Este documento discute o princípio da indução matemática e fornece exemplos de sua aplicação. Ele explica que a indução matemática envolve provar uma propriedade para o caso base e mostrar que é hereditária. O documento também demonstra o teorema binomial e uma identidade sobre a função gama usando indução.

1. Indução matemática
Publicado em Setembro 15, 2009 por Américo Tavares
Reuno aqui, para comodidade de leitura, algumas entradas já publicadas sobre o princípio da
indução matemática.
§1. Por este princípio, a demonstração da veracidade de uma determinada proposição
matemática para todos os inteiros , comporta dois passos:
(1) Verifica-se a sua validade para um dado valor inteiro (normalmente, 0 ou 1) da variável de
indução .
(2) Assume-se que é válida para o inteiro e demonstra-se que é também válida para isto
é, que .
Vamos demonstrar de seguida o Teorema Binomial por este princípio.
Teorema: Para todo o valor de natural, tem-se
qualquer que seja o valor real de
Demonstração:
O teorema verifica-se para e logo
Admitimos agora que o teorema é válido para isto é, que
e demonstremos que o é igualmente para Como
vem
Manipulamos o segundo membro (lado direito) até obter De facto,
pela identidade de Pascal e porque

2. Mas, como
provámos, como pretendíamos, que e assim acabámos a
demonstração.
A partir do desenvolvimento de deduz-se imediatamente o de
Corolário: Quaisquer que sejam os reais e e o natural é válida a fórmula
Demonstração: Admitamos que
Como, para tem-se
e
ou seja a fórmula ainda é válida .
§2. O Princípio de indução matemática é o seguinte axioma de Peano:
Se o conjunto A, contido em N, for tal que 1 pertence a A e n+1 pertence igualmente a A sempre
que n seja elemento de A, então A = N. [N aqui é o conjunto dos naturais 1, 2, 3, ... ].
Uma propriedade P diz-se hereditária quando, sendo verdadeira para o inteiro n, é também
verdadeira para o sucessor de n (n+1).
Assim, o Princípio de Indução equivale a afirmar que uma dada proposição, verdadeira para n=1
e hereditária, implica que seja verdadeira para todos os naturais 1, 2, 3, … .
Por isso, a aplicação deste método comporta as duas etapas (ou passos) conhecidos
1. Demonstração de que uma dada proposição é válida para n=1. (Caso Base).
2. Demonstração de que a proposição é hereditária. (Etapa de Indução).
Este princípio nada ou quase nada tem a ver com o método de indução próprio das ciências
naturais, que se caracteriza por se estabelecer uma lei geral observando a repetição do mesmo
fenómeno em inúmeros casos particulares.

3. §3. Nem todas as provas por indução têm o mesmo grau de dificuldade. Enquanto a do 1º.
exemplo é extremamente simples e natural, a do 2º. obtive-a após tentativas, recorrendo a uma
identidade algébrica auxiliar — a ser usada no passo de indução — cuja demonstração me
pareceu mais simples do que a identidade inicialmente apresentada, que pode ser deduzida a
partir da regra de Ruffini de divisão de um polinómio em , de grau , por .
Exemplo 1: prove por indução matemática
Para a igualdade verifica-se:
Admite-se que se verifica para
e prova-se que nesse caso também se verifica para , ou seja, devemos chegar a
Vejamos: se
então, somando a ambos os membros da igualdade e simplificando o segundo membro,
deduzimos sucessivamente
Ora, como provamos deste modo que a igualdade se verifica para qualquer inteiro .
Exemplo 2: se for um inteiro positivo, prove
Para , temos .

4. Antes de aplicar a hipótese de indução, a ideia fundamental consiste em mostrar a validade da
identidade auxiliar
em que
.
De facto
e
Mas
e
Subtraindo membro a membro, vem
pelo que fica provada a identidade da qual se tira
Assim, admitindo que

5. resulta que
como se queria mostrar.
§ 4. Exercício 1: prove que existe apenas um número natural que verifica a relação
Sugestão: utilize o princípio de indução para provar que a relação não é satisfeita por nenhum
natural superior a seis.
Esta ideia é devida a Vishal Lama (neste comentário em inglês).
§ 5. Exercício 2: podemos demonstrar que
De facto substituindo em
por , ficamos com, que vemos ser verdadeiro, visto que da equação funcional da função gama
se obtém, para
.
Admitimos agora que
e fazemos, na equação funcional, . Como vem sucessivamente
demonstra-se desta forma o passo de indução.