A aula apresenta regras de derivação para funções como exponencial, logaritmo, soma, produto e quociente de funções. Inclui demonstrações das fórmulas de derivação e exemplos de cálculo de derivadas de funções compostas.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Função 1º grau definição e notação de função - exemplos resolvidosAdriano Souza
Este documento contém exemplos resolvidos de funções do primeiro grau. No primeiro exemplo, é representada graficamente a função f(x) = -3x + 6. No segundo exemplo, são dadas as funções das tarifas de duas empresas de táxi e é comparado o preço cobrado por cada uma em relação aos quilômetros percorridos. No terceiro exemplo, é determinada qual empresa seria mais econômica para uma corrida de 8km.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
O logaritmo foi criado por John Napier para substituir a palavra expoente. Logaritmo é definido como o expoente de uma potência. O documento explica as propriedades e operações dos logaritmos, incluindo mudança de base e logaritmos decimais e neperianos.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios cobrem tópicos como identificar funções quadráticas, calcular valores de funções em pontos específicos, determinar zeros de funções, calcular vértices de parábolas, estudar o sinal de funções, e esboçar gráficos de funções quadráticas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Função 1º grau definição e notação de função - exemplos resolvidosAdriano Souza
Este documento contém exemplos resolvidos de funções do primeiro grau. No primeiro exemplo, é representada graficamente a função f(x) = -3x + 6. No segundo exemplo, são dadas as funções das tarifas de duas empresas de táxi e é comparado o preço cobrado por cada uma em relação aos quilômetros percorridos. No terceiro exemplo, é determinada qual empresa seria mais econômica para uma corrida de 8km.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
O logaritmo foi criado por John Napier para substituir a palavra expoente. Logaritmo é definido como o expoente de uma potência. O documento explica as propriedades e operações dos logaritmos, incluindo mudança de base e logaritmos decimais e neperianos.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios cobrem tópicos como identificar funções quadráticas, calcular valores de funções em pontos específicos, determinar zeros de funções, calcular vértices de parábolas, estudar o sinal de funções, e esboçar gráficos de funções quadráticas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
O documento discute sistemas lineares e equações lineares. Ele define equações lineares, apresenta exemplos e notações importantes sobre equações lineares. Também define sistemas lineares e discute métodos para classificar e resolver sistemas lineares.
Este documento contém 16 exercícios sobre lógica proposicional resolvidos. Os exercícios envolvem escrever negações de proposições, traduzir proposições para linguagem simbólica, determinar valores lógicos de proposições, simplificar expressões lógicas usando propriedades das operações lógicas e tábuas de verdade. As respostas demonstram o conhecimento sobre as regras da lógica proposicional e seu uso para avaliar a validade de argumentos.
Este documento discute funções modulares e translações gráficas de funções do tipo f(x)=|x|. Explica que a função modular é definida como o valor absoluto de x e tem domínio R e imagem R+. Também mostra como transladar os gráficos de f(x)=|x| para cima ou para baixo adicionando ou subtraindo constantes K, e para a direita ou esquerda adicionando ou subtraindo K ao argumento dentro dos módulos.
O documento introduz o conceito de derivadas parciais e apresenta exemplos para esclarecer sua definição e cálculo. A função índice de calor é usada para ilustrar como derivar uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f(x,y)=9-x2-y2 são calculadas no ponto (1,-1), resultando em fx(1,-1)=-2 e fy(1,-1)=2.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
Este documento descreve as características principais de funções quadráticas. Em três frases:
1) Uma função quadrática tem a forma y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
2) As raízes de uma função quadrática podem ser encontradas resolvendo a equação a(x - h)2 + k = 0, onde h e k são números reais.
3) O vértice de uma parábola, que representa o gráfico de uma função quadrática, tem coordenadas (h, k), onde
O documento define volume e unidades de medida de volume no Sistema Internacional, incluindo km3, hm3, dam3, m3, dm3, cm3 e mm3. Explica que 1m3 = 1000 litros, 1dm3 = 1 litro e 1cm3 = 1 ml, e fornece exemplos de cálculos de volume e capacidade em litros.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
O documento apresenta conceitos sobre potenciação para alunos do 6o ano do ensino fundamental. A potenciação é definida como uma multiplicação de fatores iguais, onde o expoente indica a quantidade de fatores multiplicados. Exemplos mostram como ler e calcular potências com diferentes bases e expoentes.
1) A função exponencial crescente y=5x representa a função dada no documento, pois deixando tudo na base 5, o gráfico resultante é uma curva exponencial crescente.
