O documento discute integrais de linha, que calculam a integral ao longo de uma curva parametrizada. É explicado como parametrizar curvas como círculos e segmentos de reta. Também são discutidos exemplos de cálculo da área sob uma curva e do centro de massa de um objeto com densidade variável. Integrais de linha em campos vetoriais também são introduzidas.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL 3
INTEGRAIS DE LINHA: Capítulo 16 do
livro texto

2. INTEGRAIS DE LINHA

4. Parametrização.
Para calcular a integral de linha é necessário
parametrizar as curvas. Uma curva possui equação
cartesiana do tipo 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑐, a curva é parametrizada
quando 𝑥 e 𝑦 são determinados como função de 𝑡 e
continuam satisfazendo a equação cartesiana.
Ex: Um círculo de raio 𝑅 com centro na origem tem
equação cartesiana 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
. Uma equação
paramétrica é 𝑟 𝑡 = (𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑅𝑠𝑒𝑛𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Ex: Um segmento de reta que liga dois pontos
𝐴 = 𝑎, 𝑏 𝑒 𝐵 = (𝑐, 𝑑) tem equação paramétrica
𝑟 𝑡 = 𝑎, 𝑏 + 𝑡𝐴𝐵, com 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

6. Exemplo 2: Calcule a área de uma
parede cuja base é o arco de 120° da
circunferência de raio 9 e a altura é
dada pelo plano 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦.
SOLUÇÃO EM SALA.

8. MASSA E CENTRO DE MASSA
Considere que um fio com formato da cura 𝐶 e
densidade dada por 𝜌(𝑥, 𝑦). Então a massa deste fio é
𝑚 = 𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑆
𝐶
. Normalmente em um fio homogêneo
( densidade constante) a massa é dada por 𝑚 = 𝜌. 𝐿. O
centro de massa do fio com a função densidade 𝜌 é dado
por
𝑥 =
1
𝑚
𝑥𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑆 𝑒
𝐶
𝑦 =
1
𝑚
𝑦𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑆
𝐶

13. INTEGRAIS DE LINHA NO ESPAÇO
Considere uma curva suave por partes 𝐶, dada de forma
paramétrica por: 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 𝑒 𝑧 = 𝑡 ; 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏.
A integral de linha é:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 (𝑥′ 𝑡 )2 + 𝑦′ 𝑡
2
+ 𝑧′ 𝑡
2
𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝐶

15. Campos Vetoriais: Um campo vetorial é uma aplicação
𝐹: ℝ𝑛
→ ℝ𝑛
.
Exemplos de campos vetoriais:
a) 𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑖 + 𝑦2
𝑗
b) 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (2𝑥 − 𝑦, 3𝑧 + 1, 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧)
c) 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑧 𝑖 + 3𝑦𝑗 − (2𝑧 + 𝑦)𝑘.

16. Imagens de campos vetoriais:
Mapa da previsão do tempo:

21. INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS
No espaço o trabalho realizado por uma força
constante 𝐹 para deslocar uma partícula do ponto A
para B, é dado por 𝑊 = 𝐹. 𝐷, onde 𝐷 = 𝐴𝐵.
Analogamente o trabalho realizado por uma força
𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 para deslocar uma partícula ao
longo de uma curva de A à B é:
𝑊 = 𝐹. 𝑇 𝑑𝑠
𝑐

24. EXERCÍCIOS DO LIVRO SEÇÃO 16.2

27. RESPOSTAS