Este documento apresenta fórmulas e conceitos de álgebra, probabilidades, funções, cálculo, trigonometria e números complexos. Inclui definições de derivadas, integrais, limites, combinatória, distribuições de probabilidade e operações com números complexos na forma trigonométrica.

1. F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
Prof. Jorge Geraldes’ 2002 | Escola Sec. Dr
. Júlio Martins 1
)
(A B A B
∪ = ∩
( )
A B A B
∩ = ∪
A B A B
= ∩
0 ( ) 1
p A
≤ ≤
( ) 1
p E =
( ) ( ) ( ) , ( )
p A B p A p B A B
∪ = + ∩ =∅
( ) ( ) 1
p A p A
+ =
( ) ( ) ( ) ( )
p A B p A p B p A B
∪ = + − ∩
2
( )
i i
p x x
σ = ⋅ −
∑
; 68,26%
x x
σ σ
− + =
 
 
 
2 ; 2 95, 44%
x x
σ σ
− + =
 
 
 
3 ; 3 99, 74%
x x
σ σ
− + =
 
 
 
( )
( / )
( )
p A B
p A B
p B
∩
=
Probabilidade Condicionada
( ) ( ) ( )
p A B p A p B
∩ = ⋅
Acontecimentos independentes
n p
p
A n
′ =
COMBINATÓRIA
(interessa a ordem e há repetição)
!
( )!
n
p
n
A
n p
=
−
(interessa a ordem e não há repetição)
!
!( )!
n
p
n
C
p n p
=
−
(não interessa a ordem e não há repetição)
n n
p n p
C C −
= 1
1 1
n n n
p p p
C C C
+
+ +
+ =
Propriedades
( )n n n p p
p
a b C a b
−
+ = ⋅ ⋅
∑
Binómio de Newton
Termo de ordem p+1
1
n n p p
p
p
T C a b
−
+
= ⋅ ⋅
( ) n k n k
k
p x k C p q −
= = ⋅ ⋅
Provas repetidas
( ) ( )
f x f x
− =
( ) ( )
f x f x
− =−
1 0
a
log =
y
a
log a y
=
a
log y
a y
=
1 2 1 2
( )
a a a
log x x log x log x
⋅ = +
Função par :
1
1 2
2
a a a
x
log log x log x
x
 

 
 = −

 


 
p
a a
log x p log x
= ⋅
b
a
b
log x
log x
log a
=
Função ímpar:
lim , 1
x
p
x
a
a
x
→+∞
=+∞ >
lim , 1
x
a
x
a
log x
→+∞
=+∞ >
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
0
0
x x y
x x y
+
−
→ ⇒ →±∞
→ ⇒ →±∞
Limites Notáveis
0
x x
=
Assimptotas
Verticais:
Assimptota(s) Oblíqua(s) : y mx b
= +
lim ( )
x
b f x mx
→±∞
 
= −
 
 
( )
lim
x
f x
m
x
→±∞
=
PROBABILIDADES
FUNÇÕES
Distribuição de Probabilidade
( ) i i
E X p x
= ⋅
∑
{ }
= 1 2
, ,..., n
X x x x
Variável Aleatória
p= probabilidade de sucesso
q= probabilidade de insucesso
= −
1
p q
Leis de De Morgan
34% 34%
14%
14%
2%
2%
Distribuição Normal ( , )
N x σ
( ) 1
i
p X x
= =
∑

2. F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
Prof. Jorge Geraldes’ 2002 | Escola Sec. Dr
. Júlio Martins 2
2
1 cos 2 cos
2
x
x
+ =
Continuidade
f é contínua num ponto a do seu domínio se existir
( )
x a
lim f x
→
e for igual a f(a).
Uma função polinomial é contínua em IR.
Teorema de Bolzano
Uma função contínua num intervalo limitado e fechado
[a,b] não passa de um valor de f(a) a outro f(b) sem pas-
sar por todos os valores intermédios.
Corolário
Se uma função é contínua num intervalo [a , b] e
( ) ( ) 0
f a f b
⋅ < , então existe um zero em ] [
,
a b .
Nota: Para existir somente um zero a função terá que
ser estritamente crescente( ( ) 0
f x
′ > ) ou estri-
tamente decrescente( ( ) 0
f x
′ < ) nesse intervalo.
Derivadas
Taxa de Variação Média
;
[ , ]
( ) ( )
a b
f b f a
TVM
b a
−
=
−
[ , ]
( ) ( )
a a h
f a h f a
TVM
h
+
+ −
=
Taxa de Variação instantânea ou derivada
( )
( ) ( )
x a
f a lim
f x f a
x a
→
′ =
−
−
ou 0
( )
( ) ( )
h
f a lim
f a h f a
h
→
′ =
+ −
Equação da recta tangente ao gráfico de f num
ponto de abcissa 0
x x
= .
0 0
( )
y y m x x
− = − 0
( )
m f x
′
=
Teorema:
Se uma função tem derivada finita num ponto é contínua
nesse ponto.
R
R
R
R
Re
e
e
e
eg
g
g
g
gr
r
r
r
ras de Deri
as de Deri
as de Deri
as de Deri
as de Deriv
v
v
v
vação
ação
ação
ação
ação T
T
T
T
Trig
rig
rig
rig
rigonometria
onometria
onometria
onometria
onometria
( ) 0
k ′ =
( )
f g f g
′ ′ ′
+ = +
( )
k f k f
′ ′
⋅ = ⋅
( )
f g f g g f
′ ′ ′
× = × + ×
2
f f g g f
g g
′
  ′ ′
⋅ − ⋅

