Aulas 10 e 11 - Álgebra de Boole

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Aulas 10 e 11 da disciplina Computação Aplicada, Unijorge, 2012.2

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Aulas 10 e 11 - Álgebra de Boole

  1. 1. Álgebra de Boole George Simon Boole (1815-1864) O criador da álgebra dos circuitos digitaisProfª Jocelma RiosOut/2012
  2. 2. O que pretendemos:● Contar um pouco sobre a história da Álgebra, especialmente a Álgebra de Boole● Mostrar a relação entre a Álgebra de Boole e a Computação Digital● Apresentar as possíveis variáveis da Álgebra Booleana, seus operadores fundamentais e os secundários● Apresentar os postulados e alguns teoremas da Álgebra Booleana● Refletir sobre a relação entre a Lógica Formal, a Álgebra Booleana e a lógica de Programação
  3. 3. Um pouco de história● A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia.● Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione".
  4. 4. Um pouco de história● Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”● Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
  5. 5. Definição A Álgebra de Boole é um sistema matemáticocomposto por operadores, regras, postulados e teoremas.- Usa funções e variáveis, como na álgebraconvencional, que podem assumir apenas um dentredois valores, zero (0) ou um (1).- Trabalha com dois operadores, o operador AND,simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizadopor (+). O operador AND é conhecido como produtológico e o operador OR é conhecido como somalógica. Os mesmos correspondem, respectivamente,às operações de interseção e união da teoria dosconjuntos.
  6. 6. OperadoresAs variáveis booleanas são representadaspor letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
  7. 7. Operadores Booleanos Fundamentais Operador AND (interseção)q Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
  8. 8. Operadores Booleanos FundamentaisOperador OR (união)Definição: A operação lógica OR entre duas oumais variáveis apresenta resultado 1 se pelomenos uma das variáveis estiver no estadológico 1.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  9. 9. Operadores Booleanos FundamentaisOperador NOT (inversor)Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  10. 10. Operadores Booleanos secundáriosOperador NANDDefinição: A operação lógica NAND entre duas ou maisSímbolo Lógico:Tabela Verdade:
  11. 11. Operadores Booleanos secundáriosOperador NORDefinição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  12. 12. Operadores Booleanos secundáriosOperador XOR (OU exclusivo)Definição: A operação lógica XOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  13. 13. Operadores Booleanos secundáriosOperador XNOR (negativo de OU exclusivo)Definição: A operação lógica XNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  14. 14. Postulados da Álgebra de Boole Postulados da Álgebra de BooleO significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associaçãocom a teoria dos conjuntos
  15. 15. Postulados da Álgebra de BooleO significado dospostulados pode serentendido facilmentese fizermosassociação com aTeoria dos Conjuntos
  16. 16. Teoremas da Álgebra de Boole
  17. 17. Teoremas da Álgebra de Boole
  18. 18. Funções booleanas vs. circuitos lógicos
  19. 19. Funções booleanas vs. circuitos lógicos S = A.B.C + B.C + A.C
  20. 20. Funções booleanas vs. circuitos lógicosF = (((A+B).D)+(A.D))+ (D.(B.C))
  21. 21. Simplificação de funçõesS = A.B.C + A.C + A.BS = A(B.C + C + B) → DistributivaS = A(B.C + C.B) → De MorganS = A.1 → ComplementarS = A
  22. 22. Simplificação de funçõesF = A.B + A.B + A.BF = A.B + A.B + A.B → ComutativaF = B(A + A) + A.B → DistributivaF = B.1 + A.B → ComplementarF = (B + A).(B + B) → DistributivaF = (B + A).1 → ComplementarF = (B.A) → De Morgan
  23. 23. Para refletir...Como é possível utilizar a Álbebra de Boole para executar funções tão complexas como as que são executadas por um sistema operacional nogerenciamento de processos?
  24. 24. Referências● BASTOS, S. Sistemas Digitais I. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/50293193/7/ALGEBRA-DE- BOOLE-E-PORTAS-LOGICAS>. Acesso em: 02 out. 2012.● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.
  25. 25. Vídeos sugeridos● Funções booleanas e portas lógicas – Parte I – www.youtube.com/watch?v=fyPAX7gpUmg● Funções booleanas e portas lógicas – Parte II – www.youtube.com/watch?v=f9j3BMiAmsQ● Matemática discreta – circuitos lógicos – www.youtube.com/watch?v=g0Tfc1Lf3bY● Álgebra Booleana - USP - Introdução e Motivação – www.youtube.com/watch?v=Oopy6AqRs-I
  26. 26. Vídeos sugeridos● Eletônica Digital - Aula 22 – (Introd. às Portas Lógicas - Porta NOT) – www.youtube.com/watch?v=Afh8wmTUoVc● Eletrônica Digital - Aula 23 - (Porta Lógica NOT - Continuação) – www.youtube.com/watch?v=HHUAm-9e9xY● Eletrônica Digital - Aula 24 - (Porta NOT - circuitos com várias portas lógicas) – www.youtube.com/watch?v=iI6cVVPa1k4● Eletrônica Digital - Aula 25 - (Correção exercicios - Porta NOT) – www.youtube.com/watch?v=PtJHxPtGnbI
  27. 27. Vídeos sugeridos● Eletrônica Digital - Aula 26 - (Porta E/AND) – www.youtube.com/watch?v=TBaQkG-hrpI● Eletrônica Digital - Aula 27 - (Porta E/AND - Resolução de exemplos) – www.youtube.com/watch?v=v0dmvbkWGBg● Eletrônica Digital - Aula 28 (Circuitos com Porta E/NOT, Expressão e tabela-verdade) – www.youtube.com/watch?v=naVeL9WwsmQ● Eletrônica Digital - Aula 29 (Porta OU/OR) – www.youtube.com/watch?v=gnopBvdG_Qk

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