2) As raízes da identidade exponencial dada são x1=1 e x2=2, obtida após igualar as bases das exponenciais.
3) A solução da equação exponencial é x=1, obtida após igualar as bases das exponenciais.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
O documento define e explica os conceitos de função algébrica, função constante, função identidade, função polinomial, função racional, função do 1o grau e função do 2o grau. Apresenta exemplos e exercícios de aplicação destes conceitos.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
Identificar expressão analítica de uma função quadráticaPaulo Mutolo
Este documento descreve as expressões analíticas das principais funções quadráticas e como seus coeficientes afetam a forma da parábola. Ele lista 5 tipos de funções quadráticas - y = ax2, y = a(x - h)2, y = ax2 + k, y = a(x - h)2 + k, e y = ax2 + bx + c - e explica como cada coeficiente muda a abertura, translação, ou inclinação da parábola.
Este documento é uma apostila sobre cálculo I que introduz o conceito de derivada de uma função real. A derivada representa a inclinação de uma curva em um ponto e pode ser usada para encontrar a equação da reta tangente. A apostila fornece exemplos e exercícios sobre como calcular derivadas e usar suas propriedades.
1) O documento apresenta exemplos e conceitos sobre funções, incluindo cálculo de funções, domínio, funções pares e ímpares, funções compostas e inversas.
2) São mostrados exemplos de cálculo de funções, determinação do domínio, identificação de funções pares e ímpares.
3) Também são explicados os conceitos de função composta e como calcular funções compostas, assim como o processo para encontrar a função inversa.
O documento discute sistemas lineares e equações lineares. Ele define equações lineares, apresenta exemplos e notações importantes sobre equações lineares. Também define sistemas lineares e discute métodos para classificar e resolver sistemas lineares.
Este documento contém 16 exercícios sobre lógica proposicional resolvidos. Os exercícios envolvem escrever negações de proposições, traduzir proposições para linguagem simbólica, determinar valores lógicos de proposições, simplificar expressões lógicas usando propriedades das operações lógicas e tábuas de verdade. As respostas demonstram o conhecimento sobre as regras da lógica proposicional e seu uso para avaliar a validade de argumentos.
Este documento discute funções modulares e translações gráficas de funções do tipo f(x)=|x|. Explica que a função modular é definida como o valor absoluto de x e tem domínio R e imagem R+. Também mostra como transladar os gráficos de f(x)=|x| para cima ou para baixo adicionando ou subtraindo constantes K, e para a direita ou esquerda adicionando ou subtraindo K ao argumento dentro dos módulos.
O documento introduz o conceito de derivadas parciais e apresenta exemplos para esclarecer sua definição e cálculo. A função índice de calor é usada para ilustrar como derivar uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f(x,y)=9-x2-y2 são calculadas no ponto (1,-1), resultando em fx(1,-1)=-2 e fy(1,-1)=2.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
Este documento descreve as características principais de funções quadráticas. Em três frases:
1) Uma função quadrática tem a forma y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
2) As raízes de uma função quadrática podem ser encontradas resolvendo a equação a(x - h)2 + k = 0, onde h e k são números reais.
3) O vértice de uma parábola, que representa o gráfico de uma função quadrática, tem coordenadas (h, k), onde
O documento define volume e unidades de medida de volume no Sistema Internacional, incluindo km3, hm3, dam3, m3, dm3, cm3 e mm3. Explica que 1m3 = 1000 litros, 1dm3 = 1 litro e 1cm3 = 1 ml, e fornece exemplos de cálculos de volume e capacidade em litros.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
O documento apresenta conceitos sobre potenciação para alunos do 6o ano do ensino fundamental. A potenciação é definida como uma multiplicação de fatores iguais, onde o expoente indica a quantidade de fatores multiplicados. Exemplos mostram como ler e calcular potências com diferentes bases e expoentes.
1) A função exponencial crescente y=5x representa a função dada no documento, pois deixando tudo na base 5, o gráfico resultante é uma curva exponencial crescente.
2) As raízes da identidade exponencial dada são x1=1 e x2=2, obtida após igualar as bases das exponenciais.
3) A solução da equação exponencial é x=1, obtida após igualar as bases das exponenciais.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
O documento define e explica os conceitos de função algébrica, função constante, função identidade, função polinomial, função racional, função do 1o grau e função do 2o grau. Apresenta exemplos e exercícios de aplicação destes conceitos.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
Identificar expressão analítica de uma função quadráticaPaulo Mutolo
Este documento descreve as expressões analíticas das principais funções quadráticas e como seus coeficientes afetam a forma da parábola. Ele lista 5 tipos de funções quadráticas - y = ax2, y = a(x - h)2, y = ax2 + k, y = a(x - h)2 + k, e y = ax2 + bx + c - e explica como cada coeficiente muda a abertura, translação, ou inclinação da parábola.
