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Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 1
Trigonometria
Aplicada à Mecânica
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos2
Trigonometria Aplicada à Mecânica
© SENAI - 2004
Coordenação Adilson Augusto Lázaro
Diagramação Wagner de Campos Sabor
Conteúdo técnico Acervo SENAI – Recursos Didáticos On-line
Revisão José Carlos Valbão
Capa Wagner de Campos Sabor
Escola SENAI “Hermenegildo Campos de Almeida”
Av. Dr. Renato de Andrade Maia, 601
CEP 07114-000
Telefone (11) 6461-3553
FAX (11) 6468-9090
E-Mail: senaiguarulhos@sp.senai.b
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Sumário
Página
5 Introdução
7 Revisão de Geometria
13 Ângulos
17 Polígonos
31 Sistema Sexagesimal
33 Adição de Medidas de Ângulos
39 Subtração de Medidas de Ângulos
51 Relação de Pitágoras
59 Semelhança de Triângulos
69 Relações métricas no triângulo retângulo
79 Círculo trigonométrico
83 Seno, Co-seno e Tangente
117 Lei dos Senos e Lei dos Co-senos
123 Exercícios complementares
133 Alfabeto Grego
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos4
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 5
Introdução
A palavra trigonometria é de origem grega e tem como significado: medidas relativas
às figuras triangulares. Ela pode ser definida também como o ramo da matemática
que se fundamenta no fato de ser possível resolver numerosos problemas pelo cálculo
dos elementos desconhecidos num triângulo (lado ou ângulo), quando se conhece três
desses elementos. Para a resolução de tais problemas recorre-se principalmente ao
uso das razões trigonométricas.
Todo o programa que será desenvolvido neste curso foi proposto por matemáticos
gregos em um período que data do ano 600 ac. até 100 dc. Isto por si só é um feito
importante que nos mostra a influência dos filósofos gregos no pensamento ocidental.
Para iniciar nosso curso, vamos ter que relembrar alguns conceitos de geometria plana
que são fundamentais para o entendimento de teoremas e aplicação das funções
trigonométricas, como por exemplo, o uso do seno e do co-seno na determinação do
comprimento de um lado ou da medida de um ângulo de um triângulo retângulo.
Aprenderá também como descobrir, através de cálculos, a natureza de triângulos, bem
como aplicar Semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras.
Verá como calcular o comprimento de elementos de um triângulo utilizando fórmulas
das relações métricas num triângulo retângulo e as de um triângulo qualquer.
Conhecerá, finalmente, duas relações para usar num triângulo qualquer: uma chamada
lei dos co-senos e a outra, lei dos senos.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos6
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SENAI - Guarulhos 7
Revisão de Geometria
Definição de ponto, reta e plano
Agora, estudaremos o que pode acontecer com duas retas situadas em um mesmo
plano. Mas antes disto daremos as definições de ponto, reta e plano.
A primeira pessoa que teve a preocupação de definir esses
elementos geométricos foi um grego chamado Euclides.
Pouco se sabe sobre a vida deste matemático. Sabemos apenas
que ele viveu no séc. III a.C e que foi um dos homens relacionados
ao museu de Alexandria onde ali trabalhou do ano 320 a 260 ac.
Foi ele quem fundou a grande escola de matemática do museu.
A fama de Euclides repousa basicamente nos elementos, síntese sistemática da
geometria grega.
É neste livro, ou melhor nesta coleção de livros, pois a obra é composta de 13 livros,
onde Euclides deu as definições de ponto, reta, plano e analisa a posição relativas de
retas no plano. Vejamos então as definições de Euclides para ponto, reta e plano.
Ponto: é o que não tem partes, ou seja não pode ser separado, portanto não tem
dimensão.
Reta: é o comprimento sem largura, ou seja, é uma linha formada por infinitos pontos
que não possui nem origem nem fim.
Plano: é uma superfície que tem apenas comprimento e largura.
A partir destas definições, Euclides consegue concluir uma série de coisas tais como:
as condições necessárias para que duas retas sejam paralelas. Vejamos a seguir
quais são estas condições:
Euclides
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Posição relativa de retas
Paralelas: sejam as retas r e s contidas no mesmo plano e formando com a
transversal t os ângulos α e β. Diz-se que a reta r é paralela a reta s se e somente se o
ângulo α for igual ao ângulo β. Em notação matemática ( r//s ⇔ α = β )
Concorrentes: duas retas contidas em um mesmo plano são concorrentes quando
possuem somente um ponto em comum.
Perpendiculares: retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes,
elas se cruzam em um único ponto, formando entre elas um ângulo de 90º.
r
s
α
β
.
r
s
P
.
s
r
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Posição relativa de retas e circunferência
A reta pode ocupar três posições em relação a uma circunferência.
Externa: reta externa é aquela que não intercepta a circunferência
Tangente: é a reta que tem apenas um ponto em comum com a circunferência.
Propriedade da reta tangente: ela é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de
tangência.
Secante: é a reta que tem dois pontos em comum com a circunferência.
Definição de circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano
chamado "centro", e essa distância chama-se "raio".
.
r
.
r.
.
r
.
centro
conjunto de pontos de um plano
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Elementos de uma circunferência.
A0 - "raio" é o segmento que une o centro a um ponto qualquer da circunferência.
BC - "corda" é o segmento que une dois pontos de urna circunferência.
DE - "diâmetro" é uma corda que passa pelo centro da circunferência e tem como
valor o dobro do raio.
Congruência de ângulos
Duas retas paralelas não coincidentes formam com uma transversal ângulos alternos e
correspondentes iguais.
OBS.: A palavra congruentes em geometria substitui a palavra iguais, Por isso
costuma-se dizer que dois ângulos são congruentes e não iguais.
opostos pelo vértice: hefgbcda ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ====
correspondentes: aegcdhbf ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ====
alternos internos: edfc ˆˆ,ˆˆ ==
alternos externos: habg ˆˆ,ˆˆ ==
.0
D
C B
E
A
r
s
^b
^a
^d
^c^e
^h
^g
^f
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Exercício resolvido
1) - Calcule o valor dos ângulos indicados na figura abaixo:
Solução: Da definição de retas paralelas temos que â = 50°, pois como foi dito
anteriormente se r//s, então α=β . Podemos ainda ver pelo desenho acima que se
somarmos o ângulo aˆ com o ângulo bˆ esta soma deve ser igual a 180°, ou seja, bˆ é
suplemento de aˆ , logo bˆ = 180°- 50°= 130°.
0 mesmo acontece quando somamos os ângulos dˆ e cˆ , logo cˆ também pode ser
chamado de suplemento de dˆ e cˆ = 180°- 130°= 50°.
Se verificarmos os valores de aˆ e cˆ , veremos que estes são iguais, isto não é apenas
uma coincidência, isto sempre acontece, pois os ângulos aˆ e cˆ são opostos elo
vértice, e ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais, já o ângulo dˆ é 130°pois é
o oposto pelo vértice a bˆ , ou ainda ele é suplemento de aˆ e de cˆ . Aplicando o mesmo
raciocício podemos calcular os ângulos eˆ , fˆ e gˆ , chegando aos seguintes resultados:
eˆ = 130°, fˆ = 50°, gˆ = 130°
Outro fato importante deve ser observado é que os ângulos aˆ e fˆ são iguais, esta
observação é importante e futuramente ela nos ajudará a resolver inúmeros exercícios.
Existe uma maneira bastante prática que nos permite descobrir quem são os dois
ângulos iguais, no caso de aˆ e fˆ . Para tanto basta que tracemos sobre a figura a
letra Z da palavra "Zorro", veja desenho abaixo. Feito isto, teremos que os ângulos
internos a letra Z serão sempre iguais.
°50
gˆ
cˆ
dˆ
fˆ
eˆ
aˆ
bˆ
fˆ
aˆ
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SENAI - Guarulhos12
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SENAI - Guarulhos 13
Ângulos
Ângulos
Podemos definir ângulo como sendo a porção do plano limitado por duas semi-retas de
mesma origem (vértice do ângulo).
Os ângulos recebem nomes especiais conforme a sua abertura: ângulo agudo,
ângulo reto, ângulo obtuso e ângulo raso
Ângulo Agudo
É o ângulo cuja medida é menor que 90º
Ângulo Reto
É o ângulo cuja medida é exatamente 90º
Agudo
.
Reto
. ânguloVértice
r
s
Trigonometria Aplicada à Mecânica
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Ângulo Obtuso
É o ângulo que mede entre 90º e menos de 180º
Ângulo Raso
É o ângulo que tem exatamente 180º
Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares
Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma deles forma um
ângulo de 90º. Portanto para se calcular o complemento de um ângulo basta subtrair
de 90º o ângulo dado.
.
Obtuso
.
Raso
Complemento de α = ( 90º - α )
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 15
Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma deles forma um
ângulo de 180º. Para se calcular o suplemento de ângulo basta subtrair esse ângulo de
180º.
Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma deles forma um
ângulo de 360º. E para se calcular o replemento de um certo ângulo dado basta
subtrair esse ângulo de 360º.
Suplemento de α = (180º - α)
Replemento de α = (360º - α )
α
Replemento de α
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Polígonos
Polígono
Polígono é o conjunto formado pela linha poligonal fechada e os pontos interiores.
Note que o polígono é uma região do plano e não só a linha poligonal. Mas, para
facilitar, daqui para frente vamos representar o polígono somente com a linha
poligonal. Veja mais alguns polígonos:
Polígonos regulares e irregulares
Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos congruentes.
Veja alguns polígonos regulares.
Observação
O sinal / indica mesma medida.
Polígono irregular é aquele que não possui todos os lados ou ângulos congruentes.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
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Veja alguns polígonos irregulares.
Observação
Os sinais / e // indicam medidas iguais.
Você já viu, nesta unidade, figuras de polígonos com 3 lados, 4 lados, 5 lados...
Para se formar um polígono, precisa-se ter, no mínimo, 3 segmentos, isto é, o menor
números de lados de um polígono é três.
Alguns polígonos têm nomes especiais conforme o número de seus lados.
Número de
lados
Nome do
polígono
Número de
lados
Nome do
polígono
3 triângulo 9 eneágono
4 quadrilátero 10 decágono
5 pentágono 11 undecágono
6 hexágono 12 dodecágono
7 heptágono 15 pentadecágono
8 octógono 20 icoságono
Polígonos regulares inscrito e circunscrito
Polígono regular inscrito é aquele em que os vértices pertencem à circunferência.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 19
Polígono regular circunscrito é aquele em que os lados tocam num ponto da
circunferência, isto é, os lados são tangentes à circunferência.
Elementos do polígono regular inscrito
• Centro – é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
• Vértice – é o ponto de encontro de dois de seus lados consecutivos.
• Lado – cada um dos segmentos de reta que constituem a linha poligonal.
• Raio – é o segmento de reta que une o centro a um vértice do polígono.
O – centro
A, B, C, D, E, F – vértices
AB , BC , CD , DE ,EF,FA - lados
OA , OB , OC, ... – raios
OA e OB - raios consecutivos
• Apótema – é o segmento de reta que vai do centro do polígono ao ponto médio de
um lado. O apótema é perpendicular a esse lado.
• Diagonal – é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.
• Ângulo central – é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são
os raios consecutivos
• Ângulo interno – é o ângulo cujos lados contêm dois lados consecutivos de um
polígono.
OM - apótema m ( AM) = m (MB )
AE - diagonal
α - ângulo central (O – vértice; OB e OC - lados)
β - ângulo interno (CD e DE - lados do ângulo - lados
consecutivos do polígono)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos20
Observações
• O raio do polígono regular é o raio da circunferência circunscrita.
• O apótema do polígono regular é o raio da circunferência inscrita.
• A medida do ângulo central é dada por:
α =
n
360° , onde n = no
de lados do polígono regular
Triângulo
Triângulo é o polígono de 3 lados.
A, B, C→ vértices,
AB , AC , e BC → lados
^
A ,
^
B ,
^
C → ângulos internos.
x, y, z →ângulos externos (cada ângulo externo é o suplementar ao interno adjacente)
Classificação quanto aos ângulos
Se um triângulo possui os três ângulos agudos é chamado triângulo acutângulo.
Os ângulos
^
A ,
^
B e
^
C são menores que 90°.
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SENAI - Guarulhos 21
Se um triângulo possui um ângulo obtuso é chamado triângulo obtusângulo.
O ângulo
^
F é maior que 90°.
Se um triângulo possui um ângulo reto é chamado triângulo retângulo.
O ângulo
^
G é reto, isto é, mede 90°.
Classificação quanto aos lados
Se um triângulo possui a mesma medida nos três lados recebe o nome de triângulo
equilátero.
Os lados AB , BC e AC possuem a mesma medida.
Observação
Os ângulos
^
A ,
^
B e
^
Ctambém possuem a mesma medida, igual a 60°.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos22
Se um triângulo possui dois lados com a mesma medida recebe o nome de triângulo
isósceles. O outro lado é chamado base.
Observação
Os ângulos
^
F e
^
E são chamados ângulos da base e têm a mesma medida.
Se um triângulo possui medidas diferentes nos três lados recebe o nome de triângulo
escaleno.
Exercício.
1. Classifique as figuras quanto aos lados e ângulos conforme o exemplo:
Exemplo
a)
isósceles acutângulo
b)
c)
d)
e)
O lado GH mede 35mm.
O lado HI mede 30mm.
O lado GI mede 20mm.
Observação
Os ângulos
^
G ,
^
H ,
^
I têm medidas diferentes.
Os lados DE e DF possuem a mesma medida.
O lado EF é a base.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 23
Elementos do triângulo
Altura relativa a um lado é o segmento da perpendicular que vai do vértice oposto até
a reta suporte do lado.
Todo triângulo tem três alturas e o ponto de encontro delas chama-se ortocentro.
Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Todo triângulo tem três medianas e o ponto de encontro das mesmas chama-se
baricentro.
Bissetriz de um triângulo é o segmento que divide um ângulo ao meio e vai do vértice
do ângulo ao lado oposto.
Todo triângulo tem três bissetrizes e o ponto de encontro das três chama-se incentro.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos24
Exercícios
2. Desenhe um triângulo isósceles e retângulo e localize a altura relativa ao seu maior
lado.
3. Desenhe um triângulo equilátero de 2cm de lado e localize uma de suas alturas.
4. Copie o triângulo abaixo e localize o que se pede:
a) a altura relativa ao lado BC
b) a bissetriz relativa ao lado AB
c) a mediana relativa ao lado AC
5. Escreva o nome dos pontos assinalados nas figuras.
P = ? Q = ?
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SENAI - Guarulhos 25
Observações
• Em qualquer triângulo, a medida de um dos lados é sempre menor que a soma
das medidas dos outros dois.
• A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.
• A soma dos ângulos externos do triângulo é 360°.
• Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
• Todo triângulo equilátero é também equiângulo (ângulos de mesma medida).
• Os ângulos da base do triângulo isósceles têm a mesma medida.
• No triângulo equilátero, as alturas, medianas e bissetrizes coincidem.
• No triângulo isósceles, a altura, mediana e bissetriz relativas à sua base
coincidem.
• Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Exercício
6. Calcule os ângulos desconhecidos nos triângulos, conforme o exemplo:
Exemplo
a) 45°
+ 80
125º
180º
- 125
55º
Resposta: ____°
b)
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SENAI - Guarulhos26
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 27
Quadrilátero
Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
AD e BC ; AB e CD são lados opostos;
^
A e
^
C;
^
B e
^
D são ângulos opostos.
^
A +
^
B +
^
C +
^
D = 360°( equivale a 4 ângulos retos )
AC e BD são diagonais
Os quadriláteros podem ser: paralelogramo e trapézio.
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
AB // CD e BC // AD → lados opostos
^
A e
^
C;
^
B e
^
D → ângulos opostos.
Propriedades do paralelogramo
Em todo paralelogramo:
• os lados opostos têm a mesma medida
• os ângulos opostos têm a mesma medida
• as diagonais interceptam-se mutuamente ao meio
• cada diagonal o divide em 2 triângulos congruentes
• dois ângulos consecutivos são suplementares
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos28
O paralelogramo pode ser:
• retângulo – é o paralelogramo que tem 4 ângulos retos
• losango – é o paralelogramo que tem 4 lados de mesma medida
• quadrado – é o paralelogramo que tem 4 lados e 4 ângulos de mesma medida, ou
é o retângulo de 4 lados de mesma medida.
retângulo losango quadrado
Observações
• As diagonais do retângulo têm a mesma medida.
• As diagonais do losango são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos
internos.
• As diagonais do quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e bissetrizes
dos ângulos internos.
Faça os exercícios no seu caderno.
7. Um dos ângulos de um paralelogramo mede 100°. Quanto medem os outros três?
8. O ângulo agudo de um losango mede 48°. Quanto mede o ângulo obtuso?
9. Calcule x e y nas figuras abaixo.
a)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 29
b)
c)
Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que tem somente dois lados opostos paralelos. Os lados
paralelos são chamados de bases e a distância entre eles, altura.
BC // AD
BC → base menor
AD → base maior
CH → altura
^
A ,
^
B ,
^
C,
^
D → ângulos internos
^
A +
^
B +
^
C +
^
D = 360°
Os trapézios classificam-se em:
• isósceles – os lados não paralelos são congruentes
• escaleno – os lados não paralelos são desiguais
• retângulo – tem dois ângulos retos
escaleno isósceles retângulo
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos30
Propriedades do trapézio
• Dois ângulos consecutivos de um trapézio que não são adjacentes à mesma base
são suplementares.
• No trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são congruentes
(mesma medida).
Exercícios
10. Em um trapézio isósceles, um dos ângulos adjacentes a uma das bases mede 50°.
Calcule a medida dos ângulos adjacentes à outra base (sugestão: desenhe).
11. Calcule x e y nas figuras:
a)
b)
c)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 31
Sistema Sexagesimal
Introdução
Nas operações de mecânica é comum encontrar peças que têm detalhes inclinados
formando ângulos e também é comum acontecer desses ângulos exigirem grande
precisão em sua inclinação.
Para medir esses ângulos, usa-se o sistema sexagesimal. Segundo esse sistema, o
círculo é dividido em 360 partes iguais ou em 360 graus.
Dividindo o ângulo de um grau em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos mede
um minuto.
Suponhamos que o ângulo abaixo meça 1º.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos32
Vamos dividi-lo em 60 partes iguais.
Supondo que o ângulo de 1º tenha sido dividido em 60 partes, temos:
Cada uma dessas partes em que dividimos o ângulo de 1º eqüivale a 1 minuto.
Minuto é, então, uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a
60
1
do grau.
E, se o minuto é
60
1
do grau, 1 grau é igual a 60 minutos.
O minuto é indicado com o símbolo ( ' ).
Assim, 1' lemos 1 minuto
60'. lemos 60 minutos,
30'. lemos 30 minutos.
Dividindo o ângulo de um minuto em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos
mede 1 segundo.
Segundo é uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a
60
1
do minuto.
Assim, 1 segundo eqüivale a
60
1
do minuto,
1 minuto eqüivale a 60 segundos.
O segundo é indicado com o símbolo ( " ).
Assim, 1" lemos 1 segundo,
60" lemos 60 segundos.
Resumindo:
O grau é a unidade legal e divide-se em 60 minutos. E, finalmente, cada minuto
corresponde a 60 segundos.
Representações: grau ( º ) - corresponde a
360
1
da circunferência ou 60 minutos;
minuto ( ' ) - corresponde a
60
1
de 1º (um grau) ou 60 segundos;
segundo ( " ) - corresponde a
60
1
do minuto
Exemplo: 54o
31’12” - Lê-se: 54 graus, 31 minutos e 12 segundos.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 33
Adição de medidas de ângulo
Para somar medidas de ângulos, precisamos, antes de tudo, saber montar a conta.
Vamos ver o exemplo 2º1’30” + 3º7’4”.
Colocamos os graus abaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos, os segundos
embaixo dos segundos.
2º 1’ 30”
+ 3º 7’ 4”
Percebeu o alinhamento dos graus, dos minutos e dos segundos?
Monte esta conta:
20º 3’ 17” + 5º 17’ 15”
Pode acontecer que uma das parcelas a serem somadas não contenha as três
unidades.
Neste caso, você deve montar a conta do mesmo jeito, não misturando nunca
unidades diferentes.
Monte esta outra conta:
3º 8’ 51” + 1º 8’ 30” + 4º 17’ 3”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos34
No exemplo que vem a seguir, uma parcela possui graus e segundos e a outra,
graus e minutos.
Observe: 1º 30” + 19º 8’.
Como é que montamos essa conta ?
Veja:
8'19º
30"1º
+
Veja bem: mesmo que não haja unidade, deve-se deixar o espaço dessa unidade, de
modo a fazer coincidir grau com grau, minuto com minuto, segundo com segundo.
Faça você agora a montagem das seguintes contas:
18º 6’ + 7º 45” 38º 30’ + 13º 25”
E como fazer a adição de medidas de ângulos?
