Baixado 420 vezes
![Integrais Duplas
1.1
Introdução
Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma
extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida
como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla
é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma
variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes
próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas
aulas.
1.2
Integral Dupla: Domínios Retangulares
Começamos por considerar uma função f definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formalmente f : [a, b]×[c, d] → R. Usando a imaginação, pensemos em R
coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que
dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, consideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . ,
xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d} onde
como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <
· · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn .
Desta forma cada um dos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] pequenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk =
yk − yk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para
o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região
R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤
12](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-8-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
1
Figura 1.1: Partição de R = [a, b] × [c, d]
j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada
por ∆Ajk = ∆xj ∆yk . Como tanto ∆xj quanto ∆yk são diferentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por:
|P | = max (∆Ajk ), que corresponde a maior área entre todos os
1≤j≤m
1≤k≤n
pequeno retângulo.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre
domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈
[xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann:
m
n
Smn =
f (ξj , ζk )∆Ajk
j=1 k=1
A integral dupla da função f (x, y) sobre o retângulo R, denotada
f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
R
def
f (x, y)dxdy = lim Smn
R
BIOGRAFIA
Georg
Friedrich
Bernhard
Riemann
nasceu em Breselenz,
Reino de Hanôver,
17 de Setembro de
1826 e morreu em
Selasca, Itália, 20 de
Junho de 1866, foi um
matemático
alemão,
com
contribuições
fundamentais para a
análise e a geometria
diferencial. Wikipedia
|P |→0
13](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-9-320.jpg)
![Integrais Duplas
Figura 1.2: Soma de Riemann para f (x, y) em R = [a, b] × [c, d]
1.3
Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
f (x, y) , (x, y) ∈ D
que D ⊂ R e F (x, y) =
. Formalmente
0
, (x, y) ∈ D
/
F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). Usando
a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios retangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por
14](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-10-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições
1
P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm =
b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Do mesmo
modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk )
1≤j≤m
1≤k≤n
onde ∆Ajk = ∆xj ∆yk , ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 . Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno
retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função
estendida F (x, y):
m
n
Smn =
F (ξj , ζk )∆Ajk
j=1 k=1
A integral dupla da função f (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denof (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
tada
D
def
f (x, y)dxdy = lim Smn
D
|P |→0
Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retângulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais
têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes
estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk ) = 0.
1.4
Interpretação Geométrica
Quando a função f (x, y) é positiva na região R, como a da
(Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do
prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente
pela superfície z = f (x, y) e quanto maior for o refinamento da partição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar
f (x, y)dxdy como o volume do prisma sólido
a integral dupla
R
15](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-11-320.jpg)
![Integrais Duplas
Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b] × [c, d]
reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície
z = f (x, y).
1.5
Integrais Iteradas
Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla
a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma
integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o
cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o volume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente
por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos
f (x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos
o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos
o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no
16](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-12-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
1
Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y
volume do citado prisma.
b
V =
A(x)dx
a
Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva
f (x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como
d
f (x, y)dy.
vimos em Cálculo I A(x) =
c
O volume do prisma pode ser então escrito como:
b
d
V =
f (x, y)dy dx
a
c
.
Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando
os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos
o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no
volume do citado prisma.
17](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-13-320.jpg)
![Integrais Duplas
número finito de curvas em R2 , então vale:
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y)dxdy +
A
f (x, y)dxdy
B
OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral dupla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta
propriedade é denominada “aditividade”.
1.7
Alguns Exemplos
Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de
integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que
a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e
neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta.
Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem,
a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto
f (x, y)dxdy primeiramente integramos na va-
é, na integral
R
f (x, y)dydx
riável x e depois na variável y. Já na integral
R
primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.
Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla sobre domínios retangulares. A saber:
Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig.
1.6) dada por f (x, y) = exp(−x − y) e determine a integral dupla
f (x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤
I =
R
1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.
20](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-16-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
1
Figura 1.6: Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = exp(−x − y)
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
1
1
exp(−x − y)dxdy
I=
0
0
Lembrando que: exp(−x − y) = exp(−x) exp(−y) temos:
1
1
exp(−x) exp(−y)dxdy
I=
0
0
Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y
como uma constante:
1
− exp(−x)
I=
0
1
0
exp(−y)dy
Substituindo os limites de integração temos:
1
(− exp(−1) − (− exp(−0))) exp(−y)dy
I=
0
Efetuando os cálculos temos:
1
(1 − exp(−1)) exp(−y)dy
I=
0
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável:
I = (1 − exp(−1)) − exp(−y)
1
0
Substituindo os limites de integração temos:
I = (1 − exp(−1)) (− exp(−1) − (− exp(−0)))
Efetuando os cálculos temos:
21](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-17-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
1
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
b
b(x)
f (x, y)dydx
f (x, y)dxdy =
D
a
a(x)
Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig.
1.8) dada por f (x, y) = y(3x − x2 − y) e determine a integral duf (x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das
pla I =
R
curvas y = 0 e y = 3x − x2 .
Figura 1.8: Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = x.y
SOLUÇÃO:
Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os
limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x − x2 (Fig. 1.9).
Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos
os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e
b(x) = 3x − x2 .
23](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-19-320.jpg)
![Cálculo III
I=
1.8
AULA
1
729
280
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão
natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se
por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área
sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla
pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função
a ser duplamente integrada.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:
Integração Dupla: Domínios retangulares
Considerando uma função f : R → R onde R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤
x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2 . Podemos cobri-lo com
uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b] ×
P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xn = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , ym = d} são partições
dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A malha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ j ≤
n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj ∆yk onde ∆xj = xj − xj−1
e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =
[xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] respectivamente. Defini-se a norma da
partição por: |P | = max (∆Ajk ). Toma-se um ponto (ξj , ζk ) ∈
1≤j≤n
1≤k≤m
25](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-21-320.jpg)
![Integrais Duplas
[xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte
soma de Riemann:
n
m
Snm =
f (ξj , ζk )∆Ajk
j=1 k=1
A integral dupla da função f (x, ) sobre o retângulo R, denotada
f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
R
def
f (x, y)dxdy = lim Snm
|P |→0
R
Integração Dupla: Domínios não Retangulares
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
f (x, y) , (x, y) ∈ D
que D ⊂ R e F (x, y) =
. Formalmente
0
, (x, y) ∈ D
/
F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). A partir
daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral
dupla de uma função f (x, y) em um domínio não retangular D por:
def
f (x, y)dxdy = lim Smn
D
onde: Smn =
m
j=1
|P |→0
n
k=1 F (ξj , ζk )∆Ajk .
é a soma de Riemann
para F (x, y)
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
26](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-22-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
[a, b] × [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram
1
o valor da integral dupla, que pode ser representada por:
d
b
b
d
f (x, y)dy dx
f (x, y)dx dy =
c
a
a
c
.
Propriedades das Integrais Duplas
As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades
das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma
extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as
seguintes propriedades:
Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
cf (x, y)dxdy = c
D
f (x, y)dxdy
D
Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores
reais integráveis em D, então vale:
(f + g)(x, y)dxdy =
D
f (x, y)dxdy +
D
g(x, y)dxdy
D
Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores
reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:
f (x, y)dxdy ≥ 0
D
27](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-23-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
1
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
b
b(x)
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y)dydx
a
a(x)
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas
formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A
segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio
de forma geométrica mais simples.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais duplas.
ATIV. 1.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por f (x, y) =
29](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-25-320.jpg)
![Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
2.1
Introdução
Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III
tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As
f (x, y)dxdy, dada a natureza ou de
vezes, na integral dupla
HISTÓRIA
O teorema de mudança de variáveis
em integrais duplas
foi primeiro proposto
por Euler quando ele
desenvolveu a noção
de integral dupla em
1769.
Usado por
Legendre, Laplace e
Gauss, foi primeiramente
generalizado
para n variáveis por
Mikhail Ostrogradski
em 1836, resistiu a
uma
demonstração
mais rigorosa por longo
tempo (cerca de 125
anos). E foi satisfatóriamente demonstrado
por Elie Cartan em
uma série de artigos
nos anos 1890.
D
f (x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos
uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma
disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de
disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral
a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas
cartesianas.
2.2
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em
integrais simples. Considere uma função f : [a, b] → R. A idéia
é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relacionadas por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente
crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que
podemos inverter a mudança de variáveis.
Seja F (x) uma anti-derivada de f (x) tal que F (x) = f (x). Então,
da regra da cadeia temos:
d
F (g(ξ)) = F (g(ξ))g (ξ) = f (g(ξ))g (ξ).
dξ
Integrando com respeito a ξ temos:
d
F (g(ξ))dξ = f (g(ξ))g (ξ)dξ
dξ
Das propriedades da integral temos:
F (g(ξ)) + C =
f (g(ξ))g (ξ)dξ
Como x = g(ξ) temos:
F (x) + C =
34
f (g(ξ))g (ξ)dξ](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-30-320.jpg)
![Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1
∂(x, y)
= r.
∂(r, ϑ)
Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de
o módulo do jacobiano da transformação é dado por:
ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no
primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como:
1
I=
π/2
f (x, y)dxdy =
D
f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs0
0
tituindo f (x, y) temos:
1
π/2
exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2 )rdϑdr
I=
0
0
Efetuando as simplificações temos:
1
π/2
exp(−r2 )rdϑdr
I=
0
0
Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o integrando não depende de ϑ temos:
1
exp(−r2 )ϑ
I=
0
π/2
0
rdr
Substituindo os limites de integração temos:
1
exp(−r2 )rdr
I = π/2
0
Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mudança de variáveis pondo ξ = r2
deste modo temos: dξ = 2rdr
1
1
1
ou seja rdr = − dξ e os limites r
eξ
. Daí, a integral
0
0
2
40](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-36-320.jpg)
![Algumas Aplicações da Integral Dupla
3.1
Introdução
Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III
com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as
inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo
pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as integrais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua
distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade.
Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET
3.2
Preliminares
Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (massa por unidade de
superfície) (x, y), ∀(x, y) ∈ D.
Determinação da massa
Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida
em um domínio retangular R = {(x, y) R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤
∈
(x, y) , (x, y) ∈ D
y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) =
.
0
, (x, y) ∈ D
/
Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P =
P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b]
e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Tomamos um
ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
m
n
Smn =
Φ(ξj , ζk )∆Ajk .
j=1 k=1
48](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-44-320.jpg)
![Integrais triplas
4.1
Introdução
Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa
primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão
natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como
limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada
HISTÓRIA
A primeira técnica
sistemática documentada para o cálculo
de integrais triplas no
cálculo de volume foi
o método da exaustão
de
Eudoxus
cerca
de 370AC. O maior
avanço
no
cálculo
de integrais triplas
veio do Iraque, no
século 11, na figura
de Ibn AL-Haythan
(conhecido na Europa
por Alhazen ).
Enquanto resolvia o que
ficou conhecido como
“Problema de Alhazen”
(um problema de ótica)
ele calculou o volume
de um parabolsóide
usando um método de
indução. Wikipédia.
por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável
e considerando as demais como constantes. É o que denominamos
de integrais interadas. As características e detalhes próprios das
integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas
três aulas.
4.2
Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais
Começamos por considerar uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤
d ∧ e ≤ z ≤ f }. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R.
Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede
de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em
pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 ,
. . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f } onde como visto em Cálculo I temos:
x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , y0 < y1 < · · · < yj <
yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Desta
forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1 , xi ], Jj =
64](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-60-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
[yj−1 , yj ] e Kk = [zk−1 , zk ] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1 ,
4
∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 , respectivamente. Definimos,
agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] =
P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b],
P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤
i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . Como tanto ∆xi quanto
∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno
paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir
a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ), que corresponde
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre domínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈
[xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
l
m
n
Slmn =
φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk
i=1 j=1 k=1
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
denotada
R
guinte limite:
def
φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn
R
|P |→0
65](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-61-320.jpg)
![Integrais triplas
4.3
Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 →
R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal
R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal
φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
. Formalque D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
0
, (x, y, z) ∈ D
/
mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função
φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma
rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem
R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral
tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] ×
P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]
onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 ,
. . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Do mesmo modo definimos a norma
da partição por: |P | = max (∆Vijk ) onde ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk ,
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 . Tomamos
um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada
pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann
para a função estendida Φ(x, y, z):
l
m
n
Slmn =
Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk
i=1 j=1 k=1
66](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-62-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 ,
4
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
denotada
D
guinte limite:
def
φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn .
|P |→0
D
Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os
pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio
D ⊂ R3 , contribuem para a soma de Riemann os demais têm
contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão
fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi , ζj , ηk ) = 0.
4.4
Interpretação Geométrica
Quando a função φ : D ⊂ R3 → R é constante e igual a um
(φ(x, y, z) = 1, ∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada,
vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e
quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor
será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla
dxdydz como o volume da região D ⊂ R3 .
D
4.5
Integrais Iteradas
Dada uma função φ : R → R onde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], do
mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:
b
d
f
φ(x, y, z)dxdydz =
1.
R
φ(x, y, z)dz dy dx
a
c
b
e
f
d
φ(x, y, z)dxdydz =
2.
R
φ(x, y, z)dy dz dx
a
e
c
67](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-63-320.jpg)
![Integrais triplas
que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variáveis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é
dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral
f (x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x,
R
depois na variável y e por último na variável z. Já na integral
f (x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z,
R
depois na variável y e por último na variável x.
Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] → R
dada por f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 e determine a integral tripla
f (x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤
I=
R
x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
1
1
1
(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
I=
0
0
0
Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e
z como constantes:
1
1
x3
I=
+ y 2 x + z 2 x dydz
3
0
0
Substituindo os limites de integração temos:
1
1
13 03
I=
−
+ y 2 (1 − 0) + z 2 (1 − 0) dydz
3
3
0
0
Efetuando os cálculos temos:
1
1
1
I=
+ y 2 + z 2 dy
3
0
0
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x
como constante:
70](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-66-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
função positiva f (x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode
4
ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente
pela a superfície descrita por uma função positiva f (x, y) e limitado
inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem
interpretação geométrica no caso simples em que f (x, y, z) = 1.
Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada
D ⊂ R3 .
RESUMO
Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais
Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }.
Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os
planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P =
P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições
P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . ,
xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] =
{z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Os planos retalham a região
R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] ×
[yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume
de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .
A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max (∆Vijk ).
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
Toma-se um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ]
em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de
Riemann:
75](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-71-320.jpg)
![Integrais triplas
l
m
n
Slmn =
φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk
i=1 j=1 k=1
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
denotada
R
guinte limite:
def
φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn
|P |→0
R
Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 → R
onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R =
{(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que
≤
φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
. Formalmente
0
, (x, y, z) ∈ D
/
Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função φ(x, y, z).
A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição
da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir
a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não retangular D por:
def
φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn
D
onde Slmn =
l
i=1
m
j=1
|P |→0
n
k=1 Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk
é a soma de Rie-
mann para Φ(x, y, z.
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
[a, b] × [c, d] × [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não
76](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-72-320.jpg)
![Integrais triplas
Nossa integral será efetuada assim:
b
b(x)
b(x,y)
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y, z)dzdydx
a
a(x)
a(x,y)
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas
formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A
segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio
de forma geométrica mais simples.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais tríplas.
ATIV. 4.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Determine a integral tripla:
f (x, y, z)dxdydz.
R
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 → R dada por f (x, y, z) = 1, onde
D = {(x, y, z) ∈ R3 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 − x2 }.
80](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-76-320.jpg)
![Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela
forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite
inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da
variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a
região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r
entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o
ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para
a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável
r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O
ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)
para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].
Figura 5.7: Coordenadas ci-
Figura 5.8: Coordenadas ci-
líndricas 3
líndricas 4
Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos
88](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-84-320.jpg)
![Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar
a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13).
Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela
forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite
inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da
variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
Figura 5.14: Coordenadas es-
Figura 5.15: Coordenadas es-
féricas 3
féricas 4
a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ
com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que
começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida
em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com
o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da
variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável
ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável
r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com
o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ
94](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-90-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O
5
ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ)
para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].
Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos
em prática a determinação dos limites de integração em coordenadas esféricas.
Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das superfícies: z =
x2 + y 2 (cone), z =
a2 − x2 − y 2 (esfera)(Fig
5.16) e determine seu volume.
Figura 5.16:
exemplo 2
Superfícies de
Figura 5.17: Interseção das
superfícies de exemplo 2
SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig
5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na
(Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço.
95](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-91-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
5
Determinação dos Limites para Integração em Coordenadas Cilíndricas
Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas
cilíndricas utiliza-se os seguintes passos:
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.5).
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.
5.6). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ
que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o
limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior
da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r
entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o
ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para
a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas
polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8).
O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)
para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].
101](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-97-320.jpg)
![Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Determinação dos Limites para Integração em Coordenadas Esféricas
Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas
esféricas utiliza-se os seguintes passos:
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.12).
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.
5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ
que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o
limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior
da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ
com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que
começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida
em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com
o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da
variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável
ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-
102](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-98-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo
5
ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma
ângulo ϕ com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig.
5.15). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior
α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o
limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral tripla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo
do centro de massa e momentos de inércia de sólidos gerados por
intersecções de superfícies em R3 .
ATIVIDADES
Deixamos como atividades dois problemas envolvendo mudança
de variáveis em integrais triplas.
ATIV. 5.1. Determine o volume do sólido formado pela intersecção das superfícies z = 0, z = 1 + x2 + 3y 2 e x2 + y 2 = 1.
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
primeiro exemplo e use o sistema de coordenadas cilíndricas.
ATIV. 5.2. Seja D ⊂ R3 a região formada pela intersecção das
superfícies z = 0 e x2 + yh2 + z 2 = 1 e f : R3 → R dada por
103](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-99-320.jpg)
![Algumas Aplicações das Integrais tríplas
6.1
Introdução
Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir
algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como
calcular a massa de uma região D ⊂ R3 dada sua distribuição
de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de
gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais
chegaremos lá.
6.2
Preliminares
Consideraremos uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribuição de densidade (massa por unidade de volume)
: D → R+ i.e.
(x, y, z) > 0, ∀(x, y, z) ∈ D.
Determinação da massa
Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida
em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤
b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
. Considerando a uma partição para
0
, (x, y, z) ∈ D
/
o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ],
o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde
P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b},x0 < x1 < · · · <
xi < xi+1 < · · · < xl , P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym =
d}, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e P [e, f ] = {z0 =
e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }, z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 <
· · · < zn . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] ×
[zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte
106](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-102-320.jpg)
![AULA
Cálculo III
O Momento de Massa em Relação ao Plano xy
Mxy (D) =
6
z (x, y, z)dxdydz.
D
O Momento de inércia de D em Relação ao eixo x
(y 2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz.
Ix (D) =
D
O Momento de inércia de D em Relação ao eixo y
(x2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz.
Iy (D) =
D
O Momento de inércia de D em Relação ao eixo z
(x2 + y 2 ) (x, y, z)dxdydz.
Iz (D) =
D
O Centro de Massa (¯, y , z ) de D
x ¯ ¯
x=
¯
Myz (D)
=
m(d)
x (x, y, z)dxdydz
D
,
(x, y, z)dxdydz
D
Mxz (D)
y=
¯
=
m(d)
y (x, y, z)dxdydz
D
e
(x, y, z)dxdydz
D
z=
¯
Mxy (D)
=
m(d)
z (x, y, z)dxdydz
D
.
(x, y, z)dxdydz
D
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais
f : C ⊂ R3 → R3 onde C é uma curva no espaço R3 , dada parametricamente por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b]. Não
ˆ
ˆ
ˆ
estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín-
119](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-115-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
7.1
Introdução
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas” tem um forte sabor de física pois, veremos coisas
como: calculo do trabalho de uma força (função vetorial) ao longo
de uma trajetória (curva) ou fluxo de um campo de vetores através de uma curva (o termo fluxo é tipicamente da física). Isto,
não quer dizer que vocês tenham que se empenhar nos aspectos
físicos, devendo apenas ater-se aos aspectos matemáticos que são
os objetivos de nossa aula.
7.2
Curvas em R3
Nesta seção faremos uma pequena recapitulação sobre curvas
em R3 , que vocês já viram em Cálculo II. Será um breve resumo
onde estaremos recapitulando as definições e principais resultados.
Consideremos uma curva C ⊂ R3 dada parametricamente por:
x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] ou em sua forma vetorial
ˆ
ˆ
ˆ
r = x(t)i + y (t)j + z (t)k
r(t) ˆ
ˆ
ˆ k.
O vetor tangente unitário à C é dado por:
T (t) =
r
dr
r(t)
dt
−1
r
dr
r(t)
dt
A velocidade e a aceleração de uma partícula seguindo a curva C,
com movimento dado por r
r(t), no instante t são dadas por:
124](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-120-320.jpg)
![AULA
Cálculo III
7
r
dr
r(t)
dˆ(t)
x
dˆ(t)
y
z (t)
ˆ
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
d2 x(t)
ˆ
d2 y (t)
ˆ
d2 z (t)
ˆ
d2r
r(t)
=
i+
j+
k
2
2
2
dt
dt
dt
dt2
v
v(t) =
a
a(t) =
O comprimento de arco da curva C ⊂ R3 parametrizada por x =
x(t), y = y (t) e z = z (t), no intervalo [a, t] é dado por:
ˆ
ˆ
ˆ
t
s(t) =
ˆ
a
dˆ(t)
x
dt
2
dˆ(t)
y
dt
+
2
+
dˆ(t)
z
dt
2
dt
ˆ
Podemos inverter s = s(t) como t = t(s) e descrever a curva
ˆ
C ⊂ R3 parametrizada por comprimento de arco x = x(t(s)),
ˆ ˆ
y = y (t(s)) e z = z (t(s)).
