcule a área do retângulo inicial.                         b) 3.
    b) Calcule x de modo que a área da figura obtida,               c) 4.
       após o corte dos quatro cantos, seja igual a                 d) 5.
       1.725cm2.                                                    e) 6.

9   Qual a área de um triângulo de lados 8cm, 12cm                                    GABARITO
    e 16cm?
                                                                1   84cm2
10 Calcule a área do triângulo destacado, sabendo               2   0,22
   que ABCD é um retângulo cuja base e altura me-
                                                                3   56m2
   dem, respectivamente, 12cm e 8cm e que
   suur
   CD ¨está dividido em quatro segmentos congru-                4   10m
   entes, conforme a figura.                                    5   49cm2
                B        12             C                       6   220
                                                                         π
                                                                7   9+
                    8                                                    2

                                                                8
                    A                   D                           a) 2625
                                                                    b) 15
                                                                9   12 15cm
11 (VUNESP) A área de um triângulo retângulo é
                                 2
                                                                10 12cm
    12dm2. Se um dos catetos é       do outro, calcule a
                                 3                              11 2 13dm
    medida da hipotenusa desse triângulo.
                                                                12 2
    a) 2 13dm
    b) 13 2dm
    c) 8 3dm
    d) 10 2dm
    e) 13 5dm