Não há dificuldades.
Somamos as unidades separadamente:
graus com graus,
minutos com minutos,
segundos com segundos.
Assim:
43"
35"40'12º
8"1'º25
+
= =
É claro que fazemos a conta de uma vez só.
Aqui, fizemos em três passos, somente para você entender melhor.
Notou os 8’ da 2ª
parcela debaixo do espaço
reservado aos minutos da 1ª
parcela ?
Da mesma forma, os 30” da 1ª
parcela devem ficar na
direção do espaço dos da 2ª
parcela.
25º 1’ 8”
+ 12º 40’ 35”
37º 41’ 43”
35"12º40'
8"1'25º
+
41' 43"
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 35
Faça você sozinho.
a) 34º 7’ + 1º 30’ b) 8º 7’ 28” + 1º 6’ 5”
Vamos continuar. Observe a conta:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ 83”
Reparou que o resultado nos segundos é maior que 60?
Se no resultado de uma adição de medidas de ângulos, encontramos 60 segundos ou
mais de 60 segundos, fazemos o que vem a seguir.
1) Transformamos os segundos em minutos:
60
23"
60
"83
− 1’
2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos segundos.
Assim:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ ”
23”
3) Somamos os minutos encontrados na transformação com os minutos do resultado.
Desta maneira:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ ”
+ 1’ 23”
20º 43’ 23”
Então, 12º 9’ 53” + 8º 33’ 30” = 20º 43’ 23”.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos36
Calcule:
a) 24º 15’ 13” + 4º 10’ 57”
b) 45º 55” + 10º 10” + 30º 8’
Observe esta outra adição:
2º27’50”
+12º57’ 1”
14º84’51”
O que fazemos, se são os minutos que ultrapassam 60?
Se, no resultado de uma adição de medidas de ângulo, encontramos 60 minutos ou
mais de 60 minutos, fazemos o que vem a seguir.
1) Transformamos os minutos em graus:
60
24'
60
'84
−
1º
2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos minutos do resultado:
2º 27’ 50”
+ 12º 57’ 1”
14º ’ 51”
24
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 37
3) Somamos os graus encontrados com os graus do resultado:
2º 27’50”
+ 12º 57’ 1”
14º ’51”
+ 1º 24’
15º 24’ 51”
Exercícios
1. Faça as adições:
2 Faça uma linha em volta da resposta certa. 3º 7’ + 6º 28’ =
11º 36’ 9º 35’ 12º 35’ 10º 36’
3 Escreva ( C ) se a conta estiver certa e ( E ) se estiver errada.
( ) 2º 45’ 50” + 50º 7’ 2” = 52º 52’ 52”
( ) 45º 12’ 23” + 5º 47’ 24” + 12º 16’ 23” = 63º 16’ 10”
Teremos, então: 2º 27’ 50” + 12º 57’ 1” = 15º 24’ 51”.
b) 8º 12’ 20” + 32º 50’
d) 25º 47’ 23” + 14º 33’ 12” e) 48º 50’ 15” + 45º 49’ 27”
c) 19º 54’ 30” + 35’ 35”
f) 112º 51’ 3” + 55’ 35”
a) 4º 5’ 14” + 1º 55’ + 23º 6”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos38
Exercícios de aplicação - complemento, suplemento e replemento de ângulos
1. Calcular o complemento dos ângulos abaixo:
a) 55º =
b) 73º =
c) 28º 30'
d) 90º =
e) 32º 28' 13" =
f) 45º 80' 65" =
g) 89º 58' 01 " =
h) 00º 59'59" =
i) 10º 12' 24" =
j) 125º =
k) 89º 59' 60" =
l) 50" =
2. Calcular o suplemento dos ângulos abaixo:
a) 155º =
b) 210º =
c) 180º =
d) 101º =
e) 128º 28' =
f) 132º 12" =
g) 35º 14' 36" =
h) 00º 59' 56" =
i) 189º 58' 23" =
j) 179º 06' 36" =
k) 112º 60' =
l) 0º 0' 1" =
3. Calcular o replemento dos ângulos abaixo:
a) 270º =
b) 360º =
c) 20º =
d) 322º 23' =
e) 358º 30" =
f) 122º 76" =
g) 3600º =
h) 180º 240" =
i) 200º 12' 56" =
j) 25º 6' 43" =
k) 357º 176' 240" =
l) 402º =
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 39
Subtração de medidas de
ângulo
observe a conta.
49º 9’ 2” – 17º 5’ 1”
Também para subtrair medidas de ângulos, é preciso que os graus fiquem embaixo dos
graus, os minutos embaixo dos minutos e os segundos embaixo dos segundos.
assim:
1"5'17º
2"9'49º
−
Se faltar alguma unidade na medida, a conta é montada como você aprendeu em
adição: sem misturar unidades diferentes.
Monte a conta.
25º 40’ 30” – 15º 25”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos40
E como subtrair?
A subtração de medidas de ângulos é feita separadamente:
subtraímos graus dos graus,
minutos dos minutos
e segundos dos segundos.
Assim:
07"
17"
24"
28'35º-
35'º84
Faça as seguintes subtrações:
a) 47º 9’ 5” – 13º 5’ 1” b) 150º 45’ 30” – 50º 25’
Veja esta conta:
26º-
º48
43'
15'
Você deve estar pensando que não é possível subtrair 43’ de 15’.
Quando, numa subtração, não é possível subtrair uma das unidades de medida,
precisamos emprestar um da unidade de medida imediatamente superior, isto é,
emprestar um grau para os minutos ou um minuto para os segundos.
Neste caso, vamos emprestar um grau para os minutos.
Para emprestar um grau para os minutos, fazemos o que vem a seguir.
1) Tiramos 1º
da medida:
43'
15'
26º-
º48
º47
Tirando 1º de 48º, ficamos com 47º.
07"
17"35º-
24"º84
07'
28'
35'
07"07'
17"28'-
24"35'
49º
35º
84º
= =
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 41
2) Transformamos esse grau em 60’ (1 x 60’ = 60’)
E somamos aos minutos da medida.
Como temos 15’ na conta, somamos 15’ + 60’, encontramos 75’.
3) Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado:
47º75’
- º ’
4) Fazemos a subtração usando 47º 75’:
47º75’
º ’
- 26º 43’
Assim, 48º 15’ – 26º 43’ = 21º 32’.
Vamos ver mais um exemplo.
40'44º
30'º145
−
Emprestamos 1º de 145º, porque não podemos tirar 40’ de 30’.
145º - 1º = 144º
Vamos substituir os 145º por esse resultado:
144º
º30’
- 44º 40’
Transformamos 1º em minutos: 1º = 60’.
Somamos 60’ + 30’ = 90’
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos42
Subtraímos os 30’ por esse resultado:
144º90’
º30’
- 44º40’
Subtraímos:
144º 90’
º ’
- 44º 40’
Logo, 145º 30’ – 44º 40’ = 100º 50’.
Agora faça você, seguindo os passos indicados.
50'20º-
15'º75
Não se pode tirar 50’ de 15’.
Então, empresta-se 1º de 75º. Assim, 75º - 1º =
Substitua os 75º por esse resultado.
Transforme em minutos o grau emprestado:
Some esse resultado aos 15’: .
Substitua os 15’ por esse resultado.
Faça a subtração.
Escreva a resposta no traço: .
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 43
Exercício
Agora, faça as contas a seguir sozinho.
a) 32º 18’ – 10º 20’
b) 70º 9’ 30” – 38º 15’ 20”
c) 27º 27’ 30” – 18º 30’ 25”
Observe a seguinte conta:
44"15'20º-
25'º44 30"
Não podemos subtrair 44” de 30”.
Precisamos emprestar um minuto para os segundos.
Para emprestar 1 minuto para os segundos, fazemos o que vem a seguir.
1) Tiramos 1’ dos minutos da medida:
24’
44º ’30”
- 20º15’44”
Tirando 1’ de 25’, ficamos com 24’.
2) Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida:
1 x 60” = 60”
30” + 60” = 90”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos44
3) Substituímos os segundos da media pelo resultado encontrado:
24’90”
44º ’ ”
- 20º15’44”
4) Fazemos a subtração:
24’90”
44º ’ ”
- 20º15’44”
24º 9’46”
Faça você sozinho.
90º 30’ 15” – 45º 10’ 30”
Faça a subtração.
180º 50’ 10” – 59º 25’ 40”
Agora, observe esta outra conta:
45"50'39º-
º69 30"45'
Neste caso será preciso emprestar 1 minuto para os segundos e 1 grau para os
minutos.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 45
Vejamos como resolver este exemplo de subtração.
• Tiramos 1’ da unidade minutos:
44’
69º ’30”
- 39º50’45”
Tirando 1’ de 45’ ficamos com 44’.
• Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida:
1 x 60” = 60”
30” + 60” = 90”
• Substituímos os segundos da medida pelo resultado encontrado:
44’90”
69º ’ ”
- 39º50’45”
• Fazemos a subtração da unidade segundos:
44’90”
69º ’ ”
- 39º50’45”
45”
• Fazemos o mesmo com os minutos.
Como não podemos subtrair 50’ de 44’, tiramos 1º da unidade grau.
69º - 1º = 68º.
Ficamos com 68º.
• Transformamos esse grau em 60’ e somamos com os minutos da medida:
1 x 60’ = 60’
44’ + 60’ = 104’
• Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado:
104’
68º ’90”
º ’30”
- 39º 50’45”
45”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos46
• Fazemos a subtração das unidades minutos e graus:
104’
68º ’90”
º ’ ”
- 39º 50’45”
29º 24’45”
Então, 69º 45’ 30” – 39º 50’ 45” = 29º 54’ 45”
Exercício
Faça as subtrações:
a) 2º 7’ 15” – 1º 9’ 16”
b) 15º 13’ 40” – 5º 20’ 50”
c) 90º 45’ 15” – 22º 50’ 50”
Observe:
30'22º-
º90
Como você subtrai graus e minutos de graus?
Se não há unidade minuto na medida 90º, isto significa que o seu valor é zero.
Não se pode subtrair 30’ de zero minutos.
30'22º
º90 00'
−
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 47
Emprestamos, então 1º da unidade graus: 90º - 1º = 89º.
1º corresponde a 60’. Colocamos 60’ no lugar da unidade minutos.
A operação fica assim:
89º60’
º ’
- 22º30’
Subtraímos:
89º60’
º ’
- 22º30’
67º30’
Exercício
Faça as contas abaixo:
a) 180º - 154º 45’
b) 45º - 14º 25’
c) 47º - 17º 5’
Você sabe fazer esta conta?
50"50'22º-
45'º90
Não podemos subtrair 50” de zero segundos logo, emprestamos 1’ da unidade minuto:
1’ = 60” e fazemos a substituição:
44’60’
90º ’00
- 22º50’50”
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos48
Subtraímos os segundos.
44’60’
90º ’00
- 22º50’50”
10
Também não podemos subtrair 50’ de 44’. Emprestamos 1º para os minutos. 1º = 60’
Somamos 60’ aos minutos da medida:
60’ + 44’ = 104’.
Fazemos a subtração:
104’
89º ’ 60”
º ’ 00
- 22º50’ 50”
67º54’ 10”
Exercício
Agora faça sozinho as seguintes contas:
a) 150º 20’ – 50º 20’ 35”
b) 180º 30’ – 41º 4’ 47”
Vejamos mais um caso de subtração de medidas de ângulos.
50"20'79º
º180
−
Não há unidades nos minutos e nos segundos da medida 180º.
O valor dessas unidades é zero.
50"20'79º
º180 00"00'
−
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 49
Então, emprestamos 1 unidade dos graus e a transformamos em 60’.
Fica assim:
179º 60’
- º ’00”
79º 20’50”
Da mesma forma, emprestamos 1 unidade dos minutos e a transformamos em 60”:
59’
179º ’60”
º ’ ’
- 79º20’ 50”
Fazemos a subtração:
59’
179º ’60”
º ’ ”
- 79º 20’ 50”
100º 39’ 10”
Exercício
Subtraia:
a) 113º - 90º 44’ 26”
b) 35º - 28º 15' 47"
c) 90º - 1º 12' 33"
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SENAI - Guarulhos50
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 51
Relação de Pitágoras
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto ( o maior ) recebe o nome de
hipotenusa, e os outros dois lados chamam-se catetos.
A relação entre a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo é:
o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
Resumindo:
c Medida da hipotenusa c2
= a2
+ b2
c = ba 22
+
b Medida do cateto menor b2
= c2
- a2
b = a-c 22
a Medida do cateto maior a2
= c2
- b2
a = bc 22
−
Onde:
c2
= 52
= 25
a2
= 42
= 16
b2
= 32
= 9
25 = 16 + 9
C2
= a2
+ b2
.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos52
Aplicação da relação de Pitágoras
• Nos polígonos
Em cálculos de diagonais e alturas e vice-versa.
• Nas oficinas
Em cálculos de cotas não especificadas no desenho.
• Peças cônicas e manípulos
Em cálculos de medidas para verificação e construção.
Nos encaixes rabo-de-andorinha e porcas.
Exemplo
Calcular a cota D.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 53
1o
passo: encontrar o triângulo e destacá-lo.
2o
passo: aplicar a relação de Pitágoras.
x2
= 182
+ 242
⇒ x = 2418 22
+ ⇒
x = 576324 + ⇒ x = 009 ⇒ x = 30
D = 2x ⇒ D = 60
Aplicação prática de trigonométrica
1) Determinar o tamanho da inclinação do carro porta-ferramenta para tornear o
ângulo da peça seguinte:
x
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos54
Solução:
Monta-se um triângulo com as medidas existentes e determina-se o ângulo de
inclinação.
Temos o triângulo:
Podemos resolver com qualquer das funções que envolvem os dois catetos (tg ou
cotg). No caso, utilizaremos a tangente.
tg α =
centecatetoadja
opostocateto
=
15
5
⇒ tg α = 0,333
E, com esse número, procuramos na tabela de tangentes o ângulo correspondente
(0,333 é a tangente de 18º 26').
A inclinação deve ser 18º 26'
2) Determinar o diâmetro de um eixo para que, em uma de suas extremidades, seja
feito um quadrado de 10mm de lado.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 55
Solução:
No triângulo, temos um lado e queremos determinar a hipotenusa. Precisamos, então,
de uma função que envolva um dos lados do triângulo e a hipotenusa (seno ou co-
seno).
Apliquemos o co-seno:
cos α =
hipotenusa
adjacentecateto
hipotenusa =
αcos
adjacentecateto
cos α (45º) = 0,7071
Hipotenusa =
0,7071
10
= 14,1
do eixo = 14,1
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos56
Exercícios
1) Calcule a distância x.
2) Calcule a cota x.
3) Calcule a cota p.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 57
4) Calcule a cota a.
5) Calcule a distância AC.
6) Determine L.
300
86,6
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos58
7. De um aço redondo de 65mm se deseja fresar um quadrado. Calcule o
comprimento dos lados do quadrado.
8. Deseja-se tornear um cone com uma relação de 1:10. Determinar o diâmetro D.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 59
Semelhança de Triângulos
Observe as figuras a seguir.
Esses conjuntos, apesar de não terem o mesmo tamanho, guardam entre si uma
propriedade, que é ter a mesma forma.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos60
Figuras que conservam a mesma forma, mas que variam no tamanho são chamadas
de figuras semelhantes.
Estudaremos, em particular, a semelhança de triângulos. Observe agora os triângulos
(construídos com medidas aproximadas):
Os ângulos correspondentes são congruentes:
Aˆ ≅ Mˆ (105º)
Bˆ ≅ Nˆ (46º)
Cˆ ≅ Oˆ (29º)
Observação
Congruente = mesma medida (≅)
Quando os ângulos correspondentes de dois triângulos forem de mesma medida
(congruentes) dizemos que são triângulos semelhantes.
Observação
Os lados opostos aos ângulos congruentes podem ser denominados de lados
correspondentes.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 61
Observe novamente os triângulos e os lados correspondentes.
4 mm e 8 mm são opostos aos ângulos de 105º; logo, são lados correspondentes. Veja
também que: 2 mm e 4mm são opostos aos ângulos de 29º; logo, são lados
correspondentes. 3 mm e 6 mm são opostos aos ângulos de 46º; logo, são lados
correspondentes.
Agora vamos estabelecer as razões entre os lados correspondentes dos triângulos
MN
AB
=
4
2
=
2
1
NO
BC
=
8
4
=
2
1
OM
CA
=
6
3
=
2
1 MN
AB
=
NO
BC
=
OM
CA
= constante
Os lados correspondentes são proporcionais:
Essa constante se chama razão de semelhança.
Assim, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes se os ângulos
correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes forem
proporcionais.
Indicamos a semelhança entre o ABC e o MNO, assim:
ABC ~ MNO
Usamos o sinal ~ para indicar semelhança entre figuras.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos62
Exercício
1 Copie e responda por escrito o que se pede:
∗ o triângulo foi construído com medidas aproximadas
a) Dado o MNO, quais são os ângulos correspondentes a Mˆ , Nˆ , Oˆ no PQR?
b) Dadas as medidas 11,4mm; 7,5mm; 10,2mm do MNO, quais medidas são
correspondentes no PQR?
c) Qual é a razão
PR
MO
= ?
d) Qual é a razão
PQ
MN
= ?
e) Qual é a razão
QR
NO
= ?
f) Podemos estabelecer a relação
PR
MO
=
PQ
MN
=
QR
NO
= ?
Para descobrirmos se dois triângulos são semelhantes usamos os casos de
semelhança de triângulos, que são:
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 63
1o
caso: Ângulo (AA)
Se dois triângulos tiverem dois ângulos congruentes, então esses triângulos serão
semelhantes.
Veja:
2o
caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL)
Se dois triângulos tiverem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo
compreendido entre eles respectivamente congruentes, esses triângulos serão
semelhantes.
3o
caso: Lado – Lado – Lado (LLL)
Se dois triângulos tiverem os lados correspondentes proporcionais, esses triângulos
serão semelhantes.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos64
Observe:
2
4
=
3
6
=
4
8
= 2
Resumindo
Se, em dois triângulos, os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas dos
lados correspondentes são proporcionais, eles são semelhantes. Para constatar a
semelhança não há necessidade de verificar os 3 lados e os 3 ângulos. Basta utilizar
um dos 3 casos citados (AA; LAL e LLL).
Usando semelhança de triângulos podemos resolver determinados problemas com o
auxílio da proporção. Veja alguns exemplos:
1o
) Calcule x, sendo ABC ~ DEF.
Sugestão:
1o
passo: Chame o ABC de 1 e o DEF de 2.
20
passo: Identifique os lados e ângulos correspondentes.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 65
3o
passo: Estabeleça a razão entre os lados:
⇒
40
70
=
x
35
=
32
56
ou ⇒
70
40
=
35
x
=
56
32
4o
passo: Escolha uma proporção qualquer que envolva o dado desconhecido (x) e
calcule-o.
Assim:
40
70
=
x
35
70 . x = 40 . 35
70x = 1400
x =
07
0140
/
/
⇒ X = 20
Logo, o valor do x (DE) é 20 ou ainda:
x
35
=
32
56
x . 56 = 35 . 32
x . 56 = 1120
x =
56
1120
⇒ X = 20
Às vezes, os ângulos congruentes não estão localizados e os triângulos não estão
indicados claramente. Veja:
2o
) Calcule a medida da base do triângulo maior:
XY //CB
XY = 30
AX = 15
XC = 25
CB = ?
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos66
Sugestão: Observe que a figura acima pode ser vista assim:
Portanto Xˆ ≅ Cˆ e Yˆ ≅ Bˆ (ângulos agudos de 2 paralelas cortadas por transversal) ou,
separando os triângulos, assim:
Agora procedemos como no 1o
exemplo:
AYX∆
ABC∆
→
15
40
=
30
x
15 . x = 40 . 30
15x = 1200
x =
15
1200
X = 80
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 67
Exercício
2 Calcule a cota desconhecida.
Calcule os segmentos desconhecidos dos triângulos semelhantes abaixo:
a)
b)
BE //CD
m( AB ) = 6cm
m( AE ) = 4cm
m( AD) = 10cm
m( AC ) = x
c)
d) CD//BE
m( AC ) = x
m( AD) = 20mm
m( AE ) = 8mm
m( AB ) = 12mm
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos68
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 69
Relações Métricas no
Triângulo Retângulo
Observe o triângulo retângulo ABC:
hipotenusa: a
cateto menor: b
cateto maior: c
altura: h
m e n: projeções
m: projeção ortogonal do cateto menor b
n: projeção ortogonal do cateto maior c
Trigonometria Aplicada à Mecânica
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Lembrete:
Desenho técnico – Projeção Ortogonal
Resumindo:
A projeção do cateto AC no plano Θ é o segmento (m) que une as projeções dos
pontos A e C no referido plano.