ˆˆ
ˆˆ
A curvatura de C é definida por:
k(s) =
dT (s)
ds
e pode ser calculada usando-se a fórmula:
k(t) =
1
dT (t)
v
|v
v(t)| dt
O vetor normal unitário é definido por:
dT (t)
N (t) =
dt
−1
dT (t)
dt
O vetor binormal à curva C ⊂ R3 é definido por:
B
B(t) = T (t) × N (t)
Finalmente a torção da curva C ⊂ R3 é definida por:
125](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-121-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
Definição 7.5. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (¯, y , z ),
x ¯ ¯
7
onde:
x =
¯
Myz (C)
=
m(C)
(x, y, z)xds
C
(x, y, z)ds
C
y =
¯
Mxz (C)
=
m(C)
(x, y, z)yds
C
(x, y, z)ds
C
z =
¯
Mxy (C)
=
m(C)
(x, y, z)zds
C
(x, y, z)ds
C
Definição 7.6. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
x, denotada Ix (C), é definido por:
(x, y, z)(y 2 + z 2 )ds
Ix (C) =
C
Definição 7.7. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
y, denotada Iy (C), é definido por:
(x, y, z)(x2 + z 2 )ds
Iy (C) =
C
Definição 7.8. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
z, denotada Iz (C), é definido por:
(x, y, z)(x2 + y 2 )ds
Iz (C) =
C
OBS 7.1. Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x =
x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa
ˆ
ˆ
ˆ
relativo aos planos yz, xz e xy, momento de inércia relativo aos
eixos x, y e z respectivamente pode ser calculados por:
127](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-123-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))|v
x
ˆ
ˆ
v(t)|dt
m(C) =
a
b
(ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v
x
ˆ
ˆ x v
v(t)|dt
Myz (C) =
a
b
(ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v
x
ˆ
ˆ y v
v(t)|dt
Mxz (C) =
a
b
(ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v
x
ˆ
ˆ z v
v(t)|dt
Mxy (C) =
a
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
y
ˆ
v(t)|dt
Ix (C) =
a
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
x
ˆ
v(t)|dt
Iy (C) =
a
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + y 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
x
ˆ
v(t)|dt
Iz (C) =
a
7.4
Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e
Fluxo
Consideremos um campo de vetores F : D ⊂ R3 → R3 e uma
curva C ⊂ D contínua e suave.
Definição 7.9. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo
vetorial F ao longo da curva C ⊂ R3 por:
F • T ds
Φ(F, C) =
C
OBS 7.2. Quando a curva é simples e fechada, o fluxo integral de
escoamento é denominado de circulação e escrevemos:
F • T ds
Φ(F, C) =
C
OBS 7.3. Se a curva C ⊂ D ⊂ R3 é parametrizada por: x = x(t),
ˆ
y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b]. Podemos interpretar o campo
ˆ
ˆ
128](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-124-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
vetorial F : D ⊂ R3 → R3 como um campo de força no espaço,
7
a curva C ⊂ D ⊂ R3 como uma trajetória, a parametrização da
curva C ⊂ D ⊂ R3 dada por x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b]
ˆ
ˆ
ˆ
como o movimento de uma partícula seguindo a trajetória C e o
fluxo integral de escoamento como o trabalho executado pela força
F ao longo de C e dado por:
b
F (ˆ(t), y (t), z (t)) • T (t)dt
x
ˆ
ˆ
T (F, C) =
a
OBS 7.4. Se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por:
r = x(t)i y (t)j z (t)k t ∈ [a, b], e o campo vetorial F : D ⊂ R3 →
ˆ i+ˆ j+ˆ k,
R3 representado por: F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k
k,
onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais, o fluxo
integral de escoamento pode ser escrito como uma das três formas:
r
F • dr
T (F, C) =
C
T (F, C) =
(f1 dx + f2 dy + f3 dz)
C
b
T (F, C) =
f1
a
dˆ(t)
y
dˆ(t)
z
dˆ(t)
x
+ f2
+ f3
dt
dt
dt
dt
Consideraremos, agora o caso particular de uma curva plana C ⊂
D ⊂ R2 simples e fechada e de um campo vetorial F : D ⊂ R2 →
R2 . Interpretaremos o campo vetorial F como o campo de velocidade de um fluido que atravessa a região D ⊂ R2 .
Definição 7.10. Definimos o fluxo de F através de C por:
def
F • N ds
φ(F, C) =
C
onde: N é a normal unitária exterior a C.
129](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-125-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
7.5
Independência do Caminho
Consideremos um campo vetorial F : D ⊂ R3 → R3 , dois
pontos A, B ∈ D e um caminho C ⊂ D ligando o ponto A ao ponto
B. O trabalho realizado para mover uma partícula do ponto A ao
B
F • dr de modo
ponto B ao longo da trajetória C, dado por
A
geral depende do caminho C que liga os dois pontos. Porém, para
alguns campos vetoriais este trabalho depende apenas dos pontos
A e B.
Definição 7.11. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e
B
dois pontos A, B ∈ D. Se
F • dr é a mesma ∀C ⊂ D paraA
metrizada por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] tal que
ˆ
ˆ
ˆ
A = C(a) e B = C(b) dizemos que F é um campo conservativo
em D.
Vamos em seguida definir um operador diferencial vetorial muito
importante denominado gradiente, A saber:
Definição 7.12. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de
valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado
campo vetorial
f , como o
f : D ⊂ R3 → R3 dado por:
def
f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
Quando um campo vetorial pode ser dado pelo gradiente de um
campo escalar, dizemos que o campo escalar é uma função potencial para o campo vetorial. A saber:
Definição 7.13. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e
f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais tais que
130](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-126-320.jpg)
![Cálculo III
F =
f então f é dita uma função potencial para o campo vetorial
AULA
7
F em D
Daqui por diante consideraremos C uma curva lisa i.e. constituída
por um número finito de curvas simples unidas pelas extremidades
e D um conjunto aberto e conexo i.e. dado qualquer ponto de D
existe uma bola de centro no ponto inteiramente contida em D e
dado dois pontos quaisquer de D o segmento de reta que os une está
inteiramente contido em D. Consideraremos o campo vetorial F :
D ⊂ R3 → R3 dado por F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k
onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais contínuas
e com derivadas de primeira ordem contínuas.
Teorema 7.1. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 dado por F = f1 (x, y, z)i
i+
f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções
de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem contínuas em uma região D ⊂ R3 aberta e conexa do espaço. Então
existe uma função f : D ⊂ R3 → R contínua e diferenciável em
∂f
∂f
∂f
D ⊂ R3 tal que F = f =
i+
j+
k se somente se F for
∂x
∂y
∂z
um campo conservativo.
PROVA: Provaremos aqui a suficiência do teorema i.e. Se existe
uma função f : D ⊂ R3 → R contínua e diferenciável em D ⊂ R3
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k então F é um campo consertal que F = f =
∂x
∂y
∂z
vativo.
Suponha dois pontos A, B ∈ D e uma curva C ⊂ D parametrizada
por r
r(t) = x(t)i + y (t)j + z (t)k t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e
ˆ
ˆ
ˆ k,
B = C(b). Ao longo da curva C f é uma função f (ˆ(t), y (t), z (t))
x
ˆ
ˆ
derivável com relação a t e levando em conta a regra da cadeia
temos:
131](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-127-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
Exemplo 7.1. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força
F : R3 → R3 dado por F (t) = zi + 0j + xyk ao longo da hélice
Figura 7.1: Gráfico do exemplo 1
C ⊂ R3 dada por r = a cos(t)i + a sin(t)j + btk t ∈ [0, 4π] (ver
k,
Fig. 7.1 ).
SOLUÇÃO: Derivando o vetor posição r
r(t) com relação a t temos:
r
dr
r(t)
= −a sin(t)i + a cos(t)j + bk
dt
O campo de força F ao longo da curva C ⊂ R3 é dado por:
F (t) = bti + 0j + a2 sin(t) cos(t)k
Fazendo o produto escalar de F (t) por
F (t) •
r
dr
r(t)
temos:
dt
r
dr
r(t)
= −bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t)
dt
Calculando o trabalho realizado pela força F (t) ao longo da curva
134](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-130-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
curva C ⊂ R3 pertence a reta podemos eliminar z = y na equação
da esfera e temos:
2(x−a)2 +(y −a)2 = a2 , podemos propor como parametrização sa√
2
tisfazendo a equação acima: y = a + a sin(t) e x = a +
a cos(t).
2
Como z = x temos:
√
2
z =a+
a cos(t).
2
Resumindo temos a seguinte parametrização para a intersecção da
esfera como √
plano dados:
x = a + 2 a cos(t)
2
y = a + a sin(t)
∀t ∈ [−π, +π] .
√
z = a + 2 a cos(t)
2
Podemos √
escrever o vetor posição r como:
√
2
2
a cos(t))i + (a + a sin(t))j + (a +
a cos(t))k Derik.
r = (a +
2
2
vando o vetor posição r
r(t) com relação a t temos:
√
√
r
dr
r(t)
2
2
=−
a sin(t)i + a cos(t)j −
a sin(t)k
dt
2
2
Ao longo da curva C ⊂ R3 o campo de força é dado por:
F (t) = Ki + Ka(1 + sin(t))j + Kk
k.
Fazendo o produto escalar de F (t) por
r
dr
r(t)
F (t) •
dt
r
dr
r(t)
temos:
dt
√
2
Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t) −
2
√
2
Ka sin(t)
−
2
√
= − 2Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t)
= −
Calculando o trabalho realizado pela força F (t) ao longo da curva
136](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-132-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
como circulação e fluxo sobre curvas estão intimamente ligados à
7
Física.
RESUMO
Seja C ⊂ R3 , uma curva contínua e lisa, parametrizada por
comprimento de arco e
: C ⊂ R3 → R+ , a densidade linear de
massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, (x, y, z) > 0.
Massa
A massa de C ⊂ R3 , denotada m(C), é definida por:
m(C) =
(x, y, z)ds
C
Momento de Massa relativo aos planos yz xz e xy
yz,
xy.
O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, xz e xy denotados Myz (C), Mxz (C) e Mxy (C) são definidos respectivamente
por:
Myz (C) =
(x, y, z)xds
C
Mxz (C) =
(x, y, z)yds
C
Mxy (C) =
(x, y, z)zds
C
Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =
ˆ
y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos
ˆ
ˆ
planos yz, xz e xy, respectivamente pode ser calculados por:
139](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-135-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =
ˆ
7
y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], o momento de inércia relativo aos eixos
ˆ
ˆ
x, y e z, respectivamente pode ser calculados por:
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
y
ˆ
v(t)|dt
Ix (C) =
a
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
x
ˆ
v(t)|dt
Iy (C) =
a
b
v
(ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + y 2 (t))|v
x
ˆ
ˆ
x
ˆ
v(t)|dt
Iz (C) =
a
Fluxo Integral de Escoamento.
Seja um campo de vetores F : D ⊂ R3 → R3 e uma curva C ⊂ D
contínua e suave. Definimos o fluxo integral de escoamento do
campo vetorial F ao longo da curva C ⊂ R3 por:
F • T ds
Φ(F, C) =
C
Alternativamente se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente
por: r = x(t)i + y (t)j + z (t)k t ∈ [a, b] e o campo vetorial F :
ˆ
ˆ
ˆ k,
D ⊂ R3 → R3 por: F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k
k,
com f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais, o fluxo
integral de escoamento pode ser escrito como:
r
F • dr
T (F, C) =
C
T (F, C) =
(f1 dx + f2 dy + f3 dz)
C
b
T (F, C) =
f1
a
dˆ(t)
x
dˆ(t)
y
dˆ(t)
z
+ f2
+ f3
dt
dt
dt
dt
Campo Conservativo.
Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial, dois pontos A, B ∈ D.
141](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-137-320.jpg)
![Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3
B
( ) • dr é constante ∀C ⊂ D parametrizada por: x = x(t),
(F
ˆ
Se
A
y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos
ˆ
ˆ
que F é um campo conservativo em D.
Gradiente.
Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais.
Definimos o gradiente de f , denotado
f , como o campo vetorial
f : D ⊂ R3 → R3 dado por:
def
f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
Função Potencial.
Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 → R
uma função derivável de valores reais tais que F =
f então, f é
dita uma função potencial para o campo vetorial F em D
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos, essencialmente, integração
de funções reais e campos vetoriais (funções vetoriais) sobre superfícies S ⊂ R3 . Veremos também como calcular área, massa,
momento de massa e centro de massa de superfícies.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades os seguintes problemas envolvendo
integração de campos vetoriais sobre curvas no espaço.
142](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-138-320.jpg)
![Cálculo III
ATIV. 7.1. Seja F : R3 → R3 o campo vetorial dado por: F (x, y, z) =
AULA
7
y(2xyz 2 + exy )i + x(2xyz 2 + exy )j + 2x2 y 2 zk
k:
• Mostre que campo vetorial F é conservativo.
• Determine uma função potencial f : R3 → R tal que F =
f.
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.
ATIV. 7.2. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial dado por:
F (x, y, z) = yi + zj + bk b = 0 e C ⊂ R3 a curva no espaço dada
k,
por r
r(t) = a cos(t)i + a sin(t)j + ck ∀t ∈ [0, 2π], a, c > 0. Deterk,
mine o trabalho realizado por F ao longo da curva C.
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
143](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-139-320.jpg)
![Integrais de Superfícies
8.1
Introdução
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem,
como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre
Curvas em R3 ”, um sabor de física. Desde a determinação da
massa, momento de massa e centro de massa de uma superfície
até a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma
superfície. Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem
ater-se apenas aos aspectos matemáticos da matéria abordada.
8.2
Superfícies em R3
Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de
representação de superfícies. A primeira forma de representação
de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R3 → R e
tomar um ponto c ∈ Img(f ) da imagem de f . Desta forma, de
modo geral, f (x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R3 .
Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R3 → R dada por: f (x, y, z) =
x2 y 2 z 2
+ + . Desta forma f (x, y, z) = d representa elipsóides para
a2 b2 c2
valores positivos de d.
Outra forma de representação de uma superfície é através de uma
parametrização. Representar S ⊂ R3 por: x = x(u, v), y = y (u, v)
ˆ
ˆ
e z = z (u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d].
ˆ
Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri√
√
zar os elipsóides por: x = a d cos(u) cos(v), y = b d sin(u) cos(v)
√
e z = c d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π, +π] × [−π, +π].
146](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-142-320.jpg)
![Cálculo III
a integral dupla como:
√
2 2π a
(r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 rdrdϑ
Mxy (S) =
2 0
0
√
2 2π a
=
r2 cos2 (ϑ) + r2 sin2 (ϑ)rdrdϑ
2 0
0
√
2 2π a √ 2
=
r rdrdϑ
2
√ 0 2π 0 a
2
=
r2 drdϑ
2 0
0
√
2 2π r3 a
=
dϑ
2 0 3 0
√
a2 2 2π
dϑ
=
6
0
√
2 2π
=
ϑ
6 √0
a3 2
= π
3
AULA
8
O valor de z será dado por:
¯
√
a3 2
π
Mxy (S)
3 = 2a
√
=
z=
¯
2 2
m(S)
3
a
π
2
8.5
Superfícies Parametrizadas
Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para
superfícies parametrizadas.
Seja uma superfície lisa S ⊂ R3 parametrizada por: x = x(u, v),
ˆ
y = y (u, v) e z = z (u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde x, y e z
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos
representar a superfície pelo vetor posição r v) = x(u, v)i +
r(u,
ˆ
y (u, v)j + z (u, v)k Representaremos as derivadas do vetor r com
ˆ
ˆ
k.
relação a u e a v respectivamente por r u , r v . Consideraremos em
R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u0 , u = u0 + ∆u, v = v0 e
155](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-151-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-
8
tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização
sobre a superfície S. Aproximando cada ∆σuv pela área do paralelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de
Riemann:
r
|r u × r v |∆u∆v.
u
v
Fazendo ∆u e ∆v tenderem a zero independentemente, a continuidade das derivadas r v do vetor posição garante que a soma de
Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da
superfície S i.e.
b
d
r
|r u × r v |dudv.
Are(S) =
a
c
Esta argumentação heurística nos permite estender os conceitos
acima desenvolvidos para definir a integral de uma função f : S ⊂
R3 → R definida sobre a superfície S da seguinte forma:
Definição 8.1. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈
r(u,
ˆ
ˆ
ˆ
k,
[a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R3 → R uma função de valores reais definida
sobre S então, a integral de f sobre S será:
b
def
d
r r
f (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v))|r u ×r v |dudv.
x
ˆ
ˆ
f (x, y, z)dσ =
S
a
c
Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de
um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como
exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por
unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo
de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição:
Definição 8.2. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e
F : S ⊂ R3 → R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o
157](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-153-320.jpg)
![Integrais de Superfícies
fluxo de F através de S, denotado φ(F ), por:
def
F (x, y, z) • n
ndσ.
φ(F ) =
S
Onde n é a normal unitária em S.
OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈
r(u,
ˆ
ˆ
ˆ
k,
[a, b] × [c, d] e F : S ⊂ R3 → R3 uma função de valores vetoriais.
O fluxo de F através de S, é dado por:
b
d
F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • n r u × r v |dudv.
x
ˆ
ˆ
n|r
φ(F ) =
a
c
1
r r
·(r u ×r v )
ru × rv |
|r
a integral para o fluxo do campo vetorial F através da superfície
Como podemos calcular o vetor normal por n =
S pode ser reescrita como:
b
d
r
F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • (r u × r v )dudv.
x
ˆ
ˆ
φ(F ) =
a
c
Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um
campo vetorial através de uma superfície no espaço.
Exemplo 8.5. Determine o fluxo do campo vetorial F : R3 → R3
dado por F (x, y, z) = zi + zj + xyk através da superfície do parabolóide z = a2 − x2 − y 2 , que fica acima do plano z = 0 (ver Fig.
8.7).
SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície do parabolóide fazendo x = v cos(u), y = v sin(u) e z = a2 − v 2 . Desta
ˆ
ˆ
forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:
r v) = v cos(u)i + v sin(u)j + (a2 − v 2 )k
r(u,
k.
158](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-154-320.jpg)
![Cálculo III
AULA
8
Onde n é a normal unitária em S.
Área de uma Superfície S ⊂ R3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por
r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] então,
r(u,
ˆ
ˆ
ˆ
k,
a área de S será:
b
d
r
|r u × r v |dudv.
Are(S) =
a
c
Integral de Superfície S ⊂ R3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por
r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
r(u,
ˆ
ˆ
ˆ
k,
f : S ⊂ R3 → R uma função de valores reais definida sobre S
então, a integral de f sobre S será:
b
def
d
r r
f (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v))|r u ×r v |dudv.
x
ˆ
ˆ
f (x, y, z)dσ =
S
a
c
Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície
S ⊂ R3 Parametrizada
Se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por r v) = x(u, v)i
r(u,
ˆ
i+
y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e F : S ⊂ R3 → R3 uma
ˆ
k,
ˆ
função de valores vetoriais. O fluxo de F através de S, é dado por:
b
d
F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • n r u × r v |dudv.
x
ˆ
ˆ
n|r
φ(F ) =
a
c
1
r r
·(r u ×r v )
r
|r u × r v |
a integral para o fluxo do campo vetorial F através da superfície
Como podemos calcular o vetor normal por n =
163](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-159-320.jpg)
![AULA
Cálculo III
C1 : x = b cos(t)
y = b sin(t)
t ∈ [0, 2π]
9
C2 : x = a cos(t) y = −a sin(t) t ∈ [0, 2π]
onde a < b, C1 é percorrida no sentido anti-horário e C2 no sentido horário. Verificar o teorema de Green para os dados campo
vetorial e região.
SOLUÇÃO: Como o campo vetorial F (x, y) = −x2 yi + xy 2j temos suas componentes dadas por f1 (x, y) = −x2 y e f2 (x, y) = xy 2
∂f1 ∂f2
e temos as derivadas
e
dadas por:
∂y
∂x
∂f1
∂y
=
=
(x2 + y 2 )(−1) − (−y)(2y)
(x2 + y 2 )2
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
e
∂f2
∂x
=
=
Portanto
(x2 + y 2 )(+1) − (−x)(2x)
(x2 + y 2 )2
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
∂f1
∂f2
=
e temos:
∂y
∂x
R
∂f2 ∂f1
−
∂x
∂y
dxdy = 0
Calculando a integral de linha em C1 temos:
179](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-175-320.jpg)
![AULA
Cálculo III
9.7
Aplicação do Teorema de Stokes
9
Caros alunos, nesta seção faremos uma aplicação do teorema
de Stokes. A saber:
Figura 9.10: Verificação do teorema de Stokes
Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial F : R3 → R3 dado por
F (x, y) = (yz + xz)i + (xz + x)j + (xy − y 2 /2)k e a Curva C na
qual o plano z = a > 0 corta o cone z =
x2 + y 2 (ver Fig. 9.10)
e determine a circulação de F ao longo de C.
SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de F ao longo de C
usaremos o teorema de Stokes. Percorrer C no sentido anti-horário
visto de cima corresponde a tomar a normal n ao cone apontando
para dentro.
O cone pode ser parametrizado por:
r ϑ) = ar cos(ϑ)i + ar sin(ϑ)j + ark ∀r ∈ [0, 1], ∀ϑ ∈ [0, 2π]
r(r,
k,
As derivadas parciais r r e r ϑ são dadas por:
183](https://image.slidesharecdn.com/livrode-140209103834-phpapp02/85/Livro-de-calculo-3-179-320.jpg)
Carregado porAna Chavier
Livro de ..calculo 3
Esta aula introduz o conceito de integral dupla, definida como a extensão natural da integral simples para funções de dois argumentos com domínio em R2. A integral dupla é calculada para domínios retangulares através de partições que dividem o domínio em retângulos menores, permitindo aproximar a integral por somas de Riemann.
