Este documento apresenta o sumário de um curso de cálculo com 17 aulas que abordam os principais tópicos da disciplina, como limites, derivadas, integrais e funções de várias variáveis.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
- Contributing to open source projects to build experience and network.
- Developing a personal brand through a website and social media presence.
- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Applitools
During this webinar, Anand Bagmar demonstrates how AI tools such as ChatGPT can be applied to various stages of the software development life cycle (SDLC) using an eCommerce application case study. Find the on-demand recording and more info at https://applitools.info/b59
Key takeaways:
• Learn how to use ChatGPT to add AI power to your testing and test automation
• Understand the limitations of the technology and where human expertise is crucial
• Gain insight into different AI-based tools
• Adopt AI-based tools to stay relevant and optimize work for developers and testers
* ChatGPT and OpenAI belong to OpenAI, L.L.C.
The document discusses various AI tools from OpenAI like GPT-3 and DALL-E 2, as well as ChatGPT. It explores how search engines are using AI and things to consider around AI-generated content. Potential SEO uses of ChatGPT are also presented, such as generating content at scale, conducting topic research, and automating basic coding tasks. The document encourages further reading on using ChatGPT for SEO purposes.
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
This session highlights best practices and lessons learned for U.S. Bike Route System designation, as well as how and why these routes should be integrated into bicycle planning at the local and regional level.
Presenters:
Presenter: Kevin Luecke Toole Design Group
Co-Presenter: Virginia Sullivan Adventure Cycling Association
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...DevGAMM Conference
Has your project been caught in a storm of deadlines, clashing requirements, and the need to change course halfway through? If yes, then check out how the administration team navigated through all of this, relocating 160 people from 3 countries and opening 2 offices during the most turbulent time in the last 20 years. Belka Games’ Chief Administrative Officer, Katerina Rudko, will share universal approaches and life hacks that can help your project survive unstable periods when there seem to be too many tasks and a lack of time and people.
This presentation was designed to provide strategic recommendations for a brand in decline. The deck also incorporates a situational assessment, including a brand identity, positioning, architecture, and portfolio strategy for the Brand.
Presentation originally created for NYU Stern's Brand Strategy course. Design by Erica Santiago & Chris Alexander.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
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Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
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- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Applitools
During this webinar, Anand Bagmar demonstrates how AI tools such as ChatGPT can be applied to various stages of the software development life cycle (SDLC) using an eCommerce application case study. Find the on-demand recording and more info at https://applitools.info/b59
Key takeaways:
• Learn how to use ChatGPT to add AI power to your testing and test automation
• Understand the limitations of the technology and where human expertise is crucial
• Gain insight into different AI-based tools
• Adopt AI-based tools to stay relevant and optimize work for developers and testers
* ChatGPT and OpenAI belong to OpenAI, L.L.C.
The document discusses various AI tools from OpenAI like GPT-3 and DALL-E 2, as well as ChatGPT. It explores how search engines are using AI and things to consider around AI-generated content. Potential SEO uses of ChatGPT are also presented, such as generating content at scale, conducting topic research, and automating basic coding tasks. The document encourages further reading on using ChatGPT for SEO purposes.
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
This session highlights best practices and lessons learned for U.S. Bike Route System designation, as well as how and why these routes should be integrated into bicycle planning at the local and regional level.
Presenters:
Presenter: Kevin Luecke Toole Design Group
Co-Presenter: Virginia Sullivan Adventure Cycling Association
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...DevGAMM Conference
Has your project been caught in a storm of deadlines, clashing requirements, and the need to change course halfway through? If yes, then check out how the administration team navigated through all of this, relocating 160 people from 3 countries and opening 2 offices during the most turbulent time in the last 20 years. Belka Games’ Chief Administrative Officer, Katerina Rudko, will share universal approaches and life hacks that can help your project survive unstable periods when there seem to be too many tasks and a lack of time and people.
This presentation was designed to provide strategic recommendations for a brand in decline. The deck also incorporates a situational assessment, including a brand identity, positioning, architecture, and portfolio strategy for the Brand.
Presentation originally created for NYU Stern's Brand Strategy course. Design by Erica Santiago & Chris Alexander.
1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA
Ot CÊNCAS SOCIAIS E EDU
--..~RO C,.qç_
C~~ ~O
,
Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Prof. DT. Fábio José da Costa Alves
Prof. Esp. Everaldo Raiol da Silva
BELÉM-PA-2008
2. SUMÁRIO
Aula 1 LIMITES 01
Aula 2 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 14
Aula 3 LIMITES FUNDAMENTAIS 24
Aula4 VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 32
Aula 5 RETA TANGENTE A UMA CURVA 35
Aula 6 A DERIVADA E SUAS PROPRIEDADES 40
Aula 7 ESTUDO DAS FUNÇÕES 49
Aula8 OTIMIZAÇÃO 54
Aula 9 REGRA DE L'HOSPITAL 58
Aula 10 INTEGRAL DEFINIDA 61
Aula 11 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - MUDANÇA DE VARIÁVEL 66
Aula 12 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTE 71
Aula 13 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO -INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES 77
PARCIAIS
Aula 14 ÁREA ENTRE CURVAS 84
Aula 15 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 89
Aula 16 FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 96
Aula 17 LIMITE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 105
Aula 18 DERIVADAS PARCIAIS 113
3. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 1
AULA 1: LIMITES
Objetivos:
• Calcular limites de função por meio de gráfico;
• Conceituar função continua;
• Estudar as propriedades operatórias dos limites de funções contínuas;
• Calcular limites de funções contínuas
Agora para iniciarmos nosso estudo do conceito de limite, realize a atividade
proposta a seguir, respondendo as questões e no fim de cada seqüência de
questões confira sua resposta, no final do texto da aula.
ATIVIDADE
o gráfico abaixo representa uma função y= f(x)
Observe o gráfico e responda as questões a seguir.
y
6
x
1 ~
I
I
-3
I
-4 I
-5 I
I
01. Qual o valor da função quando x é igual a 8 ?
02. Qual o valor da função quando x é igual a 5?
03. Qual o valor da função quando x é igual a 9?
04. Qual o valor da função quando x é igual a -7?
05. Qual o valor da função quando x é igual a -5?
06. Qual o valor da função quando x é igual a -1?
07. Qual o valor da função quando x é igual a 7?
08. Qual o valor da função quando x é igual a -3?
09. Qual o valor da função quando x é igual a -2?
10. Qual o valor da função quando x é igual a -6?
11. Qual o valor da função quando x igual a 2? é
12. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 8 pela
direita?
13. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 8 pela
esquerda?
4. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 2
14. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 9 pela
direita?
15. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 9 pela
esquerda?
16. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 7 pela
direita?
17. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 7 pela
esquerda?
18. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 pela
direita?
19. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 pela
esquerda?
20. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 5 pela
direita?
21. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 5 pela
esquerda?
Em Matemática a pergunta: Para que valor a função se aproxima quando x se
aproxima muito de 7 pela esquerda? É equivalente a pergunta: Para que valor a
função tende quando x tende a 7 pela esquerda?
22. Para que valor a função tende quando x tende a 7pela direita?
23. Para que valor a função tende quando x tende a 8pela direita?
24. Para que valor a função tende quando x tende a 5pela esquerda?
25. Para que valor a função tende quando x tende a 5pela direita?
26. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela direita?
27. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela esquerda?
28. Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela esquerda?
29. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela direita?
30. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela esquerda?
Em Matemática a pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela
esquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6 pela
esquerda?
31. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela esquerda?
32. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela direita?
33. Qual é o limite da função quando x tende a -1 pela esquerda?
34. Qual é o limite da função quando x tende a -1 pela direita?
35. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela esquerda?
36. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela direita?
37. Qual é o limite da função quando x tende a -5 pela esquerda? ,
38. Qual é o limite da função quando x tende a -5 pela direita?
39. Qual é o limite da função quando x tende a 9 pela esquerda?
40. Qual é o limite da função quando x tende a 9 pela direita?
41. Qual é o limite da função quando x tende a 5 pela direita?
42. Qual é o limite da função quando x tende a 5 pela esquerda?
5. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 3
Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos que o limite
existe no ponto e o valor é o dos limites laterais.
43. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 9?
44. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 7?
45. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 5?
46. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 8?
47. Qual éo limite de f(x) quando x tende a -3?
48. Qual éo limite de f(x) quando x tende a -2?
49. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 2?
50. Qual éo limite de f(x) quando x tende a -1?
51. Qual éo limite de f(x) quando x tende a -6?
52. Qual éo limite de f(x) quando x tende a zero?
Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda? É
representado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6 pela direita?
x-eô
É Limf(x)
x~6+
Calcule:
53. Limf(x) 63. Lim f(x)
x~9+ X~ -1-
54. Lirnf(x) 64. Lim f(x)
x~9-
X~ -I
55. Lirn f(x) 65. Lim f(x)
x~9 X~ -3+
56. Lirn f(x)
x~5+
66. Lim f(x)
x~-3-
57. Lim f(x)
x~5- 67. Lim f(x)
x~-3
58. Lirn f(x)
x~5 68. Lim f(x)
x~ 2+
59. Lirnf(x)
x~7+ 69. Lim f(x)
x~2-
60. Limf(x)
c-vt: Lirn f(x)
61. Limf(x) 70. H2
x~7
62. Lirn f(x)
X~ -1 +
Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da função no
ponto dizemos que a função é continua no ponto.
71. A função f(x) é continua no ponto x = 7? Por que?
72. A função f(x) é continua no ponto x = 9 ? Por que?
73. A função f(x) é continua no ponto x = 5 ? Por que?
74. A função f(x) é continua no ponto x = -1 ? Por que?
75. A função f(x) é continua no ponto x = -3 ? Por que?
76. A função f(x) é continua no ponto x = -5 ? Por que?
77. A função f(x) é continua no ponto x = -6 ? Por que?
6. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 4
78. A função f(x) é continua no ponto x = -7 ? Por que?
79. A função f(x) é continua no ponto x = o ? Por que?
80. A função f(x) é continua no ponto x = 2 ? Por que?
Podemos operar com o limite da mesma forma que manipulamos as
expressões algébricas, por isto apresentaremos agora algumas propriedades de
operações com limite.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES:
Sejam as funções f(x) e g(x) continuas tais que lim f(x) = ~, lirn g(x) = L;
X---7X X---7X
o o
e k uma constante então valem as seguintes propriedades operatórias:
1) Limite de uma constante:
O limite de uma constante é a própria constante.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
~ Lirnk=k
X-7x •...•
I
c
Exemplos:
a) Lirn 5 = 5 b) Lirn 7 = 7
x --> 2 x-->o
2) Limite da soma:
O limite da soma é a soma dos limites.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
Lirn [f(x) + g(x)] = Lirn f (x) + Lirn g(x)
X---7Xo X---7Xo X---7Xo
Exemplos:
a) Lirn (x2 + 3x) = Lirn x2 + Lirn 3x = 22 + 3 x 2 = 10
x-->2 x-->2 x-->2
b) Lirn (2x3 + 3x2 +5x + 3) = Lirn 2X3 + Lim Sx' + Lim 5x + Lirn 3
x-->l x-->l x-->l x-->l x-->l
3 2 3
Lim (2x + 3x +5x + 3)= 2x1 + 3xe + 5xl + 3 = 13
x--> I
3) Limite da diferença:
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
Lim [f(x) - g(x)] = Lim f(x) - Lirn g(x)
X-7Xo X---7Xo X--Lro
Exemplos:
a) Lim (x2 - 3x) = Lim x2 - Lirn 3x = 22 - 3 x 2 = -2
x-->2 x-->2 x-->2
b) Lirn (2x3 - 3x2 - 5x - 3) = Lirn 2X3 - Lim Sx' - Lirn 5x - Lirn 3
x-s l x-e l x-->l x-e l x-->l
3 2 3 2
Lim (2x - 3x -5x - 3)= 2x1 - 3x1 -5xl-3 =-9
x--> I
4) Limite do produto:
7. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 5
o limite
do produto é o produto dos limites.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
- Lim [f(x)xg(x)] = Lim f(x)xLim g(x)
x~xo x~xo x---?xo
1
Exemplos: Lim (x2 x3x) = Lim x2 xLirn 3x = 22 x(3x2) = 4x6 = 24
x->2 x->2 x->2
5) Limite do quociente:
O limite do quociente é o quociente dos limites.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
Limf(x)
L · f()
1m -- x = --"---
X->Xo
com Limg(x)::;t O
x->xo g(x) Limg(x)' x---?xo
X->Xo
Exemplos: Lim~= ~~~X2 =~=i
H2 x-t-I Limlx+I] 2+1 3
x->2
O limite da potência é a potência do limite.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:
rI Lim[f(x)]1I
x->xo
= [Lirnf(x)JII
x->xo
Exemplo: Lim x ' = [LimxJ3 = [2r =8
x->2 x->2
Agora vejamos um resultado muito importante:
Proposição 1: Toda função polinomial é contínua.