Observe o triângulo retângulo ABC:
A altura h determina três triângulos:
∆ 1 : HAC
∆ 2 : HBA
∆ 3 : ABC
que são, dois a dois, semelhantes.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
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Note que foram colocadas medidas nos ângulos para facilitar a verificação do caso AA
de semelhança. Memorize a posição dos ângulos congruentes. Acompanhe a
separação do triângulo acima nos ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3 :
1o
caso: ∆ 1 HAC ~ ∆ 3 ABC
ou, colocando-os na mesma posição:
→Razões de semelhança:
1
3
∆
∆
→
b
a
=
m
b
=
h
c
2o
caso: ∆ 3 ABC ~ ∆ 2 HBA
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SENAI - Guarulhos72
ou, colocando-os na mesma posição:
→Razões de semelhança:
2
3
∆
∆
→ c
a
=
h
b
=
n
c
3o
caso: ∆ 1 ACH ~ ∆ 2 ABH
ou colocando-os na mesma posição:
→Razões de semelhança:
1
2
∆
∆
→ b
c
=
m
h
=
h
n
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 73
Resumindo os três casos temos as proporções:
1o
2o
3o
Vamos relacionar algumas já assinaladas acima:
c
a
=
h
b
b
a
=
m
b
c
a
=
n
c
m
h
=
h
n
Aplicando a propriedade das proporções temos:
a . h = b . c ou hip . alt = Cat1 . Cat2
b . b = a . m ou b2
= a . m ou
2
1Cat = hip . proj1
c . c = a . n ou c2
= a . n ou
2
2Cat = hip. . proj2
h . h = m . n ou h2
= m . n ou alt2
= proj1 . proj2
Essas fórmulas são chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Podemos
acrescentar mais duas a elas. Veja:
a = m + n (observe a figura)
a2
= b2
+ c2
→ relação de Pitágoras
Esta última relação é obtida da seguinte forma:
Consideramos as relações: e :
b2
= am
=
22
2
cb
c
+ =
anam
an
+
→ somamos membro a membro
→ colocamos a em evidência no 2o
membro
b
2
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos74
b2
+ c2
= a(m + n) → como m + n = a teremos:
b2
+ c2
= a . a ou
b2
+ c2
= a2
ou ainda
a2
= b2
+ c2
Vamos ver, a seguir, algumas aplicações dessas relações.
a . h = b . c
b2
= a . m
c2
= a . n
h2
= m . n
a = m + n
a2
= b2
+ c2
a → hipotenusa
b → cateto
c → cateto
h → altura
m → projeção de
b
n → projeção de
c
Exemplos:
a) Calcule a altura h.
letras do formulário dados do problema
h = h
m = 3
n = 27
h2
= m . n
h2
= 3 . 27
h2
= 81
h = 81 h = 9
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 75
Portanto:
1) Escrevemos os dados utilizando as letras do formulário numa coluna e os
dados do problema em outra.
2) Escolhemos a fórmula.
3) Substituímos pelos valores e efetuamos as operações.
b) Calcule x, y e z.
Dados:
a = 50
b = 30
c = 40
n = x
m = y
h = z
c2
= a . n b2
= a . m a . h = b . c h2
= m . n
402
= 50 . x 302
= 50 . y 50 . z = 30 . 40 z2
= 32 . 18
1600 = 50x 900 = 50y 50 . z = 1200 z2
= 576
x =
05
0160
/
/
y =
05
090
/
/
z =
05
0120
/
/
z = 576
X = 32 Y = 18 Z = 24 Z = 24
Faça o exercício.
5 Escreva os dados e escolha as fórmulas adequadas, calculando o que se pede:
a) Calcule a
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b) Calcule h
c) Calcule b
d) Calcule e e h
e) Calcule x
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f) Calcule k, x e y
g) Calcule q, x e y
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Círculo Trigonométrico
Estudos das funções do Círculo Trigonométrico
Vamos tomar como base uma circunferência de raio unitário (R = 1), e sobre o
mesmo tracemos dois eixos perpendiculares entre si, e passando pelo centro.
Desta forma podemos notar, que o circulo ficará dividido em 4 partes iguais, e a
cada parte denominamos de quadrante (pois equivale à quarta parte da
circunferência). No cruzamento dos eixos fica então definida a origem do sistema de
coordenadas.
Vamos orientar o sentido positivo dos eixos, através de uma simbologia (seta)
adotando a seguinte convenção: no eixo horizontal, os pontos que estiverem à direita,
a partir da origem terão sinais positivos (+) e o sentido da seta apontará para a direita e
os que tiverem sentido contrário em relação à origem serão negativos (-). A mesma
analogia será utilizada para o eixo vertical, onde os pontos que estiverem acima da
origem terão sinal positivo e o sentido da seta apontará para cima; os que estiverem
em sentido contrário à origem terão sinal negativo (-).
Ao eixo vertical, daremos o nome de eixo dos senos e o eixo horizontal será o
eixo dos co-senos.
O primeiro quadrante estará contido no plano dos dois semi-eixos com orientação
positiva. A partir daí seguindo-se o sentido anti-horário enumeram-se os demais
quadrantes.
Em seguida, construiremos outros dois eixos paralelos aos eixos anteriores que
passem tangenciando o círculo trigonométrico, sendo que estarão à direita e acima dos
eixos dos senos e dos co-senos respectivamente.
Daremos nomes à estes eixos da seguinte forma:
− eixo das tangentes é o eixo vertical que está paralelo ao eixo dos senos;
− eixo das cotangentes é o eixo horizontal que está paralelo ao eixo dos co-senos.
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A partir daí, tendo o círculo com os eixos devidamente colocados e orientados e
dividido em quadrantes, podemos definir as funções neste círculo trigonométrico.
Com a observação do gráfico, podemos definir sinais das funções em cada
quadrante:
I QUADRANTE
seno (+)
co-seno(+)
tangente (+)
co-tangente( +)
II QUADRANTE
seno (+)
co-seno (-)
tangente (-)
co-tangente (-)
III QUADRANTE
seno (-)
co-seno (-)
tangente (+)
co-tangente (+)
IV QUADRANTE
seno (-)
co-seno (+)
tangente (-)
co-tangente (-)
co-seno αααα
eixo dos
senos
eixo das
tangentes
eixo das
cotangentes
tangente αααα
cotangente αααα
α
-1
-1
1
1 eixo dos
co-senos
senoαααα III
IVIII
90º
0º180º
270º
360º
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
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Por meio do círculo trigonométrico podemos definir as funções trigonométricas como:
− seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta formada
pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos senos. O valor desta medida
pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα.
− co-seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta
formada pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos co-senos. O valor
desta medida pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα.
− tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo
ângulo αααα com o eixo das tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até + ∞∞∞∞
(menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα.
− co-tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo
ângulo αααα com o eixo das co-tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até
+ ∞∞∞∞ (menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα.
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Trigonometria Aplicada à Mecânica
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Seno, Co-seno e Tangente
Os cálculos trigonométricos envolvem medidas de dois lados e um ângulo do triângulo
retângulo.
Os catetos recebem nomes especiais conforme sua posição em relação a um ângulo
agudo considerado. Veja:
Exemplos
Observe as figuras e especifique as medidas assinaladas.
• é o ângulo considerado ( )
• 50 mm é a medida da hipotenusa ( hip.)
• 36mm é a medida do cateto oposto a (c.o.)
a)
* o ângulo e o cateto não são citados
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• o ângulo considerado é
• a medida da hipotenusa (hip.) é 30mm
• a medida do cateto adjacente (c.a.) é 15mm
b)
* não há referência sobre e
• é o ângulo assinalado
• é o cateto oposto ( c.o.) a ele
• é o cateto adjacente ( c.a.) a ele
c)
* a hipotenusa ( ) e o outro ângulo ( ) não são citados
Exercício
1. Observe as figuras e responda:
a)
• Qual é o ângulo considerado?
• Qual é a medida da hipotenusa?
• Qual é o nome do lado que mede 10mm?
• Como se chama o lado do qual não se deu a medida?
b)
Ι ) = 30°
ΙΙ ) = 60°
32,91mm
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Seno, co-seno e tangente
Sempre é possível estabelecer razão entre as medidas de dois lados de um triângulo
quando estão na mesma unidade.
Nos triângulos retângulos, a razão entre as medidas de dois de seus lados recebe um
nome especial: razão trigonométrica.
A palavra trigonométrica refere-se a triângulos (trigono) e às suas medidas (métrica).
Podemos calcular a razão entre as medidas dos lados desses triângulos. As razões
entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo (chamadas razões
trigonométricas) recebem nomes especiais.
Vamos verificar o que ocorre nos exemplos dados anteriormente:
a)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a B (36mm) e a medida da
hipotenusa (50mm) teremos: = 0,72
Esta razão (0,72) recebe o nome de "Seno" (indica-se sen).
Portanto, 0,72 é o seno do ângulo considerado: . Simbolicamente, sen = 0,72.
b)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto adjacente a Cˆ (15mm) e a medida da
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hipotenusa (50mm) teremos: = 0,3
Esta razão (0,3) recebe o nome de "Co-seno" (indica-se cos).
Portanto, 0,3 é o co-seno do ângulo considerado: . Simbolicamente; cos = 0,3.
c)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a (42mm) e a medida do
cateto adjacente a (71mm) teremos:
≈ 0,591
Esta razão recebe o nome de "Tangente" (indica-se tg).
Portanto, 0,591 é a tangente do ângulo considerado . Simbolicamente; tg ≈ 0,591.
Resumo
sen
cos
tg =
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SENAI - Guarulhos 87
Exercício
2. Observe a figura e responda as questões.
a) Qual é o ângulo considerado?
b) Quanto mede o cateto oposto a ele?
c) Qual é a medida do cateto adjacente a ele?
d) Quanto mede a hipotenusa?
e) Calcule o valor do seno, co-seno e tangente do ângulo considerado.
Solução:
a) ângulo considerado é___________.
b) cateto oposto a ele mede ___________mm.
c) A medida do cateto adjacente a ele é ___________mm.
d) A hipotenusa mede ___________mm.
e) Seno = _______; co-seno = _________; tangente =___________
Recapitulando o que já vimos:
A razão trigonométrica
recebe o nome de seno do ângulo
ou
seno do ângulo = ou
sen =
.)hip(
.)o.c(
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SENAI - Guarulhos88
A razão trigonométrica
recebe o nome de co-seno do ângulo
ou
co-seno do ângulo = ou
cos =
.)hip(
.)a.c(
A razão trigonométrica
recebe o nome de tangente
ou
tangente do ângulo = ou
tg =
.)a.c(
.)o.c(
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SENAI - Guarulhos 89
Exercícios
3. Dadas as fórmulas (razões)
sen =
.)hip(
.)o.c(
cos =
.)hip(
.)a.c(
tg =
.)a.c(
.)o.c(
e os triângulos abaixo, faça o seguinte:
Ι) Escreva (a.i.) no ângulo indicado, (c.o.) no cateto oposto a ele, (c.a.) no cateto
adjacente e (hip.) na hipotenusa.
ΙΙ) Escolha a fórmula (razão) adequada de acordo com as medidas dadas e calcule a
razão trigonométrica.
a)
Resolução:
Ι) a.i. = _______
c.a. = _______mm
hip. = _______mm
ΙΙ) Como são dados (c.a.) e (hip.), a razão é co-seno.
Logo: cos =
Cos Cˆ = ______
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SENAI - Guarulhos90
b)
Resolução:
Ι) a.i. = ________
c.o. = ________cm
c.a. = ________cm
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (c.a.) a razão é tangente.
Logo: tg =
)(
)(
tg =
c)
Resolução:
a.i. = __________
c.o. = __________cm
Ι)
hip.= ___________cm
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (hip.) a razão é seno.
Logo: sen =
)(
)(
sen 48°40’ =
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 91
sen 48°40’ = ___________
Observações
• Para calcular a razão aproxima-se até milésimos se a divisão não for exata.
• Se é dado o valor do ângulo considerado, substitui-se este valor na fórmula (ver
exemplo c).
4. Responda às questões propostas.
a) Qual é o ângulo considerado?
b) Quanto mede o cateto oposto a ele?
c) Quanto mede o cateto adjacente a ele?
d) Quanto mede a hipotenusa?
e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado.
5. considere o ângulo agudo e responda às mesmas questões em relação a ele.
a) Qual é o ângulo considerado?
b) Quanto mede o cateto oposto a ele?
c) Quanto mede o cateto adjacente a ele?
d) Quanto mede a hipotenusa?
e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado.
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6. Indique o ângulo considerado (a.i.), a hipotenusa (hip.), o cateto oposto (c.o.) e o
cateto adjacente (c.a.). Escolha a fórmula adequada e calcule o seno, co-seno ou
tangente.
a)
b)
c)
d)
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SENAI - Guarulhos 93
Tabela das razões trigonométricas
Observe a razão seno para os triângulos abaixo:
No ABC temos sen30° =
20
10
= 0,5
No MNO temos sen30° =
15
5,7
= 0,5
No PQR temos sen30° =
5
5,2
= 0,5
Este valor constante permite o uso de tabelas.
Vamos ver como se utiliza uma tabela trigonométrica.
A consulta a qualquer uma delas é feita da mesma forma, portanto vamos trabalhar
com uma delas, por exemplo a de senos.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos94
A tabela de senos é formada por colunas e linhas. Assim:
Observe, na sua tabela, as linhas e as colunas:
• A primeira coluna indica a medida do ângulo em graus;
• A primeira linha indica os minutos;
• As outras colunas contêm os valores dos senos.
Notou que todos os senos possuem cinco casas depois da vírgula? Mas, mesmo
tendo encontrado um seno com três casas, você poderá localizá-lo na tabela.
Vamos ver, então, como encontramos na tabela a medida do ângulo que corresponde
ao valor de um seno conhecido. Como encontrar, por exemplo, a medida do ângulo
que tem como seno 0,078? Primeiro, localizamos na tabela o valor do seno,
procurando um número que comece por 0,078:
Note que, apesar de o seno possuir cinco casas na tabela, pudemos localizá-lo,
apenas observando as três primeiras casas do número.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 95
Vamos, agora, encontrar a medida do ângulo. Na direção do seno localizando, na
primeira coluna, está a medida em graus, e, na primeira linha, estão os minutos:
Logo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078 é 4°30’.
Não se preocupe com o fato de a tabela possuir tantos números, pois os senos
aparecem em ordem, aumentando sempre da esquerda para a direita:
0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454
0,01745 0,02036 0,02327 etc.
Às vezes, o número procurado não se encontra na tabela. Por exemplo: se você
procurar o seno = 0,093 não vai encontrá-lo. Encontrará 0,09585 (maior) e 0,9295
(menor). Neste caso, uma das soluções é utilizar o mais próximo. Veja como:
1º) Complete com zeros o seno procurado deixando-o com 5 casas decimais
(0,093 = 0,09300)
2º) Calcule a diferença entre ele e os dois mais próximos (maior e menor).
3º) Como 0,09295 é o seno mais próximo do seno procurado, a resposta à consulta é:
5°20’.