![[Solução] cálculo com geometria leithold](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/soluoclculocomgeometria-leitholdvol-150224102157-conversion-gate01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Livro de ..calculo 3
- 1. Sumário Aula 1: IntegraisDuplas 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14 1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19 1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30 Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34 2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
- 2. ATIVIDADES . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46 Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52 3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60 Aula 4: Integrais triplas 63 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64 4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68 4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81
- 3. Aula 5: Mudançade Variáveis em Integrais tríplas 83 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84 5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104 Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110 6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120 Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 123 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2 Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128 7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130 7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133
- 4. 7.7 Conclusão . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143 Aula 8: Integrais de Superfícies 145 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.2 Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 Área de Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Superfícies de Casca Fina em R3 . . . . . . . . . . . . . . 151 8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155 8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165 Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3 Teorema de Green 9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175 9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178 9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183 9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
- 5. PRÓXIMA AULA .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188 Aula 10: Teorema de Divergência 189 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194 10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196 10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203
- 7. AULA Integrais Duplas META: Apresentar integraisduplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em R2 . Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. 1
- 8. Integrais Duplas 1.1 Introdução Caros alunosiniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas aulas. 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares Começamos por considerar uma função f definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formalmente f : [a, b]×[c, d] → R. Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, consideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d} onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 < · · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn . Desta forma cada um dos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] pequenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ 12
- 9. Cálculo III AULA 1 Figura 1.1:Partição de R = [a, b] × [c, d] j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada por ∆Ajk = ∆xj ∆yk . Como tanto ∆xj quanto ∆yk são diferentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ), que corresponde a maior área entre todos os 1≤j≤m 1≤k≤n pequeno retângulo. Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: m n Smn = f (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, y) sobre o retângulo R, denotada f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R def f (x, y)dxdy = lim Smn R BIOGRAFIA Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia |P |→0 13
- 10. Integrais Duplas Figura 1.2:Soma de Riemann para f (x, y) em R = [a, b] × [c, d] 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente 0 , (x, y) ∈ D / F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios retangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por 14
- 11. Cálculo III AULA P =P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições 1 P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ) 1≤j≤m 1≤k≤n onde ∆Ajk = ∆xj ∆yk , ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 . Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida F (x, y): m n Smn = F (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denof (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: tada D def f (x, y)dxdy = lim Smn D |P |→0 Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retângulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk ) = 0. 1.4 Interpretação Geométrica Quando a função f (x, y) é positiva na região R, como a da (Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y) e quanto maior for o refinamento da partição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar f (x, y)dxdy como o volume do prisma sólido a integral dupla R 15
- 12. Integrais Duplas Figura 1.3:Partição para F (x, y) em R = [a, b] × [c, d] reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y). 1.5 Integrais Iteradas Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o volume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos f (x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no 16
- 13. Cálculo III AULA 1 Figura 1.4:A(x), x fixo, integramos em relação a y volume do citado prisma. b V = A(x)dx a Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva f (x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como d f (x, y)dy. vimos em Cálculo I A(x) = c O volume do prisma pode ser então escrito como: b d V = f (x, y)dy dx a c . Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no volume do citado prisma. 17
- 14. Integrais Duplas Figura 1.5:A(y), y fixo, integramos em relação a x d A(y)dy V = c b Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) = f (x, y)dx. a O volume do prisma pode ser então escrito como: d b V = f (x, y)dx dy c a . Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que: b d d b f (x, y)dx dy = c a f (x, y)dy dx a c ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não altera o resultado final da integração dupla em domínios retangulares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas. 18
- 15. AULA Cálculo III 1.6 Propriedades dasIntegrais Duplas 1 Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy D D Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy D Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ 0 D Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ D g(x, y)dxdy D Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um 19
- 16. Integrais Duplas número finitode curvas em R2 , então vale: f (x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + A f (x, y)dxdy B OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral dupla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 1.7 Alguns Exemplos Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta. Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto f (x, y)dxdy primeiramente integramos na va- é, na integral R f (x, y)dydx riável x e depois na variável y. Já na integral R primeiramente integramos na variável y e depois na variável x. Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla sobre domínios retangulares. A saber: Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig. 1.6) dada por f (x, y) = exp(−x − y) e determine a integral dupla f (x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ I = R 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}. 20
- 17. Cálculo III AULA 1 Figura 1.6:Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = exp(−x − y) SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: 1 1 exp(−x − y)dxdy I= 0 0 Lembrando que: exp(−x − y) = exp(−x) exp(−y) temos: 1 1 exp(−x) exp(−y)dxdy I= 0 0 Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y como uma constante: 1 − exp(−x) I= 0 1 0 exp(−y)dy Substituindo os limites de integração temos: 1 (− exp(−1) − (− exp(−0))) exp(−y)dy I= 0 Efetuando os cálculos temos: 1 (1 − exp(−1)) exp(−y)dy I= 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável: I = (1 − exp(−1)) − exp(−y) 1 0 Substituindo os limites de integração temos: I = (1 − exp(−1)) (− exp(−1) − (− exp(−0))) Efetuando os cálculos temos: 21
- 18. Integrais Duplas I =(1 − exp(−1))2 OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg- 22
- 19. Cálculo III AULA mento dereta AB através da região D. O limite inferior para a 1 variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) f (x, y)dydx f (x, y)dxdy = D a a(x) Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig. 1.8) dada por f (x, y) = y(3x − x2 − y) e determine a integral duf (x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das pla I = R curvas y = 0 e y = 3x − x2 . Figura 1.8: Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = x.y SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x − x2 (Fig. 1.9). Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e b(x) = 3x − x2 . 23
- 20. Integrais Duplas Figura 1.9:Limites para o domínio D A integral passa a ser escrita como: 3x−x2 3 I= y(3x − x2 − y)dydx f (x, y)dxdy = 0 0 Operando no integrando fazendo o produto por y temos: 3x−x2 3 (y(3x − x2 ) − y 2 )dydx I= 0 0 Passo 3 efetuando a integração em y temos: 3 2 y y 3 3x−x2 I= ( (3x − x2 ) − ) dx 2 3 0 0 Substituindo os limit3es de integração temos: 3 (3x − x2 )2 (3x − x2 )3 I= ( (3x − x2 ) − )dx 2 3 0 Efetuando as simplificações teremos: 3 (3x − x2 )3 I= dx 6 0 Expandindo o binômio de Newton temos: 1 3 I= (27x3 − 27x4 + 9x5 − x6 )dx 6 0 Passo 4 efetuando a integração em x temos: 1 x4 x5 x6 x7 3 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 0 Substituindo os limit3es de integração temos: 1 34 35 36 37 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos: 24
- 21. Cálculo III I= 1.8 AULA 1 729 280 Conclusão Na aulade hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. RESUMO No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos: Integração Dupla: Domínios retangulares Considerando uma função f : R → R onde R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2 . Podemos cobri-lo com uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xn = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , ym = d} são partições dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A malha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj ∆yk onde ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] respectivamente. Defini-se a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ). Toma-se um ponto (ξj , ζk ) ∈ 1≤j≤n 1≤k≤m 25
- 22. Integrais Duplas [xj−1 ,xj ] × [yk−1 , yk ] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte soma de Riemann: n m Snm = f (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, ) sobre o retângulo R, denotada f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R def f (x, y)dxdy = lim Snm |P |→0 R Integração Dupla: Domínios não Retangulares Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente 0 , (x, y) ∈ D / F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral dupla de uma função f (x, y) em um domínio não retangular D por: def f (x, y)dxdy = lim Smn D onde: Smn = m j=1 |P |→0 n k=1 F (ξj , ζk )∆Ajk . é a soma de Riemann para F (x, y) Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = 26
- 23. Cálculo III AULA [a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram 1 o valor da integral dupla, que pode ser representada por: d b b d f (x, y)dy dx f (x, y)dx dy = c a a c . Propriedades das Integrais Duplas As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y)dxdy = c D f (x, y)dxdy D Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy D Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ 0 D 27
- 24. Integrais Duplas Propriedade 4Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ D g(x, y)dxdy D Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de curvas em R2 , então vale: f (x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + A f (x, y)dxdy B Determinação dos Limites de Integração Para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes passos: Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). 28
- 25. Cálculo III AULA Passo 4Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na 1 direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) f (x, y)dxdy = D f (x, y)dydx a a(x) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples. ATIVIDADES Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais duplas. ATIV. 1.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por f (x, y) = 29
- 26. Integrais Duplas x2 +y 2 . Determine a integral dupla f (x, y)dxdy. R Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 , onde D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }. • Determine os limites da integral dupla f (x, y)dxdy, D • esboce a região de integração e • calcule a integral dupla f (x, y)dxdy. D Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 30
- 27. Cálculo III 2003. AULA 1 KAPLAN, Wilfred,Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 31
- 29. AULA Mudança de Variáveisem Integrais Duplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2 . Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 utilizando mudança de variáveis. Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 em coordenadas polares. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01. 2
- 30. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas 2.1 Introdução Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As f (x, y)dxdy, dada a natureza ou de vezes, na integral dupla HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais duplas foi primeiro proposto por Euler quando ele desenvolveu a noção de integral dupla em 1769. Usado por Legendre, Laplace e Gauss, foi primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890. D f (x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas cartesianas. 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em integrais simples. Considere uma função f : [a, b] → R. A idéia é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relacionadas por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que podemos inverter a mudança de variáveis. Seja F (x) uma anti-derivada de f (x) tal que F (x) = f (x). Então, da regra da cadeia temos: d F (g(ξ)) = F (g(ξ))g (ξ) = f (g(ξ))g (ξ). dξ Integrando com respeito a ξ temos: d F (g(ξ))dξ = f (g(ξ))g (ξ)dξ dξ Das propriedades da integral temos: F (g(ξ)) + C = f (g(ξ))g (ξ)dξ Como x = g(ξ) temos: F (x) + C = 34 f (g(ξ))g (ξ)dξ
- 31. Cálculo III AULA Como F(x) é uma primitiva de f (x) a primeira expressão é a in- 2 tegral indefinida de f (x) com respeito a x e temos: f (x)dx = f (g(ξ))g (ξ)dξ Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples. Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então: d b f (g(ξ))g (ξ)dξ f (x)dx = c a A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g (ξ) < 0) pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da segunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste caso, usando as propriedades da integral simples temos: b c f (x)dx = − f (g(ξ))g (ξ)dξ a d De outra forma escrevemos: b c f (x)dx = a f (g(ξ))|g (ξ)|dξ. d e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expressão acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas. f (x, y)dxdy sobre Para isto, consideremos a integral dupla D uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do domínio D do plano (u, v) (podemos expressar este fato como D = T (D )). Mais especificamente podemos escrever: x = x(u, v) ˆ e y = y (u, v) tomando uma partição para o domínio D no plano ˆ OBSERVAÇÃO heurística heu.rís.ti.ca sf (gr heuristiké) 1 Ciência ou arte do procedimento heurístico. 2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios. 3 Ramo da ciência histórica que consiste na pesquisa dos documentos do passado. (u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transformação T podemos levar o pequeno retângulo Ajk na pequena figura 35
- 32. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas plana Ajk = T (Ajk ) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno retângulo no plano (u, v) é ∆Ajk a área da pequena figura Ajk no plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro∂T ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores ∆vk ∂v ∂T e ∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto∂u res). Do calculo vetorial temos: ∂T ∂x ˆ ∂y ˆ ∆uj = ∆uj i + ∆uj j + 0k. ∂u ∂u ∂u ∂T ∂x ˆ ∂y ˆ ∆vk = ∆vk i + ∆vk j + 0k ∂v ∂v ∂v Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto vetorial: ∂T ∂T ∆uj × ∆vk . ∂u ∂v Fazendo o cálculo do produto vetorial temos: ∆Ajk = i j k ∂x ˆ ∂y ˆ ∂T ∂T ∆uj × ∆vk = det ∂u ∆uj ∂u ∆uj 0 ∂u ∂v ∂x ∂y ˆ ˆ ∆vk ∆vk 0 ∂v ∂v Fazendo os cálculos temos: ∂T ∂T ∂x ∂y ∂x ∂y ˆ ˆ ˆ ˆ ∆uj × ∆vk = − ∆uj ∆vk k. ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk , temos: ˆ ˆ ∂x ∂y ∂x ∂y ˆ ˆ − ∆uj ∆vk . ∆Ajk ≈ ∂u ∂v ∂v ∂u A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix 2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = x(u, v) e ˆ y = y (u, v) e denotado: ˆ ∂x ∂y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂(x, y) ∂x ∂y ∂x ∂y = det ∂u ∂u = − . ∂x ∂y ˆ ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Como a área do pequeno retângulo Ajk é dada por ∆Ajk = ∆uj ∆vk temos: ∆Ajk ≈ 36 ∂(x, y) ∆Ajk . ∂(u, v)
- 33. Cálculo III AULA 2 Figura 2.1:Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y) O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de variáveis em integrais duplas: ∂(x, y) dudv. ∂(u, v) D D Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela f (x, y)dxdy = f (ˆ(u, v), y (u, v)) x ˆ transformação (x, y) = T (u, v). OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = ˆ r cos(ϑ) e y = (r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por: y ˆ ∂x ∂y ˆ ˆ cos(ϑ) sin(ϑ) ∂(x, y) ∂r ∂r = r. = det ∂ x ∂ y = det ˆ ˆ ∂(r, ϑ) −r sin(ϑ) r cos(ϑ) ∂ϑ ∂ϑ ∂(x, y) Portanto o jacobiano da transformação = r a mudança de ∂(r, ϑ) variáveis na integral dupla toma a forma: f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. 37
- 34. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (diNOTA reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando Por convenção a medida de ângulo tem sinal positivo quando o deslocamento é feito na direção anti-horária, direção contrária ao movimento dos ponteiros do relógio e tem sinal negativo quando o deslocamento é feito na direção horária, direção do movimento dos ponteiros do relógio. Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio r (ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: β β(ϑ) f (x, y)dxdy = D 38 f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α α(ϑ)
- 35. AULA Cálculo III 2.3 2 Alguns Exemplos Carosalunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos apenas de exemplos em coordenadas polares. f (x, y)dxdy onde Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla D D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y 2 ≤ 1} e f (x, y) = exp(−x2 − y 2 ). O domínio da função representa um quarto de disco (Fig 2.4). Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla π em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β = , 2 α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1. Neste caso podemos descrever o domínio como: D = {(r, ϑ) ∈ R2 |0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e 39
- 36. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1 ∂(x, y) = r. ∂(r, ϑ) Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de o módulo do jacobiano da transformação é dado por: ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como: 1 I= π/2 f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs0 0 tituindo f (x, y) temos: 1 π/2 exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2 )rdϑdr I= 0 0 Efetuando as simplificações temos: 1 π/2 exp(−r2 )rdϑdr I= 0 0 Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o integrando não depende de ϑ temos: 1 exp(−r2 )ϑ I= 0 π/2 0 rdr Substituindo os limites de integração temos: 1 exp(−r2 )rdr I = π/2 0 Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mudança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr 1 1 1 ou seja rdr = − dξ e os limites r eξ . Daí, a integral 0 0 2 40
- 37. Cálculo III 2 passará aforma: 1 I = π/4 AULA exp(−ξ)dξ 0 Cuja integração é fácil e da forma: I = π/4 − exp(−ξ) 1 0 Efetuando os cálculo temos: π I = (1 − exp(−1)) 4 Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata. Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemniscata, r = cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte cinza da (Fig 2.6). Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0, 41
- 38. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas β= π , α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 4 cos(2ϑ). Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2 Neste caso podemos descrever o domínio como: D = {(r, ϑ) ∈ R2 |0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤ cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo, queremos calcular área temos que f (x, y) = 1 e em coordenadas polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla: √ cos(2ϑ) π/4 A= rdrdϑ dxdy = D 0 0 Integrando em r temos: √ π/4 2 cos(2ϑ) r A= dϑ 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 2 π/4 cos(2ϑ) dϑ A= 2 0 Simplificando o integrando temos: π/4 cos(2ϑ) A= dϑ 2 0 Integrando na variável ϑ temos: sin(2ϑ) π/4 A= 4 0 Substituindo os limites de integração temos: sin(π/2) − sin(0) A= 4 Portanto: 1 A= 4 42
- 39. Cálculo III AULA 2 OBS 2.3.Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revisão cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples. 2.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas, como a induzida pelas coordenadas polares. RESUMO No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja transformado no domínio D do plano (u, v) (D = T (D )) e mais especificamente x = x(u, v) e y = y (u, v). ˆ ˆ ∂(x, y) Definindo o jacobiano da transformação, denotado , por: ∂(u, v) ˆ ∂x ∂y ˆ ∂(x, y) ˆ ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂x ∂y = det ∂u ∂u = − . ∂x ∂y ˆ ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en integrais duplas: 43
- 40. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas f (ˆ(u, v), y (u, v)) x ˆ f (x, y)dxdy = D D ∂(x, y) dudv. ∂(u, v) Sistema de Coordenadas Polares Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no cálculo de integrais duplas temos: (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = r cos(ϑ) e ˆ y = y (r, ϑ) = r sin(ϑ). ˆ Vale a seguinte transformação de variáveis: f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D Determinação dos Limites de Integração em Coordenadas Polares Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (direção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio 44
- 41. Cálculo III AULA r (ϑ)através de D o limite inferior para a variável r será a função 2 α(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: β β(ϑ) f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α α(ϑ) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus momentos de inércia. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões. ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 + cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. 45
- 42. Mudança de Variáveisem Integrais Duplas Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2 LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 46
- 43. AULA Algumas Aplicações da IntegralDupla META: Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02. 3
- 44. Algumas Aplicações daIntegral Dupla 3.1 Introdução Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as integrais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade. Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET 3.2 Preliminares Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) (x, y), ∀(x, y) ∈ D. Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y) R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ ∈ (x, y) , (x, y) ∈ D y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) = . 0 , (x, y) ∈ D / Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: m n Smn = Φ(ξj , ζk )∆Ajk . j=1 k=1 48
- 45. Cálculo III AULA A massada região D, denotada m(D), será a integral dupla da fun- 3 ção (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denotada (x, y)dxdy D será então definida como o seguinte limite: def (x, y)dxdy = lim Smn m(D) = |P |→0 D . OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: m n Smn = g(ξj , ζk )Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 onde g(ξj , ζk ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk ). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla: def p(D) = g(x, y) (x, y)dxdy = lim Smn |P |→0 D . Determinação do Momento de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D limitada com distribuição de densidade (x, y). Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n Smn = ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 . O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada 49