Este documento é uma apostila sobre cálculo I que introduz o conceito de derivada de uma função real. A derivada representa a inclinação de uma curva em um ponto e pode ser usada para encontrar a equação da reta tangente. A apostila fornece exemplos e exercícios sobre como calcular derivadas e usar suas propriedades.
1) O documento apresenta exemplos e conceitos sobre funções, incluindo cálculo de funções, domínio, funções pares e ímpares, funções compostas e inversas.
2) São mostrados exemplos de cálculo de funções, determinação do domínio, identificação de funções pares e ímpares.
3) Também são explicados os conceitos de função composta e como calcular funções compostas, assim como o processo para encontrar a função inversa.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.
1) O documento discute funções compostas e funções inversas, apresentando suas definições e exemplos de exercícios resolvidos.
2) A seção de funções compostas explica o que é uma função composta e apresenta um exercício resolvido.
3) A seção de função inversa define o que é uma função inversa e fornece a regra prática para obter a função inversa de uma função bijetora.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites infinitos e no infinito, teoremas do confronto e anulamento, e limites trigonométricos. Inclui 33 exercícios para calcular limites ou verificar a continuidade de funções.
2. As respostas fornecem os valores dos limites ou justificam a não existência para cada exercício, demonstrando o uso correto dos conceitos apresentados no documento.
3. Alguns exercícios pedem também a determinação de assíntotas ou verificação da extensão
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
1) O documento apresenta 16 exercícios sobre funções inversas compostas, com questões envolvendo cálculo de funções inversas, composição de funções, resolução de equações e inequações funcionais.
2) Os exercícios abordam temas como funções inversas, composição de funções, sistemas de equações e inequações do 1o e 2o grau, máximos e mínimos de funções, entre outros.
3) São propostos exercícios para cálculo de funções inversas, determinação de relações
Exercícios resolvidos. funções trigonométricas e as suas inversaszeramento contabil
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x - 1), cos(πx - 1) e tg(5x + 4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x - 1), 2 para cos(πx - 1) e π/5 para tg(5x + 4).
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x-1), cos(πx-1) e tg(5x+4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x-1), 2 para cos(πx-1) e π/5 para tg(5x+4).
O documento apresenta as regras básicas para derivação de funções, incluindo derivadas de funções constantes, potências, soma, produto e quociente. Exemplos ilustram a aplicação destas regras para derivar funções como polinômios, exponenciais e logarítmicas.
O documento apresenta exercícios sobre limites laterais, limites de funções e continuidade. No primeiro exercício, é pedido para calcular limites laterais de funções no ponto x=1. No segundo, esboçar gráficos de funções e calcular limites no ponto x=1. No terceiro, dar um exemplo onde o limite do módulo de f existe, mas o limite de f não existe quando x vai a 0.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
A derivada de uma função constante é zero. A derivada de uma função potência é o expoente multiplicado pelo termo com o expoente subtraído um. A derivada de uma função multiplicada por uma constante é igual a essa constante multiplicada pela derivada da função.
O documento descreve diferentes tipos de funções polinomiais e suas propriedades, incluindo grau de uma função, função identidade, função constante, função modular, função composta, função sobrejetora, função injetora e função bijetora. Exemplos ilustram cada tipo de função.