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SENAI - Guarulhos96
TABELA DOS SENOS - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145
1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320
2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494
3 0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669
4 0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843
5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016
6 0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190
7 0,1219 0,1248 0,1276 0,1305 0,1334 0,1363
8 0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536
9 0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708
10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880
11 0,1908 0,1937 0,1965 0,1994 0,2022 0,2051
12 0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221
13 0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391
14 0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560
15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728
16 0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896
17 0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062
18 0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228
19 0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393
20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557
21 0,3584 0,3611 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719
22 0,3746 0,3773 0,3800 0,3827 0,3854 0,3881
23 0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041
24 0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200
25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358
26 0,4384 0,4410 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514
27 0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 0,4669
28 0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823
29 0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975
30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125
31 0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275
32 0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422
33 0,5446 0,5471 0,5495 0,5519 0,5544 0,5568
34 0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712
35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854
36 0,5878 0,5901 0,5925 0,5948 0,5972 0,5995
37 0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0,6111 0,6134
38 0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271
39 0,6293 0,6316 0,6338 0,6361 0,6383 0,6406
40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539
41 0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670
42 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799
43 0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926
44 0,6947 0,6967 0,6988 0,7009 0,7030 0,7050
45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 97
TABELA DOS SENOS - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173
46 0,7193 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294
47 0,7314 0,7333 0,7353 0,7373 0,7392 0,7412
48 0,7431 0,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528
49 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642
50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753
51 0,7771 0,7790 0,7808 0,7826 0,7844 0,7862
52 0,7880 0,7898 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969
53 0,7986 0,8004 0,8021 0,8039 0,8056 0,8073
54 0,8090 0,8107 0,8124 0,8141 0,8158 0,8175
55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274
56 0,8290 0,8307 0,8323 0,8339 0,8355 0,8371
57 0,8387 0,8403 0,8418 0,8434 0,8450 0,8465
58 0,8480 0,8496 0,8511 0,8526 0,8542 0,8557
59 0,8572 0,8587 0,8601 0,8616 0,8631 0,8646
60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732
61 0,8746 0,8760 0,8774 0,8788 0,8802 0,8816
62 0,8829 0,8843 0,8857 0,8870 0,8884 0,8897
63 0,8910 0,8923 0,8936 0,8949 0,8962 0,8975
64 0,8988 0,9001 0,9013 0,9026 0,9038 0,9051
65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124
66 0,9135 0,9147 0,9159 0,9171 0,9182 0,9194
67 0,9205 0,9216 0,9228 0,9239 0,9250 0,9261
68 0,9272 0,9283 0,9293 0,9304 0,9315 0,9325
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70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446
71 0,9455 0,9465 0,9474 0,9483 0,9492 0,9502
72 0,9511 0,9520 0,9528 0,9537 0,9546 0,9555
73 0,9563 0,9572 0,9580 0,9588 0,9596 0,9605
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77 0,9744 0,9750 0,9757 0,9763 0,9769 0,9775
78 0,9781 0,9787 0,9793 0,9799 0,9805 0,9811
79 0,9816 0,9822 0,9827 0,9833 0,9838 0,9843
80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872
81 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899
82 0,9903 0,9907 0,9911 0,9914 0,9918 0,9922
83 0,9925 0,9929 0,9932 0,9936 0,9939 0,9942
84 0,9945 0,9948 0,9951 0,9954 0,9957 0,9959
85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974
86 0,9976 0,9978 0,9980 0,9981 0,9983 0,9985
87 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 0,9992 0,9993
88 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998
89 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
90 1,0000
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos98
TABELA DOS CO-SENOS - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998
1 0,9998 0,9998 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995
2 0,9994 0,9993 0,9992 0,9990 0,9989 0,9988
3 0,9986 0,9985 0,9983 0,9981 0,9980 0,9978
4 0,9976 0,9974 0,9971 0,9969 0,9967 0,9964
5 0,9962 0,9959 0,9957 0,9954 0,9951 0,9948
6 0,9945 0,9942 0,9939 0,9936 0,9932 0,9929
7 0,9925 0,9922 0,9918 0,9914 0,9911 0,9907
8 0,9903 0,9899 0,9894 0,9890 0,9886 0,9881
9 0,9877 0,9872 0,9868 0,9863 0,9858 0,9853
10 0,9848 0,9843 0,9838 0,9833 0,9827 0,9822
11 0,9816 0,9811 0,9805 0,9799 0,9793 0,9787
12 0,9781 0,9775 0,9769 0,9763 0,9757 0,9750
13 0,9744 0,9737 0,9730 0,9724 0,9717 0,9710
14 0,9703 0,9696 0,9689 0,9681 0,9674 0,9667
15 0,9659 0,9652 0,9644 0,9636 0,9628 0,9621
16 0,9613 0,9605 0,9596 0,9588 0,9580 0,9572
17 0,9563 0,9555 0,9546 0,9537 0,9528 0,9520
18 0,9511 0,9502 0,9492 0,9483 0,9474 0,9465
19 0,9455 0,9446 0,9436 0,9426 0,9417 0,9407
20 0,9397 0,9387 0,9377 0,9367 0,9356 0,9346
21 0,9336 0,9325 0,9315 0,9304 0,9293 0,9283
22 0,9272 0,9261 0,9250 0,9239 0,9228 0,9216
23 0,9205 0,9194 0,9182 0,9171 0,9159 0,9147
24 0,9135 0,9124 0,9112 0,9100 0,9088 0,9075
25 0,9063 0,9051 0,9038 0,9026 0,9013 0,9001
26 0,8988 0,8975 0,8962 0,8949 0,8936 0,8923
27 0,8910 0,8897 0,8884 0,8870 0,8857 0,8843
28 0,8829 0,8816 0,8802 0,8788 0,8774 0,8760
29 0,8746 0,8732 0,8718 0,8704 0,8689 0,8675
30 0,8660 0,8646 0,8631 0,8616 0,8601 0,8587
31 0,8572 0,8557 0,8542 0,8526 0,8511 0,8496
32 0,8480 0,8465 0,8450 0,8434 0,8418 0,8403
33 0,8387 0,8371 0,8355 0,8339 0,8323 0,8307
34 0,8290 0,8274 0,8258 0,8241 0,8225 0,8208
35 0,8192 0,8175 0,8158 0,8141 0,8124 0,8107
36 0,8090 0,8073 0,8056 0,8039 0,8021 0,8004
37 0,7986 0,7969 0,7951 0,7934 0,7916 0,7898
38 0,7880 0,7862 0,7844 0,7826 0,7808 0,7790
39 0,7771 0,7753 0,7735 0,7716 0,7698 0,7679
40 0,7660 0,7642 0,7623 0,7604 0,7585 0,7566
41 0,7547 0,7528 0,7509 0,7490 0,7470 0,7451
42 0,7431 0,7412 0,7392 0,7373 0,7353 0,7333
43 0,7314 0,7294 0,7274 0,7254 0,7234 0,7214
44 0,7193 0,7173 0,7153 0,7133 0,7112 0,7092
45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 99
TABELA DOS CO-SENOS - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967
46 0,6947 0,6926 0,6905 0,6884 0,6862 0,6841
47 0,6820 0,6799 0,6777 0,6756 0,6734 0,6713
48 0,6691 0,6670 0,6648 0,6626 0,6604 0,6583
49 0,6561 0,6539 0,6517 0,6494 0,6472 0,6450
50 0,6428 0,6406 0,6383 0,6361 0,6338 0,6316
51 0,6293 0,6271 0,6248 0,6225 0,6202 0,6180
52 0,6157 0,6134 0,6111 0,6088 0,6065 0,6041
53 0,6018 0,5995 0,5972 0,5948 0,5925 0,5901
54 0,5878 0,5854 0,5831 0,5807 0,5783 0,5760
55 0,5736 0,5712 0,5688 0,5664 0,5640 0,5616
56 0,5592 0,5568 0,5544 0,5519 0,5495 0,5471
57 0,5446 0,5422 0,5398 0,5373 0,5348 0,5324
58 0,5299 0,5275 0,5250 0,5225 0,5200 0,5175
59 0,5150 0,5125 0,5100 0,5075 0,5050 0,5025
60 0,5000 0,4975 0,4950 0,4924 0,4899 0,4874
61 0,4848 0,4823 0,4797 0,4772 0,4746 0,4720
62 0,4695 0,4669 0,4643 0,4617 0,4592 0,4566
63 0,4540 0,4514 0,4488 0,4462 0,4436 0,4410
64 0,4384 0,4358 0,4331 0,4305 0,4279 0,4253
65 0,4226 0,4200 0,4173 0,4147 0,4120 0,4094
66 0,4067 0,4041 0,4014 0,3987 0,3961 0,3934
67 0,3907 0,3881 0,3854 0,3827 0,3800 0,3773
68 0,3746 0,3719 0,3692 0,3665 0,3638 0,3611
69 0,3584 0,3557 0,3529 0,3502 0,3475 0,3448
70 0,3420 0,3393 0,3365 0,3338 0,3311 0,3283
71 0,3256 0,3228 0,3201 0,3173 0,3145 0,3118
72 0,3090 0,3062 0,3035 0,3007 0,2979 0,2952
73 0,2924 0,2896 0,2868 0,2840 0,2812 0,2784
74 0,2756 0,2728 0,2700 0,2672 0,2644 0,2616
75 0,2588 0,2560 0,2532 0,2504 0,2476 0,2447
76 0,2419 0,2391 0,2363 0,2334 0,2306 0,2278
77 0,2250 0,2221 0,2193 0,2164 0,2136 0,2108
78 0,2079 0,2051 0,2022 0,1994 0,1965 0,1937
79 0,1908 0,1880 0,1851 0,1822 0,1794 0,1765
80 0,1736 0,1708 0,1679 0,1650 0,1622 0,1593
81 0,1564 0,1536 0,1507 0,1478 0,1449 0,1421
82 0,1392 0,1363 0,1334 0,1305 0,1276 0,1248
83 0,1219 0,1190 0,1161 0,1132 0,1103 0,1074
84 0,1045 0,1016 0,0987 0,0958 0,0929 0,0901
85 0,0872 0,0843 0,0814 0,0785 0,0756 0,0727
86 0,0698 0,0669 0,0640 0,0610 0,0581 0,0552
87 0,0523 0,0494 0,0465 0,0436 0,0407 0,0378
88 0,0349 0,0320 0,0291 0,0262 0,0233 0,0204
89 0,0175 0,0145 0,0116 0,0087 0,0058 0,0029
90 0,0000
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos100
TABELA DAS TANGENTES - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145
1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320
2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495
3 0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670
4 0,0699 0,0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846
5 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022
6 0,1051 0,1080 0,1110 0,1139 0,1169 0,1198
7 0,1228 0,1257 0,1287 0,1317 0,1346 0,1376
8 0,1405 0,1435 0,1465 0,1495 0,1524 0,1554
9 0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1733
10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914
11 0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095
12 0,2126 0,2156 0,2186 0,2217 0,2247 0,2278
13 0,2309 0,2339 0,2370 0,2401 0,2432 0,2462
14 0,2493 0,2524 0,2555 0,2586 0,2617 0,2648
15 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836
16 0,2867 0,2899 0,2931 0,2962 0,2994 0,3026
17 0,3057 0,3089 0,3121 0,3153 0,3185 0,3217
18 0,3249 0,3281 0,3314 0,3346 0,3378 0,3411
19 0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607
20 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805
21 0,3839 0,3872 0,3906 0,3939 0,3973 0,4006
22 0,4040 0,4074 0,4108 0,4142 0,4176 0,4210
23 0,4245 0,4279 0,4314 0,4348 0,4383 0,4417
24 0,4452 0,4487 0,4522 0,4557 0,4592 0,4628
25 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841
26 0,4877 0,4913 0,4950 0,4986 0,5022 0,5059
27 0,5095 0,5132 0,5169 0,5206 0,5243 0,5280
28 0,5317 0,5354 0,5392 0,5430 0,5467 0,5505
29 0,5543 0,5581 0,5619 0,5658 0,5696 0,5735
30 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969
31 0,6009 0,6048 0,6088 0,6128 0,6168 0,6208
32 0,6249 0,6289 0,6330 0,6371 0,6412 0,6453
33 0,6494 0,6536 0,6577 0,6619 0,6661 0,6703
34 0,6745 0,6787 0,6830 0,6873 0,6916 0,6959
35 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221
36 0,7265 0,7310 0,7355 0,7400 0,7445 0,7490
37 0,7536 0,7581 0,7627 0,7673 0,7720 0,7766
38 0,7813 0,7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050
39 0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342
40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642
41 0,8693 0,8744 0,8796 0,8847 0,8899 0,8952
42 0,9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271
43 0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601
44 0,9657 0,9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942
45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 101
TABELA DAS TANGENTES - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295
46 1,0355 1,0416 1,0477 1,0538 1,0599 1,0661
47 1,0724 1,0786 1,0850 1,0913 1,0977 1,1041
48 1,1106 1,1171 1,1237 1,1303 1,1369 1,1436
49 1,1504 1,1571 1,1640 1,1708 1,1778 1,1847
50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276
51 1,2349 1,2423 1,2497 1,2572 1,2647 1,2723
52 1,2799 1,2876 1,2954 1,3032 1,3111 1,3190
53 1,3270 1,3351 1,3432 1,3514 1,3597 1,3680
54 1,3764 1,3848 1,3934 1,4019 1,4106 1,4193
55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733
56 1,4826 1,4919 1,5013 1,5108 1,5204 1,5301
57 1,5399 1,5497 1,5597 1,5697 1,5798 1,5900
58 1,6003 1,6107 1,6213 1,6318 1,6426 1,6534
59 1,6643 1,6753 1,6864 1,6977 1,7090 1,7205
60 1,7321 1,7438 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917
61 1,8041 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 1,8676
62 1,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,9486
63 1,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,0353
64 2,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,1283
65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286
66 2,2460 2,2637 2,2817 2,2998 2,3183 2,3369
67 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545
68 2,4751 2,4960 2,5172 2,5387 2,5605 2,5826
69 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228
70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770
71 2,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,0475
72 3,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371
73 3,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,4495
74 3,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,6891
75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617
76 4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,2747
77 4,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,6383
78 4,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,0658
79 5,1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,5764
80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970
81 6,3138 6,4348 6,5605 6,6912 6,8269 6,9682
82 7,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,9530
83 8,1444 8,3450 8,5556 8,7769 9,0098 9,2553
84 9,5144 9,7882 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594
85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267
86 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750
87 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316
88 28,6363 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039
89 57,2900 68,7501 85,9398 114,5887 171,8854 343,7737
90
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos102
Exercício
7. Procure os ângulos correspondentes na tabela e escreva-os ao lado, conforme
exemplo:
a) 0,167 = sen 9°40’
b) 0,401
c) 0,868
d) 0,997
e) 0,862
f) 0,761
g) 0,9
h) 0,6
Vamos considerar agora o problema inverso. Conhecendo a medida de um ângulo,
encontrar na tabela o valor do seno correspondente.
Podemos encontrar, por exemplo, o valor do seno do ângulo de 3º20’.
Primeiro, localizamos os graus da medida da primeira coluna da tabela:
Depois, seguimos a linha desses graus até a coluna que fica na direção dos minutos
da medida. Como a medida do exemplo possui 20’, seguimos a linha até a coluna de
20’.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 103
Dessa forma, encontramos o seno do ângulo de 3º20’: sen 3º20’ = 0,05814.
Vejamos outros exemplos:
a) sen 74º10’ = 0,96206
b) sen 63º = 0,89101 (como não há minutos, procura-se o valor na coluna 0’)
c) sen 10’ = 0,00291 (como não há graus, procura-se na linha 0º)
Exercícios
8. Consulte a tabela e escreva os senos dos ângulos:
a) a)sen 24º30’
b) b)sen 44º40’
c) c)sen 85º
d) d)sen 61º50’
e) e)sen 30º
f) f)sen 45º
9. Consulte uma das três tabelas trigonométricas para responder às questões a
seguir.
a) Qual é o co-seno de 60º?
b) Qual é a tangente de 18º?
c) 0,25882 é co-seno de qual ângulo?
d) 7,268 é a tangente aproximada de que ângulo?
e) Qual é o seno de 30º? E o co-seno de 60º? Estes resultados são iguais?
f) Qual é o co-seno de 39º10’? E o seno de 50º50’? Esses resultados são iguais?
g) Qual é o seno de 25º30’? E o co-seno de 64º30’? Esses resultados são iguais?
10. Calcule a soma dos ângulos das questões e, f e g do exercício anterior. Assim:
a)
(Procure lembrar-se como se chamam esses pares de ângulos pois será muito útil no
seu trabalho)
b) c)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos104
O seno de um ângulo é uma constante. Isso quer dizer que o seno de uma
determinada medida de ângulo é sempre o mesmo, quaisquer que sejam as medidas
da hipotenusa e do cateto oposto a esse ângulo. Como você já viu, o seno do ângulo
de 30º, por exemplo, é sempre 0,5.
Nos dois triângulos seguintes, o seno de é 0,5. Observe:
sen = ______
sen = ______
Nos dois casos, o seno é 0,5 e o ângulo mede 30º, apesar de as medidas dos lados
serem diferentes: 2cm e 4cm no primeiro; 3cm e 6cm no segundo.
O mesmo ocorre com as razões co-seno e tangente. Dessa forma é sempre possível
calcular a medida de um ângulo agudo quando conhecemos as medidas dos lados do
triângulo.
sen = ______
sen = _________
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 105
Cálculo do ângulo
Vamos ver qual é a medida do ângulo F do triângulo DEF.
Ι) dados do problema:
a.i. = = a.i.
c.o. = 40 ou 40 = c.o.
hip. = 50 50 = hip.
ΙΙ) Resolução:
sen = sen = sen =
Consultando a tabela de senos temos: =
Observação
Após a consulta à tabela, o nome da razão (sen) desaparece, pois 53º10’ já é a
medida do ângulo indicado. Portanto, para calcular a medida do ângulo seguimos os
seguintes passos:
1º) destacamos os dados do problema;
2º) identificamos a razão de acordo com os dados;
3º) resolvemos o problema, substituindo na fórmula (razão) os dados indicados e
efetuando as operações até consultar a tabela.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos106
Exercícios
11. Calcule o ângulo H:
I) dados: a.i. =
c.a. =
hip. =
II) razão: cos =
III) cos =
cos = _________ (ver tabela de co-seno)
=
Resposta: O ângulo mede _____________
12. Calcule o ângulo :
I) dados: a.i. =
c.a. = 10
c.o. = 16
II) razão: tg =
III) tg =
tg = ____________ (consultando a tabela de tangentes)
= ___________
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 107
13. Calcule os ângulos indicados nas figuras:
a)
b)
c)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos108
Cálculo de um lado do triângulo
É sempre possível calcular o valor de um lado qualquer de um triângulo retângulo
sendo conhecidos um ângulo e qualquer um dos outros dois lados.
Exemplo:
Calcule x no triângulo abaixo.
I) dados: a.i. = ______º
c.a. = _______cm
c.o.= x
II) razão: tg = _______
III) tg 35º = ______
• Consultando a tabela de tangentes temos: tg 35º ≅ _________ (vamos trabalhar
com apenas 3 casas decimais).
Então: _____ ou ______ = ________
• Calculando o valor de x:
x = _____
Resposta: O valor de x é _______cm.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 109
Outros exemplos:
a) Calcule o lado .
I) dados: ___________ = a.i.
________ mm = hip.
___________ = c.a. (x)
II) razão: __________
III) cos 65º40’ = _________
tabela: cos 65º40’ = 0,412
0,412 =
15
x
ou
15
X
1
0,412
=
1 . X = 0,412 . 15
X = 6,18
Resposta:___________________________
b) Calcule a hipotenusa do triângulo HIJ:
I) dados: __________
__________
__________
II) razão: ___________
III) __________
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos110
tabela:
x =
x = ______
Resposta: A ___________do triângulo mede __________mm.
Exercícios
14. Escreva nas cotas indicadas: (c.a.), (c.o.),(hip.) ou (a.i.), conforme o caso.
a)
b)
c)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 111
d)
15. Consulte a tabela e responda:
a) sen 30º =
b) cos 30º =
c) tg 30º =
d) sen 30º20’ =
e) cos 30’ =
f) tg 90º =
16. Escreva o ângulo correspondente às razões dadas:
a) exemplo: cos x = 0,500
Resposta: x = 60º
b) cos x = 0,86603
c) tg x = 1,76758
d) sen x = 0,500
e) sen x = 0,86603
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos112
17. Calcule as cotas pedidas. Utilize os esquemas dos exemplos dados:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 113
18. Calcule os ângulos ou lados pedidos.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos114
i) j)
l)
19) Calcule as cotas D1 e D2.
20) Calcule a medida X.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 115
21) Calcule as medidas b e x.
22) Calcule a profundidade de fresar p.
23) Determinar o diâmetro D da peça abaixo.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos116
24) Para fazer os furos na peça abaixo, a peça foi colocada em uma mesa com
coordenadas. Determinar a cota x e y do furo 1 e a distância llll de um furo ao
outro.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 117
Lei dos Senos e Lei dos Co-
senos
Lei dos co-senos para um triângulo
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo co-seno do
ângulo formado por eles.
α < 90º’ α > 90º
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . cos α
Exemplo
Calcule a medida de x.
Note que o lado de medida x deve ser
oposto ao ângulo dado.
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . cos α ← escrevendo a fórmula
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos118
x2
= 52
+ 72
– 2 . 5 . 7 . cos 50º ← substituindo as medidas
x2
= 25 + 49 – 70 . 0,642 ← substituindo cos 50º por 0,642
x2
= 25 + 49 – 44,94 ← efetuando a multiplicação
x2
= 74 – 44,94
x2
= 29,06 x = 06,29 x ≈ 5,3
Exercício
1. Determine x nos triângulos abaixo usando a lei dos co-senos.
a) b)
Para o cálculo do lado de um triângulo obtusângulo usamos a mesma relação do
triângulo acutângulo.
Exemplos
Veja como vamos calcular x no triângulo abaixo.
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α ← escrevendo a fórmula
x2
= 202
+ 232
– 2 . 20 . 23 cos135º ← substituindo as medidas
x2
= 400 + 529 – 920 cos135º
como cos135º = -cos(180º - 135º) = -cos45º = -0,707
x2
= 400 + 529 – 920 x (-0,707) ←substituindo cos135º por –0,707
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 119
x2
= 400 + 529 + 650,44 ← efetuando a multiplicação
x2
= 1579,44
Exercício
2. Calcule x para os triângulos abaixo.
a)
b)
⇒ x ≈ 39,7
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos120
Lei dos senos
A medida de um lado de um triângulo está para o seno do ângulo oposto a este lado,
assim como a medida de outro lado está para o seno do ângulo que lhe é oposto,
assim como a medida do último lado está para o seno do ângulo oposto a ele.
Observe a fórmula no triângulo abaixo:
αsen
a
=
βsen
b
βsen
b
=
γsen
c
αsen
a
=
γsen
c
ou
αsen
a
=
βsen
b
=
γsen
c
Veja como calcular as medidas de dois lados de um triângulo qualquer conhecendo-se
as medidas dos três ângulos e de um lado.
Escrevemos a medida do lado conhecido (48,7) sobre o seno do ângulo oposto
(sen103º) e igualamos com a medida de cada lado que se quer determinar sobre o
seno dos respectivos ângulos que lhes são opostos.
Vamos começar calculando x:
º103sen
7,48
=
º54sen
x
Como sen103º = sen(180º - 130º) = sen77º = 0,974 e sen54º = 0,809
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 121
substituímos esses valores na proporção acima obtendo:
974,0
7,48
=
809,0
x
Calculando o valor de x na proporção:
0,974x = 0,809 x 48,7⇒ 0,974x = 39,3983 ⇒ x =
974,0
3983,39
⇒
Fazendo o mesmo para calcular o valor de y temos:
º103sen
7,48
=
º23sen
y
⇒
974,0
7,48
/
=
390,0
y
/
974y = 390 x 48,7 ⇒ 974y = 18 993 ⇒ y =
974
99318
⇒
Observações
• Podemos aplicar a lei dos co-senos quando queremos calcular a medida de um
lado de um triângulo e conhecemos a medida de outros dois lados e um ângulo do
triângulo considerado.
• Podemos aplicar a lei dos senos quando quisermos calcular um lado de um
triângulo e tivermos conhecimento das medidas de um lado só e de, no mínimo, dois
ângulos.
• Muitas vezes é possível aplicar indiferentemente a lei dos co-senos ou a lei dos
senos. Depende dos elementos envolvidos.
Exercício
3. Determine x e y no triângulo abaixo sabendo que sen130º = sen(180º - 130º) =
sen50º.
x = 40,45
Y = 19,5
(Podemos simplificar, pois o número
de casas decimais é igual)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos122
4. Aplique a lei conveniente e calcule o que se pede.
a)
b)
c)
d)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 123
Exercícios Complementares
Calcule os valores desconhecidos dos exercícios a seguir:
1)
2)
.
10
.
15X
X
. .
20
5
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos124
3)
4)
5)
10
5 3
. .
X
.
10
6
6
X
X
27
8
20
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 125
6)
7)
8)
50
4012
30
X
.
12
.
X
35
X
8
4 4
11
.
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos126
9)
10)
11)
12)
13
30º
52X
X
112º
Ø20
Ø40
α
35
.
14
32º
X
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 127
13)
14)
15)
16)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos128
17)
18)
19)
20)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 129
21)
22)
23)
24)
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos130
25)
26)
27)
30º
20
6
9
X
60º
Y
4 10
X
40
4
12
Y
6 9
X
27
4
11
60º
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 131
28)
29)
Ø 53
X
87º
Y
60
75
ø8 (4X)
Ø36
Ø18
51,04
Y
X
20
30
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos132
30)
l a
b
h
g
f
k
j
i
e d
c
Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 133
Alfabeto Grego
Alfabeto Grego
Maiúsc. Minúsc. Nome Uso mais comum
Α αααα alfa
Β ββββ beta
Γ γγγγ gama
Em Geometria plana para designar planos ou
ângulos e coeficientes de dilatação linear,
superficial e volumétrica.
∆∆∆∆ δ delta
Indicar variação de tempo, espaço, temperatura,
etc...
Ε ε épsilon
Ζ ζ dzeta
Η η eta
Θ θθθθ teta Designar temperaturas ou ângulos.
Ι ι iota
Κ κ kapa
Λ λλλλ lâmbda Comprimento de onda
Μ µµµµ mu(mi) Coeficiente de atrito dos materiais.
Ν ν nu (ni)
Ξ ξ Ksi
Ο ο ônicron
Π ππππ pi
Relação entre o comprimento e o diâmetro da
circunferência ( ~ 3,14159265659 ).