- 46. Algumas Aplicações daIntegral Dupla pelo limite: def x (x, y)dxdy = lim Smn My (D) = |P |→0 D . De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n Smn = ζk Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 . O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: def Mx (D) = y (x, y)dxdy = lim Smn D |P |→0 . Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (¯, y ) definido por: x ¯ x= ¯ My (D) = m(d) x (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D Mx (D) y= ¯ = m(d) y (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D Determinação do Momento de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa 50
- 47. Cálculo III AULA de umaregião D limitada com distribuição de densidade (x, y). 3 Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com 2 relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n 2 ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk Smn = j=1 k=1 . O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite: def x2 (x, y)dxdy = lim Smn Iy (D) = |P |→0 D . De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n 2 ζk Φ(ξj , ζk )∆Ajk Smn = j=1 k=1 . O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: def y 2 (x, y)dxdy = lim Smn Ix (D) = D |P |→0 . O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla: 51
- 48. Algumas Aplicações daIntegral Dupla (x2 + y 2 ) (x, y)dxdy I0 (D) = D . 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares. Vamos aos nossos exemplos. Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e (b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa é constante (x, y) = . Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1 52
- 49. AULA Cálculo III 3 SOLUÇÃO: Começaremos pordeterminar os limites de integração inspeciox nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b 1 − . a Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: a m(D) = b(1−x/a) (x, y)dxdy = dydx 0 D 0 Integrando em y temos: a m(D) = b(1−x/a) y 0 0 dx Substituindo os limites de integração temos: a x m(D) = b 1 − dx a 0 Integrando em x temos: x2 a m(D) = b x − 2a 0 Substituindo os limites de integração temos: a2 m(D) = b a − 2a Simplificando temos: ab m(D) = 2 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Mx (D) = (x, y)ydxdy D Substituindo os limites temos: a Mx (D) = b(1−x/a) (x, y)ydxdy = D ydydx 0 0 Integrando em y teremos: a y 2 b(1−x/a) dx Mx (D) = 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: a (b(1 − x/a))2 Mx (D) = dx 2 0 Simplificando o integrando temos: 53
- 50. Algumas Aplicações daIntegral Dupla a b2 b2 x b2 x2 dx − + 2 a 2a2 0 Integrando em x teremos: b2 x b2 x2 b2 x3 a Mx (D) = − + 2 2a 6a2 0 Substituindo os limites de integração temos: b2 a b2 a2 b2 a3 Mx (D) = − + 2 2a 6a2 Simplificando as frações temos: b2 a Mx (D) = 6 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral Mx (D) = dupla: My (D) = (x, y)xdxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D Substituindo os limites temos: a My (D) = b(1−x/a) (x, y)xdxdy = D xdydx 0 0 Integrando em y teremos: a b(1−x/a) xy My (D) = 0 0 dx Substituindo os limites de integração temos: a x My (D) = bx 1 − dx a 0 Integrando em x teremos: x2 x3 a My (D) = b − 2 3a 0 Substituindo os limites de integração temos: a3 a2 − My (D) = b 2 3a Simplificando as frações temos: ba2 My (D) = 6 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x= ¯ ey= ¯ . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos: 54
- 51. Cálculo III ba2 b2 a x=6 ey= 6 ¯ ¯ ab ab 2 2 Simplificando temos: a b x= ey= ¯ ¯ 3 3 AULA 3 Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos. Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa circular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é constante (x, y) = . Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente. 55
- 52. Algumas Aplicações daIntegral Dupla Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: π/2 m(D) = b (x, y)dxdy = D rdrdϑ 0 a Integrando em r temos: π/2 r2 b m(D) = dϑ 2 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b2 a2 m(D) = dϑ − 2 2 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b2 a2 m(D) = − ϑ 2 2 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 π(b2 − a2 ) m(D) = 4 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Mx (D) = (x, y)ydxdy D Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: π/2 Mx (D) = b (x, y)ydxdy = D r sin(ϑ)rdrdϑ 0 a Integrando em r temos: π/2 r3 b dϑ 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b3 a3 − dϑ Mx (D) = sin(ϑ) 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3 Mx (D) = − (− cos(ϑ)) 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3 Mx (D) = − (− cos(π/2) − − cos(0)) 3 3 Simplificando temos: 1 3 Mx (D) = (b − a3 ) 3 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral Mx (D) = dupla: 56 sin(ϑ)
- 53. AULA Cálculo III My (D)= 3 (x, y)xdxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: π/2 b r cos(ϑ)rdrdϑ (x, y)ydxdy = Mx (D) = 0 D a Integrando em r temos: π/2 r3 b dϑ 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b3 a3 Mx (D) = cos(ϑ) − dϑ 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3 − (sin(ϑ)) Mx (D) = 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3 − (sin(π/2) − sin(0)) Mx (D) = 3 3 Simplificando temos: 1 3 Mx (D) = (b − a3 ) 3 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x= ¯ ey= ¯ . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos: 1 3 (b − a3 ) 3 x=y= ¯ ¯ 1 π(b2 − a2 ) 4 Levando em conta que b3 − a3 = (b − a)(b2 + ba + a2 ) e b2 − a2 = Mx (D) = cos(ϑ) (b − a)(b + a) temos: 1 (b − a)(b2 + ba + a2 ) 3 x=y= ¯ ¯ 1 π(b − a)(b + a) 4 Simplificando temos: 4 b2 + ba + a2 x=y= ¯ ¯ . 3π b+a 57
- 54. Algumas Aplicações daIntegral Dupla 3.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o momento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade. RESUMO Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia Dada uma região D ∈ R2 plana limitada com distribuição de densidade superficial (x, y) podemos calcular a massa de D, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(D), Mx (D), My (D), Ix (D), Iy (D) e I0 (D), pelas integrais duplas: m(D) = (x, y)dxdy D Mx (D) = (x, y)ydxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D (x, y)y 2 dxdy Ix (D) = D 58
- 55. Cálculo III (x, y)x2dxdy e Iy (D) = AULA 3 D (x, y)(x2 + y 2 )dxdy I0 (D) = D Centro de Massa Podemos também calcular o centro de massa, denotado (¯, y ) usando x ¯ as seguintes fórmulas: My (D) x= ¯ = m(d) x (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D y= ¯ Mx (D) = m(d) y (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeiramente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados. ATIVIDADES Deixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa. ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as 59
- 56. Algumas Aplicações daIntegral Dupla Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2 demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas cartesianas. ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo semi-círculo superior x2 + y 2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas polares. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. 60
- 57. Cálculo III AULA THOMAS, GeorgeB., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 3 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 61
- 59. AULA Integrais triplas META: Apresentar integraistriplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. 4
- 60. Integrais triplas 4.1 Introdução Caros alunosa quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada HISTÓRIA A primeira técnica sistemática documentada para o cálculo de integrais triplas no cálculo de volume foi o método da exaustão de Eudoxus cerca de 370AC. O maior avanço no cálculo de integrais triplas veio do Iraque, no século 11, na figura de Ibn AL-Haythan (conhecido na Europa por Alhazen ). Enquanto resolvia o que ficou conhecido como “Problema de Alhazen” (um problema de ótica) ele calculou o volume de um parabolsóide usando um método de indução. Wikipédia. por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. As características e detalhes próprios das integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas três aulas. 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais Começamos por considerar uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R. Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f } onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Desta forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1 , xi ], Jj = 64
- 61. Cálculo III AULA [yj−1 ,yj ] e Kk = [zk−1 , zk ] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1 , 4 ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . Como tanto ∆xi quanto ∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ), que corresponde 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos. Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre domínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: l m n Slmn = φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada R guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn R |P |→0 65
- 62. Integrais triplas 4.3 Integração Tripla:Domínios Não Paralelepípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 → R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D . Formalque D ⊂ R e Φ(x, y, z) = 0 , (x, y, z) ∈ D / mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ) onde ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk , 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida Φ(x, y, z): l m n Slmn = Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 66
- 63. Cálculo III AULA A integraltripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 , 4 φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada D guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . |P |→0 D Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio D ⊂ R3 , contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi , ζj , ηk ) = 0. 4.4 Interpretação Geométrica Quando a função φ : D ⊂ R3 → R é constante e igual a um (φ(x, y, z) = 1, ∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada, vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla dxdydz como o volume da região D ⊂ R3 . D 4.5 Integrais Iteradas Dada uma função φ : R → R onde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], do mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas: b d f φ(x, y, z)dxdydz = 1. R φ(x, y, z)dz dy dx a c b e f d φ(x, y, z)dxdydz = 2. R φ(x, y, z)dy dz dx a e c 67
- 64. Integrais triplas d b f φ(x, y,z)dxdydz = 3. R φ(x, y, z)dz dx dy c a d e f b φ(x, y, z)dxdydz = 4. R φ(x, y, z)dx dz dy c e f a d b φ(x, y, z)dx dy dz φ(x, y, z)dxdydz = 5. e R c f a b d φ(x, y, z)dy dx dz φ(x, y, z)dxdydz = 6. R e a c Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é paralelepipedal a ordem de integração não importa. 4.6 Propriedades das Integrais Triplas Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y, z)dxdydz = c D f (x, y, z)dxdydz D Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz D + g(x, y, z)dxdydz D 68
- 65. Cálculo III AULA Propriedade 4.3.Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores 4 reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ g(x, y, z)dxdydz D D Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale: f (x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz A + f (x, y, z)dxdydz B OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral tripla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 4.7 Exemplos Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar 69
- 66. Integrais triplas que ana prática uma integral tripla equivale a três integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variáveis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral f (x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x, R depois na variável y e por último na variável z. Já na integral f (x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z, R depois na variável y e por último na variável x. Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 e determine a integral tripla f (x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ I= R x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}. SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: 1 1 1 (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz I= 0 0 0 Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e z como constantes: 1 1 x3 I= + y 2 x + z 2 x dydz 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 13 03 I= − + y 2 (1 − 0) + z 2 (1 − 0) dydz 3 3 0 0 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 I= + y 2 + z 2 dy 3 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x como constante: 70
- 67. Cálculo III 1 1 1 y3 y+ + z2y dz 3 3 0 0 Substituindoos limites de integração temos: 1 1 13 03 I= (1 − 0) + − + z 2 (1 − 0) dz 3 3 3 0 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 + + z 2 dz I= 3 3 0 Passo 4 último passo, integraremos na variável z: 1 1 z3 1 I= z+ z+ 3 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 13 03 I= (1 − 0) + (1 − 0) + − 3 3 3 3 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 I= + + =1 3 3 3 I= AULA 4 Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região 71
- 68. Integrais triplas D, bemcomo a sombra projetada no plano xy por D, denotada D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ . Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) b(x,y) f (x, y)dxdy = D 72 f (x, y, z)dzdydx a a(x) a(x,y)
- 69. AULA Cálculo III 4 Vamos diretamentepara um segundo exemplo de integral dupla sobre domínios não retangulares. A saber: Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 → R dada por f (x, y, z)dxdydz f (x, y) = xyz e determine a integral dupla D sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}, (Fig. 4.2). Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2 , x = 0 e z = 1 (Fig. 4.2). Usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2 , a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1. x2 1 1 I= xyzdzdydx 0 0 0 Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y 73
- 70. Integrais triplas e xcomo uma constante: 1 x2 z2 1 dydx I= xy 2 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 x2 12 02 xy − xy ) dydx I= 2 2 0 0 Efetuando os cálculos temos: 2 1 1 x xydydx I= 2 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x constante temos: 1 y 2 x2 I= x dx 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 (x2 )2 02 I= x −x dx 2 0 2 2 Efetuando os cálculos temos: 1 1 5 x dx I= 4 0 Integrando , finalmente , na variável x temos: 1 x6 1 I= 4 6 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 16 06 − I= 4 6 6 1 Efetuando os cálculos temos: I = 24 4.8 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por 74
- 71. Cálculo III AULA função positivaf (x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode 4 ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente pela a superfície descrita por uma função positiva f (x, y) e limitado inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem interpretação geométrica no caso simples em que f (x, y, z) = 1. Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada D ⊂ R3 . RESUMO Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max (∆Vijk ). 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n Toma-se um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: 75
- 72. Integrais triplas l m n Slmn = φ(ξi, ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada R guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn |P |→0 R Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 → R onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que ≤ φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D D ⊂ R e Φ(x, y, z) = . Formalmente 0 , (x, y, z) ∈ D / Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função φ(x, y, z). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não retangular D por: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn D onde Slmn = l i=1 m j=1 |P |→0 n k=1 Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk é a soma de Rie- mann para Φ(x, y, z. Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não 76
- 73. Cálculo III AULA alteram ovalor da integral tripla, que pode ser representada por: 4 b d f φ(x, y, z)dz dy dx φ(x, y, z)dxdydz = 1. a R c b e f d φ(x, y, z)dy dz dx φ(x, y, z)dxdydz = 2. a R e d c b f φ(x, y, z)dxdydz = 3. R φ(x, y, z)dz dx dy c a d e f b φ(x, y, z)dxdydz = 4. R φ(x, y, z)dx dz dy c e f a d b φ(x, y, z)dxdydz = 5. R φ(x, y, z)dx dy dz e c f a b d φ(x, y, z)dxdydz = 6. R φ(x, y, z)dy dx dz e a c Propriedades das Integrais triplas As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y, z)dxdydz = c D f (x, y, z)dxdydz D Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz D + g(x, y, z)dxdydz D 77
- 74. Integrais triplas Propriedade 3Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ D g(x, y, z)dxdydz D Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale: f (x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz A + f (x, y, z)dxdydz B Determinação dos Limites de Integração para Integrais Triplas Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada 78
- 75. Cálculo III AULA D∗ eidentificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior 4 e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ . Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. 79
- 76. Integrais triplas Nossa integralserá efetuada assim: b b(x) b(x,y) f (x, y)dxdy = D f (x, y, z)dzdydx a a(x) a(x,y) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples. ATIVIDADES Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais tríplas. ATIV. 4.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Determine a integral tripla: f (x, y, z)dxdydz. R Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 → R dada por f (x, y, z) = 1, onde D = {(x, y, z) ∈ R3 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 − x2 }. 80
- 77. Cálculo III AULA 4 • Esbocea região de integração • Determine os limites da integral tripla: f (x, y, z)dxdydz D • Calcule a integral tripla f (x, y, z)dxdydz. D Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 81
- 79. AULA Mudança de Variáveis emIntegrais tríplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 utilizando mudança de variáveis. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3 , de coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais triplas aula 04. 5
- 80. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas 5.1 Introdução Caros alunos o problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas. Analogias a parte, o fato de do espaço R3 ter uma dimensão a mais que o R2 , traz um esforço algébrico adicional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integrais HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais tríplas foi primeiro proposto por Lagrange em 1773 e usado por Legendre, Laplace e Gauss, e primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890. triplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla que correspondem aos: sistemas de coordenadas cilíndricos e sistema de coordenadas esféricos. 5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Vamos considerar a integração de uma função f : D ⊂ R3 → R onde (x, y, z) ∈ D e conseqüentemente, ∀(x, y, z) ∈ D temos f (x, y, z) ∈ R. Consideraremos também, uma transformação T : D ⊂ R3 → D ⊂ R3 , biunívoca de modo que D = T −1 (D ), ∀(u, v, w) ∈ D , (x, y, z) = T −1 (u, v, w) ∈ D. Trocando em miúdos: x = x(u, v, w), y = y (u, v, w) e z = z (u, v, w). E suponhamos ˆ ˆ ˆ as funções contínuas e deriváveis e seu ∂(x, y, z) x, y, z ou : finido por: J u, v, w ∂(u, v, w) ∂x ˆ ∂u ∂x ∂(x, y, z) x, y, z ˆ J = = det ∂v u, v, w ∂(u, v, w) ∂x ˆ ∂w jacobiano, denotado J, de- ∂y ˆ ∂u ∂y ˆ ∂v ∂y ˆ ∂w ∂z ˆ ∂u ∂z ˆ ∂v ∂z ˆ ∂w . Suponhamos uma partição de D feita partindo de planos paralelos aos planos coordenados vw (u constante), uw (v constante) e uv (w constante). Denotando ui+1 = ui + ∆ui , vj+1 = vj + ∆vj e 84
- 81. Cálculo III AULA wk+1 =wk + ∆wk , destacamos o pequeno paralelepípedo indexado 5 por ijk, (Fig 5.1). Suponhamos que Figura 5.1: Elemento de vo- Figura 5.2: Elemento de vo- lume em D lume em D este pequeno paralelepípedo de volume ∆Vijk = ∆ui ∆vj ∆wk seja mapeado por T −1 em um subdomínio em D de volume ∆Vijk (Fig 5.2). Seja: P = P (u, v, w) = (ˆ(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). x ˆ ˆ Os segmentos de reta (u, vj , wk ), (ui , v, wk ) e (ui , vj , w) começando no ponto (ui , vj , wk ) são mapeados por T −1 em P (u, vj , wk ) P (ui , v, wk ) P (ui , vj , w) ver (Fig 5.2). ∂P No subdomínio Vijk ⊂ D traçamos os vetores tangentes ∆ui , ∂u ∂P ∂P ∆vj e ∆wk , ver (Fig 5.3). Em seguida traçamos segmentos ∂v ∂w de reta paralelos aos vetores tangentes completando um paralelepípedo em D, ver (Fig 5.4), cujo volume admitiremos aproximadamente igual ao ∆Vijk (esta é a argumentação heurística). Este volume é dado por: ∆Vijk ≈ ∂P ∂P ∂P ∆ui × ∆vj • ∆wk . ∂u ∂v ∂w 85
- 82. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Levando em conta que: ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂u ∂u ∂u ∂u ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂v ∂v ∂v ∂v ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂w ∂w ∂w ∂w e calculando o produto vetorial mixto teremos: Figura 5.3: Elemento de vo- Figura 5.4: Elemento de vo- lume em D lume em D ∂P ∂P ∂P ∆ui × ∆vj • ∆wk = det ∂u ∂v ∂w ∂x ˆ ∂u ∂x ˆ ∂v ∂x ˆ ∂w ∂y ˆ ∂u ∂y ˆ ∂v ∂y ˆ ∂w ∂z ˆ ∂u ∂z ˆ ∂v ∂z ˆ ∂w ∆ui ∆vj ∆wk Daí, levando em conta a expressão do jacobiano em R3 , dada acima, temos: ∆Vijk ≈ ∂(ˆ, y , z ) x ˆ ˆ ∆ui ∆vj ∆wk ∂(u, v, w) O que nos leva à seguinte expressão para a mudança de variáveis em integrais triplas: F (u, v, w) |J| dudvdw f (x, y, z)dxdydz = D 86 D
- 83. Cálculo III onde: F(u, v, w) = f (ˆ(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) e J é o jacox ˆ ˆ x, y , z ˆ ˆ ˆ . biano J = J u, v, w 5.3 AULA 5 Alguns Exemplos Nesta seção veremos dois exemplos de integrais triplas com mudança de variáveis. No primeiro aplicaremos a mudança de variáveis dada pelo sistema de coordenadas cilíndricas e no segundo o sistema de coordenadas esféricas Primeiramente veremos um exemplo em coordenadas cilíndricas. Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Figura 5.5: Coordenadas ci- Figura 5.6: Coordenadas ci- líndricas 1 líndricas 2 Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.5). Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6). 87
- 84. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ) para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)]. Figura 5.7: Coordenadas ci- Figura 5.8: Coordenadas ci- líndricas 3 líndricas 4 Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos 88
- 85. Cálculo III AULA em práticaa determinação dos limites de integração em coordena- 5 das cilíndricas. Exemplo 5.1. Considere o sólido gerado pela intersecção das superfícies: z = y + a, (plano) x2 + y 2 − 2ay = 0, (cilindro) e z = 0, (plano) (Fig 5.9) e determine seu volume. Figura 5.9: exemplo 1 Superfícies do Figura 5.10: Interseção das superfícies do exemplo 1 SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.10) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.11) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço. Usaremos para o caso o sistema de coordenadas cilíndricas, dada pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por: 89
- 86. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Figura 5.11: Domínio D para o exemplo 2 ∂x ˆ ∂r ∂x x, y, z ˆ = det J =J ∂ϑ r, ϑ, z ∂x ˆ ∂z Efetuando as derivadas parciais temos: cos(ϑ) ∂y ˆ ∂r ∂y ˆ ∂ϑ ∂y ˆ ∂z sin(ϑ) ∂z ˆ ∂r ∂z ˆ ∂ϑ ∂z ˆ ∂z 0 J = det −r sin(ϑ) r cos(ϑ) 0 0 0 1 Fazendo as contas do determinante temos: J =r Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos, vistos acima, para determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de coordenadas cilíndricas. Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), (ver Fig 5.10). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), conhecide com a superfície inferior do sólido, sendo o disco dado por x2 +y 2 −2ay ≤ 0. 90
- 87. Cálculo III AULA Passo 2:Os limites para r e ϑ são determinados em D∗ do mesmo 5 modo que para coordenadas polares em R2 . Neste caso 0 ≤ ϑ ≤ 2π e para r temos: que r vai de zero até a borda de D∗ que é dada por x2 + y 2 − 2ay = (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 − 2ar sin(ϑ) = 0. Daí, r2 − 2ar sin(ϑ) = r(r − 2a sin(ϑ)) = 0 Simplificando temos: 0 ≤ r ≤ 2a sin(ϑ). Passo 3: Para determinar os limites para z. Por cada par (r, ϑ) ∈ D∗ , traçamos uma reta paralela ao eixo z orientada no sentido positivo do eixo z atravessando o sólido. O limite inferior de z é o ponto onde a reta entra no sólido e o limite superior o ponto onde a reta sai do sólido. Neste caso: 0 ≤ z ≤ a + x ou como x = r cos(ϑ) temos: 0 ≤ z ≤ a + r cos(ϑ). Daí, o cálculo do volume de D será dado pela integral: 2π 2a sin(ϑ) a+r sin(ϑ) V ol(D) = rdzdrdϑ 0 0 0 Integrando na variável z temos: 2π 2a sin(ϑ) V ol(D) = a+r sin(ϑ) rz 0 0 drdϑ 0 Substituindo os limites de integração temos: 2π 2a sin(ϑ) r(a + r sin(ϑ) − 0)drdϑ V ol(D) = 0 0 Fazendo as contas temos: 2π 2a sin(ϑ) (ar + r2 sin(ϑ))drdϑ V ol(D) = 0 0 Integrando em na variável r temos: 2π V ol(D) = (a 0 r2 r3 + sin(ϑ)) 2 3 2a sin(ϑ) 0 dϑ 91
