Este documento discute as propriedades geométricas dos triângulos, incluindo: 1) as relações entre os ângulos e lados de um triângulo, como a soma dos ângulos internos igual a 180°; 2) as condições para a igualdade de triângulos, como lados iguais e ângulos adjacentes; e 3) pontos notáveis em um triângulo, como o incentro e o circuncentro.

1. Geometria
Triângulos
1. Considerações iniciais
2. Relações entre os elementos geométricos de um triângulo
2.1. Relações entre os ângulos
2.2. Relações entre os lados
2.3. Relações entre os lados e os ângulos de um triângulo
3. Construção e igualdade (congruência) de triângulos
4. Linhas e pontos notáveis (no plano) de um triângulo
ESE VESE VISEUISEU
PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA
PARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS

2. 1. Considerações Iniciais
Dados dois pontos não colineares, A, B e C chama-se triângulo ou trilátero à
intersecção dos três semi-planos cujas origens são as rectas definidas por aqueles pontos 2 a 2
e que contêm o outro ponto.
De outra forma, triângulo é qualquer polígono com três lados e três ângulos.
• Num triângulo, as duas semi-rectas que partem do mesmo vértice e contêm dois
lados, limitam um ângulo que se chama ângulo interno ou simplesmente ângulo que se diz
adjacente a qualquer desses lados.
• Ângulos externos de um triângulo são os ângulos formados por um dos lados e
pelo prolongamento do lado consecutivo.
Exemplo
HCIBCJCBEABDLAGFAB ∠∠∠∠∠∠ ;;;;; são ângulos externos do triângulo
[ABC].
Programa de Formação Contínua em Matemática

3. ELEMENTOS DO TRIÂNGULO [ABC]
Vértices – A, B, C.
Lados – [AB], [BC], [CA].
Ângulos - CABABC ∠∠∠ BCA,, são os ângulos internos
Num triângulo, um lado oposto a um ângulo é aquele que não está contido em nenhum
dos lados do ângulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Um triângulo pode ser classificado quanto à grandeza relativa dos seus lados e quanto
à amplitude / natureza dos seus ângulos internos.
Quanto à grandeza relativa dos lados, os triângulos classificam-se em:
1. Isósceles – quando têm pelo menos dois lados iguais.
2. Equiláteros – quando têm os três lados iguais.
3. Escalenos – quando têm os três lados desiguais.
Programa de Formação Contínua em Matemática

4. Quanto à natureza dos seus ângulos, os triângulos classificam-se em :
1. Rectângulos – quando têm um ângulo recto.
[AB] e [AC] são catetos; [BC] é a hipotenusa.
2. Acutângulos – quando têm todos os ângulos agudos
3. Obtusângulos – quando têm um ângulo obtuso.
2. Relações entre os elementos geométricos de um triângulo
2.1 Relação entre os ângulos
• A soma das amplitudes dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
º180=++
∧∧∧
cba
Programa de Formação Contínua em Matemática

5. • A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes
dos ângulos internos não adjacentes.
∧∧∧
+= caDBA
• A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é maior do que a amplitude de
qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
∧∧∧∧
>∧> cDBAaDBA
2.2 Relação entre os lados
• Num triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros
dois – Desigualdade triangular.
• Num triângulo, a medida de cada lado é maior que a diferença das medidas dos outros
dois.
• Num triângulo rectângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos – Teorema de Pitágoras.
Programa de Formação Contínua em Matemática

6. 2.3. Relação entre os lados e ângulos de um triângulo
• Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais e vice-versa.
∧∧
∧∧
=⇒=
=⇒=
caABBC
ABBCca
• Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e ao menor lado opõe-se o
menor ângulo) e vice-versa.
BCACABACcbab >∧>⇔>∧>
∧∧∧∧
3. Construção e igualdade (congruência) de triângulos
Dois triângulos dizem-se iguais ou congruentes se coincidem ponto por ponto. Em dois
triângulos congruentes, aos elementos iguais chamamos elementos correspondentes ou
homólogos.
Como foi referido, dois triângulos iguais têm os seis elementos iguais, cada um a cada
um. Porém, para afirmar a igualdade de triângulos, é suficiente saber-se que três determinados
Programa de Formação Contínua em Matemática