Ρ ρρρρ rô Indicar a resistividade elétrica.
ΣΣΣΣ σ sigma Indicar a somatória de sequências ou séries.
Τ τ tau Representar o trabalho realizado por uma força.
Υ υ Úpsilom (ipsilon)
ΦΦΦΦ ϕϕϕϕ fi Indicar conjunto vazio, fluxo.
Χ χ chi (qui)
Ψ ψ psi
ΩΩΩΩ ωωωω ômega
Unidade de resistência elétrica ( maiúsculo ) ,
Velocidade angular ( minúsculo ).

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  • 1. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 1 Trigonometria Aplicada à Mecânica
  • 2. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos2 Trigonometria Aplicada à Mecânica © SENAI - 2004 Coordenação Adilson Augusto Lázaro Diagramação Wagner de Campos Sabor Conteúdo técnico Acervo SENAI – Recursos Didáticos On-line Revisão José Carlos Valbão Capa Wagner de Campos Sabor Escola SENAI “Hermenegildo Campos de Almeida” Av. Dr. Renato de Andrade Maia, 601 CEP 07114-000 Telefone (11) 6461-3553 FAX (11) 6468-9090 E-Mail: senaiguarulhos@sp.senai.b
  • 3. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 3 Sumário Página 5 Introdução 7 Revisão de Geometria 13 Ângulos 17 Polígonos 31 Sistema Sexagesimal 33 Adição de Medidas de Ângulos 39 Subtração de Medidas de Ângulos 51 Relação de Pitágoras 59 Semelhança de Triângulos 69 Relações métricas no triângulo retângulo 79 Círculo trigonométrico 83 Seno, Co-seno e Tangente 117 Lei dos Senos e Lei dos Co-senos 123 Exercícios complementares 133 Alfabeto Grego
  • 4. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos4
  • 5. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 5 Introdução A palavra trigonometria é de origem grega e tem como significado: medidas relativas às figuras triangulares. Ela pode ser definida também como o ramo da matemática que se fundamenta no fato de ser possível resolver numerosos problemas pelo cálculo dos elementos desconhecidos num triângulo (lado ou ângulo), quando se conhece três desses elementos. Para a resolução de tais problemas recorre-se principalmente ao uso das razões trigonométricas. Todo o programa que será desenvolvido neste curso foi proposto por matemáticos gregos em um período que data do ano 600 ac. até 100 dc. Isto por si só é um feito importante que nos mostra a influência dos filósofos gregos no pensamento ocidental. Para iniciar nosso curso, vamos ter que relembrar alguns conceitos de geometria plana que são fundamentais para o entendimento de teoremas e aplicação das funções trigonométricas, como por exemplo, o uso do seno e do co-seno na determinação do comprimento de um lado ou da medida de um ângulo de um triângulo retângulo. Aprenderá também como descobrir, através de cálculos, a natureza de triângulos, bem como aplicar Semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras. Verá como calcular o comprimento de elementos de um triângulo utilizando fórmulas das relações métricas num triângulo retângulo e as de um triângulo qualquer. Conhecerá, finalmente, duas relações para usar num triângulo qualquer: uma chamada lei dos co-senos e a outra, lei dos senos.
  • 6. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos6
  • 7. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 7 Revisão de Geometria Definição de ponto, reta e plano Agora, estudaremos o que pode acontecer com duas retas situadas em um mesmo plano. Mas antes disto daremos as definições de ponto, reta e plano. A primeira pessoa que teve a preocupação de definir esses elementos geométricos foi um grego chamado Euclides. Pouco se sabe sobre a vida deste matemático. Sabemos apenas que ele viveu no séc. III a.C e que foi um dos homens relacionados ao museu de Alexandria onde ali trabalhou do ano 320 a 260 ac. Foi ele quem fundou a grande escola de matemática do museu. A fama de Euclides repousa basicamente nos elementos, síntese sistemática da geometria grega. É neste livro, ou melhor nesta coleção de livros, pois a obra é composta de 13 livros, onde Euclides deu as definições de ponto, reta, plano e analisa a posição relativas de retas no plano. Vejamos então as definições de Euclides para ponto, reta e plano. Ponto: é o que não tem partes, ou seja não pode ser separado, portanto não tem dimensão. Reta: é o comprimento sem largura, ou seja, é uma linha formada por infinitos pontos que não possui nem origem nem fim. Plano: é uma superfície que tem apenas comprimento e largura. A partir destas definições, Euclides consegue concluir uma série de coisas tais como: as condições necessárias para que duas retas sejam paralelas. Vejamos a seguir quais são estas condições: Euclides
  • 8. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos8 Posição relativa de retas Paralelas: sejam as retas r e s contidas no mesmo plano e formando com a transversal t os ângulos α e β. Diz-se que a reta r é paralela a reta s se e somente se o ângulo α for igual ao ângulo β. Em notação matemática ( r//s ⇔ α = β ) Concorrentes: duas retas contidas em um mesmo plano são concorrentes quando possuem somente um ponto em comum. Perpendiculares: retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, elas se cruzam em um único ponto, formando entre elas um ângulo de 90º. r s α β . r s P . s r
  • 9. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 9 Posição relativa de retas e circunferência A reta pode ocupar três posições em relação a uma circunferência. Externa: reta externa é aquela que não intercepta a circunferência Tangente: é a reta que tem apenas um ponto em comum com a circunferência. Propriedade da reta tangente: ela é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência. Secante: é a reta que tem dois pontos em comum com a circunferência. Definição de circunferência Circunferência é o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano chamado "centro", e essa distância chama-se "raio". . r . r. . r . centro conjunto de pontos de um plano
  • 10. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos10 Elementos de uma circunferência. A0 - "raio" é o segmento que une o centro a um ponto qualquer da circunferência. BC - "corda" é o segmento que une dois pontos de urna circunferência. DE - "diâmetro" é uma corda que passa pelo centro da circunferência e tem como valor o dobro do raio. Congruência de ângulos Duas retas paralelas não coincidentes formam com uma transversal ângulos alternos e correspondentes iguais. OBS.: A palavra congruentes em geometria substitui a palavra iguais, Por isso costuma-se dizer que dois ângulos são congruentes e não iguais. opostos pelo vértice: hefgbcda ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ==== correspondentes: aegcdhbf ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ==== alternos internos: edfc ˆˆ,ˆˆ == alternos externos: habg ˆˆ,ˆˆ == .0 D C B E A r s ^b ^a ^d ^c^e ^h ^g ^f
  • 11. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 11 Exercício resolvido 1) - Calcule o valor dos ângulos indicados na figura abaixo: Solução: Da definição de retas paralelas temos que â = 50°, pois como foi dito anteriormente se r//s, então α=β . Podemos ainda ver pelo desenho acima que se somarmos o ângulo aˆ com o ângulo bˆ esta soma deve ser igual a 180°, ou seja, bˆ é suplemento de aˆ , logo bˆ = 180°- 50°= 130°. 0 mesmo acontece quando somamos os ângulos dˆ e cˆ , logo cˆ também pode ser chamado de suplemento de dˆ e cˆ = 180°- 130°= 50°. Se verificarmos os valores de aˆ e cˆ , veremos que estes são iguais, isto não é apenas uma coincidência, isto sempre acontece, pois os ângulos aˆ e cˆ são opostos elo vértice, e ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais, já o ângulo dˆ é 130°pois é o oposto pelo vértice a bˆ , ou ainda ele é suplemento de aˆ e de cˆ . Aplicando o mesmo raciocício podemos calcular os ângulos eˆ , fˆ e gˆ , chegando aos seguintes resultados: eˆ = 130°, fˆ = 50°, gˆ = 130° Outro fato importante deve ser observado é que os ângulos aˆ e fˆ são iguais, esta observação é importante e futuramente ela nos ajudará a resolver inúmeros exercícios. Existe uma maneira bastante prática que nos permite descobrir quem são os dois ângulos iguais, no caso de aˆ e fˆ . Para tanto basta que tracemos sobre a figura a letra Z da palavra "Zorro", veja desenho abaixo. Feito isto, teremos que os ângulos internos a letra Z serão sempre iguais. °50 gˆ cˆ dˆ fˆ eˆ aˆ bˆ fˆ aˆ
  • 12. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos12
  • 13. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 13 Ângulos Ângulos Podemos definir ângulo como sendo a porção do plano limitado por duas semi-retas de mesma origem (vértice do ângulo). Os ângulos recebem nomes especiais conforme a sua abertura: ângulo agudo, ângulo reto, ângulo obtuso e ângulo raso Ângulo Agudo É o ângulo cuja medida é menor que 90º Ângulo Reto É o ângulo cuja medida é exatamente 90º Agudo . Reto . ânguloVértice r s
  • 14. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos14 Ângulo Obtuso É o ângulo que mede entre 90º e menos de 180º Ângulo Raso É o ângulo que tem exatamente 180º Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma deles forma um ângulo de 90º. Portanto para se calcular o complemento de um ângulo basta subtrair de 90º o ângulo dado. . Obtuso . Raso Complemento de α = ( 90º - α )
  • 15. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 15 Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma deles forma um ângulo de 180º. Para se calcular o suplemento de ângulo basta subtrair esse ângulo de 180º. Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma deles forma um ângulo de 360º. E para se calcular o replemento de um certo ângulo dado basta subtrair esse ângulo de 360º. Suplemento de α = (180º - α) Replemento de α = (360º - α ) α Replemento de α
  • 16. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos16
  • 17. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 17 Polígonos Polígono Polígono é o conjunto formado pela linha poligonal fechada e os pontos interiores. Note que o polígono é uma região do plano e não só a linha poligonal. Mas, para facilitar, daqui para frente vamos representar o polígono somente com a linha poligonal. Veja mais alguns polígonos: Polígonos regulares e irregulares Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos congruentes. Veja alguns polígonos regulares. Observação O sinal / indica mesma medida. Polígono irregular é aquele que não possui todos os lados ou ângulos congruentes.
  • 18. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos18 Veja alguns polígonos irregulares. Observação Os sinais / e // indicam medidas iguais. Você já viu, nesta unidade, figuras de polígonos com 3 lados, 4 lados, 5 lados... Para se formar um polígono, precisa-se ter, no mínimo, 3 segmentos, isto é, o menor números de lados de um polígono é três. Alguns polígonos têm nomes especiais conforme o número de seus lados. Número de lados Nome do polígono Número de lados Nome do polígono 3 triângulo 9 eneágono 4 quadrilátero 10 decágono 5 pentágono 11 undecágono 6 hexágono 12 dodecágono 7 heptágono 15 pentadecágono 8 octógono 20 icoságono Polígonos regulares inscrito e circunscrito Polígono regular inscrito é aquele em que os vértices pertencem à circunferência.
  • 19. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 19 Polígono regular circunscrito é aquele em que os lados tocam num ponto da circunferência, isto é, os lados são tangentes à circunferência. Elementos do polígono regular inscrito • Centro – é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. • Vértice – é o ponto de encontro de dois de seus lados consecutivos. • Lado – cada um dos segmentos de reta que constituem a linha poligonal. • Raio – é o segmento de reta que une o centro a um vértice do polígono. O – centro A, B, C, D, E, F – vértices AB , BC , CD , DE ,EF,FA - lados OA , OB , OC, ... – raios OA e OB - raios consecutivos • Apótema – é o segmento de reta que vai do centro do polígono ao ponto médio de um lado. O apótema é perpendicular a esse lado. • Diagonal – é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. • Ângulo central – é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são os raios consecutivos • Ângulo interno – é o ângulo cujos lados contêm dois lados consecutivos de um polígono. OM - apótema m ( AM) = m (MB ) AE - diagonal α - ângulo central (O – vértice; OB e OC - lados) β - ângulo interno (CD e DE - lados do ângulo - lados consecutivos do polígono)
  • 20. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos20 Observações • O raio do polígono regular é o raio da circunferência circunscrita. • O apótema do polígono regular é o raio da circunferência inscrita. • A medida do ângulo central é dada por: α = n 360° , onde n = no de lados do polígono regular Triângulo Triângulo é o polígono de 3 lados. A, B, C→ vértices, AB , AC , e BC → lados ^ A , ^ B , ^ C → ângulos internos. x, y, z →ângulos externos (cada ângulo externo é o suplementar ao interno adjacente) Classificação quanto aos ângulos Se um triângulo possui os três ângulos agudos é chamado triângulo acutângulo. Os ângulos ^ A , ^ B e ^ C são menores que 90°.
  • 21. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 21 Se um triângulo possui um ângulo obtuso é chamado triângulo obtusângulo. O ângulo ^ F é maior que 90°. Se um triângulo possui um ângulo reto é chamado triângulo retângulo. O ângulo ^ G é reto, isto é, mede 90°. Classificação quanto aos lados Se um triângulo possui a mesma medida nos três lados recebe o nome de triângulo equilátero. Os lados AB , BC e AC possuem a mesma medida. Observação Os ângulos ^ A , ^ B e ^ Ctambém possuem a mesma medida, igual a 60°.
  • 22. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos22 Se um triângulo possui dois lados com a mesma medida recebe o nome de triângulo isósceles. O outro lado é chamado base. Observação Os ângulos ^ F e ^ E são chamados ângulos da base e têm a mesma medida. Se um triângulo possui medidas diferentes nos três lados recebe o nome de triângulo escaleno. Exercício. 1. Classifique as figuras quanto aos lados e ângulos conforme o exemplo: Exemplo a) isósceles acutângulo b) c) d) e) O lado GH mede 35mm. O lado HI mede 30mm. O lado GI mede 20mm. Observação Os ângulos ^ G , ^ H , ^ I têm medidas diferentes. Os lados DE e DF possuem a mesma medida. O lado EF é a base.
  • 23. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 23 Elementos do triângulo Altura relativa a um lado é o segmento da perpendicular que vai do vértice oposto até a reta suporte do lado. Todo triângulo tem três alturas e o ponto de encontro delas chama-se ortocentro. Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo tem três medianas e o ponto de encontro das mesmas chama-se baricentro. Bissetriz de um triângulo é o segmento que divide um ângulo ao meio e vai do vértice do ângulo ao lado oposto. Todo triângulo tem três bissetrizes e o ponto de encontro das três chama-se incentro.
  • 24. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos24 Exercícios 2. Desenhe um triângulo isósceles e retângulo e localize a altura relativa ao seu maior lado. 3. Desenhe um triângulo equilátero de 2cm de lado e localize uma de suas alturas. 4. Copie o triângulo abaixo e localize o que se pede: a) a altura relativa ao lado BC b) a bissetriz relativa ao lado AB c) a mediana relativa ao lado AC 5. Escreva o nome dos pontos assinalados nas figuras. P = ? Q = ?
  • 25. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 25 Observações • Em qualquer triângulo, a medida de um dos lados é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois. • A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°. • A soma dos ângulos externos do triângulo é 360°. • Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado. • Todo triângulo equilátero é também equiângulo (ângulos de mesma medida). • Os ângulos da base do triângulo isósceles têm a mesma medida. • No triângulo equilátero, as alturas, medianas e bissetrizes coincidem. • No triângulo isósceles, a altura, mediana e bissetriz relativas à sua base coincidem. • Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. Exercício 6. Calcule os ângulos desconhecidos nos triângulos, conforme o exemplo: Exemplo a) 45° + 80 125º 180º - 125 55º Resposta: ____° b)
  • 26. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos26 c) d) e) f) g) h)
  • 27. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 27 Quadrilátero Quadrilátero é o polígono de quatro lados. AD e BC ; AB e CD são lados opostos; ^ A e ^ C; ^ B e ^ D são ângulos opostos. ^ A + ^ B + ^ C + ^ D = 360°( equivale a 4 ângulos retos ) AC e BD são diagonais Os quadriláteros podem ser: paralelogramo e trapézio. Paralelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. AB // CD e BC // AD → lados opostos ^ A e ^ C; ^ B e ^ D → ângulos opostos. Propriedades do paralelogramo Em todo paralelogramo: • os lados opostos têm a mesma medida • os ângulos opostos têm a mesma medida • as diagonais interceptam-se mutuamente ao meio • cada diagonal o divide em 2 triângulos congruentes • dois ângulos consecutivos são suplementares
  • 28. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos28 O paralelogramo pode ser: • retângulo – é o paralelogramo que tem 4 ângulos retos • losango – é o paralelogramo que tem 4 lados de mesma medida • quadrado – é o paralelogramo que tem 4 lados e 4 ângulos de mesma medida, ou é o retângulo de 4 lados de mesma medida. retângulo losango quadrado Observações • As diagonais do retângulo têm a mesma medida. • As diagonais do losango são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos. • As diagonais do quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos. Faça os exercícios no seu caderno. 7. Um dos ângulos de um paralelogramo mede 100°. Quanto medem os outros três? 8. O ângulo agudo de um losango mede 48°. Quanto mede o ângulo obtuso? 9. Calcule x e y nas figuras abaixo. a)
  • 29. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 29 b) c) Trapézio Trapézio é o quadrilátero que tem somente dois lados opostos paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases e a distância entre eles, altura. BC // AD BC → base menor AD → base maior CH → altura ^ A , ^ B , ^ C, ^ D → ângulos internos ^ A + ^ B + ^ C + ^ D = 360° Os trapézios classificam-se em: • isósceles – os lados não paralelos são congruentes • escaleno – os lados não paralelos são desiguais • retângulo – tem dois ângulos retos escaleno isósceles retângulo
  • 30. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos30 Propriedades do trapézio • Dois ângulos consecutivos de um trapézio que não são adjacentes à mesma base são suplementares. • No trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são congruentes (mesma medida). Exercícios 10. Em um trapézio isósceles, um dos ângulos adjacentes a uma das bases mede 50°. Calcule a medida dos ângulos adjacentes à outra base (sugestão: desenhe). 11. Calcule x e y nas figuras: a) b) c)
  • 31. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 31 Sistema Sexagesimal Introdução Nas operações de mecânica é comum encontrar peças que têm detalhes inclinados formando ângulos e também é comum acontecer desses ângulos exigirem grande precisão em sua inclinação. Para medir esses ângulos, usa-se o sistema sexagesimal. Segundo esse sistema, o círculo é dividido em 360 partes iguais ou em 360 graus. Dividindo o ângulo de um grau em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos mede um minuto. Suponhamos que o ângulo abaixo meça 1º.
  • 32. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos32 Vamos dividi-lo em 60 partes iguais. Supondo que o ângulo de 1º tenha sido dividido em 60 partes, temos: Cada uma dessas partes em que dividimos o ângulo de 1º eqüivale a 1 minuto. Minuto é, então, uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a 60 1 do grau. E, se o minuto é 60 1 do grau, 1 grau é igual a 60 minutos. O minuto é indicado com o símbolo ( ' ). Assim, 1' lemos 1 minuto 60'. lemos 60 minutos, 30'. lemos 30 minutos. Dividindo o ângulo de um minuto em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos mede 1 segundo. Segundo é uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a 60 1 do minuto. Assim, 1 segundo eqüivale a 60 1 do minuto, 1 minuto eqüivale a 60 segundos. O segundo é indicado com o símbolo ( " ). Assim, 1" lemos 1 segundo, 60" lemos 60 segundos. Resumindo: O grau é a unidade legal e divide-se em 60 minutos. E, finalmente, cada minuto corresponde a 60 segundos. Representações: grau ( º ) - corresponde a 360 1 da circunferência ou 60 minutos; minuto ( ' ) - corresponde a 60 1 de 1º (um grau) ou 60 segundos; segundo ( " ) - corresponde a 60 1 do minuto Exemplo: 54o 31’12” - Lê-se: 54 graus, 31 minutos e 12 segundos.