- 88. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Substituindo o limite superior pois, o limite inferior por ser r = 0 não contribui, temos: 2π V ol(D) = (a 0 (2a sin(ϑ))2 (2a sin(ϑ))3 + sin(ϑ))dϑ 2 3 Simplificando temos: 2π (2a3 sin2 (ϑ) + V ol(D) = 0 8a3 sin4 (ϑ) )dϑ 3 Reescrevendo temos: 2π sin2 (ϑ)dϑ + V ol(D) = 2a3 0 8a3 3 2π sin4 (ϑ)dϑ 0 Das tabelas de integrais temos: α sinn−1 (αu) cos(αu) an n−1 + sinn−2 (αu)du n u sin(2αu) − sin2 (αu)du = 2 4α sinn (αu)du = − Dai, temos: ϑ sin(2ϑ) − 2 4 sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 sin4 (ϑ)dϑ = − + 4 4 3 sin (ϑ) cos(ϑ) 3 = − + 4 4 sin2 (ϑ)dϑ = sin2 (ϑ)dϑ ϑ sin(2ϑ) − 2 4 Podemos agora calcular as integrais. Para a integral de sin2 (ϑ) temos: 2π ϑ sin(2ϑ) 2π − 2 4 0 2π sin(4π) = + − 2 4 0 sin(0) − + 2 4 = π sin2 (ϑ)dϑ = 0 92
- 89. AULA Cálculo III 5 Para aintegral de sin4 (ϑ) temos: 2π 2π sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 ϑ sin(2ϑ) + − 4 4 2 4 0 3 sin (2π) cos(2π) 3 2π sin(4π) = + − + − 4 4 2 4 3 sin (0) cos(0) 3 0 sin(0) − − + − 4 4 2 4 3π = 4 sin4 (ϑ)dϑ = 0 − Substituindo no cálculo de V ol(D) temos: V ol(D) = 2πa3 + 8a3 3π 3 4 = 4πa3 Em nosso segundo exemplo utilizaremos coordenadas esféricas, Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Figura 5.12: Coordenadas es- Figura 5.13: Coordenadas es- féricas 1 féricas 2 Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.12). 93
- 90. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar Figura 5.14: Coordenadas es- Figura 5.15: Coordenadas es- féricas 3 féricas 4 a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ 94
- 91. Cálculo III AULA com oeixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O 5 ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)]. Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos em prática a determinação dos limites de integração em coordenadas esféricas. Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das superfícies: z = x2 + y 2 (cone), z = a2 − x2 − y 2 (esfera)(Fig 5.16) e determine seu volume. Figura 5.16: exemplo 2 Superfícies de Figura 5.17: Interseção das superfícies de exemplo 2 SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço. 95
- 92. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Figura 5.18: Domínio D para o exemplo 2 Usaremos para o caso o sistema de coordenadas esféricas, dada pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J =J x, y, z r, ϑ, z ∂x ˆ ∂r ∂x ˆ = det ∂ϑ ∂x ˆ ∂ϕ ∂y ˆ ∂r ∂y ˆ ∂ϑ ∂y ˆ ∂ϕ ∂z ˆ ∂r ∂z ˆ ∂ϑ ∂z ˆ ∂ϕ Efetuando as derivadas parciais temos: cos(ϑ) cos(ϕ) sin(ϑ) cos(ϕ) sin(ϕ) J = det −r sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) 0 −r cos(ϑ) sin(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϕ) Fazendo as contas do determinante temos: J = r2 sin(ϕ) Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos na determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de 96
- 93. Cálculo III AULA 5 Figura 5.19:Domínio D para o exemplo 2 coordenadas esféricas expostos acima. Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), ver (Fig 5.19). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), é dada por x2 + y 2 ≤ a2 . Passo 2: Os limites para a variável ϑ são determinados em D∗ como em um sistema de coordenadas polares. No caso como D∗ é √ a temos que: 0 ≤ ϑ ≤ 2π. um disco de raio 2 Passo 3: Os limites para a variável ϕ são determinados em D do seguinte modo: para cada valor fixo de ϑ, em D∗ , cortamos o domínio D por um plano que passa no eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x. Traçamos uma reta M que passa na origem, pertence ao plano ϑ e atravessa o domínio D. O ângulo ϕ é o ângulo formado por M e o eixo z positivo. Para o caso o menor valor é ϕ = 0, quando M conhecide com o eixo Z e o maior valor de ϕ em D é quando M conhecide com a geratriz do cone z = x2 + y 2 e π ϕ= . 4 Passo 4: Os limites para a variável r são determinados em D 97
- 94. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas do seguinte modo: para cada par fixo ϑ, ϕ) percorremos a reta M partindo da origem. O limite inferior de r é o ponto onde a reta entra em D e o limite superior o ponto onde M sai de D. Para o nosso caso: 0 ≤ r ≤ a (a reta sai na superfície da esfera z= a2 − x2 − y 2 . Podemos determinar o volume de D pela integral tripla: 2π π/4 a r2 sin(ϕ)drdϕdϑ V ol(D) = 0 0 0 Integrando primeiramente na variável r temos: 2π π/4 V ol(D) = 0 0 r3 3 a 0 sin(ϕ)dϕdϑ Substituindo os limites de integração temos: 2π π/4 a3 03 − 3 3 V ol(D) = 0 0 sin(ϕ)dϕdϑ Simplificando temos: V ol(D) = a3 3 2π π/4 sin(ϕ)dϕdϑ 0 0 Integrando na variável ϕ temos: V ol(D) = a3 3 2π − cos(ϕ) 0 π/4 0 dϑ Substituindo os limites de integração temos: V ol(D) = a3 3 2π (− cos(π/4) + cos(0)) dϑ 0 Simplificando temos: √ a3 2 − 2 V ol(D) = 3 2 2π dϑ 0 Integrando na variável ϑ temos: √ a3 2 − 2 V ol(D) = ϑ 3 2 98 2π 0
- 95. AULA Cálculo III Substituindo oslimites de integração temos: 5 √ a3 2 − 2 V ol(D) = (2π − 0) 3 2 Finalmente, simplificando temos: πa3 (2 − V ol(D) = 3 5.4 √ 2) Conclusão Na aula de hoje, vimos que algumas vezes é conveniente fazer uma mudança nas variáveis de integração em uma integral tripla, para facilitar o cálculo da mesma. Vimos em particularmente duas mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos: sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esféricas. RESUMO Para o nosso resumo da aula 05 necessitamos algumas considerações iniciais para tratar da mudança de variáveis em integrais triplas. A saber: Consideramos a transformação (x, y, z) = T (u, v, w) tal que o domínio um ponto do domínio D ⊂ R3 , (x, y, z) seja transformado no ponto (u, v, w) do domínio D ⊂ R3 , (D = T (D )) e mais especificamente x = x(u, v, w), y = y (u, v, w) e z = z (u, v, w). Deˆ ˆ ˆ x, y, z ou finindo o jacobiano da transformação, denotado J, J u, v, w ∂(x, y, z) , por: ∂(u, v, w) 99
- 96. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas J ∂(x, y, z) = = det ∂(u, v, w) x, y, z u, v, w ∂y ˆ ∂u ∂y ˆ ∂v ∂y ˆ ∂w ∂x ˆ ∂u ∂x ˆ ∂v ∂x ˆ ∂w ∂z ˆ ∂u ∂z ˆ ∂v ∂z ˆ ∂w Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en integrais duplas: F (u, v, w) |J| dudvdw f (x, y, z)dxdydz = D D onde: F (u, v, w) = f (ˆ(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) e J é o jacox ˆ ˆ x, y , z ˆ ˆ ˆ biano J = J . u, v, w Sistema de Coordenadas Cilíndricas O sistema de coordenadas cilíndricas, dado pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por: J = r e a integral tripla pela expressão: f (x, y, z)dxdydz = D F (r, ϑ, z)rdzdrdϑ D onde: F (r, ϑ, z) = f (r cos(ϑ), r sin(ϑ)z) Sistema de Coordenadas esféricas O sistema de coordenadas esféricas, que é dado pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J = r2 sin(ϕ) e a integral tripla pela expressão: F (r, ϑ, ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdϑ f (x, y, z)dxdydz = D D onde: F (r, ϑ, ϕ) = f (r cos(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϕ)) 100
- 97. Cálculo III AULA 5 Determinação dosLimites para Integração em Coordenadas Cilíndricas Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas cilíndricas utiliza-se os seguintes passos: Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.5). Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ) para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)]. 101
- 98. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas Determinação dos Limites para Integração em Coordenadas Esféricas Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas esféricas utiliza-se os seguintes passos: Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.12). Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va- 102
- 99. Cálculo III AULA riável r∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo 5 ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)]. PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral tripla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa e momentos de inércia de sólidos gerados por intersecções de superfícies em R3 . ATIVIDADES Deixamos como atividades dois problemas envolvendo mudança de variáveis em integrais triplas. ATIV. 5.1. Determine o volume do sólido formado pela intersecção das superfícies z = 0, z = 1 + x2 + 3y 2 e x2 + y 2 = 1. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o primeiro exemplo e use o sistema de coordenadas cilíndricas. ATIV. 5.2. Seja D ⊂ R3 a região formada pela intersecção das superfícies z = 0 e x2 + yh2 + z 2 = 1 e f : R3 → R dada por 103
- 100. Mudança de Variáveisem Integrais tríplas f (x, y, z) = z. Determine a integral tripla f (x, y, z)dxdydz. D Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o segundo exemplo e use o sistema de coordenadas esféricas. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 104
- 101. AULA Algumas Aplicações das Integraistríplas META: Apresentar algumas aplicações das integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar o volume, o centro de massa momento de massa e o momento de inércia de alguns sólidos em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3 , coordenadas polares da disciplina Cálculo II, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas e integrais duplas aula 04 e aula 05. 6
- 102. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas 6.1 Introdução Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como calcular a massa de uma região D ⊂ R3 dada sua distribuição de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais chegaremos lá. 6.2 Preliminares Consideraremos uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribuição de densidade (massa por unidade de volume) : D → R+ i.e. (x, y, z) > 0, ∀(x, y, z) ∈ D. Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) = (x, y, z) , (x, y, z) ∈ D . Considerando a uma partição para 0 , (x, y, z) ∈ D / o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b},x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d}, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }, z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte 106
- 103. AULA Cálculo III 6 soma deRiemann: l m n Slmn = Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1 A massa da região D, denotada m(D), será a integral integral tripla da função (x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 , dada por (x, y, z)dxdydz e definida como o seguinte limite: D def (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . m(D) = |P |→0 D OBS 6.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: l m n Slmn = g(ξi , ζj , ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk , i=1 j=1 k=1 onde g(ξi , ζj , ηk ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξi , ζj , ηk ). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral tripla: def p(D) = g(x, y, z) (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D |P |→0 Determinação dos Momentos de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade (x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular o momento de massa de um pequeno paralelepípedo com relação ao plano coordenado yz tomamos o seguinte produto ξi Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . Aqui ξi representa uma aproximação da distância do pequeno paralelepípedo ∆ξi ∆ζj ∆ηk ao plano coordenado yz. O momento total em relação ao plano yz para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: 107
- 104. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas l m n Slmn = ξi Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1 O momento de massa da região D em relação ao plano yz, denotado x (x, y, z)dxdydz Myz (D), será dado pela integral tripla D definida pelo limite: def x (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . Myz (D) = |P |→0 D De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao plano xz tomando-se a seguinte soma de Riemann: l m n Slmn = ζj Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1 O momento de massa da região D em relação ao plano xz, denotado Mxz (D), será dado pela integral tripla y (x, y, z)dxdydz D definida pelo limite: def Mxz (D) = y (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . |P |→0 D E o momento de massa da região D em relação ao plano xy tomandose a seguinte soma de Riemann: l m n Slmn = ηk Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1 O momento de massa da região D em relação ao plano xy, denotado Mxy (D), será dado pela integral tripla z (x, y, z)dxdydz D definida pelo limite: def Mxy (D) = z (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D |P |→0 Determinação dos Momentos de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade (x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular, aproximadamente, o momento de inércia de um pequeno paralelepípedo com relação a uma 108
- 105. Cálculo III AULA reta r,tomamos o seguinte produto d2 (ξi , ζj , ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk , 6 onde d(ξi , ζj , ηk ) representa a distância do ponto (ξi , ζj , ηk ) à reta r. Em particular a distância do ponto (ξi , ζj , ηk ) ao eixo x é dada por: d(ξi , ζj , ηk ) = 2 2 ζj + ηk e o momento de inércia do pequeno paralelepípedo em relação ao eixo x será aproximado por: 2 2 (ζj + ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . O momento de inércia total em relação ao eixo x para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: l m n 2 2 (ζj + ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . Slmn = i=1 j=1 k=1 O momento de inércia da região D em relação ao eixo x, denotado (y 2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz calculada Ix é dado pela integral D pelo limite: def (y 2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . Ix (D) = |P |→0 D De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo y tomando-se a seguinte soma de Riemann: l m n 2 2 (ξi + ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . Slmn = i=1 j=1 k=1 O momento de inércia da região D em relação ao eixo y, denotado (x2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz calculada Iy é dado pela integral D pelo limite: def (x2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . Iy (D) = D |P |→0 Também chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo z tomando-se a seguinte soma de Riemann: Slmn = l m n 2 2 (ξi + ζj )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1 O momento de inércia da região D em relação ao eixo z é dada pela (x2 + y 2 ) (x, y, z)dxdydz calculada pelo limite: integral D 109
- 106. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas def (x2 + y 2 ) (x, y, z)dxdydz = lim Slmn . Iz (D) = |P |→0 D Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribuição de densidade mássica (x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, é o ponto (¯, y , z ) definido por: x ¯ ¯ Myz (D) x= ¯ = m(d) x (x, y, z)dxdydz D , (x, y, z)dxdydz D y= ¯ Mxz (D) = m(d) y (x, y, z)dxdydz D e (x, y, z)dxdydz D z= ¯ Mxy (D) = m(d) z (x, y, z)dxdydz D . (x, y, z)dxdydz D 6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla Faremos duas aplicações da integral tripla. A primeira refere-se ao cálculo do centro de massa de de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cartesiano. A segunda trata-se da determinação da massa e do momento de inércia Iz de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos aos nossos exemplos. Exemplo 6.1. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0, x = a, y = 0, y = x2 , z = 0 e z = x2 , (Fig 6.1), determinar sua massa e seu centro de massa levando en conta uma distribuição de densidade constante (x, y, z) = . 110
- 107. AULA Cálculo III 6 Figura 6.1:Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 6.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ z ≤ x2 . Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao planos yz, xz e xy, respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla: x2 a m(D) = x2 (x, y, z)dxdydz = D dzdydx 0 0 0 Integrando em z temos: x2 a m(D) = x2 z 0 0 0 dydx Substituindo os limites de integração temos: x2 a (x2 − 0)dydx m(D) = 0 0 Simplificando temos: x2 a x2 dydx m(D) = 0 0 Integrando em y temos: a x2 y m(D) = 0 x2 0 dx 111
- 108. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas Substituindo os limites de integração temos: a x2 (x2 − 0)dx m(D) = 0 Simplificando temos: a x4 dx m(D) = 0 Finalmente, integrando em x temos: x5 a m(D) = 5 0 Substituindo os limites de integração temos: a5 05 − m(D) = 5 5 Simplificando temos: a5 m(D) = 5 Passo 2 determinar o momento de massa relativo ao plano yz Myz (D), dada pela integral tripla: x2 a Myz (D) = (x, y, z)xdxdydz = D xdzdydx 0 Integrando em z temos: x2 a Myz (D) = x2 xz 0 0 0 dydx Substituindo os limites de integração temos: x2 a x(x2 − 0)dydx Myz (D) = 0 0 Simplificando temos: x2 a x3 dydx Myz (D) = 0 0 Integrando em y temos: a x3 y Myz (D) = 0 x2 0 dx Substituindo os limites de integração temos: a x3 (x2 − 0)dx Myz (D) = 0 Simplificando temos: a x5 dx Myz (D) = 0 Finalmente, integrando em x temos: 112 x2 0 0
- 109. AULA Cálculo III 6 x6 a 60 Substituindo os limites de integração temos: a6 06 − Myz (D) = 6 6 Simplificando temos: a6 Myz (D) = 6 Myz (D) = Passo 3 determinar o momento de massa relativo ao plano xz Mxz (D), dada pela integral tripla: x2 a Mxz (D) = x2 (x, y, z)ydxdydz = D ydzdydx 0 0 0 Integrando em z temos: x2 a Mxz (D) = x2 yz 0 0 0 dydx Substituindo os limites de integração temos: x2 a y(x2 − 0)dydx Mxz (D) = 0 0 Simplificando temos: x2 a x2 ydydx Mxz (D) = 0 0 Integrando em y temos: a y 2 x2 Mxz (D) = x2 dx 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: a (x2 )2 02 − dx Mxz (D) = x2 2 2 0 Simplificando temos: a 6 x dx Mxz (D) = 0 2 Finalmente, integrando em x temos: x7 a Mxz (D) = 14 0 Substituindo os limites de integração temos: a7 07 Mxz (D) = − 14 14 Simplificando temos: a7 Mxz (D) = 14 113
- 110. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas Passo 4 determinar o momento de massa relativo ao plano xy. Como a região D tem simetria com relação às variáveis y e z, e a distribuição de densidade também (por ser constante) temos que Mxz (D) = Mxy (D). De qualquer forma vamos verificar: x2 a x2 zdzdydx (x, y, z)zdxdydz = Mxy (D) = D 0 0 0 Integrando em z temos: a x2 z 2 x2 Mxy (D) = dydx 2 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: a x2 (x2 )2 02 Mxz (D) = − dydx 2 2 0 0 Simplificando temos: a x2 4 x Mxz (D) = dydx 2 0 0 Integrando em y temos: a 4 x2 x y dx Mxz (D) = 0 0 2 Substituindo os limites de integração temos: a 4 x (x2 − 0)dx Mxz (D) = 0 2 Simplificando temos: a 6 x Mxz (D) = dx 0 2 Finalmente, integrando em x temos: x7 a Mxz (D) = 14 0 Substituindo os limites de integração temos: 07 a7 − Mxz (D) = 14 14 Simplificando temos: a7 Mxz (D) = 14 Passo 5 determinar o centro de massa (¯, y , z ) da região D, A x ¯ ¯ saber: 114
- 111. Cálculo III a6 Myz (D) 5a x= ¯ =6 = , m(d) 6 a5 5 a7 Mxz (D) 5a2 y= ¯ = 14 = e 5 m(d) 14 a 5 a7 Mxy (D) 5a2 z= ¯ = 14 = . 5 m(d) 14 a 5 AULA 6 Vamos rapidinho ao nosso segundo exemplo. Exemplo 6.2. Considerando a interseção das superfícies: x = 0, x2 + y 2 = b2 , z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar sua massa e seu momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, levando en conta uma distribuição de densidade constante (x, y, z) = . Figura 6.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 6.2) e verificando que −b ≤ x ≤ +b, 0 ≤ y ≤ √ + b2 − x2 e 0 ≤ z ≤ a. Observemos que para este caso é mais ade- 115
- 112. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas quado usar o sistema de coordenadas cilíndrico, dado pela transformação (x, y, z) → (r, ϑ, z) onde: x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ), z = z e os limites de integração passam a: 0 ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϑ ≤ π e 0 ≤ z ≤ a. Em segundo, calcularemos a massa da região D, m(D) e o momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla: π m(D) = b D rdzdrdϑ 0 0 Integrando em z temos: π b m(D) = a z rdrdϑ 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: x2 a (a − 0)rdrdϑ m(D) = 0 0 Simplificando temos: π b m(D) = a rdrdϑ 0 0 Integrando em r temos: π 2 b r dϑ m(D) = a 0 2 0 Substituindo os limites de integração temos: π b2 02 m(D) = a − dϑ 2 2 0 Simplificando temos: b2 π dϑ m(D) = a 2 0 Finalmente, integrando em ϑ temos: b2 π m(D) = a ϑ 2 0 Substituindo os limites de integração temos: b2 m(D) = a (π − 0) 2 Simplificando temos: ab2 m(D) = π 2 116 a (x, y, z)dxdydz = 0
- 113. Cálculo III AULA Passo 2Levando em conta que: x2 +y 2 = (r cos(ϑ))2 +(r sin(ϑ))2 = 6 r2 , determinar o momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, dada pela integral tripla: π b a r2 rdzdrdϑ (x, y, z)(x2 +y 2 )dxdydz = Iz (D) = 0 D 0 0 Integrando em z temos: π b a z r3 drdϑ Iz (D) = 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: x2 a (a − 0)r3 drdϑ Iz (D) = 0 0 Simplificando temos: π b r3 drdϑ Iz (D) = a 0 0 Integrando em r temos: π 4 b r Iz (D) = a dϑ 0 4 0 Substituindo os limites de integração temos: π b4 04 − dϑ Iz (D) = a 4 4 0 Simplificando temos: b4 π Iz (D) = a dϑ 4 0 Finalmente, integrando em ϑ temos: b4 π Iz (D) = a ϑ 4 0 Substituindo os limites de integração temos: b4 Iz (D) = a (π − 0) 4 Simplificando temos: ab4 Iz (D) = π 4 6.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral tripla, algumas das mais importantes são: dada uma região 117
- 114. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas D ⊂ R3 e sua distribuição de densidade volumétrica de massa (x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, as determinação da massa m(d), dos seus momentos de massa Myz relativo ao plano yz, Mxz relativo ao plano xz e Mxy relativo ao plano xy, dos momentos de inércia Ix relativo ao eixo x, Iy relativo ao eixo y e Iz relativo ao eixo z. RESUMO O nosso resumo de hoje constará de uma série de fórmulas para os cálculo da massa, momento de massa, momento de inércia e centro de gravidade de regiões D ∈ R3 limitadas no espaço dada sua distribuição de densidade volumétrica de massa (x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. No corpo do texto temos umas pequenas argumentações heurísticas de como chegar a tais fórmulas, usando partições e somas de Riemman. Dada uma região D ∈ R3 limitada com distribuição de densidade volumétrica de massa (x, y, z) podemos calcular: A Massa da região D m(D) = (x, y, z)dxdydz. D O Momento de Massa de D em Relação ao Plano yz Myz (D) = x (x, y, z)dxdydz. D O Momento de Massa de D em Relação ao Plano xz Mxz (D) = y (x, y, z)dxdydz. D 118
- 115. AULA Cálculo III O Momentode Massa em Relação ao Plano xy Mxy (D) = 6 z (x, y, z)dxdydz. D O Momento de inércia de D em Relação ao eixo x (y 2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz. Ix (D) = D O Momento de inércia de D em Relação ao eixo y (x2 + z 2 ) (x, y, z)dxdydz. Iy (D) = D O Momento de inércia de D em Relação ao eixo z (x2 + y 2 ) (x, y, z)dxdydz. Iz (D) = D O Centro de Massa (¯, y , z ) de D x ¯ ¯ x= ¯ Myz (D) = m(d) x (x, y, z)dxdydz D , (x, y, z)dxdydz D Mxz (D) y= ¯ = m(d) y (x, y, z)dxdydz D e (x, y, z)dxdydz D z= ¯ Mxy (D) = m(d) z (x, y, z)dxdydz D . (x, y, z)dxdydz D PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais f : C ⊂ R3 → R3 onde C é uma curva no espaço R3 , dada parametricamente por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b]. Não ˆ ˆ ˆ estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín- 119
- 116. Algumas Aplicações dasIntegrais tríplas seca das curvas e sim na contribuição de sua geometria no cálculo de integrais de campos de vetores definidos sobre tais curvas. ATIVIDADES Deixamos como atividades os seguintes problemas: ATIV. 6.1. Considerando a interseção das superfícies: x = 0, x = a, y = 0, y = x2 , z = 0 e z = x2 , (Fig 6.1), determinar seu momento de inércia Iz relativo ao eixo z, levando em conta uma distribuição de densidade constante (x, y, z) = . Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o primeiro exemplo, ele lhe servirá de guia. ATIV. 6.2. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0, x2 +y 2 = b2 , z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar seu momento de massa Myz relativo ao plano yz, levando em conta uma distribuição de densidade constante (x, y, z) = . Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o segundo exemplo, ele lhe servirá de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. 120
- 117. Cálculo III SWOKOWSKI, EarlE., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. AULA 6 THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 121
- 119. AULA 7 Integrais de Funções Vetoriaissobre Curvas em R3 META: Apresentar integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 e calcular integrais de algumas funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores e Geometria analítica e curvas em R3 da disciplina Cálculo II.
