Gabarito da 1ª Avaliação de MA14 - PROFMAT - CPII

1. PROFMAT - Colégio Pedro II
AV1 - MA14 - Gabarito
Prof. Luciana Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Use o Princípo da Boa Ordenação para provar os seguintes resultados:
a) Se S ∈ Z é não vazio e limitado superiormente então S tem um maior elemento
Suponha d uma cota superior para S, isto é, ∀x ∈ S, x ≤ d.
Considere o conjunto T = {y ∈ Z; y = d − x, com x ∈ S}.
O conjunto T é não vazio e como d − x ≥ 0, ∀x ∈ S, ele é limitado inferiormente.
Logo, pelo PBO, ele tem um menor elemento d − b, com b ∈ S.
Vamos mostrar que b = max S.
De fato, se x ∈ S, temos que d − x ∈ T e, portanto, d − x ≥ d − b, o que implica que x ≤ b.
b) Para todo n ≥ 1 vale a igualdade 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
2 .
Sugestão: Considere o conjunto S = {n ∈ N; n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
2 } e prove que
S = ∅
Seja S o conjunto S = {n ∈ N; n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
2 }.
Queremos provar que S = ∅.
Suponha por absurdo S = ∅, ou ainda, suponha a ∈ S tal que 1 + 2 + 3 + ... + a = a(a+1)
2 .
Observe que 1 /∈ S pois 1 = 1(1+1)
2 .
Logo se a ∈ S então a ≥ 2. Dessa forma S é limitado inferiormente e pelo PBO tem um menor
elemento, digamos d.
Assim d − 1 /∈ S e então 1 + 2 + ... + (d − 1) = (d−1)d
2 .
Somando d a ambos os lados dessa última igualdade temos
1 + 2 + ... + (d − 1) + d = (d−1)d
2 + d = (d−1)
2 + 1 d
1 + 2 + ... + (d − 1) + d = (d+1)
2 d
Donde concluímos que d /∈ S, o que é absurdo.
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Sobre o que vimos no capítulo Divisão nos Inteiros prove os seguintes resultados:
a) Se a ∈ N então a2
é da forma 3k ou 3k + 1, com k ∈ N
Se a ∈ N então a = 3q (I) ou a = 3q + 1 (II) ou a = 3q + 2 (III)
(I): a2
= (3q)
2
= 3(3q2
) = 3k, fazendo k = 3q2
(II): a2
= (3q + 1)
2
= 9q2
+ 6q + 1 = 3(3q2
+ 2q) + 1 = 3k + 1, fazendo k = 3q2
+ 2q
(III): a2
= (3q + 2)
2
= 9q2
+ 12q + 4 = 3(3q2
+ 4q + 1) + 1 = 3k + 1, fazendo k = 3q2
+ 4q + 1
b) Se a e b são inteiros ímpares então a2
+ b2
é divisível por 2 mas não é divisível por 4
Temos que a = 2k + 1, k ∈ Z e b = 2l + 1, l ∈ Z.
Assim a2
+ b2
= (2k + 1)
2
+ (2l + 1)
2
= 4k2
+ 4k + 1 + 4l2
+ 4l + 1 = 4(k2
+ k + l2
+ l) + 2.
Logo a2
+ b2
não é divisível por 4 pois caso contrário 4 | 4(k2
+ k + l2
+ l) e 4 | 2, quando
sabemos que 4 2.

2. Além disso 2 | a2
+ b2
já que 2 | 4(k2
+ k + l2
+ l) e 2 | 2.
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3. Questão 3 [2,00 pts]
Agora um resultado sobre o Máximo Divisor Comum.
Prove que se a, b, c ∈ Z, com (a, b) = 1 então (ac, b) = (c, b)
Seja d = (c, b). Logo d | c e d | b e, portanto, d | ac e d | b.
Falta mostrar que d é divisível por todo divisor comum de ac e b.
Seja e um divisor comum de ac e b. Queremos provar que e | d.
De fato, como (e, a) | a e (e, a) | e e e | b, temos que (e, a) | (a, b).
Logo, sendo (a, b) = 1 temos (e, a) = 1.
Como e | ac e (e, a) = 1, temos que e | c.
Portanto e | c e e | b e assim e | d.
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Ainda sobre o Máximo Divisor Comum, prove que:
a) Se B ⊂ A, então mdcA ≤ mdcB
Se B ⊂ A então o mdcA divide todos os elementos de B, logo divide o mdcB.
Assim, mdcA ≤ mdcB.
b) Dado um subconjunto innito A = {a1, a2, ...} de Z, existe um número natural n tal que
mdcA = (a1, a2, ..., an)
Sejam di = mdc{a1, ..., ai}, i = 1, 2, ....
Pelo item (a) temos d1 ≥ d2 ≥ ... ≥ 0, o que nos fornece uma sequência decrescente de números
inteiros não negativos.
Logo, pelo PBO existe n tal que dn = dn+1 = ...
Portanto dn = mdc{a1, ..., an} = (a1, ..., an) = mdcA.
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4. Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 1,0 pt]
Uma equação diofantina linear nas incógnitas x e y é uma equação da forma ax + by = c, em
que a, b e c são inteiros, e as únicas soluções (x0, y0) que interessam são aquelas em que
x0, y0 ∈ Z.
Nesse contexto, considere que os ingressos de um cinema custam R$9, 00 para estudantes e
R$15, 00 para o público geral, e, que, em certo dia, durante determinado período, a arrecadação
nas bilheterias desse cinema foi de R$246, 00.
A partir das informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Obtenha uma equação diofantina linear que modele a situação acima, indicando o signicado
das incógnitas;
x: quantidade de ingressos vendidos para estudantes
y: quantidade vendida para não estudantes
9x + 15y = 246
b) Quantas e quais são as soluções do problema descrito no item (a)?
Equação equivalente: 3x+5y = 82. Essa equação tem solução inteira já que (3, 5) = 1 e 1 | 82.
5 = 1.3 + 2
3 = 1.2 + 1
2 = 1.1 + 1 ⇒ 1 = 2 − 1 = 2 − (3 − 2) = 2.2 − 3 = 2.(5 − 3) − 3 = −3.3 + 2.5
1 = −3.3 + 2.5 .(82)
82 = −246.3 + 164.5
x0 = −246 e y0 = 164
x = −246 + t.5 e y = 164 − t.3
5t − 246 ≥ 0 ⇒ t ≥ 50 e 164 − 3t ≥ 0 ⇒ t ≤ 54
t ∈ {50, 51, 52, 53, 54} ⇒ 5 soluções
. t = 50 ⇒ x = 4 e y = 14
. t = 51 ⇒ x = 9 e y = 11
. t = 52 ⇒ x = 14 e y = 8
. t = 53 ⇒ x = 19 e y = 5
. t = 54 ⇒ x = 24 e y = 2
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