Este resultado garante que o cálculo do limites de funções da forma como
f( x ) = a x + an_, x + a"_2x ,,-2 + .....+ a2x 2 + a,x + ao sao con ti
ll
11 11-' -
muas.
Desse modo o cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio do
calculo da imagem no ponto.
Exemplo:
Dado f(x) =X3 +2X2 +1 calcule o Lirnf(x)
x->2
Solução
Como f(x) = x3 + 2X2 + 1 é uma função polinomial então Lirnf(x) = f(2)
x->2
Assi . Limftx =f(2)=23+2x22+1=17
=
8. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 6
RESUMO
• A pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela
esquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6
pela esquerda?
• Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos que
o limite existe no ponto e o valor é o dos limites laterais.
• Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda?
É representado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6
x-->6 -
pela direita? É Lim f(x)
x -->6 +
• Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da função
no ponto dizemos que a função é continua no ponto.
• O limite de uma constante é a própria constante.
• O limite da soma é a soma dos limites.
• O limite da diferença é a diferença dos limites.
• O limite do produto é o produto dos limites.
• O limite do quociente é o quociente dos limites.
• O limite da potência é a potência do limite.
• O cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio do calculo da,
imagem no ponto.
Resposta das atividades
1. f(B) = o
2. f(5) =-3
3. [(9) = 1
4. f(-7) = 3
5. f(-5) = t9
6. f(-1) =~
7. 1(7) =1
8. f(-3) =4
9. f(-2) = tl
10.f(-6) = 5
11.f(2) = ~
12. ta função se aproxima de zero
13. a funçã.o se aproxima de zero
14. a funçâo se apro xíma de 1
15. a função se aproxima de 1
16. a função se aproxima de 3
17. a função se apro xima de 3
9. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 7
18. não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é defínida em ] - 3,-2[
19. a função se aproxima de 4
20. a função se aproxima de - 2
21. a função se aproxima de - <1
22. a funçâo se aproxima de 3
23. a função se aproxima de zero
24. a função se aproxima de - 2
25. a função se aproxíma de - 4
26. não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é definida em ] - 3,-2(
27. a função se aproxima de 4-
28. a função se aproxima. de 5
29. a funçao se aproxima de 1
30. a função se aproxima de 1
31. o limite peta esquerda e'm- 3 não existe
32. o limite pela direita em - 3 é 4-
33. o limite pela esquerda e'm-l é4
34. o limite pela direita em - 1 é 4'
35. o limize pela esquerda em 7 é 3
36. o limite pela direita em 7 é 3
37. o limite pela esquerda em - 5 é 3
38. o limite pela direita em - 5 é 2
39. o limiz« pela esquerda em 9 é 1
40. o limite pela direita em 9 é 1
41. o limite pela direita em 5 é - 2
42. o limite pela esquerda em 5 é - 4
43. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 1
44. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 3
45. o limite de f(x) quando a x tende 5 não existe.os Iimizes laterais são diferentes
46. O limite de fCx) quando a x tende 8 é zero
47. o limite de f(x) quando a x tende - 3 não existe, não existe o limite pela direita
48. o limite de f{x) quando a x tende - 2 não existe, não existe o limite a esquerda
49. limite de t(x) quando a x tende - 2 não existe
(1
50. o limite de f(x) quando a x tende - 2 é <1
51. o limite de f(x) quando a x tende - 6 éS
52. o limite de f(x) quando a x tende zero é:5
53. Lirn f(x)
x....,9+
=1
54. Lirn f(x) = 1
x....,9-
55. Lirnf(x)
x....,9
=1
56. Lirnf(x) =-2
x---t5 +
57. Lirnf(x) =-4
x....,5 -
10. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 8
58. Lim f(x)
X--75
= não existe
59. Lim f(x) = 3
x-:;7 +
60. Limf(x) = 3
X--77-
61. Lim f(x) = 3
X--77
62. Lim f(x)
X--7 -) +
=4
63. Lim f(x)
X--7 -1-
=4
64. Lim f(x)
X--7 -I
=4
65. Lim f(x)
X--7 ·3 +
= não existe
66. Lim f(x) = 4
X--7 -3-
67. Lim f(x) = não existe
X--7 -3
68. Lim f(x)
X--72+
= +00, não existe
69. Lim f(x) = -00, não existe
X--72-
70. Lim f(x)
X--72
= não existe
71. f(x) não é continuo em x = 7
72. f(x) é continuo em x =9
73. f(x) não é continuo em x = 5
74. f(x) não é continuo em x =-1
75. f(x) não é continuo em x = - 3
76. f(x) não é continuo em x = - 5
77. f(x) é continuo em x = - 6
78. f(x) não é continuo em x = - 7
79. f(x) é continuo em x = O
80. f(x) não é continuo em x = 2
QUESTÕES
(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo
11. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 9
y
6 -------------------~-------~
I
I
I
I
I
I
~ f(x)
I
I
I
.--
x
5 7 9 10
a) f(5) = j) Lim f(x) =
b) f(7) = x~7
k) Lim f(x)=
c) f(9) = x~9+
d) f(10) = I) Lim f(x)=
e) Lim f(x) = x~9-
x~5+ m) Lim f(x) =
f) Lim f(x)= x~9
x~5- n) Lim f(x) =
g) Lim f(x) = x~lO+
x~5 o) Lim f(x) =
h) Lim f(x) = x~lO-
x~7+ p) Lim f(x)=
i) Lim f(x) = x~lO
x~7-
(02) Calcule os limites
a) LimlO=
x~5
e) Lim xtx '
X---72
-2i =
2
f) Lim x -2 =
b) Lim(2x-l) = X---72 x'
X---72
2
c) Lim (x + 2x-l) =
X---7-]
d) Lim (x ' -7x2
X---7-]
- 3x- 9) =
(03) Calcule os seguintes limites
3X-2, x~l
(a) f(x) =
{ 4x-3, x x I (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
X~ 1+ X~ 1- X~ 1
2
(b) f(x) = {x + 1, x ~ O (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
x+l, x <O X~ 0+ X~ 0- X~ O
12. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 10
2+X2, x<2
(c) f(x) = O, x=2 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
! 3x, x> 2
x~2+ x~T x~2
x2, X <2
(d) f(x) = O, X =2 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
{ x~2+ x~T x~2
3x, x> 2
x2 + x, X <-1
(e) f(x) = 3, X = -1 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
{ x~ -1+ x~ -1- x~ -1
x+ 2, x>-l
(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas
3X-2, x~l
f(x) =
{ 4-x, x<l
(a) a função f(x) a cima é continua em x = 1.