- 120. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 7.1 Introdução Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas” tem um forte sabor de física pois, veremos coisas como: calculo do trabalho de uma força (função vetorial) ao longo de uma trajetória (curva) ou fluxo de um campo de vetores através de uma curva (o termo fluxo é tipicamente da física). Isto, não quer dizer que vocês tenham que se empenhar nos aspectos físicos, devendo apenas ater-se aos aspectos matemáticos que são os objetivos de nossa aula. 7.2 Curvas em R3 Nesta seção faremos uma pequena recapitulação sobre curvas em R3 , que vocês já viram em Cálculo II. Será um breve resumo onde estaremos recapitulando as definições e principais resultados. Consideremos uma curva C ⊂ R3 dada parametricamente por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] ou em sua forma vetorial ˆ ˆ ˆ r = x(t)i + y (t)j + z (t)k r(t) ˆ ˆ ˆ k. O vetor tangente unitário à C é dado por: T (t) = r dr r(t) dt −1 r dr r(t) dt A velocidade e a aceleração de uma partícula seguindo a curva C, com movimento dado por r r(t), no instante t são dadas por: 124
- 121. AULA Cálculo III 7 r dr r(t) dˆ(t) x dˆ(t) y z (t) ˆ = i+ j+ k dt dt dt dt d2x(t) ˆ d2 y (t) ˆ d2 z (t) ˆ d2r r(t) = i+ j+ k 2 2 2 dt dt dt dt2 v v(t) = a a(t) = O comprimento de arco da curva C ⊂ R3 parametrizada por x = x(t), y = y (t) e z = z (t), no intervalo [a, t] é dado por: ˆ ˆ ˆ t s(t) = ˆ a dˆ(t) x dt 2 dˆ(t) y dt + 2 + dˆ(t) z dt 2 dt ˆ Podemos inverter s = s(t) como t = t(s) e descrever a curva ˆ C ⊂ R3 parametrizada por comprimento de arco x = x(t(s)), ˆ ˆ y = y (t(s)) e z = z (t(s)). ˆˆ ˆˆ A curvatura de C é definida por: k(s) = dT (s) ds e pode ser calculada usando-se a fórmula: k(t) = 1 dT (t) v |v v(t)| dt O vetor normal unitário é definido por: dT (t) N (t) = dt −1 dT (t) dt O vetor binormal à curva C ⊂ R3 é definido por: B B(t) = T (t) × N (t) Finalmente a torção da curva C ⊂ R3 é definida por: 125
- 122. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 τ (s) = − 7.3 dB B(s) •N ds Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3 Muito embora o cálculo da massa, momento de massa e centro de massa de uma curva C ⊂ R3 não envolva integração de funções vetoriais, começaremos por aqui. Seja C ⊂ R3 , uma curva contínua e lisa, parametrizada por comprimento de arco e : C ⊂ R3 → R+ , a densidade linear de massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, (x, y, z) > 0. Definição 7.1. A massa de C ⊂ R3 , denotada m(C), é definida por: m(C) = (x, y, z)ds C Definição 7.2. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, denotada Myz (C), é definido por: Myz (C) = (x, y, z)xds C Definição 7.3. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano xz, denotada Mxz (C), é definido por: Mxz (C) = (x, y, z)yds C Definição 7.4. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano xy, denotada Mxy (C), é definido por: Mxy (C) = (x, y, z)zds C 126
- 123. Cálculo III AULA Definição 7.5.O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (¯, y , z ), x ¯ ¯ 7 onde: x = ¯ Myz (C) = m(C) (x, y, z)xds C (x, y, z)ds C y = ¯ Mxz (C) = m(C) (x, y, z)yds C (x, y, z)ds C z = ¯ Mxy (C) = m(C) (x, y, z)zds C (x, y, z)ds C Definição 7.6. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo x, denotada Ix (C), é definido por: (x, y, z)(y 2 + z 2 )ds Ix (C) = C Definição 7.7. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo y, denotada Iy (C), é definido por: (x, y, z)(x2 + z 2 )ds Iy (C) = C Definição 7.8. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo z, denotada Iz (C), é definido por: (x, y, z)(x2 + y 2 )ds Iz (C) = C OBS 7.1. Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa ˆ ˆ ˆ relativo aos planos yz, xz e xy, momento de inércia relativo aos eixos x, y e z respectivamente pode ser calculados por: 127
- 124. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 b v (ˆ(t), y (t), z (t))|v x ˆ ˆ v(t)|dt m(C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ x v v(t)|dt Myz (C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ y v v(t)|dt Mxz (C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ z v v(t)|dt Mxy (C) = a b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v x ˆ ˆ y ˆ v(t)|dt Ix (C) = a b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v x ˆ ˆ x ˆ v(t)|dt Iy (C) = a b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + y 2 (t))|v x ˆ ˆ x ˆ v(t)|dt Iz (C) = a 7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo Consideremos um campo de vetores F : D ⊂ R3 → R3 e uma curva C ⊂ D contínua e suave. Definição 7.9. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo vetorial F ao longo da curva C ⊂ R3 por: F • T ds Φ(F, C) = C OBS 7.2. Quando a curva é simples e fechada, o fluxo integral de escoamento é denominado de circulação e escrevemos: F • T ds Φ(F, C) = C OBS 7.3. Se a curva C ⊂ D ⊂ R3 é parametrizada por: x = x(t), ˆ y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b]. Podemos interpretar o campo ˆ ˆ 128
- 125. Cálculo III AULA vetorial F: D ⊂ R3 → R3 como um campo de força no espaço, 7 a curva C ⊂ D ⊂ R3 como uma trajetória, a parametrização da curva C ⊂ D ⊂ R3 dada por x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] ˆ ˆ ˆ como o movimento de uma partícula seguindo a trajetória C e o fluxo integral de escoamento como o trabalho executado pela força F ao longo de C e dado por: b F (ˆ(t), y (t), z (t)) • T (t)dt x ˆ ˆ T (F, C) = a OBS 7.4. Se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por: r = x(t)i y (t)j z (t)k t ∈ [a, b], e o campo vetorial F : D ⊂ R3 → ˆ i+ˆ j+ˆ k, R3 representado por: F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k k, onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais, o fluxo integral de escoamento pode ser escrito como uma das três formas: r F • dr T (F, C) = C T (F, C) = (f1 dx + f2 dy + f3 dz) C b T (F, C) = f1 a dˆ(t) y dˆ(t) z dˆ(t) x + f2 + f3 dt dt dt dt Consideraremos, agora o caso particular de uma curva plana C ⊂ D ⊂ R2 simples e fechada e de um campo vetorial F : D ⊂ R2 → R2 . Interpretaremos o campo vetorial F como o campo de velocidade de um fluido que atravessa a região D ⊂ R2 . Definição 7.10. Definimos o fluxo de F através de C por: def F • N ds φ(F, C) = C onde: N é a normal unitária exterior a C. 129
- 126. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 7.5 Independência do Caminho Consideremos um campo vetorial F : D ⊂ R3 → R3 , dois pontos A, B ∈ D e um caminho C ⊂ D ligando o ponto A ao ponto B. O trabalho realizado para mover uma partícula do ponto A ao B F • dr de modo ponto B ao longo da trajetória C, dado por A geral depende do caminho C que liga os dois pontos. Porém, para alguns campos vetoriais este trabalho depende apenas dos pontos A e B. Definição 7.11. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e B dois pontos A, B ∈ D. Se F • dr é a mesma ∀C ⊂ D paraA metrizada por: x = x(t), y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] tal que ˆ ˆ ˆ A = C(a) e B = C(b) dizemos que F é um campo conservativo em D. Vamos em seguida definir um operador diferencial vetorial muito importante denominado gradiente, A saber: Definição 7.12. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado campo vetorial f , como o f : D ⊂ R3 → R3 dado por: def f = ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Quando um campo vetorial pode ser dado pelo gradiente de um campo escalar, dizemos que o campo escalar é uma função potencial para o campo vetorial. A saber: Definição 7.13. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais tais que 130
- 127. Cálculo III F = fentão f é dita uma função potencial para o campo vetorial AULA 7 F em D Daqui por diante consideraremos C uma curva lisa i.e. constituída por um número finito de curvas simples unidas pelas extremidades e D um conjunto aberto e conexo i.e. dado qualquer ponto de D existe uma bola de centro no ponto inteiramente contida em D e dado dois pontos quaisquer de D o segmento de reta que os une está inteiramente contido em D. Consideraremos o campo vetorial F : D ⊂ R3 → R3 dado por F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem contínuas. Teorema 7.1. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 dado por F = f1 (x, y, z)i i+ f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem contínuas em uma região D ⊂ R3 aberta e conexa do espaço. Então existe uma função f : D ⊂ R3 → R contínua e diferenciável em ∂f ∂f ∂f D ⊂ R3 tal que F = f = i+ j+ k se somente se F for ∂x ∂y ∂z um campo conservativo. PROVA: Provaremos aqui a suficiência do teorema i.e. Se existe uma função f : D ⊂ R3 → R contínua e diferenciável em D ⊂ R3 ∂f ∂f ∂f i+ j+ k então F é um campo consertal que F = f = ∂x ∂y ∂z vativo. Suponha dois pontos A, B ∈ D e uma curva C ⊂ D parametrizada por r r(t) = x(t)i + y (t)j + z (t)k t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e ˆ ˆ ˆ k, B = C(b). Ao longo da curva C f é uma função f (ˆ(t), y (t), z (t)) x ˆ ˆ derivável com relação a t e levando em conta a regra da cadeia temos: 131
- 128. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 df x y z ∂f dˆ ∂f dˆ ∂f dˆ = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Por outro lado o gradiente de f e a derivada do vetor posição r com relação a t são dados por: ∂f ∂f ∂f f= i+ j+ k ∂x ∂y ∂z r dˆ x dˆ y dˆ z dr = i+ j+ k dt dt dt dt r dr Fazendo o produto escalar de f por ao longo de C temos: dt r x y z ∂f dˆ ∂f dˆ ∂f dˆ dr = + + f• dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Como F = f ao longo de C temos: r dr ∂f dˆ ∂f dˆ ∂f dˆ x y z F • = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt O trabalho realizado por F ao longo da curva C do ponto A até o ponto B é dado por: r dr r F • dr = F • dt dt C C Aproveitando as equações acima podemos escrever: ∂f dˆ ∂f dˆ ∂f dˆ x y z r F • dr = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt C C b df r F • dr = dt C a dt F • dr = f (ˆ(b), y (b), z (b)) − f (ˆ(a), y (a), z (a)) r x ˆ ˆ x ˆ ˆ C r F • dr é independente do caminho C pois, depende Portanto C apenas dos valores de f nos pontos A e B, provando assim que F é um campo conservativo. Caros alunos deixamos como desafio a prova da necessidade. Novamente vocês podem recorrer aos livros de Cálculo Avançado. Temos outro teorema que caracteriza campos vetoriais conservativos. A saber: Teorema 7.2. Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial dado por: F = f1i + f2j + f3k cujas funções componentes f1 , f2 , f3 : k, 132
- 129. Cálculo III D ⊂R3 → R tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 Então F é conservativo se, somente se = , = e ∂y ∂x ∂z ∂x ∂f2 ∂f3 = ∂z ∂y AULA 7 PROVA: Novamente vamos provar a suficiência. Se F é conservativo, existe f : D ⊂ R3 → R tal que: ∂f ∂f ∂f F = i+ j+ k k. ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f Em outras palavras: f1 = , f2 = e f3 = . ∂x ∂y ∂z Daí temos: ∂2f ∂f2 ∂2f ∂f1 = e = . ∂y ∂y∂x ∂x ∂x∂y Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f2 temos: ∂f1 ∂f2 = . De forma semelhante temos: ∂y ∂x ∂2f ∂f3 ∂2f ∂f1 = e = . ∂z ∂z∂x ∂x ∂x∂z Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f3 temos: ∂f1 ∂f3 = . ∂z ∂x E finalmente: ∂2f ∂f3 ∂2f ∂f2 = e = . ∂z ∂z∂y ∂y ∂y∂z Da continuidade das derivadas parciais de f2 e f3 temos: ∂f2 ∂f3 = . ∂z ∂y Deixamos a demonstração da necessidade para vocês. Novamente consultem livros de Cálculo Avançado. Na proxima seção, veremos como determinar o campo potencial quando ele existe, utilizando um exemplo. 7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha Veremos agora três aplicações das integrais de linha de campos vetoriais sobre curvas no espaço. 133
- 130. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 Exemplo 7.1. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força F : R3 → R3 dado por F (t) = zi + 0j + xyk ao longo da hélice Figura 7.1: Gráfico do exemplo 1 C ⊂ R3 dada por r = a cos(t)i + a sin(t)j + btk t ∈ [0, 4π] (ver k, Fig. 7.1 ). SOLUÇÃO: Derivando o vetor posição r r(t) com relação a t temos: r dr r(t) = −a sin(t)i + a cos(t)j + bk dt O campo de força F ao longo da curva C ⊂ R3 é dado por: F (t) = bti + 0j + a2 sin(t) cos(t)k Fazendo o produto escalar de F (t) por F (t) • r dr r(t) temos: dt r dr r(t) = −bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t) dt Calculando o trabalho realizado pela força F (t) ao longo da curva 134
- 131. Cálculo III AULA 7 C temos: r F(t) • dr r(t) T (F , C) = C F (t) • = C 4π r dr r(t) dt dt (−bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t))dt = 0 4π ba2 sin2 (t) 2 0 ba2 sin2 (4π) − = ba(− sin(4π) + 4π cos(4π)) + 2 ba2 sin2 (0)) −(ba(− sin(0) + 0 cos(0)) + 2 = 4πba = ba(− sin(t) + t cos(t)) + E agora sem demora o segundo exemplo. Exemplo 7.2. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força constante F : R3 → R3 dado por F = Ki + Kyj + Kk ao longo da Figura 7.2: Gráfico do exemplo 2 curva C ⊂ R3 da intersecção da esfera (x−a)2 +(y−a)2 +(z−a)2 = a2 e do plano x − z = 0 (ver Fig. 7.2 ). SOLUÇÃO: Primeira coisa a fazer é obter uma parametriza (x − a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2 ção para a curva . Como a x−z =0 135
- 132. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 curva C ⊂ R3 pertence a reta podemos eliminar z = y na equação da esfera e temos: 2(x−a)2 +(y −a)2 = a2 , podemos propor como parametrização sa√ 2 tisfazendo a equação acima: y = a + a sin(t) e x = a + a cos(t). 2 Como z = x temos: √ 2 z =a+ a cos(t). 2 Resumindo temos a seguinte parametrização para a intersecção da esfera como √ plano dados: x = a + 2 a cos(t) 2 y = a + a sin(t) ∀t ∈ [−π, +π] . √ z = a + 2 a cos(t) 2 Podemos √ escrever o vetor posição r como: √ 2 2 a cos(t))i + (a + a sin(t))j + (a + a cos(t))k Derik. r = (a + 2 2 vando o vetor posição r r(t) com relação a t temos: √ √ r dr r(t) 2 2 =− a sin(t)i + a cos(t)j − a sin(t)k dt 2 2 Ao longo da curva C ⊂ R3 o campo de força é dado por: F (t) = Ki + Ka(1 + sin(t))j + Kk k. Fazendo o produto escalar de F (t) por r dr r(t) F (t) • dt r dr r(t) temos: dt √ 2 Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t) − 2 √ 2 Ka sin(t) − 2 √ = − 2Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t) = − Calculando o trabalho realizado pela força F (t) ao longo da curva 136
- 133. Cálculo III AULA 7 C temos: r F(t) • dr r(t) T (F , C) = C = F (t) • C +π r dr r(t) dt dt √ (− 2Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t))dt −π √ √ +π 2 = ( 2Ka cos(t) − Ka2 (1 + sin(t))2 ) 2 −π = 0 = Vejamos mais um exemplo. Desta vez veremos como determinar a função potencial para um campo conservativo. Exemplo 7.3. Seja F : R3 → R3 um campo vetorial conservativo dado por: F = yzi + (xz + 1)j + xyk Determine sua função pok. tencial. SOLUÇÃO: Primeiramente testaremos se o campo vetorial F é um campo conservativo, usando a condição necessária e suficiente dada por: ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f3 ∂f1 = , = e = . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y Como para o F dado f1 = yz, f2 = xz + 1 e f3 = xy temos: ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f3 =z= , =y= e =x= . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y A condição está satisfeita e F é um campo vetorial conservativo e podemos procurar o f : R3 → R tal que: ∂f ∂f ∂f F = f= i+ j+ k k. ∂x ∂y ∂z De onde tiramos: ∂f = f1 = yz ∂x ∂f = f2 = xz + 1 ∂y ∂f = f3 = xy ∂z 137
- 134. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 ∂f = yz com relação a x temos: ∂x ∂f f = xyz + g(y, z) pois daí tiramos = yz. ∂x Temos agora que determinar o g(y, z) de modo que a segunda equa- Integrando a primeira equação ção sejam satisfeita. Derivando f = xyz + g(y, z) com relação a y temos: ∂f ∂g = xz + . ∂y ∂y ∂f Comparando com a segunda equação = xz + 1 temos: ∂y ∂g = 1. ∂y Integrando com relação a y temos: ∂g g(y, z) = y + h(z) pois daí tiramos = 1. ∂y Podemos reescrever f comos: f = xyz + y + h(z). Temos agora que determinar o h(z) de modo que a terceira equação sejam satisfeita. Derivando f = xyz + y + h(z) com relação a z temos: dh ∂f = xy + . ∂y dz ∂f Comparando com a terceira equação = xy temos: ∂z dh = 0. dz Logo h(z) = K é uma constante que podemos sem perda de generalidade fazer igual a zero e f passa a ter a forma final: f (x, y, z) = xyz + y 7.7 Conclusão Na aula de hoje, vimos como integrar campos vetoriais (funções vetoriais) ao longo de curvas no espaço e no plano. Que, essencialmente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais 138
- 135. Cálculo III AULA como circulaçãoe fluxo sobre curvas estão intimamente ligados à 7 Física. RESUMO Seja C ⊂ R3 , uma curva contínua e lisa, parametrizada por comprimento de arco e : C ⊂ R3 → R+ , a densidade linear de massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, (x, y, z) > 0. Massa A massa de C ⊂ R3 , denotada m(C), é definida por: m(C) = (x, y, z)ds C Momento de Massa relativo aos planos yz xz e xy yz, xy. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, xz e xy denotados Myz (C), Mxz (C) e Mxy (C) são definidos respectivamente por: Myz (C) = (x, y, z)xds C Mxz (C) = (x, y, z)yds C Mxy (C) = (x, y, z)zds C Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y = ˆ y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos ˆ ˆ planos yz, xz e xy, respectivamente pode ser calculados por: 139
- 136. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 b v (ˆ(t), y (t), z (t))|v x ˆ ˆ v(t)|dt m(C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ x v v(t)|dt Myz (C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ y v v(t)|dt Mxz (C) = a b (ˆ(t), y (t), z (t))ˆ(t)|v x ˆ ˆ z v v(t)|dt Mxy (C) = a Centro de Massa. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (¯, y , z ), onde: x ¯ ¯ x = ¯ Myz (C) = m(C) (x, y, z)xds C (x, y, z)ds C y = ¯ Mxz (C) = m(C) (x, y, z)yds C (x, y, z)ds C z = ¯ Mxy (C) = m(C) (x, y, z)zds C (x, y, z)ds C Momento de Inércia relativo aos eixos x , y e z . O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixos x, y e z denotados Ix (C), Iy (C) e Iz (C) são definidos respectivamente por: (x, y, z)(y 2 + z 2 )ds Ix (C) = C (x, y, z)(x2 + z 2 )ds Iy (C) = C (x, y, z)(x2 + y 2 )ds Iz (C) = C 140
- 137. Cálculo III AULA Se acurva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y = ˆ 7 y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b], o momento de inércia relativo aos eixos ˆ ˆ x, y e z, respectivamente pode ser calculados por: b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v x ˆ ˆ y ˆ v(t)|dt Ix (C) = a b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + z 2 (t))|v x ˆ ˆ x ˆ v(t)|dt Iy (C) = a b v (ˆ(t), y (t), z (t))(ˆ2 (t) + y 2 (t))|v x ˆ ˆ x ˆ v(t)|dt Iz (C) = a Fluxo Integral de Escoamento. Seja um campo de vetores F : D ⊂ R3 → R3 e uma curva C ⊂ D contínua e suave. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo vetorial F ao longo da curva C ⊂ R3 por: F • T ds Φ(F, C) = C Alternativamente se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por: r = x(t)i + y (t)j + z (t)k t ∈ [a, b] e o campo vetorial F : ˆ ˆ ˆ k, D ⊂ R3 → R3 por: F = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k k, com f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções de valores reais, o fluxo integral de escoamento pode ser escrito como: r F • dr T (F, C) = C T (F, C) = (f1 dx + f2 dy + f3 dz) C b T (F, C) = f1 a dˆ(t) x dˆ(t) y dˆ(t) z + f2 + f3 dt dt dt dt Campo Conservativo. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial, dois pontos A, B ∈ D. 141
- 138. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 B ( ) • dr é constante ∀C ⊂ D parametrizada por: x = x(t), (F ˆ Se A y = y (t) e z = z (t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos ˆ ˆ que F é um campo conservativo em D. Gradiente. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado f , como o campo vetorial f : D ⊂ R3 → R3 dado por: def f = ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Função Potencial. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 → R uma função derivável de valores reais tais que F = f então, f é dita uma função potencial para o campo vetorial F em D PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos, essencialmente, integração de funções reais e campos vetoriais (funções vetoriais) sobre superfícies S ⊂ R3 . Veremos também como calcular área, massa, momento de massa e centro de massa de superfícies. ATIVIDADES Deixamos como atividades os seguintes problemas envolvendo integração de campos vetoriais sobre curvas no espaço. 142
- 139. Cálculo III ATIV. 7.1.Seja F : R3 → R3 o campo vetorial dado por: F (x, y, z) = AULA 7 y(2xyz 2 + exy )i + x(2xyz 2 + exy )j + 2x2 y 2 zk k: • Mostre que campo vetorial F é conservativo. • Determine uma função potencial f : R3 → R tal que F = f. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 7.2. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial dado por: F (x, y, z) = yi + zj + bk b = 0 e C ⊂ R3 a curva no espaço dada k, por r r(t) = a cos(t)i + a sin(t)j + ck ∀t ∈ [0, 2π], a, c > 0. Deterk, mine o trabalho realizado por F ao longo da curva C. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. 143
- 140. Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3 THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 144
- 141. AULA Integrais de Superfícies META: Apresentarintegrais de funções definidas sobre superfícies em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R3 e calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre superfícies em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores e Geometria analítica e superfícies em R3 . 8
- 142. Integrais de Superfícies 8.1 Introdução Carosalunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem, como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 ”, um sabor de física. Desde a determinação da massa, momento de massa e centro de massa de uma superfície até a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem ater-se apenas aos aspectos matemáticos da matéria abordada. 8.2 Superfícies em R3 Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de representação de superfícies. A primeira forma de representação de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R3 → R e tomar um ponto c ∈ Img(f ) da imagem de f . Desta forma, de modo geral, f (x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R3 . Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R3 → R dada por: f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 + + . Desta forma f (x, y, z) = d representa elipsóides para a2 b2 c2 valores positivos de d. Outra forma de representação de uma superfície é através de uma parametrização. Representar S ⊂ R3 por: x = x(u, v), y = y (u, v) ˆ ˆ e z = z (u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d]. ˆ Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri√ √ zar os elipsóides por: x = a d cos(u) cos(v), y = b d sin(u) cos(v) √ e z = c d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π, +π] × [−π, +π]. 146
- 143. Cálculo III 8.3 Área deSuperfícies em R3 AULA 8 Vamos usar nesta seção uma argumentação heurística objetivando encontrar uma fórmula para determinação da área de uma superfície S ⊂ R3 . A argumentação baseia-se na possibilidade (ver, Fig. 8.1 ) de determinar a área de uma superfície através de uma integração dupla sobre sua projeção (sombra) no plano D ⊂ xy. Suponhamos que a projeção da superfície S ⊂ R3 dada Figura 8.1: Superfície S ⊂ R3 e sua projeção D por: z = f (x, y) sobre o plano xy seja a região D ⊂ xy e seja D ⊂ R ⊂ xy um retângulo do plano xy paralelo aos eixos coordenados e que contenha a região D (ver, Fig. 8.2 ). Podemos subdividir R em pequenos retângulos (através de partições como vimos em nossa primeira aula) ∆ij de área ∆xi ∆yj . Podemos aproximar (ai está a argumentação heurística) a pequena área da superfície S, denotada ∆σij cuja projeção é o pequeno retângulo ∆ij pela parte do plano tangente a S no ponto (xi , yj , f (xi , yj )), denotada ∆Pij , que tem a forma de um paralelogramo, (ver, Fig. 8.2 ) cuja projeção no plano xy é também o pequeno retângulo ∆ij . A área de ∆Pij é, de modo geral, maior que a área de ∆ij 147