  • 33. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 33 Adição de medidas de ângulo Para somar medidas de ângulos, precisamos, antes de tudo, saber montar a conta. Vamos ver o exemplo 2º1’30” + 3º7’4”. Colocamos os graus abaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos, os segundos embaixo dos segundos. 2º 1’ 30” + 3º 7’ 4” Percebeu o alinhamento dos graus, dos minutos e dos segundos? Monte esta conta: 20º 3’ 17” + 5º 17’ 15” Pode acontecer que uma das parcelas a serem somadas não contenha as três unidades. Neste caso, você deve montar a conta do mesmo jeito, não misturando nunca unidades diferentes. Monte esta outra conta: 3º 8’ 51” + 1º 8’ 30” + 4º 17’ 3”
  • 34. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos34 No exemplo que vem a seguir, uma parcela possui graus e segundos e a outra, graus e minutos. Observe: 1º 30” + 19º 8’. Como é que montamos essa conta ? Veja: 8'19º 30"1º + Veja bem: mesmo que não haja unidade, deve-se deixar o espaço dessa unidade, de modo a fazer coincidir grau com grau, minuto com minuto, segundo com segundo. Faça você agora a montagem das seguintes contas: 18º 6’ + 7º 45” 38º 30’ + 13º 25” E como fazer a adição de medidas de ângulos? Não há dificuldades. Somamos as unidades separadamente: graus com graus, minutos com minutos, segundos com segundos. Assim: 43" 35"40'12º 8"1'º25 + = = É claro que fazemos a conta de uma vez só. Aqui, fizemos em três passos, somente para você entender melhor. Notou os 8’ da 2ª parcela debaixo do espaço reservado aos minutos da 1ª parcela ? Da mesma forma, os 30” da 1ª parcela devem ficar na direção do espaço dos da 2ª parcela. 25º 1’ 8” + 12º 40’ 35” 37º 41’ 43” 35"12º40' 8"1'25º + 41' 43"
  • 35. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 35 Faça você sozinho. a) 34º 7’ + 1º 30’ b) 8º 7’ 28” + 1º 6’ 5” Vamos continuar. Observe a conta: 12º 9’ 53” + 8º33’ 30” 20º42’ 83” Reparou que o resultado nos segundos é maior que 60? Se no resultado de uma adição de medidas de ângulos, encontramos 60 segundos ou mais de 60 segundos, fazemos o que vem a seguir. 1) Transformamos os segundos em minutos: 60 23" 60 "83 − 1’ 2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos segundos. Assim: 12º 9’ 53” + 8º33’ 30” 20º42’ ” 23” 3) Somamos os minutos encontrados na transformação com os minutos do resultado. Desta maneira: 12º 9’ 53” + 8º33’ 30” 20º42’ ” + 1’ 23” 20º 43’ 23” Então, 12º 9’ 53” + 8º 33’ 30” = 20º 43’ 23”.
  • 36. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos36 Calcule: a) 24º 15’ 13” + 4º 10’ 57” b) 45º 55” + 10º 10” + 30º 8’ Observe esta outra adição: 2º27’50” +12º57’ 1” 14º84’51” O que fazemos, se são os minutos que ultrapassam 60? Se, no resultado de uma adição de medidas de ângulo, encontramos 60 minutos ou mais de 60 minutos, fazemos o que vem a seguir. 1) Transformamos os minutos em graus: 60 24' 60 '84 − 1º 2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos minutos do resultado: 2º 27’ 50” + 12º 57’ 1” 14º ’ 51” 24
  • 37. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 37 3) Somamos os graus encontrados com os graus do resultado: 2º 27’50” + 12º 57’ 1” 14º ’51” + 1º 24’ 15º 24’ 51” Exercícios 1. Faça as adições: 2 Faça uma linha em volta da resposta certa. 3º 7’ + 6º 28’ = 11º 36’ 9º 35’ 12º 35’ 10º 36’ 3 Escreva ( C ) se a conta estiver certa e ( E ) se estiver errada. ( ) 2º 45’ 50” + 50º 7’ 2” = 52º 52’ 52” ( ) 45º 12’ 23” + 5º 47’ 24” + 12º 16’ 23” = 63º 16’ 10” Teremos, então: 2º 27’ 50” + 12º 57’ 1” = 15º 24’ 51”. b) 8º 12’ 20” + 32º 50’ d) 25º 47’ 23” + 14º 33’ 12” e) 48º 50’ 15” + 45º 49’ 27” c) 19º 54’ 30” + 35’ 35” f) 112º 51’ 3” + 55’ 35” a) 4º 5’ 14” + 1º 55’ + 23º 6”
  • 38. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos38 Exercícios de aplicação - complemento, suplemento e replemento de ângulos 1. Calcular o complemento dos ângulos abaixo: a) 55º = b) 73º = c) 28º 30' d) 90º = e) 32º 28' 13" = f) 45º 80' 65" = g) 89º 58' 01 " = h) 00º 59'59" = i) 10º 12' 24" = j) 125º = k) 89º 59' 60" = l) 50" = 2. Calcular o suplemento dos ângulos abaixo: a) 155º = b) 210º = c) 180º = d) 101º = e) 128º 28' = f) 132º 12" = g) 35º 14' 36" = h) 00º 59' 56" = i) 189º 58' 23" = j) 179º 06' 36" = k) 112º 60' = l) 0º 0' 1" = 3. Calcular o replemento dos ângulos abaixo: a) 270º = b) 360º = c) 20º = d) 322º 23' = e) 358º 30" = f) 122º 76" = g) 3600º = h) 180º 240" = i) 200º 12' 56" = j) 25º 6' 43" = k) 357º 176' 240" = l) 402º =
  • 39. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 39 Subtração de medidas de ângulo observe a conta. 49º 9’ 2” – 17º 5’ 1” Também para subtrair medidas de ângulos, é preciso que os graus fiquem embaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos e os segundos embaixo dos segundos. assim: 1"5'17º 2"9'49º − Se faltar alguma unidade na medida, a conta é montada como você aprendeu em adição: sem misturar unidades diferentes. Monte a conta. 25º 40’ 30” – 15º 25”
  • 40. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos40 E como subtrair? A subtração de medidas de ângulos é feita separadamente: subtraímos graus dos graus, minutos dos minutos e segundos dos segundos. Assim: 07" 17" 24" 28'35º- 35'º84 Faça as seguintes subtrações: a) 47º 9’ 5” – 13º 5’ 1” b) 150º 45’ 30” – 50º 25’ Veja esta conta: 26º- º48 43' 15' Você deve estar pensando que não é possível subtrair 43’ de 15’. Quando, numa subtração, não é possível subtrair uma das unidades de medida, precisamos emprestar um da unidade de medida imediatamente superior, isto é, emprestar um grau para os minutos ou um minuto para os segundos. Neste caso, vamos emprestar um grau para os minutos. Para emprestar um grau para os minutos, fazemos o que vem a seguir. 1) Tiramos 1º da medida: 43' 15' 26º- º48 º47 Tirando 1º de 48º, ficamos com 47º. 07" 17"35º- 24"º84 07' 28' 35' 07"07' 17"28'- 24"35' 49º 35º 84º = =
  • 41. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 41 2) Transformamos esse grau em 60’ (1 x 60’ = 60’) E somamos aos minutos da medida. Como temos 15’ na conta, somamos 15’ + 60’, encontramos 75’. 3) Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado: 47º75’ - º ’ 4) Fazemos a subtração usando 47º 75’: 47º75’ º ’ - 26º 43’ Assim, 48º 15’ – 26º 43’ = 21º 32’. Vamos ver mais um exemplo. 40'44º 30'º145 − Emprestamos 1º de 145º, porque não podemos tirar 40’ de 30’. 145º - 1º = 144º Vamos substituir os 145º por esse resultado: 144º º30’ - 44º 40’ Transformamos 1º em minutos: 1º = 60’. Somamos 60’ + 30’ = 90’
  • 42. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos42 Subtraímos os 30’ por esse resultado: 144º90’ º30’ - 44º40’ Subtraímos: 144º 90’ º ’ - 44º 40’ Logo, 145º 30’ – 44º 40’ = 100º 50’. Agora faça você, seguindo os passos indicados. 50'20º- 15'º75 Não se pode tirar 50’ de 15’. Então, empresta-se 1º de 75º. Assim, 75º - 1º = Substitua os 75º por esse resultado. Transforme em minutos o grau emprestado: Some esse resultado aos 15’: . Substitua os 15’ por esse resultado. Faça a subtração. Escreva a resposta no traço: .
  • 43. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 43 Exercício Agora, faça as contas a seguir sozinho. a) 32º 18’ – 10º 20’ b) 70º 9’ 30” – 38º 15’ 20” c) 27º 27’ 30” – 18º 30’ 25” Observe a seguinte conta: 44"15'20º- 25'º44 30" Não podemos subtrair 44” de 30”. Precisamos emprestar um minuto para os segundos. Para emprestar 1 minuto para os segundos, fazemos o que vem a seguir. 1) Tiramos 1’ dos minutos da medida: 24’ 44º ’30” - 20º15’44” Tirando 1’ de 25’, ficamos com 24’. 2) Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida: 1 x 60” = 60” 30” + 60” = 90”
  • 44. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos44 3) Substituímos os segundos da media pelo resultado encontrado: 24’90” 44º ’ ” - 20º15’44” 4) Fazemos a subtração: 24’90” 44º ’ ” - 20º15’44” 24º 9’46” Faça você sozinho. 90º 30’ 15” – 45º 10’ 30” Faça a subtração. 180º 50’ 10” – 59º 25’ 40” Agora, observe esta outra conta: 45"50'39º- º69 30"45' Neste caso será preciso emprestar 1 minuto para os segundos e 1 grau para os minutos.
  • 45. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 45 Vejamos como resolver este exemplo de subtração. • Tiramos 1’ da unidade minutos: 44’ 69º ’30” - 39º50’45” Tirando 1’ de 45’ ficamos com 44’. • Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida: 1 x 60” = 60” 30” + 60” = 90” • Substituímos os segundos da medida pelo resultado encontrado: 44’90” 69º ’ ” - 39º50’45” • Fazemos a subtração da unidade segundos: 44’90” 69º ’ ” - 39º50’45” 45” • Fazemos o mesmo com os minutos. Como não podemos subtrair 50’ de 44’, tiramos 1º da unidade grau. 69º - 1º = 68º. Ficamos com 68º. • Transformamos esse grau em 60’ e somamos com os minutos da medida: 1 x 60’ = 60’ 44’ + 60’ = 104’ • Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado: 104’ 68º ’90” º ’30” - 39º 50’45” 45”
  • 46. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos46 • Fazemos a subtração das unidades minutos e graus: 104’ 68º ’90” º ’ ” - 39º 50’45” 29º 24’45” Então, 69º 45’ 30” – 39º 50’ 45” = 29º 54’ 45” Exercício Faça as subtrações: a) 2º 7’ 15” – 1º 9’ 16” b) 15º 13’ 40” – 5º 20’ 50” c) 90º 45’ 15” – 22º 50’ 50” Observe: 30'22º- º90 Como você subtrai graus e minutos de graus? Se não há unidade minuto na medida 90º, isto significa que o seu valor é zero. Não se pode subtrair 30’ de zero minutos. 30'22º º90 00' −
  • 47. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 47 Emprestamos, então 1º da unidade graus: 90º - 1º = 89º. 1º corresponde a 60’. Colocamos 60’ no lugar da unidade minutos. A operação fica assim: 89º60’ º ’ - 22º30’ Subtraímos: 89º60’ º ’ - 22º30’ 67º30’ Exercício Faça as contas abaixo: a) 180º - 154º 45’ b) 45º - 14º 25’ c) 47º - 17º 5’ Você sabe fazer esta conta? 50"50'22º- 45'º90 Não podemos subtrair 50” de zero segundos logo, emprestamos 1’ da unidade minuto: 1’ = 60” e fazemos a substituição: 44’60’ 90º ’00 - 22º50’50”
  • 48. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos48 Subtraímos os segundos. 44’60’ 90º ’00 - 22º50’50” 10 Também não podemos subtrair 50’ de 44’. Emprestamos 1º para os minutos. 1º = 60’ Somamos 60’ aos minutos da medida: 60’ + 44’ = 104’. Fazemos a subtração: 104’ 89º ’ 60” º ’ 00 - 22º50’ 50” 67º54’ 10” Exercício Agora faça sozinho as seguintes contas: a) 150º 20’ – 50º 20’ 35” b) 180º 30’ – 41º 4’ 47” Vejamos mais um caso de subtração de medidas de ângulos. 50"20'79º º180 − Não há unidades nos minutos e nos segundos da medida 180º. O valor dessas unidades é zero. 50"20'79º º180 00"00' −
  • 49. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 49 Então, emprestamos 1 unidade dos graus e a transformamos em 60’. Fica assim: 179º 60’ - º ’00” 79º 20’50” Da mesma forma, emprestamos 1 unidade dos minutos e a transformamos em 60”: 59’ 179º ’60” º ’ ’ - 79º20’ 50” Fazemos a subtração: 59’ 179º ’60” º ’ ” - 79º 20’ 50” 100º 39’ 10” Exercício Subtraia: a) 113º - 90º 44’ 26” b) 35º - 28º 15' 47" c) 90º - 1º 12' 33"
  • 50. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos50
  • 51. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 51 Relação de Pitágoras No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto ( o maior ) recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados chamam-se catetos. A relação entre a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo é: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Resumindo: c Medida da hipotenusa c2 = a2 + b2 c = ba 22 + b Medida do cateto menor b2 = c2 - a2 b = a-c 22 a Medida do cateto maior a2 = c2 - b2 a = bc 22 − Onde: c2 = 52 = 25 a2 = 42 = 16 b2 = 32 = 9 25 = 16 + 9 C2 = a2 + b2 .
  • 52. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos52 Aplicação da relação de Pitágoras • Nos polígonos Em cálculos de diagonais e alturas e vice-versa. • Nas oficinas Em cálculos de cotas não especificadas no desenho. • Peças cônicas e manípulos Em cálculos de medidas para verificação e construção. Nos encaixes rabo-de-andorinha e porcas. Exemplo Calcular a cota D.
  • 53. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 53 1o passo: encontrar o triângulo e destacá-lo. 2o passo: aplicar a relação de Pitágoras. x2 = 182 + 242 ⇒ x = 2418 22 + ⇒ x = 576324 + ⇒ x = 009 ⇒ x = 30 D = 2x ⇒ D = 60 Aplicação prática de trigonométrica 1) Determinar o tamanho da inclinação do carro porta-ferramenta para tornear o ângulo da peça seguinte: x
  • 54. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos54 Solução: Monta-se um triângulo com as medidas existentes e determina-se o ângulo de inclinação. Temos o triângulo: Podemos resolver com qualquer das funções que envolvem os dois catetos (tg ou cotg). No caso, utilizaremos a tangente. tg α = centecatetoadja opostocateto = 15 5 ⇒ tg α = 0,333 E, com esse número, procuramos na tabela de tangentes o ângulo correspondente (0,333 é a tangente de 18º 26'). A inclinação deve ser 18º 26' 2) Determinar o diâmetro de um eixo para que, em uma de suas extremidades, seja feito um quadrado de 10mm de lado.
  • 55. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 55 Solução: No triângulo, temos um lado e queremos determinar a hipotenusa. Precisamos, então, de uma função que envolva um dos lados do triângulo e a hipotenusa (seno ou co- seno). Apliquemos o co-seno: cos α = hipotenusa adjacentecateto hipotenusa = αcos adjacentecateto cos α (45º) = 0,7071 Hipotenusa = 0,7071 10 = 14,1 do eixo = 14,1
  • 56. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos56 Exercícios 1) Calcule a distância x. 2) Calcule a cota x. 3) Calcule a cota p.
  • 57. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 57 4) Calcule a cota a. 5) Calcule a distância AC. 6) Determine L. 300 86,6
  • 58. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos58 7. De um aço redondo de 65mm se deseja fresar um quadrado. Calcule o comprimento dos lados do quadrado. 8. Deseja-se tornear um cone com uma relação de 1:10. Determinar o diâmetro D.
  • 59. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 59 Semelhança de Triângulos Observe as figuras a seguir. Esses conjuntos, apesar de não terem o mesmo tamanho, guardam entre si uma propriedade, que é ter a mesma forma.
  • 60. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos60 Figuras que conservam a mesma forma, mas que variam no tamanho são chamadas de figuras semelhantes. Estudaremos, em particular, a semelhança de triângulos. Observe agora os triângulos (construídos com medidas aproximadas): Os ângulos correspondentes são congruentes: Aˆ ≅ Mˆ (105º) Bˆ ≅ Nˆ (46º) Cˆ ≅ Oˆ (29º) Observação Congruente = mesma medida (≅) Quando os ângulos correspondentes de dois triângulos forem de mesma medida (congruentes) dizemos que são triângulos semelhantes. Observação Os lados opostos aos ângulos congruentes podem ser denominados de lados correspondentes.
  • 61. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 61 Observe novamente os triângulos e os lados correspondentes. 4 mm e 8 mm são opostos aos ângulos de 105º; logo, são lados correspondentes. Veja também que: 2 mm e 4mm são opostos aos ângulos de 29º; logo, são lados correspondentes. 3 mm e 6 mm são opostos aos ângulos de 46º; logo, são lados correspondentes. Agora vamos estabelecer as razões entre os lados correspondentes dos triângulos MN AB = 4 2 = 2 1 NO BC = 8 4 = 2 1 OM CA = 6 3 = 2 1 MN AB = NO BC = OM CA = constante Os lados correspondentes são proporcionais: Essa constante se chama razão de semelhança. Assim, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes se os ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. Indicamos a semelhança entre o ABC e o MNO, assim: ABC ~ MNO Usamos o sinal ~ para indicar semelhança entre figuras.
  • 62. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos62 Exercício 1 Copie e responda por escrito o que se pede: ∗ o triângulo foi construído com medidas aproximadas a) Dado o MNO, quais são os ângulos correspondentes a Mˆ , Nˆ , Oˆ no PQR? b) Dadas as medidas 11,4mm; 7,5mm; 10,2mm do MNO, quais medidas são correspondentes no PQR? c) Qual é a razão PR MO = ? d) Qual é a razão PQ MN = ? e) Qual é a razão QR NO = ? f) Podemos estabelecer a relação PR MO = PQ MN = QR NO = ? Para descobrirmos se dois triângulos são semelhantes usamos os casos de semelhança de triângulos, que são:
  • 63. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 63 1o caso: Ângulo (AA) Se dois triângulos tiverem dois ângulos congruentes, então esses triângulos serão semelhantes. Veja: 2o caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL) Se dois triângulos tiverem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes, esses triângulos serão semelhantes. 3o caso: Lado – Lado – Lado (LLL) Se dois triângulos tiverem os lados correspondentes proporcionais, esses triângulos serão semelhantes.
  • 64. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos64 Observe: 2 4 = 3 6 = 4 8 = 2 Resumindo Se, em dois triângulos, os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas dos lados correspondentes são proporcionais, eles são semelhantes. Para constatar a semelhança não há necessidade de verificar os 3 lados e os 3 ângulos. Basta utilizar um dos 3 casos citados (AA; LAL e LLL). Usando semelhança de triângulos podemos resolver determinados problemas com o auxílio da proporção. Veja alguns exemplos: 1o ) Calcule x, sendo ABC ~ DEF. Sugestão: 1o passo: Chame o ABC de 1 e o DEF de 2. 20 passo: Identifique os lados e ângulos correspondentes.
  • 65. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 65 3o passo: Estabeleça a razão entre os lados: ⇒ 40 70 = x 35 = 32 56 ou ⇒ 70 40 = 35 x = 56 32 4o passo: Escolha uma proporção qualquer que envolva o dado desconhecido (x) e calcule-o. Assim: 40 70 = x 35 70 . x = 40 . 35 70x = 1400 x = 07 0140 / / ⇒ X = 20 Logo, o valor do x (DE) é 20 ou ainda: x 35 = 32 56 x . 56 = 35 . 32 x . 56 = 1120 x = 56 1120 ⇒ X = 20 Às vezes, os ângulos congruentes não estão localizados e os triângulos não estão indicados claramente. Veja: 2o ) Calcule a medida da base do triângulo maior: XY //CB XY = 30 AX = 15 XC = 25 CB = ?
  • 66. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos66 Sugestão: Observe que a figura acima pode ser vista assim: Portanto Xˆ ≅ Cˆ e Yˆ ≅ Bˆ (ângulos agudos de 2 paralelas cortadas por transversal) ou, separando os triângulos, assim: Agora procedemos como no 1o exemplo: AYX∆ ABC∆ → 15 40 = 30 x 15 . x = 40 . 30 15x = 1200 x = 15 1200 X = 80
  • 67. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 67 Exercício 2 Calcule a cota desconhecida. Calcule os segmentos desconhecidos dos triângulos semelhantes abaixo: a) b) BE //CD m( AB ) = 6cm m( AE ) = 4cm m( AD) = 10cm m( AC ) = x c) d) CD//BE m( AC ) = x m( AD) = 20mm m( AE ) = 8mm m( AB ) = 12mm
  • 68. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos68
  • 69. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 69 Relações Métricas no Triângulo Retângulo Observe o triângulo retângulo ABC: hipotenusa: a cateto menor: b cateto maior: c altura: h m e n: projeções m: projeção ortogonal do cateto menor b n: projeção ortogonal do cateto maior c
  • 70. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos70 Lembrete: Desenho técnico – Projeção Ortogonal Resumindo: A projeção do cateto AC no plano Θ é o segmento (m) que une as projeções dos pontos A e C no referido plano. Observe o triângulo retângulo ABC: A altura h determina três triângulos: ∆ 1 : HAC ∆ 2 : HBA ∆ 3 : ABC que são, dois a dois, semelhantes.
