1) A aula apresenta o conceito de integral de linha, que calcula a área de objetos como muros construídos ao longo de curvas no plano ou no espaço. 2) Existem duas formas de calcular a integral de linha: dividindo a curva em arcos e somando as áreas das tiras ou parametrizando a curva e calculando a integral. 3) São apresentados exemplos de cálculo de integral de linha para curvas dadas explicitamente ou parametrizadas no plano e no espaço.

1. DATA: 02/10/2015
1
CURSO: LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO III
AULA 6
PROFESSORA: GERALDINE
Aula: Integral de Linha.
Objetivos:
Definir e resolver problemas com
Integrais de Linha de Campos
Escalares e Vetoriais.
Se é uma função real, a integral definida ,
com , representa a área da região do plano
acima do domínio D e abaixo da curva gráfico
da função .
Integral Definida
( )f x ( )
b
a
f x dx
( ) 0f x 
f
Se é uma função de duas variáveis reais a
valores reais então , com ,
representa o volume do sólido compreendido entre o
gráfico de e o domínio B.
Integral Dupla
( , )f x y
( , )
B
f x y dxdy ( , ) 0f x y 
f
Existem situações não
contempladas pelas
integrais acima.
Exemplo:
Se quisermos calcular
a área do “muro” ao lado.
Área de um muro
Consideremos uma curva C unindo dois pontos no
plano xoy e uma função contínua em D onde
D é uma região do plano contendo a curva C.
Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual
à em cada ponto de C. Qual é a área
desse muro?
Problema
( , )z f x y
( , ) 0f x y  ( , )x y
Considere uma partição da curva C.
Área do Muro
P0
P1
P2
Pn-1
Pn
C

2. DATA: 02/10/2015
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CURSO: LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO III
AULA 6
PROFESSORA: GERALDINE
Ai
Área do muro
Área muro = 1 2 ... nA A A A   
P0
P1
P2
Pn-1
Pn
C
Pi-1
Pi
Qi
A1
A2 A3 An
f(xi , yi)
Área do muro
Pi-1
Pi
Qi
f(xi , yi)
iS
O comprimento de
Arco
denotaremos por .
1i iP P
is
Área do muro
Pi-1
Pi
Qi
iS
A área da i-ésima
tira fica:
E a área do muro:
( , ).i i i iA f x y s 
1
( , ).
n
i i i
i
A f x y s

 
f(xi , yi)
Se aumentarmos, indefinidamente, o número de arcos
na partição, então em cada arco o comprimento tende
a zero.
Dessa forma , trata-se de uma
integral que é chamada integral de linha ou curvilínea
da função f ao longo da curva C.
Conclusão
1
( , ).
n
i i i
i
f x y s

lim
n
A


Se C é uma curva contínua e limitada no plano xoy e f é
uma função escalar contínua em D contido no plano e
que contem C. A integral de linha de f ao longo de C é
dada por:
Notação
1
( , ).
n
i i i
i
f x y s

lim
n
( , )
C
f x y ds 
Se C está no espaço e f é uma função de três variáveis,
então:
Observação
1
( , , ).
n
i i i i
i
f x y z s

lim
n
( , , )
C
f x y z ds 

3. DATA: 02/10/2015
3
CURSO: LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO III
AULA 6
PROFESSORA: GERALDINE
Consideremos agora uma parametrização para a curva
suave e limitada C , dada pela função vetorial:
Integral de linha
   ( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b 
Então:
Como: e
Logo:
Integral de linha
 ( , ) ( ), ( )
b
a
C
f x y ds f x t y t ds 
'( )
b
a
s r t dt  '( )
ds
r t
dt

'( )ds r t dt
Substituindo em obtemos:
Integral de linha
'( )ds r t dt  ( ), ( )
b
a
f x t y t ds
 ( ), ( ) '( )
b
a
f x t y t r t dt
Analogamente
Integral de linha
 ( , , ) ( ), ( ), ( ) '( )
b
a
C
f x y z ds f x t y t z t r t dt 
Lembramos que
Observação
   
2 2
'( ) '( ) '( )r t x t y t 
Calcule a integral de linha , sendo C o
segmento que une o ponto A(-1,0) ao ponto B(2,3).
Aplicação
( 3 )
C
xy x ds

4. DATA: 02/10/2015
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CURSO: LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO III
AULA 6
PROFESSORA: GERALDINE
Calcule a integral de linha , onde C é a curva
dada pelas equações e .
Aplicação
C
xy ds
2 2
4x y  8x z 
Integral de linha de uma curva C1 por partes
1
...
nC C C
f ds f ds f ds    
Calcule onde C
é uma curva dada pelo
gráfico ao lado.
Aplicação
3
C
xy ds
1
2