2
f(X)={X +1, x~O
x+ 1, x < O
(b) a função f(x) a cima é continua em x = 1.
(05) Verifique se as funções são contínuas nos valores de x especificados
x
2
x<2
{SX - 2, x > 2
(a) f(x) =' em x = 2 (b) f(x) = 8, x =2 em x = 2
{
2x, x ~ 2 2x+ 4 , x< 2
2X' x>-2
2X-S, x ~ 3
(c) f(x)=
{
-4,x=-2 em x=-2 (d) f(x)=
{ 3-x, x <3
em x=3
-2+x, x<-2
13. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 11
(06) O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento R (T) com
temperatura T para uma colônia de bactérias.
(a) Qual o intervalo de temperaturas no qual a taxa de crescimento dobra de valor?
(b) O que se pode dizer a respeito da taxa de crescimento para 25 < T < 45?
(c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45 "C? Faz
sentido calcular lim R(T) ?
x--->50
R: (a) 10 < T < 15 (as respostas podem variar).
(b) A taxa de crescimento se mantém aproximadamente constante.
(c) A taxa de crescimento diminui para T > 45; lim R(T)
x--->50-
= O.
(07) No correio, a "função de porte" p(x) pode ser descrita da seguinte forma:
33 se O < x :s; 1
55 se 1< x:s; 2
p(x) = 77 se 2 < x:s; 3
275 se 11 < x :s; 12
onde x é o peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte,
em reais. Faça o gráfico de p(x) para O < x :s; 6. Para que os valores de x a função
p(x) é descontínua, dentro do intervalo O < x:s; 6?
R: p(x)é descontínua em x=1, 2, 3, 4 e 5:
50
.
2 3 6
(08) O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Sue
durante o período de 30 dias. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que
acontece nessas ocasiões?
Q (litros}
40" ,
14. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 12
R: O gráfico é descontínuo nos pontos x = 10 e x = 24. Nessas ocasiões, Sue está
provavelmente no posto de gasolina, enchendo o tanque. Sue, você se lembrou de desligar a
ignição e o telefone celular?
(09) O diagrama esquemático em anexo representa um circuito elétrico, o qua
consiste de uma força eletromotriz que produz uma voltagem V, um resistor co
resistência R, e um indutor com indutância L. a teoria dos circuitos elétricos mostr
que se uma voltagem for aplicada no instante t = 0, então a corrente I que percorre
o circuito no instante t é dado por 1= V. (1- e-RI/L). Qual o efeito sobre a corrente
R
num dado tempo t fixo, se a resistência tender a zero(isto é, R ~ 0+) R: Vt
L
(10) A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após
introdução de uma toxina é dada pela função: 2
t +7 se t < 5
f(t) =
{
R: (a) Depois de 9 minutos -8t+72 se t?:.5
(b) Porque fel) -10 < O e f(7) -10 > O e f(x) -10 é contínua no intervalo [1,7].
(11) O raio da Terra tem o raio de aproximadamente 6.400 km e um corpo situado a
x Km do centro da Terra pesa p(x) Kg, onde:
se x::; 6.400
P(X)={; se x > 6.400
x2
R: B = A(6.400)3
(12) Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade
estática, a intensidade do campo elétrico E (x) em um ponto P situado a uma
distância de x unidade do centro da esfera é dada por:
O se 0< x < R
1
E(x) = 2X2
se x=R
1
se x s R
x2
15. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 13
Faça um gráfico de E(x). A função E(x) é contínua para x> O?
R : E() nao e continua no ponto x = R .ja que lim -2 = -2
x
-" ., 1 1 -2
1
"* 2R .
HR+ X R
(13) Se R$ 1.000,00 são investidos a juros de 9% capitalizados n vezes por ano, o
I
montante após 1 ano será 1.000· (1+ 0, 09x F, onde x = 1/ n é o período de
capitalização. Assim, por exemplo, se n = 4, o período de capitalização é 1/4 de
ano, ou seja, 3 meses. No caso da chamada capitalização contínua dos juros, o
montante após 1 ano é dado pelo limite:
I
B= liq1.000·(1+0,09F
X---70
Estime o valor desse limite completando a segunda linha da tabela a seguir:
X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
I
lim 1.000·(1+0,09F
X---7O+
R:
X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
I
lim 1.000· (1 + 0, 09F 1.090 1.093,73 1.094,13 1.094,17 1.094,17
x---*o+
RESPOSTA
(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo
a) 6 j) 6
b) Não existe k) Não existe
c) Não existe I) 6
d) 6
e) 6 m) Não existe
f) 4 n) 6
g) Não existe o) Não existe
h) 6 p) Não existe
i) 6
(02) Calcule os limites
a) 10
b) 3
c) -2
d) -14
e) 64
f) 1/4
g) não existe
(03) Calcule os seguintes limites
(a) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1
16. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite
(b) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1
(c) (i) 6 (ii) 6 (iii) 6
(d) (i) 6 (ii) 4 (iii) não existe
(e) (i) 1 (ii) 3 (iii) não existe
(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas
(a) a função f(x) não é continua em x = 1.
(b) a função f(x) é continua em x = 1.