- 144. Integrais de Superfícies Figura8.2: Detalhe do elemento de área ∆σij (a área da sombra é sempre menor ou igual à área do objeto). Da u geometria vetorial |u i × v j • p é a área da projeção do paralelop| gramo ∆Pij onde p é a normal a ∆ij (no caso para projeções no plano xy p = k mas, deixaremos p nas fórmulas caso seja escolhido outro plano de projeção). u |u i × v j • p = ∆ij p| Também da geometria vetorial temos: u u p |u i × v j • p = |u i × v j |.|p cos(ϕij )| = ∆ij p| p|.| onde ϕij é o ângulo formado pelo vetor normal p i , yj ) e o vetor p(x ui × v j . Como, da geometria vetorial, (ver em livros de Cálculo Avançado) u p |u i × v j | = ∆Pij e |p = 1, temos: p| ∆Pij = ∆ij | cos(ϕ)| Como cada pedaço ∆Pij aproxima o pedaço da superfície ∆σij então a soma: n−1 m−1 n−1 m−1 ∆Pij = i=0 j=0 148 i=0 j=0 ∆ij | cos(ϕij )|
- 145. Cálculo III AULA aproxima aárea de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me- 8 lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística) escrever: Are(S) = D 1 dxdy | cos(ϕ)| Para uma superfície dada por f (x, y, z) = c, temos | f • p = p| p p | f |.|p cos(ϕ)| e como |p = 1 portanto: p|.| p| dσ = Are(S) = D S | f| dA | f •p p| Por outro lado podemos estender a argumentação e determinar a integral de uma função g : D ⊂ R3 → R definida sobre a superfície S ⊂ R3 na forma: g(x, y, z)dσ = S g(x, y, z)) D | f| dA | f •p p| Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos. Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R3 do espaço dada por z = a + x2 + y 2 , cuja projeção no plano xy é a região D ⊂ xy dada por x2 + y 2 ≤ b2 e determine sua área (ver Fig. 8.3). SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que: Figura 8.3: Parabolóide z = a + x2 + y 2 149
- 146. Integrais de Superfícies sea superfície é dada por z = f (x, y) projetada no plano xy em D ⊂ xy sua área é dada por: ∂f ∂x Are(S) = D 2 + ∂f ∂y 2 + 1dxdy Como z = f (x, y) = a + x2 + y 2 temos: ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x = 2y Daí, substituindo na expressão da área temos: Are(S) = D ∂f ∂x 2 + ∂f ∂y 2 + 1dxdy (2x)2 + (2y)2 + 1dxdy = x2 +y 2 ≤b2 Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2 +y 2 ≤ b2 b 2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever 0 0 a integral dupla como: 2π b (2r cos(ϑ))2 + (2r sin(ϑ))2 + 1rdrdϑ Are(S) = 0 0 2π b 4r2 cos2 (ϑ) + 4r2 sin2 (ϑ) + 1rdrdϑ = 0 0 2π b 4r2 + 1rdrdϑ = 0 0 dz Fazendo a mudança de variáveis z = 4r2 + 1 temos: = 8r e os dr b 4b2 + 1 limites de integração r = passa a z = e podemos 0 1 150
- 147. AULA Cálculo III 8 reescrever aintegral dupla como: 4b2 +1 √ 2π Are(D) = 0 zdzdϑ 1 Integrando primeiro em z depois em ϑ temos: 4b2 +1 √ 2π Are(D) = 0 2π = √ z3 0 = = = 8.4 zdzdϑ 1 4b2 +1 1 dϑ 2 2π ( (4b2 + 1)3 − 1)dϑ 3 0 2π 2 ( (4b2 + 1)3 − 1)ϑ 3 0 4π ( (4b2 + 1)3 − 1) 3 Momento de massa e Momento de Inércia de Superfícies de Casca Fina em R3 Seja uma superfície S ⊂ R3 de casca fina dada por f (x, y, z) = c e com densidade superficial : S ⊂ R3 → R, a massa, o momento de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectivamente, por: m(S) = (x, y, z)dσ = S Myz (S) = D (x, y, z)xdσ = S Mxz (S) = D (x, y, z)ydσ = S Mxy (S) = D (x, y, z)zdσ = S | f| dA | f •p p| | f| (x, y, z)x dA | f •p p| | f| dA (x, y, z)y | f •p p| | f| (x, y, z)z dA | f •p p| (x, y, z) D 151
- 148. Integrais de Superfícies Ocentro de massa, denotado (¯, y , z ), é dado por: x ¯ ¯ x = ¯ Myz (S) = m(S) D D y = ¯ Mxz (S) = m(S) D D z = ¯ Mxy (S) = m(S) | f| dA | f •p p| | f| dA (x, y, z) | f •p p| | f| (x, y, z)y dA | f •p p| | f| (x, y, z) dA | f •p p| | f| (x, y, z)z dA | f •p p| | f| (x, y, z) dA | f •p p| (x, y, z)x D D Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por: (x, y, z)(y 2 + z 2 ) Ix (S) = D (x, y, z)(x2 + z 2 ) Iy (S) = D (x, y, z)(x2 + y 2 ) Iz (S) = D | | | | f| dA f •p p| | f| dA f •p p| | f| dA f •p p| Vamos ilustrar com um exemplo. Exemplo 8.4. Considere a casca fina descrita pela superfície S ⊂ R3 dada pela parte do cone x2 + y 2 − z 2 = 0 que situa-se acima do plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja densidade é constante e igual a e determine seu centro de massa (ver Fig. 8.4). SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R3 no plano xy é a região circular D ⊂ xy dada por: x2 + y 2 ≤ a2 . Para o caso f (x, y, z) = x2 +y 2 −z 2 = 0 e p = k daí, seu gradiente k. será: 152
- 149. AULA Cálculo III 8 Figura 8.4:Cone x2 + y 2 − z 2 = 0 f = −2xi − 2yj − 2zk E temos: | f • p = 2z p| | f| = x2 + y 2 + z 2 = 2x2 + 2y 2 A massa da casca fina será: m(S) = D = = = | f| dA | f •p p| 2x2 + 2y 2 dxdy 2z x2 +y 2 ≤a2 √ √ 2 z2 dxdy 2 x2 +y 2 ≤a2 z √ 2 dxdy 2 x2 +y 2 ≤a2 Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2 +y 2 ≤ a2 a 2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever 0 0 153
- 150. Integrais de Superfícies aintegral dupla como: √ m66(S) = = = = = 2 2π a rdrdϑ 2 √ 0 2π 0 2 r2 a dϑ 2 0 2 0 √ a2 2 2π dϑ 4 0 √ 2 2π ϑ 4 √0 a2 2 π 2 Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas Mxy pois, pela simetria da superfície e como é constante temos que x = y = 0. ¯ ¯ O momento de massa Mxy da casca fina será: Mxy (S) = z D | f| dA | f •p p| = z √ = = x2 +y 2 ≤a2 2 2 √ 2 2 2x2 + 2y 2 dxdy 2z zdxdy x2 +y 2 ≤a2 x2 + y 2 dxdy x2 +y 2 ≤a2 Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2 +y 2 ≤ a2 a 2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever 0 0 154
- 151. Cálculo III a integraldupla como: √ 2 2π a (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 rdrdϑ Mxy (S) = 2 0 0 √ 2 2π a = r2 cos2 (ϑ) + r2 sin2 (ϑ)rdrdϑ 2 0 0 √ 2 2π a √ 2 = r rdrdϑ 2 √ 0 2π 0 a 2 = r2 drdϑ 2 0 0 √ 2 2π r3 a = dϑ 2 0 3 0 √ a2 2 2π dϑ = 6 0 √ 2 2π = ϑ 6 √0 a3 2 = π 3 AULA 8 O valor de z será dado por: ¯ √ a3 2 π Mxy (S) 3 = 2a √ = z= ¯ 2 2 m(S) 3 a π 2 8.5 Superfícies Parametrizadas Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para superfícies parametrizadas. Seja uma superfície lisa S ⊂ R3 parametrizada por: x = x(u, v), ˆ y = y (u, v) e z = z (u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde x, y e z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos representar a superfície pelo vetor posição r v) = x(u, v)i + r(u, ˆ y (u, v)j + z (u, v)k Representaremos as derivadas do vetor r com ˆ ˆ k. relação a u e a v respectivamente por r u , r v . Consideraremos em R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u0 , u = u0 + ∆u, v = v0 e 155
- 152. Integrais de Superfícies v= v0 + ∆v u = u0 + ∆u e denotamos ∆uv o pequeno retângulo formado pela intersecção das quatro retas (ver Fig. 8.5). O pe- Figura 8.5: Domínio da parametrização queno retângulo ∆uv é mapeado pela parametrização no pequeno elemento de área ∆σuv sobre a superfície S. O paralelogramo forr r mado pelos vetores ∆ur u e ∆vr v aproximam (por falta) o elemento de área ∆σuv (ver Fig. 8.6). A área do paralelogramo é dada por: Figura 8.6: Elemento de área ∆σuv em S. r r r |∆ur u × ∆vr v | = |r u × r v |∆u∆v. A suposição de que S é uma superfície lisa garante que o produto vetorial r u × r v não é o vetor nulo e portanto a área do pequeno 156
- 153. Cálculo III AULA paralelogramo tambémnão é nula. Podemos então fazer um par- 8 tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização sobre a superfície S. Aproximando cada ∆σuv pela área do paralelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de Riemann: r |r u × r v |∆u∆v. u v Fazendo ∆u e ∆v tenderem a zero independentemente, a continuidade das derivadas r v do vetor posição garante que a soma de Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da superfície S i.e. b d r |r u × r v |dudv. Are(S) = a c Esta argumentação heurística nos permite estender os conceitos acima desenvolvidos para definir a integral de uma função f : S ⊂ R3 → R definida sobre a superfície S da seguinte forma: Definição 8.1. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ r(u, ˆ ˆ ˆ k, [a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R3 → R uma função de valores reais definida sobre S então, a integral de f sobre S será: b def d r r f (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v))|r u ×r v |dudv. x ˆ ˆ f (x, y, z)dσ = S a c Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição: Definição 8.2. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e F : S ⊂ R3 → R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o 157
- 154. Integrais de Superfícies fluxode F através de S, denotado φ(F ), por: def F (x, y, z) • n ndσ. φ(F ) = S Onde n é a normal unitária em S. OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ r(u, ˆ ˆ ˆ k, [a, b] × [c, d] e F : S ⊂ R3 → R3 uma função de valores vetoriais. O fluxo de F através de S, é dado por: b d F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • n r u × r v |dudv. x ˆ ˆ n|r φ(F ) = a c 1 r r ·(r u ×r v ) ru × rv | |r a integral para o fluxo do campo vetorial F através da superfície Como podemos calcular o vetor normal por n = S pode ser reescrita como: b d r F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • (r u × r v )dudv. x ˆ ˆ φ(F ) = a c Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Exemplo 8.5. Determine o fluxo do campo vetorial F : R3 → R3 dado por F (x, y, z) = zi + zj + xyk através da superfície do parabolóide z = a2 − x2 − y 2 , que fica acima do plano z = 0 (ver Fig. 8.7). SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície do parabolóide fazendo x = v cos(u), y = v sin(u) e z = a2 − v 2 . Desta ˆ ˆ forma o vetor posição para a superfície fica expresso por: r v) = v cos(u)i + v sin(u)j + (a2 − v 2 )k r(u, k. 158
- 155. AULA Cálculo III 8 Figura 8.7:Parabolóide z = a2 − x2 − y 2 . As derivadas parciais do vetor posição r com relação a u e a v são: r u = −v sin(u)i + v cos(u)j + 0k r = cos(u)i + sin(u)j − 2vk v Podemos calcular r u × r v operacionalmente por: i j op r u × r v = det −v sin(u) v cos(u) cos(u) sin(u) k 0 −2v Calculando o determinante temos: r u × r v = −2v 2 sin(u)i + 2v 2 sin(u)j − vk O campo vetorial F sobre a superfície pode ser escrito como: F (u, v) = (a2 − v 2 )i + (a2 − v 2 )j + v 2 sin(u) cos(u)k k. Fazendo o produto escalar do campo vetorial F por r u × r v temos: r r F •(r u ×r v ) = −2v 2 (a2 −v 2 ) sin(u)+2v 2 (a2 −v 2 ) sin(u)−v 3 sin(u) cos(u) 159
- 156. Integrais de Superfícies Simplificandoe calculando o fluxo do campo vetorial F sobre a superfície S temos: a +π −v 3 sin(u) cos(u)dudv φ(F ) = −π 0 a −v 3 = 0 1 2 = 0 +π −π dv a −v 3 (sin2 (+π) − sin2 (−π))dv = 8.6 sin2 (u) 2 0 Conclusão Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas sobre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determinar área, massa, momento de massa, centro de massa momento de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vimos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essencialmente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à Física. RESUMO Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de funções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como: 160
- 157. AULA Cálculo III 8 Área deuma Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção em um dos planos coordenados seja D e p a normal a D. A área da superfície S é dada por: | f| dA | f •p p| dσ = Are(S) = D S Integral de Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção em um dos planos coordenados seja D e p a normal a D e g : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S. A a integral de g sobre a superfície S é dada por: g(x, y, z)dσ = S g(x, y, z) D | f| dA | f •p p| Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade superficial : S ⊂ R3 → R+ então, a massa, momento de massa relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectivamente por: (x, y, z)dσ = m(S) = D S (x, y, z)xdσ = Myz (S) = S Mxz (S) = D (x, y, z)ydσ = S Mxy (S) = D (x, y, z)zdσ = S | f| dA | f •p p| | f| dA (x, y, z)x | f •p p| | f| (x, y, z)y dA | f •p p| | f| (x, y, z)z dA | f •p p| (x, y, z) D Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade 161
- 158. Integrais de Superfícies superficial :S ⊂ R3 → R+ então, O centro de massa da casca fina, denotado (¯, y , z ), é dado por: x ¯ ¯ x = ¯ Myz (S) = m(S) D D y = ¯ Mxz (S) = m(S) D D z = ¯ | f| dA | f •p p| | f| (x, y, z) dA | f •p p| | f| (x, y, z)y dA | f •p p| | f| (x, y, z) dA | f •p p| | f| (x, y, z)z dA | f •p p| | f| (x, y, z) dA | f •p p| (x, y, z)x Mxy (S) = m(S) D D Momento de Inércia de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade superficial : S ⊂ R3 → R+ então, os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por: (x, y, z)(y 2 + z 2 ) Ix (S) = D (x, y, z)(x2 + z 2 ) Iy (S) = D (x, y, z)(x2 + y 2 ) Iz (S) = D | | | | f| dA f •p p| | f| dA f •p p| | f| dA f •p p| Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e F : S ⊂ R3 → R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o fluxo de F através de S, denotado φ(F ), por: def F (x, y, z) • n ndσ. φ(F ) = S 162
- 159. Cálculo III AULA 8 Onde né a normal unitária em S. Área de uma Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] então, r(u, ˆ ˆ ˆ k, a área de S será: b d r |r u × r v |dudv. Are(S) = a c Integral de Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por r v) = x(u, v)i + y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e r(u, ˆ ˆ ˆ k, f : S ⊂ R3 → R uma função de valores reais definida sobre S então, a integral de f sobre S será: b def d r r f (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v))|r u ×r v |dudv. x ˆ ˆ f (x, y, z)dσ = S a c Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por r v) = x(u, v)i r(u, ˆ i+ y (u, v)j + z (u, v)k ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e F : S ⊂ R3 → R3 uma ˆ k, ˆ função de valores vetoriais. O fluxo de F através de S, é dado por: b d F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • n r u × r v |dudv. x ˆ ˆ n|r φ(F ) = a c 1 r r ·(r u ×r v ) r |r u × r v | a integral para o fluxo do campo vetorial F através da superfície Como podemos calcular o vetor normal por n = 163
- 160. Integrais de Superfícies Spode ser reescrita como: b d r F (ˆ(u, v), y (u, v), z (u, v)) • (r u × r v )dudv. x ˆ ˆ φ(F ) = a c PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teoremas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes). ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície dada por z = f (x, y) cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode ser dada por: D Comentário: ∂f ∂x 2 + ∂f ∂y 2 + 1dxdy Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R3 descrita por f (x, y, z) = a2 − x2 − y 2 − z 2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade. 164
- 161. Cálculo III AULA 8 Figura 8.8:1/4 da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 Comentário: Observe que a superfície tem simetria e como a densidade é constante temos: x = 0 e y = −¯. ¯ ¯ z LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. 165
- 162. Integrais de Superfícies BOUCHARA,Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 166
- 163. AULA Teorema de Green eTeorema de Stokes META: Apresentar o teorema de Green e o teorema de Stokes e algumas de suas aplicações. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar o teorema de Green e o teorema de Stokes e determinar o fluxo rotacional de um dado campo vetorial. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, aula 07 e aula 08. 9
- 164. Teorema de Greene Teorema de Stokes 9.1 Introdução Caros alunos, nosso tema de hoje: “Teorema de Green e Teorema de Stokes", visa apresentar dois dos mais importantes teoremas do Cálculo, envolvendo integrais de linha. O teorema de Green, converte integrais de linha de curvas fechadas no plano em integrais duplas e o teorema de Stokes, que é uma generalização do teorema de Green, converte integrais d linha de campos vetoriais sobre curvas fechadas no espaço em integrais de superfície. 9.2 Preliminares Antes de partirmos para a demonstração do teorema de Green é necessária a introdução de alguns conceitos, que estabelecerão BIOGRAFIA George Green nasceu em Sneinton, condado de Nottinghamshire 14 de Julho de 1793 e moerreu em Nottingham, 31 de Maio de 1841, foi um matemático e físico inglês. Na sua obra Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism (1828) introduziu a noção de função potencial no estudo dos campos magnéticos. O teorema de Green, que demonstrou em 1828 facilitou bastante o estudo das funções. Wikipedia a definição de dois novos operadores diferenciais vetoriais. O primeiro deles é o conceito de “densidade de fluxo em um ponto”. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial (velocidade de escoamento de um fluido) onde: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j j, Figura 9.1: Fluxo de F através do Retângulo f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e deriváveis em D. Consideremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: 168
- 165. Cálculo III AULA (x, y),(x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.1 9 ). A taxa com que F atravessa as arestas do retângulo são: em cima : F (x, y + ∆y) • ∆xj = f2 (x, y + ∆y)∆x em baixo : F (x, y) • (−∆x)j = −f2 (x, y)∆x à direita : F (x + ∆x, y) • ∆yi = f1 (x + ∆x, y)∆y à esquerda : F (x, y) • (−∆y)i = −f1 (x, y)∆y O fluxo total através das arestas do retângulo é: (f1 (x + ∆x, y) − f1 (x, y))∆y + (f2 (x, y + ∆y) − f2 (x, y))∆x Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1 (x+∆x, y)− ∂f2 ∂f1 ∆x e f2 (x, y + ∆y) − f1 (x, y) ≈ ∆y temos a f1 (x, y) ≈ ∂x ∂x seguinte aproximação para o fluxo de F através das arestas do retângulo: ∂f1 ∂f2 ∆x∆y + ∆y∆x ∂x ∂y Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos uma aproximação para a densidade de fluxo de F no retângulo. ∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y Agora vamos à argumentação heurística em que fazemos ∆x e ∆y tenderem a zero e podemos definir a densidade de fluxo do campo vetorial F no ponto (x, y). Definição 9.1. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial onde: F (x, y) = f1 (x, y)i 2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e i+f j, deriváveis em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial 169
- 166. Teorema de Greene Teorema de Stokes F no ponto (x, y), denominado divergente de F , denotado DivF ou • F por: def •F = ∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y Completaremos com “densidade de circulação em um ponto” os dois novos conceitos necessários ao estabelecimento do teorema de Green. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial (velocidade de escoamento de um fluido) onde: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j j, Figura 9.2: Circulação de F ao longo do Retângulo f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e deriváveis em D. Consideremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: (x, y), (x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.2 ). A soma das taxas de escoamento dos quatro lados do retângulo mede a circulação de F no sentido anti-horário. As taxas de escoamento ao longo de cada lado do retângulo são dadas por: em cima : F (x, y + ∆y) • (−∆xi = −f1 (x, y + ∆y)∆x i) em baixo : F (x, y) • ∆xi = f1 (x, y)∆x à direita : F (x + ∆x, y) • ∆yj = f2 (x + ∆x, y)∆y à esquerda : F (x, y) • (−∆y)j = −f2 (x, y)∆y 170
- 167. Cálculo III O escoamentototal ao longo das arestas do retângulo é: AULA 9 (f2 (x + ∆x, y) − f2 (x, y))∆y + (−f2 (x, y + ∆y) + f2 (x, y))∆x Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1 (x+∆x, y)− ∂f1 ∂f2 f1 (x, y) ≈ ∆x e f2 (x, y + ∆y) − f1 (x, y) ≈ ∆y temos a ∂x ∂x seguinte aproximação para o escoamento de F ao longo das arestas do retângulo: ∂f1 ∂f2 ∆x∆y − ∆y∆x ∂x ∂y Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos uma aproximação para a densidade da circulação de F no retângulo. ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y Fazendo ∆x e ∆y tenderem independentemente a zero podemos definir a densidade de circulação no ponto (x, y) por: Definição 9.2. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial onde: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contíj, nuas e deriváveis em D. Definimos a componente k da densidade de circulação do campo vetorial F no ponto (x, y), denominado rotacional de F , denotado RotF ou ( 9.3 def ×F)•k = × F por: ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y Teorema de Green O teorema de Green pode ser exposto de duas formas na primeira diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de 171
- 168. Teorema de Greene Teorema de Stokes uma curva fechada simples no plano é igual a integral dupla do divergente do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva, i.e. F •n = nds C D ∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y dxdy Na outra forma diz que a circulação no sentido anti-horário de um campo de força ao longo de uma curva simples e fechada no plano é igual a integral dupla da componente k do rotacional do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva. F •t = tds C D ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y dxdy Vamos agora e sem muita demora à demonstração do teorema de Green. Teorema 9.1. Sejam F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial dado por: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são j, contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada tal que retas paralelas aos eixos coordenados não a cortem Figura 9.3: Teorema de Green 172
- 169. Cálculo III AULA em maisque dois pontos e Seja R a região limitada por C então: 9 f1 dx + f2 dy = C R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y PROVA: Observando a Fig. 9.3 vemos C formada por duas parte orientadas dadas por: C1 : y = g1 (x) a ≤ x ≤ b C : y = g (x) b ≥ x ≥ a 2 2 Tomando um ponto arbitrário x ∈ (a, b) podemos integrar ∂f1 em ∂y relação a y nos limites y = g1 (x) até y = g2 (x). A saber: g2 (x) g1 (x) ∂f1 dy = f1 (x, y) ∂y g2 (x) g1 (x) = f1 (x, g2 (x)) − f1 (x, g1 (x)) Podemos então integrar este resultado na variável x nos limites x = a até x = b e temos: b a g2 (x) g1 (x) ∂f1 dydx = ∂y b (f1 (x, g2 (x)) − f1 (x, g1 (x)))dx a a = − b (f1 (x, g2 (x))dx − b = − f1 dx − C2 = − f1 (x, g1 (x)))dx a f1 dx C1 f1 dx C Que podemos reescrever como: − f1 dx = C R ∂f1 dxdy ∂y Por outro lado, observando a Fig. 9.4 a curva C pode ser dada por: 173
- 170. Teorema de Greene Teorema de Stokes C1 : x = h1 (y) c ≤ y ≤ d C : x = h (y) d ≥ y ≥ c 2 2 Figura 9.4: Teorema de Green Tomando um ponto arbitrário y ∈ (c, d) podemos integrar ∂f2 em ∂x relação a x nos limites x = h1 (y) até x = h2 (y). A saber: h2 (y) h1 (y) ∂f2 dx = f2 (x, y) ∂x h2 (y) h1 (y) = f2 (h2 (y), y) − f2 (h1 (y), y) Podemos então integrar este resultado na variável y nos limites y = c até y = d e temos: d c h2 (y) h1 (y) ∂f2 dxdy = ∂x d (f2 (h2 (y), y) − f2 (h1 (y), y))dy c d = c f2 (h2 (y), y)dy + c = − f2 dy − C2 = f2 dy C Que podemos reescrever como: 174 f2 (h1 (y), y)dy d f2 dy C1