  • 71. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 71 Note que foram colocadas medidas nos ângulos para facilitar a verificação do caso AA de semelhança. Memorize a posição dos ângulos congruentes. Acompanhe a separação do triângulo acima nos ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3 : 1o caso: ∆ 1 HAC ~ ∆ 3 ABC ou, colocando-os na mesma posição: →Razões de semelhança: 1 3 ∆ ∆ → b a = m b = h c 2o caso: ∆ 3 ABC ~ ∆ 2 HBA
  • 72. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos72 ou, colocando-os na mesma posição: →Razões de semelhança: 2 3 ∆ ∆ → c a = h b = n c 3o caso: ∆ 1 ACH ~ ∆ 2 ABH ou colocando-os na mesma posição: →Razões de semelhança: 1 2 ∆ ∆ → b c = m h = h n
  • 73. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 73 Resumindo os três casos temos as proporções: 1o 2o 3o Vamos relacionar algumas já assinaladas acima: c a = h b b a = m b c a = n c m h = h n Aplicando a propriedade das proporções temos: a . h = b . c ou hip . alt = Cat1 . Cat2 b . b = a . m ou b2 = a . m ou 2 1Cat = hip . proj1 c . c = a . n ou c2 = a . n ou 2 2Cat = hip. . proj2 h . h = m . n ou h2 = m . n ou alt2 = proj1 . proj2 Essas fórmulas são chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Podemos acrescentar mais duas a elas. Veja: a = m + n (observe a figura) a2 = b2 + c2 → relação de Pitágoras Esta última relação é obtida da seguinte forma: Consideramos as relações: e : b2 = am = 22 2 cb c + = anam an + → somamos membro a membro → colocamos a em evidência no 2o membro b 2
  • 74. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos74 b2 + c2 = a(m + n) → como m + n = a teremos: b2 + c2 = a . a ou b2 + c2 = a2 ou ainda a2 = b2 + c2 Vamos ver, a seguir, algumas aplicações dessas relações. a . h = b . c b2 = a . m c2 = a . n h2 = m . n a = m + n a2 = b2 + c2 a → hipotenusa b → cateto c → cateto h → altura m → projeção de b n → projeção de c Exemplos: a) Calcule a altura h. letras do formulário dados do problema h = h m = 3 n = 27 h2 = m . n h2 = 3 . 27 h2 = 81 h = 81 h = 9
  • 75. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 75 Portanto: 1) Escrevemos os dados utilizando as letras do formulário numa coluna e os dados do problema em outra. 2) Escolhemos a fórmula. 3) Substituímos pelos valores e efetuamos as operações. b) Calcule x, y e z. Dados: a = 50 b = 30 c = 40 n = x m = y h = z c2 = a . n b2 = a . m a . h = b . c h2 = m . n 402 = 50 . x 302 = 50 . y 50 . z = 30 . 40 z2 = 32 . 18 1600 = 50x 900 = 50y 50 . z = 1200 z2 = 576 x = 05 0160 / / y = 05 090 / / z = 05 0120 / / z = 576 X = 32 Y = 18 Z = 24 Z = 24 Faça o exercício. 5 Escreva os dados e escolha as fórmulas adequadas, calculando o que se pede: a) Calcule a
  • 76. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos76 b) Calcule h c) Calcule b d) Calcule e e h e) Calcule x
  • 77. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 77 f) Calcule k, x e y g) Calcule q, x e y
  • 78. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos78
  • 79. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 79 Círculo Trigonométrico Estudos das funções do Círculo Trigonométrico Vamos tomar como base uma circunferência de raio unitário (R = 1), e sobre o mesmo tracemos dois eixos perpendiculares entre si, e passando pelo centro. Desta forma podemos notar, que o circulo ficará dividido em 4 partes iguais, e a cada parte denominamos de quadrante (pois equivale à quarta parte da circunferência). No cruzamento dos eixos fica então definida a origem do sistema de coordenadas. Vamos orientar o sentido positivo dos eixos, através de uma simbologia (seta) adotando a seguinte convenção: no eixo horizontal, os pontos que estiverem à direita, a partir da origem terão sinais positivos (+) e o sentido da seta apontará para a direita e os que tiverem sentido contrário em relação à origem serão negativos (-). A mesma analogia será utilizada para o eixo vertical, onde os pontos que estiverem acima da origem terão sinal positivo e o sentido da seta apontará para cima; os que estiverem em sentido contrário à origem terão sinal negativo (-). Ao eixo vertical, daremos o nome de eixo dos senos e o eixo horizontal será o eixo dos co-senos. O primeiro quadrante estará contido no plano dos dois semi-eixos com orientação positiva. A partir daí seguindo-se o sentido anti-horário enumeram-se os demais quadrantes. Em seguida, construiremos outros dois eixos paralelos aos eixos anteriores que passem tangenciando o círculo trigonométrico, sendo que estarão à direita e acima dos eixos dos senos e dos co-senos respectivamente. Daremos nomes à estes eixos da seguinte forma: − eixo das tangentes é o eixo vertical que está paralelo ao eixo dos senos; − eixo das cotangentes é o eixo horizontal que está paralelo ao eixo dos co-senos.
  • 80. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos80 A partir daí, tendo o círculo com os eixos devidamente colocados e orientados e dividido em quadrantes, podemos definir as funções neste círculo trigonométrico. Com a observação do gráfico, podemos definir sinais das funções em cada quadrante: I QUADRANTE seno (+) co-seno(+) tangente (+) co-tangente( +) II QUADRANTE seno (+) co-seno (-) tangente (-) co-tangente (-) III QUADRANTE seno (-) co-seno (-) tangente (+) co-tangente (+) IV QUADRANTE seno (-) co-seno (+) tangente (-) co-tangente (-) co-seno αααα eixo dos senos eixo das tangentes eixo das cotangentes tangente αααα cotangente αααα α -1 -1 1 1 eixo dos co-senos senoαααα III IVIII 90º 0º180º 270º 360º (-) (+) (-) (-) (+) (+) (+) (-)
  • 81. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 81 Por meio do círculo trigonométrico podemos definir as funções trigonométricas como: − seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta formada pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos senos. O valor desta medida pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα. − co-seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta formada pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos co-senos. O valor desta medida pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα. − tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo ângulo αααα com o eixo das tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até + ∞∞∞∞ (menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα. − co-tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo ângulo αααα com o eixo das co-tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até + ∞∞∞∞ (menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα.
  • 82. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos82
  • 83. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 83 Seno, Co-seno e Tangente Os cálculos trigonométricos envolvem medidas de dois lados e um ângulo do triângulo retângulo. Os catetos recebem nomes especiais conforme sua posição em relação a um ângulo agudo considerado. Veja: Exemplos Observe as figuras e especifique as medidas assinaladas. • é o ângulo considerado ( ) • 50 mm é a medida da hipotenusa ( hip.) • 36mm é a medida do cateto oposto a (c.o.) a) * o ângulo e o cateto não são citados
  • 84. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos84 • o ângulo considerado é • a medida da hipotenusa (hip.) é 30mm • a medida do cateto adjacente (c.a.) é 15mm b) * não há referência sobre e • é o ângulo assinalado • é o cateto oposto ( c.o.) a ele • é o cateto adjacente ( c.a.) a ele c) * a hipotenusa ( ) e o outro ângulo ( ) não são citados Exercício 1. Observe as figuras e responda: a) • Qual é o ângulo considerado? • Qual é a medida da hipotenusa? • Qual é o nome do lado que mede 10mm? • Como se chama o lado do qual não se deu a medida? b) Ι ) = 30° ΙΙ ) = 60° 32,91mm
  • 85. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 85 Seno, co-seno e tangente Sempre é possível estabelecer razão entre as medidas de dois lados de um triângulo quando estão na mesma unidade. Nos triângulos retângulos, a razão entre as medidas de dois de seus lados recebe um nome especial: razão trigonométrica. A palavra trigonométrica refere-se a triângulos (trigono) e às suas medidas (métrica). Podemos calcular a razão entre as medidas dos lados desses triângulos. As razões entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo (chamadas razões trigonométricas) recebem nomes especiais. Vamos verificar o que ocorre nos exemplos dados anteriormente: a) Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a B (36mm) e a medida da hipotenusa (50mm) teremos: = 0,72 Esta razão (0,72) recebe o nome de "Seno" (indica-se sen). Portanto, 0,72 é o seno do ângulo considerado: . Simbolicamente, sen = 0,72. b) Se calcularmos a razão entre a medida do cateto adjacente a Cˆ (15mm) e a medida da
  • 86. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos86 hipotenusa (50mm) teremos: = 0,3 Esta razão (0,3) recebe o nome de "Co-seno" (indica-se cos). Portanto, 0,3 é o co-seno do ângulo considerado: . Simbolicamente; cos = 0,3. c) Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a (42mm) e a medida do cateto adjacente a (71mm) teremos: ≈ 0,591 Esta razão recebe o nome de "Tangente" (indica-se tg). Portanto, 0,591 é a tangente do ângulo considerado . Simbolicamente; tg ≈ 0,591. Resumo sen cos tg =
  • 87. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 87 Exercício 2. Observe a figura e responda as questões. a) Qual é o ângulo considerado? b) Quanto mede o cateto oposto a ele? c) Qual é a medida do cateto adjacente a ele? d) Quanto mede a hipotenusa? e) Calcule o valor do seno, co-seno e tangente do ângulo considerado. Solução: a) ângulo considerado é___________. b) cateto oposto a ele mede ___________mm. c) A medida do cateto adjacente a ele é ___________mm. d) A hipotenusa mede ___________mm. e) Seno = _______; co-seno = _________; tangente =___________ Recapitulando o que já vimos: A razão trigonométrica recebe o nome de seno do ângulo ou seno do ângulo = ou sen = .)hip( .)o.c(
  • 88. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos88 A razão trigonométrica recebe o nome de co-seno do ângulo ou co-seno do ângulo = ou cos = .)hip( .)a.c( A razão trigonométrica recebe o nome de tangente ou tangente do ângulo = ou tg = .)a.c( .)o.c(
  • 89. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 89 Exercícios 3. Dadas as fórmulas (razões) sen = .)hip( .)o.c( cos = .)hip( .)a.c( tg = .)a.c( .)o.c( e os triângulos abaixo, faça o seguinte: Ι) Escreva (a.i.) no ângulo indicado, (c.o.) no cateto oposto a ele, (c.a.) no cateto adjacente e (hip.) na hipotenusa. ΙΙ) Escolha a fórmula (razão) adequada de acordo com as medidas dadas e calcule a razão trigonométrica. a) Resolução: Ι) a.i. = _______ c.a. = _______mm hip. = _______mm ΙΙ) Como são dados (c.a.) e (hip.), a razão é co-seno. Logo: cos = Cos Cˆ = ______
  • 90. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos90 b) Resolução: Ι) a.i. = ________ c.o. = ________cm c.a. = ________cm ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (c.a.) a razão é tangente. Logo: tg = )( )( tg = c) Resolução: a.i. = __________ c.o. = __________cm Ι) hip.= ___________cm ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (hip.) a razão é seno. Logo: sen = )( )( sen 48°40’ =
  • 91. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 91 sen 48°40’ = ___________ Observações • Para calcular a razão aproxima-se até milésimos se a divisão não for exata. • Se é dado o valor do ângulo considerado, substitui-se este valor na fórmula (ver exemplo c). 4. Responda às questões propostas. a) Qual é o ângulo considerado? b) Quanto mede o cateto oposto a ele? c) Quanto mede o cateto adjacente a ele? d) Quanto mede a hipotenusa? e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado. 5. considere o ângulo agudo e responda às mesmas questões em relação a ele. a) Qual é o ângulo considerado? b) Quanto mede o cateto oposto a ele? c) Quanto mede o cateto adjacente a ele? d) Quanto mede a hipotenusa? e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado.
  • 92. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos92 6. Indique o ângulo considerado (a.i.), a hipotenusa (hip.), o cateto oposto (c.o.) e o cateto adjacente (c.a.). Escolha a fórmula adequada e calcule o seno, co-seno ou tangente. a) b) c) d)
  • 93. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 93 Tabela das razões trigonométricas Observe a razão seno para os triângulos abaixo: No ABC temos sen30° = 20 10 = 0,5 No MNO temos sen30° = 15 5,7 = 0,5 No PQR temos sen30° = 5 5,2 = 0,5 Este valor constante permite o uso de tabelas. Vamos ver como se utiliza uma tabela trigonométrica. A consulta a qualquer uma delas é feita da mesma forma, portanto vamos trabalhar com uma delas, por exemplo a de senos.
  • 94. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos94 A tabela de senos é formada por colunas e linhas. Assim: Observe, na sua tabela, as linhas e as colunas: • A primeira coluna indica a medida do ângulo em graus; • A primeira linha indica os minutos; • As outras colunas contêm os valores dos senos. Notou que todos os senos possuem cinco casas depois da vírgula? Mas, mesmo tendo encontrado um seno com três casas, você poderá localizá-lo na tabela. Vamos ver, então, como encontramos na tabela a medida do ângulo que corresponde ao valor de um seno conhecido. Como encontrar, por exemplo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078? Primeiro, localizamos na tabela o valor do seno, procurando um número que comece por 0,078: Note que, apesar de o seno possuir cinco casas na tabela, pudemos localizá-lo, apenas observando as três primeiras casas do número.
  • 95. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 95 Vamos, agora, encontrar a medida do ângulo. Na direção do seno localizando, na primeira coluna, está a medida em graus, e, na primeira linha, estão os minutos: Logo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078 é 4°30’. Não se preocupe com o fato de a tabela possuir tantos números, pois os senos aparecem em ordem, aumentando sempre da esquerda para a direita: 0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 0,01745 0,02036 0,02327 etc. Às vezes, o número procurado não se encontra na tabela. Por exemplo: se você procurar o seno = 0,093 não vai encontrá-lo. Encontrará 0,09585 (maior) e 0,9295 (menor). Neste caso, uma das soluções é utilizar o mais próximo. Veja como: 1º) Complete com zeros o seno procurado deixando-o com 5 casas decimais (0,093 = 0,09300) 2º) Calcule a diferença entre ele e os dois mais próximos (maior e menor). 3º) Como 0,09295 é o seno mais próximo do seno procurado, a resposta à consulta é: 5°20’.
  • 96. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos96 TABELA DOS SENOS - 0º - 45º 0 10 20 30 40 50 0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494 3 0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669 4 0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843 5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 6 0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190 7 0,1219 0,1248 0,1276 0,1305 0,1334 0,1363 8 0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536 9 0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708 10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880 11 0,1908 0,1937 0,1965 0,1994 0,2022 0,2051 12 0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221 13 0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391 14 0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560 15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 16 0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896 17 0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062 18 0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228 19 0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393 20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 21 0,3584 0,3611 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719 22 0,3746 0,3773 0,3800 0,3827 0,3854 0,3881 23 0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041 24 0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200 25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358 26 0,4384 0,4410 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514 27 0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 0,4669 28 0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823 29 0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975 30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 31 0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275 32 0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422 33 0,5446 0,5471 0,5495 0,5519 0,5544 0,5568 34 0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712 35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 36 0,5878 0,5901 0,5925 0,5948 0,5972 0,5995 37 0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0,6111 0,6134 38 0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271 39 0,6293 0,6316 0,6338 0,6361 0,6383 0,6406 40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 41 0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670 42 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799 43 0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926 44 0,6947 0,6967 0,6988 0,7009 0,7030 0,7050 45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173
  • 97. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 97 TABELA DOS SENOS - 45º - 90º 0 10 20 30 40 50 45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 46 0,7193 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294 47 0,7314 0,7333 0,7353 0,7373 0,7392 0,7412 48 0,7431 0,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528 49 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642 50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753 51 0,7771 0,7790 0,7808 0,7826 0,7844 0,7862 52 0,7880 0,7898 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969 53 0,7986 0,8004 0,8021 0,8039 0,8056 0,8073 54 0,8090 0,8107 0,8124 0,8141 0,8158 0,8175 55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274 56 0,8290 0,8307 0,8323 0,8339 0,8355 0,8371 57 0,8387 0,8403 0,8418 0,8434 0,8450 0,8465 58 0,8480 0,8496 0,8511 0,8526 0,8542 0,8557 59 0,8572 0,8587 0,8601 0,8616 0,8631 0,8646 60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732 61 0,8746 0,8760 0,8774 0,8788 0,8802 0,8816 62 0,8829 0,8843 0,8857 0,8870 0,8884 0,8897 63 0,8910 0,8923 0,8936 0,8949 0,8962 0,8975 64 0,8988 0,9001 0,9013 0,9026 0,9038 0,9051 65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124 66 0,9135 0,9147 0,9159 0,9171 0,9182 0,9194 67 0,9205 0,9216 0,9228 0,9239 0,9250 0,9261 68 0,9272 0,9283 0,9293 0,9304 0,9315 0,9325 69 0,9336 0,9346 0,9356 0,9367 0,9377 0,9387 70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446 71 0,9455 0,9465 0,9474 0,9483 0,9492 0,9502 72 0,9511 0,9520 0,9528 0,9537 0,9546 0,9555 73 0,9563 0,9572 0,9580 0,9588 0,9596 0,9605 74 0,9613 0,9621 0,9628 0,9636 0,9644 0,9652 75 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696 76 0,9703 0,9710 0,9717 0,9724 0,9730 0,9737 77 0,9744 0,9750 0,9757 0,9763 0,9769 0,9775 78 0,9781 0,9787 0,9793 0,9799 0,9805 0,9811 79 0,9816 0,9822 0,9827 0,9833 0,9838 0,9843 80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872 81 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899 82 0,9903 0,9907 0,9911 0,9914 0,9918 0,9922 83 0,9925 0,9929 0,9932 0,9936 0,9939 0,9942 84 0,9945 0,9948 0,9951 0,9954 0,9957 0,9959 85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974 86 0,9976 0,9978 0,9980 0,9981 0,9983 0,9985 87 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 0,9992 0,9993 88 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998 89 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 90 1,0000