17. Aula 02 - Limite
AULA 2: LIMITES INFINITOS E NOINFINITO
Objetivos:
• Calcular limites no infinito;
• Calcular limite que tendem para o infinito;
• Estudar as propriedades dos limites no infinito;
• Estudar as propriedades dos limites que tendem para o infinito.
Iniciaremos nosso estudo de limite infinito estudando o gráfico da função
f (x) =..!. , cuja representação gráfica esta na figura abaixo.
x
Observe o gráfico de f (x) =..!. responda as seguintes questões:
x
(01) Qual o valor do limite de f(x) =..!. quando x cresce indefinidamente?
x
(02) Qual o valor do limite de f (x) =..!. quando x decresce indefinidamente?
x
Quando calculamos o limite de uma função f (x) com x
crescendo ou decrescendo indefinidamente dizemos que
estamos calculando o limite no infinito.
Representamos o limite de uma função f(x) com x crescendo indefinidamente por
Lim f(x)
X--++OO
e representamos o limite de uma função f (x) com x decrescendo indefinidamente
por
Um f(x)
x--+-oo
18. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite
Observando o gráfico da função f(x) =.!. , mostrado na figura anterior, temos qu
x
Lim ..!. = O e Lim ..!. = O
x->+oo X x->-oo X
Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas
teremos:
Lim..!. =_1_ = O
x->+oo X + 00
A expressão _1_ não tem nenhum significado de número
+00
fracionário, é somente uma representação do
comportamento da função quando x tende para o infinito, e
convencionamos por zero (_1_ = O).
+00
Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar que funções da fo
k
f(x) = -xn , com n *O e k constante, o valor do limite no infinito sempre resul
em zero, simbolicamente pode ser expresso por:
I Lim~=O
X--7+ x
OO
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim ~
X--7+OO X"
Solução: Lim-1
X--7+OO x'
=
(+
1
De r =0
Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim ~
X--7-oo x'
Solução: L· -3
im
1
= (-
1
)2 =
O
x->-oo X 00
Para aprofundarmos o estudo de limite no infinito responda as questões:
1) Determine o limite de f(x) = x2 quando x cresce indefinidamente.
2) Determine o limite de f(x) =x 2
quando x decresce indefinidamente.
3) Determine o limite de f(x) = x3 quando x cresce indefinidamente.
19. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite 16
5) Determine o limite de f(x) = x' quando x decresce indefinidamente.
o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2
16 I 16 16 16
,
i - -
14 I 14 14 14 I
12 i 12 12 12 !
10 I 10 10 10
Y B
6 I
4 I
2 i
~
o 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 9 16 25 36 49 64
Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x2 também cresce
indefinidamente, simbolicamente podemos representar por
Lim x2 =+00
o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2
16 16
14 14
12 12
10 10
Y B B
o - o _. ------
-4 -3 -2 -1 o
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1 4 9 16 25 36 49 64
Quando x decresce indefinidamente o valor da função f(x) =x 2
também cresce
indefinidamente, simbolicamente podemos representar por
Lim x2 = +00
x~-oo
o gráfico abaixo ilustra a função f(x) = x3
Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x3 também cresce
indefinidamente, simbolicamente podemos representar por
Lim x3 = +00
X-7+OO
20. ---------------- Aula 02 - Limite 1
Quando X decresce indefinidamente o valor da função f(x) = x' também decresc
indefinidamente, simbolicamente podemos representar por
Lim x3 =-ro
X-+ -00
Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas
teremos:
Lim x2 = _(ro)2=+00
x -+ -00
A expressão (-ror não tem nenhum significado de número,
é somente uma representação do comportamento da
função quando x tende para o infinito.
Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar:
1) quando x cresce indefinidamente o limite da função f (x) = x" sempre crescer,
indefinidamente, não irrportando se n for par ou ímpar, em símbolo temos:
00
2) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) x" sempre cresce I
indefinidamente, se n for par, em símbolo temos:
r Lim x" =+00 ,se n for par
x~ -00
3) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) =x" sernpi
decrescerá indefinidamente, se n for ímpar, em símbolo temos:
I Lim x" = +co ,se n for ímpar
x~ --00
lL- ~
~- --- -
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1- Determine o valor do limite Lim x5
X-+ + 00
Solução: Li1m x 5 = (+ ro) = +ro
5
x-++oo
Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim x6
X-fo +00
6 6
Solução: L1m x
o
= (+ ro) = +ro
x~ co
21. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite 18
Exemplo 3 - Determine o valor do limite Lim x'
X~-(X)
Solução: Lim x5 =(_00)5 =-00
x~-oo
Exemplo 4 - Determine o valor do limite Lim x"
X---7- OO
Solução: Lim x 6 = (- 00)6= +00
x,-oo
Dando prosseguimento ao nosso estudo, abordaremos agora um procedimento para
determinar o limite de polinômios quando x cresce ou decresce indefinidamente,
para tal, responda a seguinte questão:
(01) Determine o limite Lim (4x 5 + 2x4 - 3x3 - X + 7)
x-++«>
Solução
Primeiramente vamos colocar o monômio de maior grau em evidência
Lim (4x 5 + 2 x 4 - 3x 3 -x+7
" )"= LIm x 5 ( 4+--2 -4+5 1
2
3 7)
X-7+~ X-7+~ x X X x
Lembre-se que na primeira aula você aprendeu a seguinte propriedade
Lim [f(x) X g(x)] = Lim f(x)xLim g(x)
X---7Xo X---7Xo X---7Xo
de onde temos que
Lim (4x5 +2x4 -3x3 -x+ 7)= Lim x5 " Lim(4+~-~-~+2.) 4
X-7~ X-7+~ X-7+= X x2 x x5