- 171. AULA Cálculo III f2 dy= C R ∂f2 dxdy ∂x 9 Adicionando os dois resultados temos: f1 dx + f2 dy = C 9.4 R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema de Green comportem um grande número de curvas, muitas outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de que toda reta Figura 9.5: Curva Figura 9.6: Partição paralela aos eixos coordenados a cortem em no máximo dois pontos É o caso da curva dada na Fig. 9.5 visto que retas paralelas ao eixo x podem corta-la em até 4 pontos na parte de cima da curva. Nestes casos podemos estender o teorema de Green com o seguinte procedimento: Traçamos retas unindo pontos específicos da curva C como na Fig. 9.6 os pontos A, B e D de modo que 175
- 172. Teorema de Greene Teorema de Stokes as curvas formadas pela união de C1 com a reta AB bem como a união da curva C2 com a reta BD e a curva C3 com as retas DB e BA orientadas todas no sentido anti-horário contornando as regiões R1 R2 e R3 , respectivamente. As curvas acima descritas todas satisfazem a condição da demonstração do teorema de Green acima i.e. toda reta paralela aos eixos coordenados as cortam em apenas dois pontos. Desta forma aplicando o teorema de Green a cada uma das curvas temos: f1 dx + f2 dy + C1 f1 dx + f2 dy = AB f1 dx + f2 dy + C2 R1 f1 dx + f2 dy = BD f1 dx + f2 dy + C3 R2 f1 dx + f2 dy + BA R3 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y f1 dx + f2 dy = DB ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y Adicionando todas as equações e levando em conta que: f1 dx + f2 dy = − AB f1 dx + f2 dy BA f1 dx + f2 dy = − BD f1 dx + f2 dy, DB temos: f1 dx + f2 dy = C1 ∪C2 ∪C3 R1 ∪R2 ∪R3 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y E como C = C1 ∪ C2 ∪ C3 e R = R1 ∪ R2 ∪ R3 podemos finalmente escrever que para a curva C da Fig. 9.5 vale o teorema de Green: f1 dx + f2 dy = C 176 R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy. ∂x ∂y
- 173. Cálculo III AULA Uma outracategoria de regiões que não satisfaz a exigência da 9 demonstração do teorema de Green são regiões R com buracos Figura 9.7: Curva Figura 9.8: Partição como a da Fig. 9.7 onde a curva C ∗ que define a região do buraco está orientada no sentido horário. Uma solução está na partição dada na Fig. 9.8 onde repartimos R em oito sub-regiões R1 a R8 da seguinte forma: R1 limitada pelas curvas C1 , A2 A3 e A3 A1 , R2 limitada pelas curvas C2 , A4 A6 , C9 e A3 A2 , R3 limitada pelas curvas C3 , A5 A6 e A6 A4 , R4 limitada pelas curvas C4 , A7 A9 , C10 e A6 A5 , R5 limitada pelas curvas C5 , A8 A9 e A9 A7 , R6 limitada pelas curvas C6 , A10 A12 , C11 e A9 A8 , R7 limitada pelas curvas C7 , A11 A12 e A12 A10 , R8 limitada pelas curvas C8 , A1 A3 , C12 e A12 A11 . Em cada uma das oito regiões o teorema de Green pode ser aplicado individualmente e levando em conta que as integrais ao longo dos segmentos de reta se anulam mutuamente podemos escrever para a região R que: f1 dx + f2 dy + C C∗ f1 dx + f2 dy = R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y Podemos então relaxar um pouco as exigências do teorema de 177
- 174. Teorema de Greene Teorema de Stokes Green e reformula-lo como: Teorema 9.2. Sejam F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial dado por: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são j, contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então: f1 dx + f2 dy = C 9.5 R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y Verificação do Teorema de Green Caros alunos, nesta seção faremos uma verificação do teorema de Green. A saber: Exemplo 9.1. Considere a campo vetorial F : R2 → R2 dado por y x F (x, y) = − 2 i+ 2 j e a região com buraco limitadas 2 x +y x + y2 pelos círculos (ver Fig. 9.9): Figura 9.9: Verificação do teorema de Green 178
- 175. AULA Cálculo III C1 :x = b cos(t) y = b sin(t) t ∈ [0, 2π] 9 C2 : x = a cos(t) y = −a sin(t) t ∈ [0, 2π] onde a < b, C1 é percorrida no sentido anti-horário e C2 no sentido horário. Verificar o teorema de Green para os dados campo vetorial e região. SOLUÇÃO: Como o campo vetorial F (x, y) = −x2 yi + xy 2j temos suas componentes dadas por f1 (x, y) = −x2 y e f2 (x, y) = xy 2 ∂f1 ∂f2 e temos as derivadas e dadas por: ∂y ∂x ∂f1 ∂y = = (x2 + y 2 )(−1) − (−y)(2y) (x2 + y 2 )2 x2 − y 2 (x2 + y 2 )2 e ∂f2 ∂x = = Portanto (x2 + y 2 )(+1) − (−x)(2x) (x2 + y 2 )2 x2 − y 2 (x2 + y 2 )2 ∂f1 ∂f2 = e temos: ∂y ∂x R ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y dxdy = 0 Calculando a integral de linha em C1 temos: 179
- 176. Teorema de Greene Teorema de Stokes 1 (xdx − ydy) x2 + y 2 f1 dx + f2 dy = C1 2π C1 = 0 b2 cos2 (t) + b2 sin2 (t) dt + b2 cos2 (t) + b2 sin2 (t) 2π = dt 0 2π = t 0 = 2π E calculando a integral de linha em C2 temos: f1 dx + f2 dy = C2 C1 x2 2π = − 0 1 (xdx − ydy) + y2 a2 cos2 (t) + a2 sin2 (t) dt + a2 cos2 (t) + a2 sin2 (t) 2π = − = −t dt 0 2π 0 = −2π Temos então que: f1 dx + f2 dy + C1 f1 dx + f2 dy = 0 C2 E o teorema de Green é verificado: f1 dx + f2 dy + C1 180 f1 dx + f2 dy = C2 R ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y dxdy
- 177. AULA Cálculo III 9.6 9 Teorema deStokes Caros alunos, nesta seção trataremos do Teorema de Stokes, que é uma generalização do Teorema de Green. Porém, devido a dificuldade das técnicas usada em sua demonstração e que escapam ao escopo deste curso, nos limitaremos a apresenta-lo e fazer uma BIOGRAFIA aplicação do mesmo. Começamos por estender o conceito de densidade de circulação (rotacional). Como vimos anteriormente a componente k da densidade de circulação de um campo vetorial bi-dimensional F (x, y) = ∂f2 ∂f1 f1 (x, y)i + f2 (x, y)j é dada por: − . Em dimensão três, a ∂x ∂y densidade de circulação (rotacional) é um vetor normal ao plano de circulação cuja direção satisfaz a regra da mão direita. A taxa de rotação do fluido é medida pelo módulo do vetor rotacional. Vamos à definição: Definição 9.3. Seja F : D ⊂ R3 → R3 uma campo vetorial Sir George Gabriel Stokes nasceu em Skreen, Condando de Sligo, 13 de Agosto de 1819 e morreu em Cambridge, 1 de Fevereiro de 1903, foi um matemático e físico irlandês que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos (por exemplo, as equações de Navier-Stokes), na óptica e física matemática (Teorema de Stokes). Wikipedia tridimensional dado por: F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R são funções contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional de F , denotado RotF ou def ×F = ∂f3 ∂f2 − ∂y ∂z × F , é definido por: i+ ∂f1 ∂f3 − ∂z ∂x j+ ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y k Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes que nos diz que sob certas condições a circulação de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície S ⊂ R3 no sentido anti-horário com relação ao campo de vetores normais a S é igual a integral de superfície do componente normal do rotacional. 181
- 178. Teorema de Greene Teorema de Stokes Teorema 9.3. Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial F ao longo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da componente normal do rotacional i.e.: r F • dr = ( C ×f) •n ndσ S OBS 9.1. Se duas superfícies orientadas diferentes S1 e S2 tem a mesma borda C as integrais de superfície da componente normal do rotacional de um campo vetorial que atravessa ambas são iguais: ( ×f) •n = ndσ S1 ( ×f) •n ndσ S2 OBS 9.2. Se C é uma curva lisa do plano xy, orientada no sentido anti-horário e R a região de xy delimitada por C o vetor normal a R é n = k Daí, temos: k. ×F •n = ×F •k = ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y E o teorema de Stokes pode ser escrito como: r F • dr = C R ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y dxdy Que é o teorema de Green. Daí, se diz que o teorema de Green é um caso particular do teorema de Stokes. 182
- 179. AULA Cálculo III 9.7 Aplicação doTeorema de Stokes 9 Caros alunos, nesta seção faremos uma aplicação do teorema de Stokes. A saber: Figura 9.10: Verificação do teorema de Stokes Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial F : R3 → R3 dado por F (x, y) = (yz + xz)i + (xz + x)j + (xy − y 2 /2)k e a Curva C na qual o plano z = a > 0 corta o cone z = x2 + y 2 (ver Fig. 9.10) e determine a circulação de F ao longo de C. SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de F ao longo de C usaremos o teorema de Stokes. Percorrer C no sentido anti-horário visto de cima corresponde a tomar a normal n ao cone apontando para dentro. O cone pode ser parametrizado por: r ϑ) = ar cos(ϑ)i + ar sin(ϑ)j + ark ∀r ∈ [0, 1], ∀ϑ ∈ [0, 2π] r(r, k, As derivadas parciais r r e r ϑ são dadas por: 183
- 180. Teorema de Greene Teorema de Stokes r r = a cos(ϑ)i + a sin(ϑ)j + ak r ϑ = −ar sin(ϑ)i + ar cos(ϑ)j + 0k Daí, o produto vetorial r r × r ϑ pode ser calculado como: i k a cos(ϑ) r r × r ϑ = det j a sin(ϑ) a −ar sin(ϑ) ar cos(ϑ) 0 Daí, temos: r r × r ϑ = −ar cos(ϑ)i − ar sin(ϑ)j + ark Como, para uma superfície parametrizada temos: b d F •n = ndσ S ( a r × F ) • (r u × r v )dudv c Calculando o rotacional de F temos: i j k ∂ ∂ ∂ × F = det ∂x ∂t ∂z yz + xz xz + x xy − y 2 /2 Daí, temos: × F = −yi + xj + k E como 184 × F (x, y, z) = −yi + xj + k temos:
- 181. AULA Cálculo III 9 r × F• (r u × r v ) = +a2 r2 cos(ϑ) sin(ϑ) − a2 r2 cos(ϑ) sin(ϑ) + ar = ar E podemos calcular a integral de superfície como: 2π 1 F •n ndσ = ardrdϑ = aπ S 0 0 Usando o teorema de Stokes para calcular a circulação temos: r F • dr = C 9.8 ( × F ) • n = aπ ndσ S Conclusão Na aula de hoje, vimos dois grandes teoremas do Cálculo. O teorema de Green que relaciona o fluxo exterior através de uma curva lisa do plano de um campo vetorial com a integral dupla do divergente do campo vetorial sobre a região delimitada pela curva. O teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo de vetores tridimensional ao longo da borda de uma superfície no espaço com a integral de superfície da componente normal do rotacional do campo vetorial. RESUMO No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e teoremas: 185
- 182. Teorema de Greene Teorema de Stokes Densidade de Fluxo de um Campo Vetorial Bi-dimensional Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial onde: F (x, y) = f1 (x, y)i 2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e deriváveis i+f j, em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial F no ponto (x, y), denominado divergente de F , denotado DivF ou •F por: def •F = ∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y Densidade de Circulação de um Campo Vetorial Bi-dimensional Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial onde: F (x, y) = f1 (x, y)i 2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e deriváveis i+f j, em D. Definimos a componente k da densidade de circulação do campo vetorial F no ponto (x, y), denominado rotacional de F , denotado RotF ou × F por: def ×F = ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y Teorema de Green Sejam F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial dado por: F (x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j f1 , f2 : D ⊂ R2 → R são contínuas e deriváj, veis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então: f1 dx + f2 dy = C R ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y Rotacional Seja F : D ⊂ R3 → R3 uma campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i 2 (x, y, z)j 3 (x, y, z)k onde f1 , f2 , f3 : i+f j+f 186
- 183. Cálculo III AULA D ⊂R3 → R são funções contínuas e com derivadas parciais de 9 primeira ordem contínuas. O rotacional de F , denotado RotF ou × F , é definido por: def ×F = ∂f3 ∂f2 − ∂y ∂z i+ ∂f1 ∂f3 − ∂z ∂x j+ ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y k Teorema de Stokes Sejam F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial F ao l.ongo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da componente normal do rotacional i.e.: r F • dr = C ( ×f) •n ndσ S PRÓXIMA AULA Na próxima aula estudaremos outro importante teorema do Cálculo atribuído ao Matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss resumidamente denominado de “Teorema da Divergência”. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 9.1. Sejam F : R2 → R2 o campo vetorial bi-dimensional dado por: F (x, y) = yi j e R ⊂ R2 a região limitada pelo círculo i+0 187
- 184. Teorema de Greene Teorema de Stokes C ⊂ R2 dado por: x2 + y 2 = a2 . Verifique o teorema de Green para este campo vetorial e esta região. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 9.2. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) = x2i + xj + zk e R ⊂ R2 a região limitada pela elipse C ⊂ R2 dado por: a2 x2 + y 2 = a2 . Use o teorema de Stokes e determine a circulação do campo F ao longo da curva C no sentido anti-horário quando vista de cima. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 188
- 185. AULA Teorema de Divergência META: Apresentaro teorema de Gauss e algumas de suas aplicações. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar o teorema de Gauss. Determinar o divergente de um campo vetorial e determinar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I e aula 08. 10
- 186. Teorema de Divergência 10.1 Introdução Carosalunos terminamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Teorema da Divergência”, atribuído ao Matemático alemão BIOGRAFIA Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, 30 de Abril de 1777 e morreu em Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855, foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram Gauss o maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240. Wikipedia Johann Carl Friedrich Gauss e mais tarde atribuido também ao Matemático russo Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. O teorema de Gauss, ou teorema da divergência, relaciona uma integral tripla num sólido D ⊂ R3 com a integral sobre a superfície S ⊂ R3 que é fronteira deste sólido. 10.2 Preliminares Como preliminares precisaremos apenas estender a definição de divergente de um campo vetorial bi-dimensional, visto na aula anterior, para o divergente de um campo vetorial tridimensional. Vamos logo à tarefa. Definição 10.1. Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos o divergente de F , denotado DivF ou • F , por: def •F = ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + ∂x ∂y ∂z Exemplo 10.1. Seja F : D ⊂ R3 → R3 o campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = x2 yzi + xy 2 zj + xyz 2k O seu k. divergente será: 190
- 187. Cálculo III AULA 10 •F ∂ 2 ∂ ∂ (xyz) + (xy 2 z) + (xyz 2 ) ∂x ∂y ∂z = 2xyz + 2xyz + 2xyz = = 6xyz 10.3 Teorema da Divergência Caros alunos, nesta seção vamos estudar a transformação de certas integrais de volume em integrais de superfícies que é o análogo no espaço do teorema de Green (em sua forma divergente) estudado na aula anterior. Como condições impostas primeiramente ao campo vetorial F é que ele tenha componentes contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas o que já basta para o nosso propósito. Quanto a região D ⊂ R3 , desejamos que ela seja regular e suave, tenha fronteira S ⊂ R3 regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos Uma tal região será aqui chamada de região simples. Um exemplo de tal região é a limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . Vamos ao enunciado e a demonstração do teorema da divergência. Teorema 10.1. Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem 191
- 188. Teorema de Divergência contínuasem D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos (ver Fig. 10.1) então: Figura 10.1: Teorema da divergência • F dxdydz = D F •n ndσ S PROVA: Quando projetamos uma região regular e simples D no plano xy, sua fronteira S consiste de duas partes S1 e S2 dadas pelas funções: z1 (x, y) e z2 (x, y) respectivamente (ver Fig. 10.1). Seja f3 (x, y, z) uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Então: D 192 ∂f3 dV ol = ∂z z2 (x,y) dxdy Sxy z1 (x,y) ∂f3 dz ∂z
- 189. AULA Cálculo III 10 Integrando esubstituindo os limites temos: D ∂f3 dV ol = ∂z f3 (x, y, z2 (x, y))dxdy − Sxy − f3 (x, y, z1 (x, y))dxdy Sxy Seja n = nxi + nyj + nz k a normal a S em cada ponto (x, y, z) ∈ S apontando para fora de D e seja γ o ângulo entre n e k desta n k| forma temos: n • k = nz = cos(γ).|n k i.e. cos(γ) = nz em S2 e n|.| cos(γ) = −nz em S1 . Daí, e do fato de que dxdy = cos(γ)dσ onde dσ é o elemento de área em S, temos: f3 (x, y, z2 (x, y))dxdy = f3 nz dσ Sxy S2 e também: f3 (x, y, z1 (x, y))dxdy = − f3 nz dσ S1 Sxy Daí, e da expressão anterior temos: D ∂f3 dV ol = ∂z f3 nz dσ + S2 = f3 nz dσ S1 f3 nz dσ S2 ∪S1 Como S = S2 ∪ S1 temos: D ∂f3 dV ol = ∂z f3 nz dσ S De forma análoga, usando as projeções de D sobre os planos coordenados yz e xz podemos deduzir que: 193
- 190. Teorema de Divergência D ∂f1 dVol = ∂x S D ∂f2 dV ol = ∂y S f1 nx dσ e também: f2 ny dσ Somando as três equações acima temos: D ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + ∂x ∂y ∂z dV ol = (f1 nx + f2 ny + f3 nz )dσ S Como F = f1i + f2j + f3k temos: F • n = f1 nx + f2 ny + f3 nz ∂f1 ∂f2 ∂f3 •F = + + ∂x ∂y ∂z E temos então: • F dV ol = D 10.4 F •n ndσ S Estendendo o Teorema da Divergência Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema da divergência comportem um grande número de regiões D, muitas outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de ser uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados 194
- 191. AULA Cálculo III 10 Figura 10.2:Teorema da divergência que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos. È o caso da região dada pela Fig. 10.2. Observando porém, que se a região D puder ser decomposta em um número finito de sub-regiões simples, podemos escrever o teorema da divergência em cada uma das sub-regiões e somar o resultado, de forma que para a região D o teorema continue válido. Desta forma podemos enunciar uma forma mais ampla do teorema da divergência. A saber: Teorema 10.2. Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então: F •n ndσ • F dxdydz = D S 195
- 192. Teorema de Divergência 10.5 AlgumasAplicações do Teorema da Divergência Caros alunos, nesta seção faremos algumas aplicações do teorema da divergência. A primeira é no calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional, a segunda no cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através de uma superfície fechada em cujo interior encontra-se a carga elétrica e a terceira na redução da forma integral da lei de balanço de massa à sua forma diferencial pontual. Exemplo 10.2. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) = xi + yj + zk e D a região delimitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 . Determine o fluxo exterior de F dado por F •n ndσ através da superfície da esfera. S Vamos ao calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional. SOLUÇÃO: Do teorema da divergência temos: F •n = ndσ S • F dV ol D Portanto basta calcular a integral tripla sobre a região da esfera do divergente de F . Como F (x, y) = xi + yj + zk seu divergente será: •F 196 ∂ ∂ ∂ (x) + (y) + (z) ∂x ∂y ∂z = 3 =
- 193. AULA Cálculo III 10 Daí, temos: F•n ndσ = 3dV ol S D = 3 dV ol D = 4πa3 Vamos ao cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através de uma superfície S ⊂ R3 em cujo interior encontra-se a carga elétrica. Exemplo 10.3. O campo elétrico gerado por uma carga elétrica pontual q localizada na origem é dado por: E= q r r 4π 0 |r 3 r| r Como r = xi + yj + zk colocando φ = |r = k, r| E= x2 + y 2 + z 2 temos: q F 4π 0 1 r r. φ3 Podemos escrever o vetor F em suas componentes como: onde F = F = x y z i + 3j + 3k 3 φ φ φ Calculando as derivadas parciais das componentes de F temos: ∂ ∂x x φ3 φ3 − 3xφ2 = ∂φ ∂x φ6 197
- 194. Teorema de Divergência r Comoφ = |r = r| x2 + y 2 + z 2 temos: ∂φ = ∂x x x2 + x φ3 = ∂ ∂y y φ3 = φ3 − 3y 2 φ φ6 ∂ ∂z z φ3 = x φ φ3 − 3x2 φ φ6 φ3 − 3z 2 φ φ6 + z2 = y2 Logo: ∂ ∂x De modo análogo temos: e também: Somando as três equações temos: x φ3 ∂ ∂y y φ3 + •F = ∂ ∂x ∂ ∂x x φ3 + ∂ ∂z z φ3 3φ3 − 3(x2 + y 2 + z 2 )φ φ6 3φ3 − 3φ2 φ = φ6 = 0 = Logo como: E também como •E = + q 4π ∂ ∂y y φ3 ∂ ∂z • F temos: 0 •E = 0 198 + z φ3 =0
- 195. Cálculo III AULA Tomando D∗como a região entre S e uma esfera centrada na 10 origem Sa e cujo raio a seja suficiente para que S permaneça no interior da esfera eaplicando o teorema da divergência temos: • E ol = 0 EdV E •n = ndσ D∗ S∪Sa Logo o fluxo de E através de S no sentido que se afasta da origem é o mesmo que o fluxo de E através de Sa no sentido que se afasta da origem. Como fluxo de E através de Sa no sentido que se afasta da origem q é temos: 0 E •n = ndσ q 0 S Como última aplicação veremos como reduzir da forma integral para a forma diferencial pontual a equação de balanço de massa conhecida como Lei de Lavoisier. Sejam D ⊂ R3 uma região regular e suave do espaço e v : D ⊂ R3 → R3 um campo de velocidade de um fluido cuja densidade de : D ⊂ R3 → R+ e que preenche D. Em sua massa é dada por forma integral o balanço de massa estabelece que ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 regular e suave com fronteira S ∗ regular e suave vale: d dt v •n = 0 ndσ dV ol + D∗ S∗ onde a primeira integral representa a variação total da massa dentro da região D∗ e a segunda representa a variação de massa que penetra em D∗ pela superfície S ∗ . Usando o teorema da divergência temos: d dt •( v v)dV ol = 0 dV ol + D∗ D∗ 199
- 196. Teorema de Divergência Daí,tomando regiões D∗ que não variem com o tempo d dt dV ol = D∗ D∗ ∂ dV ol ∂t E podemos reformular a equação de balanço de massa para a forma: D∗ ∂ + ∂t • ( v dV ol = 0 v) Como a integral acima vale ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 podemos dividi-la por V ol(D∗ ), usar o teorema do valor médio para integrais, fazer V ol(D∗ ) tender a zero e concluir que: ∂ + ∂t •( v =0 v) Que a forma diferencial pontual da equação de balanço de massa. 10.6 Conclusão Na aula de hoje, vimos um importante teorema do Cálculo denominado “Teorema da Divergência” atribuído aos Matemáticos Gauss e Ostrogradsky. Tem forte conotação física e é utilizado para reduzir as leis de conservação de sua forma integral para forma diferencial pontual. RESUMO No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e teoremas: 200
- 197. AULA Cálculo III Divergente deum Campo Vetorial Tridimensional 10 Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos o divergente de F , denotado DivF ou def DivF = • F , por: ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + ∂x ∂y ∂z Teorema da Divergência: Forma Restritiva Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos então: • F dxdydz = D F •n ndσ S Teorema da Divergência: Forma mais Ampla Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial tridimensional dado por F (x, y, z) = f1 (x, y, z)i + f2 (x, y, z)j + f3 (x, y, z)k tal que suas 201
- 198. Teorema de Divergência componentesf1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 → R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então: • F dxdydz = F •n ndσ D S ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 10.1. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) = x2i − 2xyj + 3xzk e D ⊂ R3 a região limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 e z ≥ 0 (acima do plano z = 0). Use o teorema da divergência e determine o fluxo exterior através da fronteira da região D. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 10.2. Sejam F : R3 → R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F (x, y) = xi + yj + zk e suponha que a região D ⊂ R3 seja uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave,. Mostre que o volume V ol(D) da região D é dado pela fórmula: V ol(D) = 202 1 3 F •n ndσ S
- 199. Cálculo III AULA 10 . Comentário: Volte aotexto e reveja com calma e atenção o texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 203