(1) O documento apresenta três limites e pede para determiná-los. (2) Pede para verificar se uma função é contínua ou descontínua em um ponto. (3) Pede para diferenciar três funções. (4) Pede para calcular três integrais definidas.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
Semelhante a 10 regras de derivação (parte 2) (20)
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
2. Proposição
São válidas as seguintes fórmulas de derivação
Para as funções abaixo:
( i) f ( x) = e ⇒ f
x
′ ( x ) = e x ∀x ∈ ¡
1
( ii ) f ( x ) = ln x ⇒ f ′ ( x ) = ∀x ∈ ( 0, +∞ )
x
3. Regras de Derivação
Sejam f e g funções deriváveis em p
e seja k uma constante. Então as
funções f + g , kf e f × são deriváveis
g
em p e têm-se:
(1) ( f + g ) ′ ( p ) = f ′( p ) + g ′( p )
(2) ( kf ) ′ ( p ) = kf ′( p )
(3) ( f ×g ) ′ ( p ) = f ′( p ) g ( p ) + f ( p ) g ′( p )
4. Demonstração
Derivada da soma de suas
funções
(1) ( f + g ) ′ ( p ) =lim [ f ( x) + g ( x) ] − [ f ( p ) + g ( p ) ]
x→ p x− p
f ( x) − f ( p) g ( x) − g ( p)
= lim +
x→ p
x− p x− p
f ( x) − f ( p) g ( x) − g ( p)
= lim + lim
x→ p
x− p x→ p
x− p
= f ′( p ) + g ′( p )
5. Demonstração
Derivada do produto de uma
constante por uma função
(2) ( kf ) ′ ( p) = lim kf ( x) − kf ( p )
x→ p x− p
f ( x) − f ( p)
= k lim
x→ p x− p
= kf ′( p )
6. Demonstração
Derivada do produto de duas
funções
(3) ( f ×g ) ′ ( p ) = lim f ( x) g ( x) − f ( p ) g ( p )
x→ p x− p
f ( x) g ( x) − f ( p ) g ( x) + f ( p ) g ( x) − f ( p ) g ( p )
= lim
x→ p x− p
f ( x) − f ( p) g ( x) − g ( p)
= lim ×g ( x) + f ( p ) ×
x→ p
x− p x− p
= f ′( p ) g ( p ) + f ( p ) g ′( p )
7. Regra do Quociente
Função Injetora
Se f e g forem deriváveis em p
f
e se g(p) ≠0, então a função
g
será derivável em p e têm-se:
f ′ f ′( p ) g ( p ) − f ( p ) g ′( p )
(4) ÷ ( p) =
[ g ( p)]
2
g
8. Demonstração Regra do quociente
f ( x) f ( p)
′ −
f g ( x) g ( p)
(4) ÷ ( p) = lim
g x→ p x− p
f ( x) g ( p) − f ( p) g ( x) 1
= lim ×
x→ p x− p g ( x) g ( p )
Somando e subtraindo f ( p) g ( p) ao numerador resulta
f ( x) − f ( p) g ( x) − g ( p) 1
= lim ×g ( p) − f ( p) × ×
x→ p
x− p x− p g ( x) g ( p)
= f ′( p ) g ( p ) − f ( p ) g ′( p )
[ g ( p)]
2
9. Exemplo
1) Seja f ( x) = 4 x 3 + x 2 . Calcule: a) f ′( x) b) f ′(1).
Solução:
a ) f ′( x) = 4 x 3 + x 2 ′ = ( 4x3 ) ′ + ( x 2 ) ′ = 4 ( x 3 ) ′ + ( x 2 ) ′
= 4(3 x 2 ) + 2 x = 12 x 2 + 2 x
Ou seja, f ′( x) = 12 x 2 + 2 x
b) Como f ′( x) = 12 x 2 + 2 x,
temos f ′(1) = 12 ×12 + 2 ×1 = 12 + 2 = 14
10. Exemplo
2) Calcule g ′( x) onde g ( x) = 5 x 4 + 4.
Solução:
g ′( x) = 5 x 4 + 4 ′ = ( 5 x 4 ) ′ + ( 4 ) ′ = 5 ( x 4 ) ′ + ( 4 ) ′
= 5(4 x3 ) + 0 = 20x 3
Ou seja, f ′( x) = 20 x 3
11. Exemplo
2x + 3
3) Calcule f ′( x) onde f ( x) = 2 .
x +1
Solução: Pela regra do quociente, temos:
2 x + 3 ′ (2 x + 3)′( x 2 + 1) − (2 x + 3)( x 2 + 1)′
f ′ ( x) = 2 =
x +1 ( x2 + 1) 2
2 2
2( x 2 + 1) − (2 x + 3)2 x 2 x + 2 − 4 x + 6 x
= =
( x + 1) ( x + 1)
2 2 2 2
−2 x 2 − 6 x + 2
∴ f ′( x) =
(x + 1)
2 2
12. Exemplo
4) Seja f ( x) = ( 3 x 2 + 1) e x . Calcule f ′( x).
Solução: Pela regra do produto, temos:
′e x + 3x 2 + 1 e x ′
f ′( x) = ( 3 x + 1) ( )( )
2
= 6x e + ( 3 x 2 + 1) e x
x
Ou seja, f ′( x) = ( 3 x 2 + 6 x + 1) e x .
13. Exemplo
a) Se f ( x ) = xe x
, determine f ′( x) .
Solução:
(n)
b) Encontre a n-ésima derivada, f ( x)