1) O documento apresenta duas versões de uma prova de Matemática do 12o ano com 8 questões cada. 2) A segunda questão trata de cálculos complexos. 3) A terceira questão aborda probabilidade com bolas retiradas de um saco. 4) A quarta questão analisa o comportamento assintótico de funções.

1. Proposta de resolu¸˜o do exame de Matem´tica A de 12o ano
ca a
cod 635
23 de Junho de 2009
Grupo I
Vers˜o 1
a Vers˜o 2
a
1. A 1. D
2. D 2. A
3. B 3. C
4. C 4. B
5. D 5. A
6. A 6. D
7. C 7. B
8. C 8. B
Grupo II
1.
1.1.
i i(1 + i)
z1 = − i18 = − i2
1−i 1+1
i + i2 −1 + i
= − (−1) = +1
2 2
i−1+2 1 1
= = + i
2 2 2
Determina¸˜o de ρ:
ca
√
1 1 1 2
ρ= + = =
4 4 2 2
Determina¸˜o de θ:
ca
Como Re(z1 ) = 1 e Im(z1 ) = 1 , ent˜o o afixo de z1 pertence ao primeiro
2 2
a
quadrante.
1
2
tan θ = 1 = 1,
2
π
logo θ = + 2kπ, k ∈ Z.
4
π
Fazendo, por exemplo, k = 0, vem θ = .
4

2. Obtemos ent˜o
a √
1 1 2 π
z1 = + i = cis
2 2 2 4
1.2.
n
π 5π
(−iz2 )n = −1 ⇔ cis − × cis = −1
2 6
n
π 5π
⇔ cis − + = cis π
2 6
π n
⇔ cis = cis π
3
nπ
⇔ cis = cis π
3
nπ
⇔ = π + 2kπ, k ∈ Z
3
⇔ n = 3 + 6k, k ∈ Z
O menor valor de n, natural, ocorre quando k = 0, originando n = 3.
2. 7 C3 × 4 C2 = 210.
3.
3.1. A probabilidade de sairem duas cores diferentes poder´ ser determi-
a
nada da seguinte forma:
2 × 102 10
= .
20 × 19 19
3.2. A express˜o P [(B ∩C)|A] exprime a probabilidade de a segunda bola
a
retirada ser amarela com n´ mero par, sabendo que na primeira extrac¸˜o
u ca
saiu bola verde. De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de
um acontecimento ´ dada pelo quociente entre o n´ mero de casos favor´veis
e u a
a esse acontecimento e o n´ mero de casos poss´
u ıveis, se estes forem todos
equiprov´veis. O n´ mero de casos poss´
a u ıveis ´ 19, pois das vinte bolas j´
e a
retir´mos uma, e assim, como n˜o repomos a primeira bola, ficamos com 19
a a
bolas no saco. O n´ mero de casos favor´veis ´ 5, pois corresponde ao n´ mero
u a e u
de bolas amarelas com n´mero par que podem sair na segunda extrac¸˜o (12,
u ca
14, 16, 18 ou 20).
5
Assim, pela regra de Laplace temos que a probabilidade pedida ´ . e
19

3. 4. Df = R+ , Dg = R+ .
Sabemos que
lim (f (x) − 2x) = 0,
x→+∞
logo y = 2x ´ a equa¸˜o da recta assimptota obl´
e ca ıqua do gr´fico de f .
a
g(x) f (x) + x2 f (x)
m = lim = lim = lim + lim x = 2 + ∞ = +∞.
x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ x x→+∞
N˜o h´ assimptotas quando x → −∞ porque o dom´
a a ınio da fun¸˜o ´ R+ .
ca e
Assim o gr´fico de g n˜o tem assimptotas obl´
a a ıquas.
5.
5.1 A fun¸˜o g ´ cont´
ca e ınua em R+ por ser soma de fun¸˜es cont´
co ınuas. Em
particular, ´ cont´
e ınua em [0, 1; 0, 3].
g(0, 1) = e0,2 + ln 0, 1 ≈ −1, 08 < 0, e
g(0, 3) = e0,6 + ln 0, 3 ≈ 0, 62 > 0.
Assim, g(0, 1) × g(0, 3) < 0, e portanto, pelo corol´rio do Teorema de
a
Bolzano,
∃ c ∈]0, 1; 0, 3[ : g(c) = 0.

4. 5.2. g(x) = 2x, x ∈]0, 2].
y
4
3 ln x
e 2x +
y=
2
2x
y=
1
0,6 A A(0, 3; 0, 6)
0 0,3 x
1 2
−1
6.
D = ]1, +∞[ ∩ ] − ∞, 2[ = ]1, 2[
Para x ∈]1, 2[,
log2 (x − 1) ≥ 1 + log2 (2 − x) ⇔ log2 (x − 1) ≥ log2 2 + log2 (2 − x)
⇔ log2 (x − 1) ≥ log2 (2(2 − x))
⇔ x − 1 ≥ 4 − 2x
⇔ 3x ≥ 5
5
⇔ x≥
3

5. O sentido da desigualdade mant´m-se ao desembara¸ar de logaritmos por-
e c
que a base ´ maior do que 1, e portanto a fun¸˜o logaritmica ´ crescente.
e ca e
5
Tendo em conta o dom´
ınio encontrado, o conjunto solu¸˜o ´
ca e ,2 .
3
7.
7.1.
t 2 0, 3t 2
lim (2te−0,3t ) = 2 lim = lim 0,3t = × 0 = 0.
t→+∞ t→+∞ e0,3t 0, 3 t→+∞ e 0, 3
Este limite ´ um dos limites not´veis, o que fica claro se se fizer x = 0, 3t.
e a
Com o passar do tempo, a concentra¸˜o do medicamento no sangue tende
ca
para zero, ou seja, o medicamento tende a desaparecer do sangue.
7.2.
C (t) = 2e−0,3t − 0, 6te−0,3t = (2 − 0, 6t)e−0,3t , t ≥ 0.
10
C (t) = 0 ⇔ e−0,3t = 0 ∨ t = .
3
10
Como e−0,3t = 0 ´ imposs´
e ıvel, ent˜o t =
a .
3
t 0 10/3 +∞
C (t) 2 + 0 −
C(t) 0 max.
10 1
= 3 + , ou seja, 10/3 horas s˜o 3 horas e 20 minutos.
a
3 3
Resposta: A concentra¸˜o m´xima ocorreu 3 horas e 20 minutos depois
ca a
da primeira administra¸˜o, isto ´, `s 12 horas e 20 minutos.
ca e a