7. elementos são iguais. Assim, os casos apresentam-se, de seguida, com as respectivas
abreviaturas,
a.l.a – um lado ( l ) e dois ângulos adjacentes (a.a);
l.a.l – dois lados ( l.l ) e o ângulo por eles formado( a );
l.l.l – os três lados.
1º Caso de igualdade de triângulos (a.l.a.)
Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais,
cada um a cada um. (a.l.a. = a.l.a.)
MPNACP BMNCABMPAC
∧∧∧∧
===
CONSTRUÇÃO
Conhecidos dois ângulos, o terceiro também o é pois é o suplementar da soma daqueles.
Dados Construção
Desenha-se um segmento geometricamente igual a c e nos seus extremos ângulos
geometricamente iguais a A e B.
2º Caso de igualdade de triângulos (l.a.l)
Programa de Formação Contínua em Matemática

8. Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um e o ângulo por
eles formado igual. ( l.a.l = l.a.l )
PMNCABMPACMNAB
∧∧
===
CONSTRUÇÃO
Dados um ângulo e os lados que o formam,
Dados Construção
Constrói-se um ângulo geometricamente igual a C e sobre os seus lados consideram-se
segmentos geometricamente iguais a a e b. Unem-se os extremos destes dois segmentos.
Programa de Formação Contínua em Matemática

9. 3º Caso de igualdade de triângulos (l.l.l)
Dois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um a cada um ( l. l. l= l. l.
l).
NPMPMNAB === BCAC
CONSTRUÇÃO
Dados Construção
Desenha-se um segmento geometricamente igual a a. Com centro nos extremos desse
segmento, constroem-se circunferências de raios b e c. O ponto de intersecção dessas
circunferências é o terceiro vértice do triângulo.
Programa de Formação Contínua em Matemática

10. 4. Linhas e pontos notáveis (no plano) do triângulo
Mediatriz
Eixo ou mediatriz de um triângulo é a recta perpendicular ao
meio de qualquer dos seus lados.
• As mediatrizes de um triângulo encontram-se num
ponto que se designa por circuncentro do triângulo ou centro da
circunferência circunscrita no triângulo.
O circuncentro de um triângulo está equidistante dos vértices.
Bissectriz
Bissectriz de um triângulo é a bissectriz de qualquer dos seus
ângulos.
• As bissectrizes de um triângulo encontram-se num ponto que se
designa por incentro do triângulo ou centro da circunferência inscrita no
triângulo.
O incentro de um triângulo está equidistante de todos os lados.
Programa de Formação Contínua em Matemática

11. Altura
Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um vértice sobre o lado oposto ou sobre o
seu prolongamento.
• As alturas de um triângulo ou os seus
prolongamentos encontram-se num ponto designado por
ortocentro do triângulo.
Mediana
Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice com o ponto
médio do lado oposto.
• Ao ponto de encontro das medianas de um triângulo dá-se o nome de
baricentro (ou centro de gravidade) do triângulo.
A distância do baricentro de um triângulo a qualquer um dos seus vértices é
3
2
da mediana respectiva.
Na figura,
____ ____
2 2 2
, ,
3 3 3
OA AP OC CF OB BE= = =
Programa de Formação Contínua em Matemática

12. EIXOS DE SIMETRIA DE ALGUNS TRIÂNGULOS
Uma figura admite um eixo de simetria se, “dobrando” o desenho da figura pelo eixo, as duas partes do
desenho coincidem ponto por ponto.
Uma figura pode ter um ou mais eixos de simetria, mas nem todas as figuras têm eixos de simetria.
Triângulo Nº de eixos de simetria
Triângulo equilátero 3
Triângulo isósceles 1
Triângulo escaleno 0
Equilátero (tem 3 eixos de simetria)
Isósceles (tem 1 eixo de simetria)
Escaleno (não tem eixos de simetria)
Programa de Formação Contínua em Matemática