Lembre-se também que
.-----------------------------~
Lim [f(x) + g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
X--7Xo X---7Xo X---7Xo
De onde temos
L" (4 +---2 3 -4+5
1m 2 1 7) = L" 4 + L" 2
1m 1m-- L" 3
1m--2 L" 1
lm-+4 L" 7
lm- 5
X-7~ X X X X X-7~ X-7+= X x
X-7+= X-7~x X-7~x
como
Lim~=O Lim~=O
X-7~x X-7~ x
Lim~=O Lim~=O
X-7~x x
X-7+=
temos que
Lim(4+ 2 -~-~+2-) = Lim4
X-7~ x x2 X x) X-7+=
Com isto podemos afirmar que
Lim (4x 5 + 2x4 - 3x3 - X + 7) = Lim x 5 " Lim 4
X---7+oo X--7 +00 X---7+oo
Que equivale dizer que
Lim (4x5 + 2x4 - 3x3 - x+ 7)= Lim 4x5 = +00
X---7+OO X---?+OO
22. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite
Podemos estender o raciocínio apresentado na questão anterior e afirmar qu
limite de um polinômio de grau n, quando x cresce ou decresce indefinidament
igual limite do monômio de grau n que está contido neste polinômio, e pode s
representado simbolicamente por:
Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim (x5 + x4 - x3)
X~+(X)
Solução: ' (5
LIffl x + x - x 4 3) = L'LIl] x 5 = +=
X4+oo x---?+oo
Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim (x - 3x4 - 2x3)
X~+OO
Solução: Lim (x - 3x4 - 2x3)= Lim (- 3x4)=-00
.~+- X~+-
, x5 -3x4 -2x3
Exemplo 3 - Determine o valor do limite L1m 4 3
x~+- 3x -2x
Solução:
, x5 -3x4 -2x3 Lim (x5 - 3x4 - 2x3) ,x5 ,x
x---?+oo
Lim 4 3 4 3
X~+- = Llm-= 4 L1m-=+=
X~+- 3x - 2x Lim (3x - 2x ) Lim 3x4 x~+- 3x X~+- 3
X-7+OO
' 3X4 -2x3
Exemplo 4 - Determine o valor do limite Lím 5 4 3
x~+- X -x -x
Solução:
3 4_ 2 3 Lim (3x4 - 2x3) Lim 3x4 3 4 3
Lim _x 4 X 3 = X~+-( 5 4 3) = X~+- = Lim ~ = Lim - = O
x ~ +- x~ - X - x Lim x - x - x Lim x5, x ~ +- x~ x ~ +- X
X~+OO x---?+<Xl
Exemplo 5 - Determine o valor do limite
Solução:
, 2X5 - 3x 4 - 2X3 Lim (2x5 - 3x4 - 2x3)
X---7+OO
Llm------,-
x~+- 3x5 - 4x4 + x3 Lim (3x5 - 4x4 + x3)
x---?+oo
' 3X4+X
Exemplo 6 - Determine o valor do limite Lim 2 3
x~-- 3-4x +x
Solução:
4 4
Lim
4
3x + x = !dr::
(3x + x) = 3x = Lim 3x = !dr:: -00
2 3 2 3
H-- 3 - 4x + x Lim (3- 4x + x ) Lim x3 x~--
X-7- OO x---?-oo
23. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite 20
Vamos estudar agora o limite no infinito, isto é, estudar situações onde
algumas funções f(x) crescem ou decrescem indefinidamente quando o valor de x
se aproxima de um determinado valor. Para isto, tomemos a função f(x) = ~, e
x
vamos responder a questão a seguir com base no gráfico da função que esta
ilustrado na figura a seguir.
1
1) Determine o limite de f(x) = -2 quando x se aproxima indefinidamente de zero
x
pela direita.
1
2) Determine o limite de f(x) =-2 quando x se aproxima indefinidamente de zero
x
pela esquerda.
3) Determine o limite de f(x) = _1_ quando x se aproxima indefinidamente de dois
x-2
pela direita.
4) Determine o limite de f(x) =_1_ quando x se aproxima indefinidamente de dois
x-2
pela esquerda.
A figura a seguir apresenta o gráfico da função f(x) =~
x
Antes de responder a questão (1) e (2) devemos fazer o estudo do sinal da
função f(x) = ~, que é:
x
• o
Podemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função que quando
o valor de x se aproxima indefinidamente de zero pela direita, o valor da função
. f(x) =~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
x
Um~=~
X~O+ x2
I +
.111--
O
24. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite 21
1
Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) =2 podemos observar que
x
quando x se aproxima indefinidamente de zero pela esquerda, o valor da função
f(x) =~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
x-
o
L lm-=+oo
1
x....,o- X 2
---+-.~I----
o
Se substituirmos o zero na função f(x) =~ teremos f(O) =.!. que representa
x O
uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de zero função
f(x) =~ tende para o infinito.
x
Antes de responder a questão (3) e (4) devemos fazer o estudo do sinal da
função f(x)=_l_, que é:
x-2
I
I
I
I
I
1
1
1
1
+
I
1
1
•
1
111
I'
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Podemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função f(x) = _1_
x-2
que quando o valor de x se aproxima indefinidamente de dois pela direita, o valor da
função f(x) = _1_ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar
x-2
por:
---I~-+-- 111
2
Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) =_1_ podemos observar que
x-2
quando x se aproxima indefinidamente de dois pela esquerda, o valor da função
f(x) = _1_
x-2
diminui indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
_
Lim-1- = -00
x....,T X - 2
•
2
I
1 1
Se substituirmos o dois na função f(x) = -- teremos
que f(O) =-
x-2 O
representa uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de dois
25. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite 22
função =_1_
f(x) tende para o infinito, que será +00 ou -00 dependendo do
x-2
estudo do sinal da função.
RESUMO
• Quando calculamos o limite de uma função f(x) com x crescendo ou
decrescendo indefinidamente dizemos que estam os calculando o limite no
infinito.
• A expressão _1_ não tem nenhum significado de número fracionário, é somente
+00
uma representação do comportamento da função quando x tende para o infinito,
e convencionamos por zero (_1_ = O).
+00
• Lim _1_ = O , n:;t-1
x~+~ xn
• A expressão (- 00)" não tem nenhum significado de número, é somente uma
representação do comportamento da função quando x tende para o infinito.