  =
 
 

 
1
( )
n n
f n f f
−
′ = ⋅ ′
⋅
( )
x x
e e
′=
( )
u u
a a ln a u
′ ′
= ⋅ ⋅
(
1
)
ln x
x
=
′
( )
ln u
u
u
′ =
′
( )
a
log u
u
u ln a
=
′
′
⋅
se no intervalo [a,b] ( ) 0
f x
′ > ,então f é estritamente cres-
cente no intervalo [a,b];
se no intervalo [a,b] ( ) 0
f x
′ < ,então f é estritamente de-
crescente no intervalo [a,b];
Ponto de Inflexão:
( ) 0
f x
′′ =
Sentido da concavidade voltado para cima: ( ) 0
f x
′′ >
Sentido da concavidade voltado para baixo: ( ) 0
f x
′′ <
(sen u) =cos u×u
′ ′
(cos u) = sen u×u
′ ′
−
2
(tg u) =
u
cos u
′
′
2 2
sen x + cos x=1
sen(a+b) =sena×cosb + cosa ×senb
sen(a b)=sena×cosb cosa ×senb
− −
cos(a b)=cos a×cosb + sena×senb
−
cos(a+b) =cos a×cosb sena ×senb
−
tga tgb
tg(a b)=
1 tga×tgb
±
±
∓
( ) =
sen 2a 2×sena×cos a
2 2
cos( ) = cos a -sen
2a a
2
2tg a
tg(2a)=
1 tg a
−
2
( ) ( ) ;
| |
f x sen kx T
k
π
= =
2
( ) ( ) ;
| |
f x cos kx T
k
π
= =
Período de uma função (T)
( ) ( ) ;
| |
f x tg kx T
k
π
= =
x 0
sen
lim =1
x
x
→ →
−
=
0
cos 1
0
x
x
lim
x
2
1 cos 2 sen
2
x
x
− =
] [
,
[ , ]
( ) ( ) 0 : ( ) 0
c a b
f é contínua em a b
f a f b f c
∈
⋅ < ⇒ ∃ =

3. F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O
F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
| 1 2 .º A N O
Prof. Jorge Geraldes’ 2002 | Escola Sec. Dr
. Júlio Martins 3
COMPLEX
COMPLEX
COMPLEX
COMPLEX
COMPLEXOS
OS
OS
OS
OS
z a bi
= + Re(z)= a
Im(z)=b
1
i = −
2
1
i =−
3
i i
=−
4
1
i =
27 3
i i
=
4
27
6
3
{ }
: , 1
a bi a b i
= + ∈ ∧ = −
Representação dos complexos na forma trigonométrica
z a bi
= +
2 2
| |
z a b
= +
1 b
tg
a
θ −
=
(Módulo)
(Simétrico)
( )
z cos isen
ρ θ θ
= +
( )
z cis
ρ θ
=
Re
Im
z
a
O
b
θ
( )
z cis
ρ θ π
− = +
( )
z cis
ρ θ
= −
(Conjugado)
( )
1 1
z cis θ
ρ
−
= −
(Inverso)
Operações com complexos na forma trigonométrica
Produto de i por um número complexo
( )
1 2 1 2 1 2
z z cis
ρ ρ θ θ
× = ⋅ ⋅ +
( )
1 1
1 2
2 2
z
cis
z
ρ
θ θ
ρ
= ⋅ −
( )
1 1 1
n n
z cis n
ρ θ
= ⋅
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
;
z cis z cis
ρ θ ρ θ
= =
2
, 0,1,2, , 1
n
n
k
cis cis k n
n
θ π
ρ θ ρ
 
+ 
 
= = −
 
 


 
…
(Radiciação)
( )
1 1 1
1 1 1
2
z cis
iz cis
ρ θ
π
ρ θ
=
 


= + 
 

 
Re
Im
z
iz
a
O
b
θ
π
2
Nota importante:
Todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os
argumentos (não negativos mínimos) estão em progres-
são aritmérica de razão
2
n
π
.
Nota importante:
As n raízes de índice n têm por imagem os vérti-
ces de um polígono regular de n lados, inscrito
numa circunferência de raio | |
n z .
Domínios e Condições em variável complexa
| |
z
Representa a distância do afixo do complexo
z à origem.
| ( ) |
z a bi c
− + ≤
Representa o círculo de centro (a,b) e raio c.
| ( ) | | ( ) |
z a bi z c di
− + ≤ − +
Representa o conjunto de pontos do plano cuja
distância ao afixo de a+bi é o menor ou igual à
distância ao afixo de c+di.
| ( ) | | ( ) |
z a bi z c di
− + = − +
Representa a mediatriz do segmento de recta
cujos extremos são os afixos de a+bi e c+di.
Re(z) a
=
Representa recta vertical que passa no ponto (a,0).
Re(z) a
≥
Representa o semiplano fechado definido pela recta
x = a, que fica à direita da recta.
Im(z) b
=
Representa recta horizontal que passa no ponto
(0,b).
Representa a semi-recta de origem na origem do
referencial e que faz um ângulo de θ com o semieixo
real positivo.
( )
Arg z θ
=
( ( ))
Arg z a bi
α θ
≤ − + ≤
Representa o ângulo de vértice (a,b)compreendido
entre α e θ (inclusive).
Representa a elipse com os focos nos pontos de
abcissa x1
e x2
.
1 2
| | | | 2
z x z x a
− + − =