  • 98. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos98 TABELA DOS CO-SENOS - 0º - 45º 0 10 20 30 40 50 0 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 1 0,9998 0,9998 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995 2 0,9994 0,9993 0,9992 0,9990 0,9989 0,9988 3 0,9986 0,9985 0,9983 0,9981 0,9980 0,9978 4 0,9976 0,9974 0,9971 0,9969 0,9967 0,9964 5 0,9962 0,9959 0,9957 0,9954 0,9951 0,9948 6 0,9945 0,9942 0,9939 0,9936 0,9932 0,9929 7 0,9925 0,9922 0,9918 0,9914 0,9911 0,9907 8 0,9903 0,9899 0,9894 0,9890 0,9886 0,9881 9 0,9877 0,9872 0,9868 0,9863 0,9858 0,9853 10 0,9848 0,9843 0,9838 0,9833 0,9827 0,9822 11 0,9816 0,9811 0,9805 0,9799 0,9793 0,9787 12 0,9781 0,9775 0,9769 0,9763 0,9757 0,9750 13 0,9744 0,9737 0,9730 0,9724 0,9717 0,9710 14 0,9703 0,9696 0,9689 0,9681 0,9674 0,9667 15 0,9659 0,9652 0,9644 0,9636 0,9628 0,9621 16 0,9613 0,9605 0,9596 0,9588 0,9580 0,9572 17 0,9563 0,9555 0,9546 0,9537 0,9528 0,9520 18 0,9511 0,9502 0,9492 0,9483 0,9474 0,9465 19 0,9455 0,9446 0,9436 0,9426 0,9417 0,9407 20 0,9397 0,9387 0,9377 0,9367 0,9356 0,9346 21 0,9336 0,9325 0,9315 0,9304 0,9293 0,9283 22 0,9272 0,9261 0,9250 0,9239 0,9228 0,9216 23 0,9205 0,9194 0,9182 0,9171 0,9159 0,9147 24 0,9135 0,9124 0,9112 0,9100 0,9088 0,9075 25 0,9063 0,9051 0,9038 0,9026 0,9013 0,9001 26 0,8988 0,8975 0,8962 0,8949 0,8936 0,8923 27 0,8910 0,8897 0,8884 0,8870 0,8857 0,8843 28 0,8829 0,8816 0,8802 0,8788 0,8774 0,8760 29 0,8746 0,8732 0,8718 0,8704 0,8689 0,8675 30 0,8660 0,8646 0,8631 0,8616 0,8601 0,8587 31 0,8572 0,8557 0,8542 0,8526 0,8511 0,8496 32 0,8480 0,8465 0,8450 0,8434 0,8418 0,8403 33 0,8387 0,8371 0,8355 0,8339 0,8323 0,8307 34 0,8290 0,8274 0,8258 0,8241 0,8225 0,8208 35 0,8192 0,8175 0,8158 0,8141 0,8124 0,8107 36 0,8090 0,8073 0,8056 0,8039 0,8021 0,8004 37 0,7986 0,7969 0,7951 0,7934 0,7916 0,7898 38 0,7880 0,7862 0,7844 0,7826 0,7808 0,7790 39 0,7771 0,7753 0,7735 0,7716 0,7698 0,7679 40 0,7660 0,7642 0,7623 0,7604 0,7585 0,7566 41 0,7547 0,7528 0,7509 0,7490 0,7470 0,7451 42 0,7431 0,7412 0,7392 0,7373 0,7353 0,7333 43 0,7314 0,7294 0,7274 0,7254 0,7234 0,7214 44 0,7193 0,7173 0,7153 0,7133 0,7112 0,7092 45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967
  • 99. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 99 TABELA DOS CO-SENOS - 45º - 90º 0 10 20 30 40 50 45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967 46 0,6947 0,6926 0,6905 0,6884 0,6862 0,6841 47 0,6820 0,6799 0,6777 0,6756 0,6734 0,6713 48 0,6691 0,6670 0,6648 0,6626 0,6604 0,6583 49 0,6561 0,6539 0,6517 0,6494 0,6472 0,6450 50 0,6428 0,6406 0,6383 0,6361 0,6338 0,6316 51 0,6293 0,6271 0,6248 0,6225 0,6202 0,6180 52 0,6157 0,6134 0,6111 0,6088 0,6065 0,6041 53 0,6018 0,5995 0,5972 0,5948 0,5925 0,5901 54 0,5878 0,5854 0,5831 0,5807 0,5783 0,5760 55 0,5736 0,5712 0,5688 0,5664 0,5640 0,5616 56 0,5592 0,5568 0,5544 0,5519 0,5495 0,5471 57 0,5446 0,5422 0,5398 0,5373 0,5348 0,5324 58 0,5299 0,5275 0,5250 0,5225 0,5200 0,5175 59 0,5150 0,5125 0,5100 0,5075 0,5050 0,5025 60 0,5000 0,4975 0,4950 0,4924 0,4899 0,4874 61 0,4848 0,4823 0,4797 0,4772 0,4746 0,4720 62 0,4695 0,4669 0,4643 0,4617 0,4592 0,4566 63 0,4540 0,4514 0,4488 0,4462 0,4436 0,4410 64 0,4384 0,4358 0,4331 0,4305 0,4279 0,4253 65 0,4226 0,4200 0,4173 0,4147 0,4120 0,4094 66 0,4067 0,4041 0,4014 0,3987 0,3961 0,3934 67 0,3907 0,3881 0,3854 0,3827 0,3800 0,3773 68 0,3746 0,3719 0,3692 0,3665 0,3638 0,3611 69 0,3584 0,3557 0,3529 0,3502 0,3475 0,3448 70 0,3420 0,3393 0,3365 0,3338 0,3311 0,3283 71 0,3256 0,3228 0,3201 0,3173 0,3145 0,3118 72 0,3090 0,3062 0,3035 0,3007 0,2979 0,2952 73 0,2924 0,2896 0,2868 0,2840 0,2812 0,2784 74 0,2756 0,2728 0,2700 0,2672 0,2644 0,2616 75 0,2588 0,2560 0,2532 0,2504 0,2476 0,2447 76 0,2419 0,2391 0,2363 0,2334 0,2306 0,2278 77 0,2250 0,2221 0,2193 0,2164 0,2136 0,2108 78 0,2079 0,2051 0,2022 0,1994 0,1965 0,1937 79 0,1908 0,1880 0,1851 0,1822 0,1794 0,1765 80 0,1736 0,1708 0,1679 0,1650 0,1622 0,1593 81 0,1564 0,1536 0,1507 0,1478 0,1449 0,1421 82 0,1392 0,1363 0,1334 0,1305 0,1276 0,1248 83 0,1219 0,1190 0,1161 0,1132 0,1103 0,1074 84 0,1045 0,1016 0,0987 0,0958 0,0929 0,0901 85 0,0872 0,0843 0,0814 0,0785 0,0756 0,0727 86 0,0698 0,0669 0,0640 0,0610 0,0581 0,0552 87 0,0523 0,0494 0,0465 0,0436 0,0407 0,0378 88 0,0349 0,0320 0,0291 0,0262 0,0233 0,0204 89 0,0175 0,0145 0,0116 0,0087 0,0058 0,0029 90 0,0000
  • 100. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos100 TABELA DAS TANGENTES - 0º - 45º 0 10 20 30 40 50 0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495 3 0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670 4 0,0699 0,0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846 5 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 6 0,1051 0,1080 0,1110 0,1139 0,1169 0,1198 7 0,1228 0,1257 0,1287 0,1317 0,1346 0,1376 8 0,1405 0,1435 0,1465 0,1495 0,1524 0,1554 9 0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1733 10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 11 0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095 12 0,2126 0,2156 0,2186 0,2217 0,2247 0,2278 13 0,2309 0,2339 0,2370 0,2401 0,2432 0,2462 14 0,2493 0,2524 0,2555 0,2586 0,2617 0,2648 15 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 16 0,2867 0,2899 0,2931 0,2962 0,2994 0,3026 17 0,3057 0,3089 0,3121 0,3153 0,3185 0,3217 18 0,3249 0,3281 0,3314 0,3346 0,3378 0,3411 19 0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607 20 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805 21 0,3839 0,3872 0,3906 0,3939 0,3973 0,4006 22 0,4040 0,4074 0,4108 0,4142 0,4176 0,4210 23 0,4245 0,4279 0,4314 0,4348 0,4383 0,4417 24 0,4452 0,4487 0,4522 0,4557 0,4592 0,4628 25 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 26 0,4877 0,4913 0,4950 0,4986 0,5022 0,5059 27 0,5095 0,5132 0,5169 0,5206 0,5243 0,5280 28 0,5317 0,5354 0,5392 0,5430 0,5467 0,5505 29 0,5543 0,5581 0,5619 0,5658 0,5696 0,5735 30 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 31 0,6009 0,6048 0,6088 0,6128 0,6168 0,6208 32 0,6249 0,6289 0,6330 0,6371 0,6412 0,6453 33 0,6494 0,6536 0,6577 0,6619 0,6661 0,6703 34 0,6745 0,6787 0,6830 0,6873 0,6916 0,6959 35 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221 36 0,7265 0,7310 0,7355 0,7400 0,7445 0,7490 37 0,7536 0,7581 0,7627 0,7673 0,7720 0,7766 38 0,7813 0,7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050 39 0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342 40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642 41 0,8693 0,8744 0,8796 0,8847 0,8899 0,8952 42 0,9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271 43 0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601 44 0,9657 0,9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942 45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295
  • 101. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 101 TABELA DAS TANGENTES - 45º - 90º 0 10 20 30 40 50 45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295 46 1,0355 1,0416 1,0477 1,0538 1,0599 1,0661 47 1,0724 1,0786 1,0850 1,0913 1,0977 1,1041 48 1,1106 1,1171 1,1237 1,1303 1,1369 1,1436 49 1,1504 1,1571 1,1640 1,1708 1,1778 1,1847 50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276 51 1,2349 1,2423 1,2497 1,2572 1,2647 1,2723 52 1,2799 1,2876 1,2954 1,3032 1,3111 1,3190 53 1,3270 1,3351 1,3432 1,3514 1,3597 1,3680 54 1,3764 1,3848 1,3934 1,4019 1,4106 1,4193 55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733 56 1,4826 1,4919 1,5013 1,5108 1,5204 1,5301 57 1,5399 1,5497 1,5597 1,5697 1,5798 1,5900 58 1,6003 1,6107 1,6213 1,6318 1,6426 1,6534 59 1,6643 1,6753 1,6864 1,6977 1,7090 1,7205 60 1,7321 1,7438 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917 61 1,8041 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 1,8676 62 1,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,9486 63 1,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,0353 64 2,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,1283 65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286 66 2,2460 2,2637 2,2817 2,2998 2,3183 2,3369 67 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545 68 2,4751 2,4960 2,5172 2,5387 2,5605 2,5826 69 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228 70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770 71 2,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,0475 72 3,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371 73 3,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,4495 74 3,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,6891 75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617 76 4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,2747 77 4,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,6383 78 4,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,0658 79 5,1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,5764 80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970 81 6,3138 6,4348 6,5605 6,6912 6,8269 6,9682 82 7,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,9530 83 8,1444 8,3450 8,5556 8,7769 9,0098 9,2553 84 9,5144 9,7882 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594 85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267 86 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750 87 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316 88 28,6363 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039 89 57,2900 68,7501 85,9398 114,5887 171,8854 343,7737 90
  • 102. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos102 Exercício 7. Procure os ângulos correspondentes na tabela e escreva-os ao lado, conforme exemplo: a) 0,167 = sen 9°40’ b) 0,401 c) 0,868 d) 0,997 e) 0,862 f) 0,761 g) 0,9 h) 0,6 Vamos considerar agora o problema inverso. Conhecendo a medida de um ângulo, encontrar na tabela o valor do seno correspondente. Podemos encontrar, por exemplo, o valor do seno do ângulo de 3º20’. Primeiro, localizamos os graus da medida da primeira coluna da tabela: Depois, seguimos a linha desses graus até a coluna que fica na direção dos minutos da medida. Como a medida do exemplo possui 20’, seguimos a linha até a coluna de 20’.
  • 103. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 103 Dessa forma, encontramos o seno do ângulo de 3º20’: sen 3º20’ = 0,05814. Vejamos outros exemplos: a) sen 74º10’ = 0,96206 b) sen 63º = 0,89101 (como não há minutos, procura-se o valor na coluna 0’) c) sen 10’ = 0,00291 (como não há graus, procura-se na linha 0º) Exercícios 8. Consulte a tabela e escreva os senos dos ângulos: a) a)sen 24º30’ b) b)sen 44º40’ c) c)sen 85º d) d)sen 61º50’ e) e)sen 30º f) f)sen 45º 9. Consulte uma das três tabelas trigonométricas para responder às questões a seguir. a) Qual é o co-seno de 60º? b) Qual é a tangente de 18º? c) 0,25882 é co-seno de qual ângulo? d) 7,268 é a tangente aproximada de que ângulo? e) Qual é o seno de 30º? E o co-seno de 60º? Estes resultados são iguais? f) Qual é o co-seno de 39º10’? E o seno de 50º50’? Esses resultados são iguais? g) Qual é o seno de 25º30’? E o co-seno de 64º30’? Esses resultados são iguais? 10. Calcule a soma dos ângulos das questões e, f e g do exercício anterior. Assim: a) (Procure lembrar-se como se chamam esses pares de ângulos pois será muito útil no seu trabalho) b) c)
  • 104. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos104 O seno de um ângulo é uma constante. Isso quer dizer que o seno de uma determinada medida de ângulo é sempre o mesmo, quaisquer que sejam as medidas da hipotenusa e do cateto oposto a esse ângulo. Como você já viu, o seno do ângulo de 30º, por exemplo, é sempre 0,5. Nos dois triângulos seguintes, o seno de é 0,5. Observe: sen = ______ sen = ______ Nos dois casos, o seno é 0,5 e o ângulo mede 30º, apesar de as medidas dos lados serem diferentes: 2cm e 4cm no primeiro; 3cm e 6cm no segundo. O mesmo ocorre com as razões co-seno e tangente. Dessa forma é sempre possível calcular a medida de um ângulo agudo quando conhecemos as medidas dos lados do triângulo. sen = ______ sen = _________
  • 105. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 105 Cálculo do ângulo Vamos ver qual é a medida do ângulo F do triângulo DEF. Ι) dados do problema: a.i. = = a.i. c.o. = 40 ou 40 = c.o. hip. = 50 50 = hip. ΙΙ) Resolução: sen = sen = sen = Consultando a tabela de senos temos: = Observação Após a consulta à tabela, o nome da razão (sen) desaparece, pois 53º10’ já é a medida do ângulo indicado. Portanto, para calcular a medida do ângulo seguimos os seguintes passos: 1º) destacamos os dados do problema; 2º) identificamos a razão de acordo com os dados; 3º) resolvemos o problema, substituindo na fórmula (razão) os dados indicados e efetuando as operações até consultar a tabela.
  • 106. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos106 Exercícios 11. Calcule o ângulo H: I) dados: a.i. = c.a. = hip. = II) razão: cos = III) cos = cos = _________ (ver tabela de co-seno) = Resposta: O ângulo mede _____________ 12. Calcule o ângulo : I) dados: a.i. = c.a. = 10 c.o. = 16 II) razão: tg = III) tg = tg = ____________ (consultando a tabela de tangentes) = ___________
  • 107. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 107 13. Calcule os ângulos indicados nas figuras: a) b) c)
  • 108. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos108 Cálculo de um lado do triângulo É sempre possível calcular o valor de um lado qualquer de um triângulo retângulo sendo conhecidos um ângulo e qualquer um dos outros dois lados. Exemplo: Calcule x no triângulo abaixo. I) dados: a.i. = ______º c.a. = _______cm c.o.= x II) razão: tg = _______ III) tg 35º = ______ • Consultando a tabela de tangentes temos: tg 35º ≅ _________ (vamos trabalhar com apenas 3 casas decimais). Então: _____ ou ______ = ________ • Calculando o valor de x: x = _____ Resposta: O valor de x é _______cm.
  • 109. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 109 Outros exemplos: a) Calcule o lado . I) dados: ___________ = a.i. ________ mm = hip. ___________ = c.a. (x) II) razão: __________ III) cos 65º40’ = _________ tabela: cos 65º40’ = 0,412 0,412 = 15 x ou 15 X 1 0,412 = 1 . X = 0,412 . 15 X = 6,18 Resposta:___________________________ b) Calcule a hipotenusa do triângulo HIJ: I) dados: __________ __________ __________ II) razão: ___________ III) __________
  • 110. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos110 tabela: x = x = ______ Resposta: A ___________do triângulo mede __________mm. Exercícios 14. Escreva nas cotas indicadas: (c.a.), (c.o.),(hip.) ou (a.i.), conforme o caso. a) b) c)
  • 111. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 111 d) 15. Consulte a tabela e responda: a) sen 30º = b) cos 30º = c) tg 30º = d) sen 30º20’ = e) cos 30’ = f) tg 90º = 16. Escreva o ângulo correspondente às razões dadas: a) exemplo: cos x = 0,500 Resposta: x = 60º b) cos x = 0,86603 c) tg x = 1,76758 d) sen x = 0,500 e) sen x = 0,86603
  • 112. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos112 17. Calcule as cotas pedidas. Utilize os esquemas dos exemplos dados: a) b) c) d) e) f) g) h)
  • 113. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 113 18. Calcule os ângulos ou lados pedidos. a) b) c) d) e) f) g) h)
  • 114. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos114 i) j) l) 19) Calcule as cotas D1 e D2. 20) Calcule a medida X.
  • 115. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 115 21) Calcule as medidas b e x. 22) Calcule a profundidade de fresar p. 23) Determinar o diâmetro D da peça abaixo.
  • 116. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos116 24) Para fazer os furos na peça abaixo, a peça foi colocada em uma mesa com coordenadas. Determinar a cota x e y do furo 1 e a distância llll de um furo ao outro.
  • 117. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 117 Lei dos Senos e Lei dos Co- senos Lei dos co-senos para um triângulo Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo co-seno do ângulo formado por eles. α < 90º’ α > 90º a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α Exemplo Calcule a medida de x. Note que o lado de medida x deve ser oposto ao ângulo dado. a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α ← escrevendo a fórmula
  • 118. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos118 x2 = 52 + 72 – 2 . 5 . 7 . cos 50º ← substituindo as medidas x2 = 25 + 49 – 70 . 0,642 ← substituindo cos 50º por 0,642 x2 = 25 + 49 – 44,94 ← efetuando a multiplicação x2 = 74 – 44,94 x2 = 29,06 x = 06,29 x ≈ 5,3 Exercício 1. Determine x nos triângulos abaixo usando a lei dos co-senos. a) b) Para o cálculo do lado de um triângulo obtusângulo usamos a mesma relação do triângulo acutângulo. Exemplos Veja como vamos calcular x no triângulo abaixo. a2 = b2 + c2 – 2bc cos α ← escrevendo a fórmula x2 = 202 + 232 – 2 . 20 . 23 cos135º ← substituindo as medidas x2 = 400 + 529 – 920 cos135º como cos135º = -cos(180º - 135º) = -cos45º = -0,707 x2 = 400 + 529 – 920 x (-0,707) ←substituindo cos135º por –0,707
  • 119. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 119 x2 = 400 + 529 + 650,44 ← efetuando a multiplicação x2 = 1579,44 Exercício 2. Calcule x para os triângulos abaixo. a) b) ⇒ x ≈ 39,7
  • 120. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos120 Lei dos senos A medida de um lado de um triângulo está para o seno do ângulo oposto a este lado, assim como a medida de outro lado está para o seno do ângulo que lhe é oposto, assim como a medida do último lado está para o seno do ângulo oposto a ele. Observe a fórmula no triângulo abaixo: αsen a = βsen b βsen b = γsen c αsen a = γsen c ou αsen a = βsen b = γsen c Veja como calcular as medidas de dois lados de um triângulo qualquer conhecendo-se as medidas dos três ângulos e de um lado. Escrevemos a medida do lado conhecido (48,7) sobre o seno do ângulo oposto (sen103º) e igualamos com a medida de cada lado que se quer determinar sobre o seno dos respectivos ângulos que lhes são opostos. Vamos começar calculando x: º103sen 7,48 = º54sen x Como sen103º = sen(180º - 130º) = sen77º = 0,974 e sen54º = 0,809
  • 121. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 121 substituímos esses valores na proporção acima obtendo: 974,0 7,48 = 809,0 x Calculando o valor de x na proporção: 0,974x = 0,809 x 48,7⇒ 0,974x = 39,3983 ⇒ x = 974,0 3983,39 ⇒ Fazendo o mesmo para calcular o valor de y temos: º103sen 7,48 = º23sen y ⇒ 974,0 7,48 / = 390,0 y / 974y = 390 x 48,7 ⇒ 974y = 18 993 ⇒ y = 974 99318 ⇒ Observações • Podemos aplicar a lei dos co-senos quando queremos calcular a medida de um lado de um triângulo e conhecemos a medida de outros dois lados e um ângulo do triângulo considerado. • Podemos aplicar a lei dos senos quando quisermos calcular um lado de um triângulo e tivermos conhecimento das medidas de um lado só e de, no mínimo, dois ângulos. • Muitas vezes é possível aplicar indiferentemente a lei dos co-senos ou a lei dos senos. Depende dos elementos envolvidos. Exercício 3. Determine x e y no triângulo abaixo sabendo que sen130º = sen(180º - 130º) = sen50º. x = 40,45 Y = 19,5 (Podemos simplificar, pois o número de casas decimais é igual)
  • 122. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos122 4. Aplique a lei conveniente e calcule o que se pede. a) b) c) d)
  • 123. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 123 Exercícios Complementares Calcule os valores desconhecidos dos exercícios a seguir: 1) 2) . 10 . 15X X . . 20 5
  • 124. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos124 3) 4) 5) 10 5 3 . . X . 10 6 6 X X 27 8 20
  • 125. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 125 6) 7) 8) 50 4012 30 X . 12 . X 35 X 8 4 4 11 .
  • 126. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos126 9) 10) 11) 12) 13 30º 52X X 112º Ø20 Ø40 α 35 . 14 32º X
  • 127. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 127 13) 14) 15) 16)
  • 128. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos128 17) 18) 19) 20)
  • 129. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 129 21) 22) 23) 24)
  • 130. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos130 25) 26) 27) 30º 20 6 9 X 60º Y 4 10 X 40 4 12 Y 6 9 X 27 4 11 60º
  • 131. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 131 28) 29) Ø 53 X 87º Y 60 75 ø8 (4X) Ø36 Ø18 51,04 Y X 20 30
  • 132. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos132 30) l a b h g f k j i e d c
  • 133. Trigonometria Aplicada à Mecânica SENAI - Guarulhos 133 Alfabeto Grego Alfabeto Grego Maiúsc. Minúsc. Nome Uso mais comum Α αααα alfa Β ββββ beta Γ γγγγ gama Em Geometria plana para designar planos ou ângulos e coeficientes de dilatação linear, superficial e volumétrica. ∆∆∆∆ δ delta Indicar variação de tempo, espaço, temperatura, etc... Ε ε épsilon Ζ ζ dzeta Η η eta Θ θθθθ teta Designar temperaturas ou ângulos. Ι ι iota Κ κ kapa Λ λλλλ lâmbda Comprimento de onda Μ µµµµ mu(mi) Coeficiente de atrito dos materiais. Ν ν nu (ni) Ξ ξ Ksi Ο ο ônicron Π ππππ pi Relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência ( ~ 3,14159265659 ). Ρ ρρρρ rô Indicar a resistividade elétrica. ΣΣΣΣ σ sigma Indicar a somatória de sequências ou séries. Τ τ tau Representar o trabalho realizado por uma força. Υ υ Úpsilom (ipsilon) ΦΦΦΦ ϕϕϕϕ fi Indicar conjunto vazio, fluxo. Χ χ chi (qui) Ψ ψ psi ΩΩΩΩ ωωωω ômega Unidade de resistência elétrica ( maiúsculo ) , Velocidade angular ( minúsculo ).