• Lim x"
X~~
= +00
• Lim x n = +00 , se n for par
x~-oo
• Lim xn = -00 , se n for ímpar
•
QUESTÕES
(01) Calcule os limites
3
(a) lim-_
x~+~ x~
-1
(b) lim-4
x~+~ X
-1
(e) lim-3
x~-~ x
-5
(d) lim-8
x~-= X
(02) Calcule os limites
(a) lim (4x2 -7x+3)
x~+oo
(b) lim (-3x3 + 2x2 - 5x + 3)
x~+oo
(e) lim (5x3 - 4x2 - 3x + 2)
x~-oo
26. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 02 - Limite
(d) lim (3x4 -7x3 +2x2 -Sx-4)
x--4 -00
(e) lim 2x~ + x + 3
x~+=5x +x+3
. 2X2 +x-7
(f) 1 ----::----
im
5
x~ += x - 2x + 9
. 2X5 +x
(g) 11m - 4
x~ += 3x) - 2x + 9
2
(h) lim 2X3 X + 3x
X~-= Sx-x
. x2 +x=']
(i) 11m ---=4--
x~-= x -2x
5
(j) lim x 5+ x
x~ -= 3x -9
(03) Calcule os limites
(a) 11m--
· 2 e 1·1ffi--
2
x~ 3+ X - 3 x~ r x - 3
. 6
(b) lim _6_ e 11m--
x~5+ x-s x~ 5- x-S
(c) lim-;- 6
e lim--
x~2+ x -4 X~r x2-4
. x
(d) lim _x_ e 11ffi--
-3+ x -9
2
x~ X~-r x -9
2
Resposta da atividade
(01) Calcule os limites
(a) O (b) O (e) O (d) O
(02) Calcule os limites
(a) +00 (b) - 00 (e) - 00
(d) +00 (e) +00 (f) O
(g) 2/3 (h) -00 (i) O
(j) 1/3
(03) Calcule os limites
(a) +00 e -00
(b) +00 e -00
(c) +00 e -00
(d) +00 e -00
27. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite 24
AULA 3: LIMITES FUNDAMENTAIS
Objetivos:
• Apresentar o limite exponencial fundamental;
• Apresentar o limite fundamental trigonométrico;
• Calcular limites envolvendo o limite exponencial fundamental;
• Calcular limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico.
Introdução
Vejamos a seguinte situação-problema!
Como cresceria um depósito bancário ao longo do tempo se os juros, ao
invés de serem creditados anualmente ou semestralmente, o fossem em
intervalos de tempos cada vez menores, até que os acréscimos pudessem ser
considerados instantâneos e sobre eles, imediatamente incidissem as mesmas
taxas de juros?
Este problema foi proposto por Jacques Bernoulli, matemático suíço, no século XVII.
A resolução do problema levou a necessidade de calcular o seguinte limite
( 1)"
Lim1+--;;
n.~oo
Vejamos alguns valores de 1)"
( 1+ n !
Para n = 10 temos que 1)"
( 1+--;; = 2.59374246010000
1)1!
Para n = 100 temos que ( 1+ n = 2.70481382942153
Para n = 1000 temos que (1 + ~J = 2.71692393223559
Para n = 10000 temos que ( 1+ n1)" = 2.71814592682493
1)"
Para n = 100000 temos que ( 1+--;; = 2.71826823719230
Como podemos observar que à medida que n aumenta o valor (1 + ~ J converge
para um valor próximo de 2,7182818284.
28. UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite
o
matemático suíço Leonardo Euler (pronuncia-se Oiler) dedicou-se ao
problema proposto por Jacques Bernoulli e concluiu que o valor do limite
Lim(l+ ~)' é um número que converge para próximo 2,7182818284.
r
n~oo
Anos depois outro matemático provou que o valor de Lim (1 + ~ éu
n~oo
número irracional.
Hoje o número resultante do cálculo de Lim(l + ~ )' é representado pela letra
n~oo
~r
e em homenagem ao matemático Euler.
Assim, podemos chegar ao seguinte resultado Lim~+ = e.
n-eco
( 1)'
O limite Lim 1+-;;-
n~oo
=e
Vejamos um teorema, sem sua demonstração que amplia dos naturais para os reai
a variável n.
Teorema:
Seja f a função definida em { XER x< -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ ) , então
Lim (1 + :) =e .
O limite de f a função definida em
{xER x<-1 ou x> O}porf(x) ( 1)'
= 1+~ queé Lim 1+ x (l)X =e
é denominado limite exponencial fundamental.
Agora vejamos as seguintes proposições que são conseqüências do limite
exponencial fundamental!
29. ,
UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite 26
Proposição X
Seja f a função definida em { XE R I x-, -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J' então
Lim(l+
X->-OO
~J = e,
Demonstração:
,Seja f a função definida em {XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J
Fazendo x = - (w+
1) e notando que se x tende a -00então w tende a +00,
Assim, temos que
l)X (' 1 )-<W+I)
Lim ( + x1 = Lim 1- w+ 1
X---7-OO
. ( w )-<10+1)
= Llm--
w+1
<IV+I)
' w+ 1
= L lm-- )
( w
= Lim ( 1+
1
w
)'"+1
w-+too
= Lim[(l + !)IV • (1 + !)]
w w
= Lim (1 + !)IV • Lim (1 +!)
w->_ W IV->_ vV
Desse modo, fica demonstrado que se f é uma função definida em
{ XE R I x < -1 ou x > O} por
f(x)
l)X
= ( 1+ x ' então Lim 1 + x
( l)X = e '
Proposição X
1
Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1 + x):;, então
1
Lime + x)-; = e ,
x->o
Demonstração:
1
Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1 + x)-; ,
1 1
Fazendo x =- temos que y = - ,
y x
30. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite
Assim, temos que
• quando x tende a 0+ , Y tende a +CXl;
• quando x tende a 0- , y tende a - CXl.
Desse modo, obtemos:
1) Lim(1+x)~ = Lim(1+~)Y
X~O+ Y y~-
=e;
2) Lim(1+x)~= Lim(1+~)Y
X~O- Y y~~
= e.
I I
Como Lim (1+ x)-; = Lim (1+ x)~ = e então
I
Lim (1+ x)~ = e , como queríamos demonstrar.
x~o
Agora vejamos a aplicação do limite exponencial e suas conseqüências no cál
de alguns limites.
Exemplo 1:
1)3X
Calcular l:J'!! ( 1+ x
Solução:
Como (1+ ~r :JJ
=[(1+ então
LiJn(1 + !)3X
x~_ X
= Lim[(1
x~_ + !)X]3
X
= [Lim(1
X~_ + !)X]3
X
=e 3.