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MATEMÁTICA




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  • 1. MATEMÁTICA ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 1. TRIÂNGULOS a 1.1. Em relação à base e à altura ∆ equilátero a a ha a a ⋅ ha a a A∆ = 2 a 1.2. Fórmula de Heron a2 3 3a2 3 A hex = 6 ⋅ A ∆eq ⇒ A hex = 6 ⋅ ⇒ A hex = . reg reg 4 reg 2 b c 4. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 4.1. Trapézio (Atrap) a b t//s a+b+c A2 A ∆ = p(p − a)(p − b)(p − c) , em que p = . 2 H A1 2. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO s B 60º (b + B ) ⋅ H A trap = A1 + A 2 → A trap = { { 2 B ⋅H b ⋅H 2 2 a a 4.2. Paralelogramo (Aparal) A B 60º a 60º Usando a relação do tópico 1.2, temos: H a ⋅ a ⋅ sen60º a2 3 A ∆eq = → A ∆eq = . 2 4 3. HEXÁGONO REGULAR D C b Para o cálculo da área do hexágono regular, devemos nos lembrar, que todo hexágono regular é Como A ∆ABC = A ∆ACD , em que A ∆ABC e A ∆ACD re- decomposto em seis triângulos eqüiláteros. presentam a área dos ∆ABC e ∆ACD, respectivamen- te, temos: b ⋅H A paral = 2A ∆ACD ⇒ A paral = 2 ⋅ ⇒ A paral = b ⋅ H . 2 4.3. Retângulo (Aret) Como o retângulo é um paralelogramo, então podemos calcular sua área da mesma forma. Deve- mos salientar que, no retângulo, a medida da altura é igual à medida do lado da figura. Editora Exato 22
  • 2. MATEMÁTICA H R AO = πR2. b A ret = b ⋅ H 5.1. Setor Circular (As) 4.4. Losango (Alos) A B D d Determinamos a área do setor circular pelas regras de três, a seguir. C D ângulo área Área Comp. do arco A los = A ∆ABD + A ∆BDC , em que A ∆ABC e A ∆BDC repre- 360º πR2 2πR2 2πR sentam, respectivamente, as áreas dos ∆ABC e α As As l ∆BDC. ↓ ↓ D⋅d α ⋅ πR 2 l ⋅R Alos = A ∆ABC + A ∆BDC ⇒ Alos = . As = As = { { 2 360º 2 D⋅ d 2 D⋅ d 2 2 2 Observação: 4.5. Quadrado (Aq) Se o ângulo α for medido em radianos, en- A área do quadrado pode ser determinada por tão a área do setor circular ( A s ) é dada por qualquer relação dos quadriláteros notáveis. Contudo, αR 2 normalmente calculamos essa área como sendo o . 2 quadrado da medida de seu lado. 5.2. Coroa Circular (ACC) d a C R r d2 a aq= a2 = . 2 5. CÍRCULO (AO) Considere dois círculos concêntricos (mesmo Determinamos a área do círculo de raio R pela centro) de raios R e r (com R>r). relação A O = πR 2 . A CC = A circulo − A circulo ⇒ A CC = πR 2 − πr 2 ⇒ A CC = π (R 2 − r 2 ) maior menor Editora Exato 23
  • 3. MATEMÁTICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3 Um retângulo tem perímetro de 30m e as medi- das de seus lados são números consecutivos. Qual 1 Determine a área do trapézio isósceles de períme- é a área deste retângulo? tro 26cm, que possui a medida de suas bases i- guais a 4cm e 12cm. 4 4 Um terreno tem área 450m2. Se o seu formato é um trapézio, onde a “frente” e o seu “fundo” são x x H H I paralelos e iguais a 40m e 50m, qual a distância entre esses lados? 4 4 4 Resolução: 2p = 4 + x + x + 12 = 26 ⇒ x = 5cm . 5 A diagonal de um quadrado mede 7 2cm . Qual a Aplicando Pitágoras no ∆(I), temos: área deste quadrado? x 2 = H2 + 42  H = 4cm x =5 →    4 + 12  ⋅ 4 { { { A trap =  b B  H → A = 32cm2 . 2 trap 6 A área da figura abaixo é (em cm2) 2 Calcule a área do quadrado de lado 5cm. 2cm Resolução: 18cm 8cm 2cm 5cm 6cm 5cm a) 160. b) 180. A = ( 5cm)2 = 25cm2 . c) 200. d) 220. e) 240. EXERCÍCIOS 7 (CES/MS) Na figura a seguir, os segmentos AB , 1 Qual a área de um trapézio de lados paralelos i- BC , DF e AF ¨têm as medidas indicadas em cen- guais a 10cm e 18cm e altura 6cm? tímetros. O arco é uma semi-circunferência. F E 2 A área de um retângulo é 18cm2 e um de seus la- dos mede 0,2dm. Qual o seu perímetro em me- 3 tros? 4 1 D C A B 3 Editora Exato 24
  • 4. MATEMÁTICA A área da figura é, em centímetros quadrados, i- 12 (FUVEST) Considere o triângulo representado guais a: na malha quadriculada. A área do triângulo, em a) 9 cm2, é: π b) 9 + 2 c) 9+π d) 9 + 4π 4+π e) 2 8 (UNICAMP) Uma folha retangular de cartolina 1cm mede 35cm de largura por 75cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha, são cortados quatro 1cm quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede xcm de comprimento. a) 2. a) Calcule a área do retângulo inicial. b) 3. b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, c) 4. após o corte dos quatro cantos, seja igual a d) 5. 1.725cm2. e) 6. 9 Qual a área de um triângulo de lados 8cm, 12cm GABARITO e 16cm? 1 84cm2 10 Calcule a área do triângulo destacado, sabendo 2 0,22 que ABCD é um retângulo cuja base e altura me- 3 56m2 dem, respectivamente, 12cm e 8cm e que suur CD ¨está dividido em quatro segmentos congru- 4 10m entes, conforme a figura. 5 49cm2 B 12 C 6 220 π 7 9+ 8 2 8 A D a) 2625 b) 15 9 12 15cm 11 (VUNESP) A área de um triângulo retângulo é 2 10 12cm 12dm2. Se um dos catetos é do outro, calcule a 3 11 2 13dm medida da hipotenusa desse triângulo. 12 2 a) 2 13dm b) 13 2dm c) 8 3dm d) 10 2dm e) 13 5dm Editora Exato 25