Exemplo 2:
4)X
Calcu lar
x~_
Lim ( 1+-
x
Solução:
x
Fazendo w= - temos que x = 4w .
4
Assim, quando x tende a +00, w também tende a +00.
Desse modo,
Lim(l+
X~_ 4)X
X
= Lim(1+!)4W = Lim[(1+!)W]4 = [Lim(1+!)W]4
IV~_ W IV~_ w~_ W W
= e4
31. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite 28
• O limite trigonométrico fundamental
Agora vamos ver um resultado importante no cálculo devido, entre outros
motivos, o mesmo possibilitar a determinação do valor de outros limites.
Teorema:
Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx então Lim senx = 1.
X .(--H-oo X
Demonstração:
Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx.
x
Consideremos a figura abaixo
+ -
/
/
Suponhamos que o raio da circunferência é 1.
Seja x a medida em radianos do arco AÔM .
Limitando a variação de x ao intervalo (O, Te ) podemos da observação da
2
figura acima concluir que:
área do triângulo MOA < a área do setor MOA < área do triângulo AOT.
OAxMM' OAxAM OAxAT
Que equivale a afirmar que < < ---
2 2 2
Multiplicando a desigualdade acima por 2 temos que
- --- - ,....,..-.. -
AO xMM'< OA xAM < OA xAT
Como o raio AO é 1 então a ultima desigualdade é equivalente a
MM'< AM<AT
Da figura podemos concluir que MM' = senx , AM= x e AT = tgx.
Assim, a desigualdade MM'< AM< ATse torna equivalente a
32. UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite
senx < X < tgx .
Como senx > O para X em (O, 7r ), dividindo a desigualdade acima por
2
obtemos a seguinte desigualdade
x 1
1<--<--
senx cosx
Invertendo os termos da desigualdade teremos a inversão da desiguald
que nos dá a seguinte relação que é equivalente a ultima desigualdade
senx
1 > -- > cosx
x
- senx
C omo as f unçoes -- - t
e cosx sao pares emos que
x
sen C-x) _ senx
-~~ --- e cos(-x)= cosx.
C-x) x
Assim, podemos concluir que a desigualdade
senx
1 > -- > cosx
x
é válida para todo X ~ O.
Calculando o limite de cada termo da desigualdade quando x tende a zero
obtemos a seguintes desigualdade
Lx~o 1 < Lx~o senx Lx~o COSX
.
tm .
im==:" zm
x
.
Como Lim 1= 1 e Lim=» = 1então pelo teorema do confronto
x~o x~o
. senx
podemos afirmar que Lim -- = 1.
x~o x
A SSlm, d emons t ramos que
. L zm-- = 1.
. senx
x~o X
· .
O Iimite L tmr=::
. senx l' e con hecid o como
eCI
x~o X
limite trigonométrico fundamental!
Agora vejamos algumas aplicações do limite trigonométrico fundamental
cálculo de outros limites.
Exemplo 3
. sen3x
Calcular zm--·
Lx~o x
33. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite 30
Solução:
C 0mo L tmr=r: = L lm
' sen3x ' sen3x = 3 .1= 3 , en t-
' 3sen3x = L lm X L lm--
' 3 ao
x~o x x~o 3x x~o x~o 3x
.
po d emos conc Iurr que L lm--
' sen3x = 3 .
x~o X
Exemplo 4
, sen3x
Calcular Llm--.
x~o sen7x
Solução:
sen3x ' sen3x ' 3sen3x
L tm==r: L im
C omo L' lm--=
sen3x L' -x- x = x~o 3x
im = x~o ' 7sen7x
x~o sen7 x x~o sen7 x ' sen7x
L tm=:r: L tm
x x~o x x~o 7x
L'tm 3 - L'tm=:":
sen3x
3-1 3
x~o 3x x~o
= = =
L'im 7 - L'tm=z=:
sen7x 7 -I 7
x~o x~o 7x
A·ssirn po di'
emos conc uir que Ltm==z: = -.
' sen3x 3
x~o sen7x 7
RESUMO
- Lim(l+
11-700
~J é um número irracional aproximadamente igual a 2,7182818284;
- O número Lim 1 1)"
( +-;; é representado por e em homenagem ao matemático
suíço Leonardo Euler;
- Se f é a função definida em { XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J' então
Lim(l+ ~J =e;
- O Lim(l+~J = e é denominado limite exponencial fundamental.
X-7-OO
I
- Lim(1+x):;: = e;
x~o
- O limite Lim senx =1 é conhecido como limite trigonométrico fundamental!
x~o x
34. UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite
QUESTÕES
Calcule os limites abaixo
1)7X 3)X
01) Lim ( 1+- = 02) Lim ( 1+- =
x-H"" X x-Hoo x
x
03) Lim(l
X---7+oo
+ ~)4
x
= 04) Lim(l
X---7-<><>
+ a)bX=
x
05) Lim(_X_)X = 06) Lim(l- !)3X =
x +1
X--4+oo X---7-<><> x
3)2X
07) l:J'Z! ( 1- x = 08) Lim(X+4)X =
x--4+oo x- 3
09) Lim(x + 2)X = 10) Lim(X-4)X+3 =
X--4-<><> X +1 X---7+oo x-I
11) Lim sen5x = 12) Lim sen5x =
X---70 X X--40 3x
" sen(x2 + x) 14) Lim senSx2- 3x + 2) =
13) L
im (2 + X ) =
X--40 X H2 (x- - 3x + 2)
2
15) Lim senx = 16) Lim se~x =
X---70 X X--40 X
2
17) Lim sen;x -1) = 18) Lim sen(x -4) .,
X---70 x-I X--40 x- 2
2 2
19) Lim sen x = 20) L" sen 4x
X--40 X
zm
X--40 2x
2
21) Lim senx· sen~x • sm5x = 22) Lim senx + sen3x + s
X---70 X X--40 X
RESPOSTAS
3
01) e7 02) e3 03) e4 04) eab 05) e-1 06) e-3 07) e-6 08) e7 09) e 1
11) 5 12)1 13) 1 14) 1 15)0 16) Não existe 17) 1/2 18) 4 19) O
3
21) 15 22)9