O documento apresenta uma lista de exercícios sobre integrais duplas em coordenadas cartesianas. Os exercícios incluem o cálculo de volumes sob superfícies e planos usando integrais duplas, cálculo de integrais iteradas, determinação de áreas de regiões delimitadas por curvas e retas, e cálculo do centro de massa de uma placa triangular com densidade variável.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Lista de exercícios – Integrais duplas em coordenadas cartesianas
Professora Izabela Marques de Oliveira
1) Use uma integral dupla para calcular:
a) O volume sob o plano z = 2x+y e acima do retângulo R = (x, y);3  x  5;1  y  2.
Resposta: 19.
b) O volume do sólido compreendido pela superfície z = x2 e os planos x = 0, x = 2, y = 3,
y = 0 e z = 0. Resposta: 8.
2) Calcule cada integral iterada:
a)  

0 0
sin x
dydx
x
x
 
 
 
 
 
 


1
0
2
2
1
0
2
0
2
1
4
0
2 2
1
0
1
0
4
0
3
0
)
)
) ( 2 1)
) ( )
)
2
y
y
f dxdy
e dydx
d x y dxdy
c x y dxdy
b xydydx
3) Calcule a integral dupla:
a) 
R
x dA 2 , onde R é a região limitada por y x
x
y  , 
16
e x = 8. Resposta: 576.
)2 )1
3
20
)
3
2
Respostas : 2) ) 2 )36 )
e f
a b c d

2. b) 


R
dAy x 2
1
2 ) 1( ; R é a região do primeiro quadrante compreendida entre y = x2, y = 4 e x =
0. Resposta:
2
1 17 
c)  
R
dA x ) 1 ( , onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre y = x e y = x 3.
Resposta: -7/60.
Nos exercícios 4 e 5 esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a área
da região como uma integral dupla e calcule a integral.
4) Área limitada pelos eixos coordenados e a reta 2y x .
Resposta:  


2
0
2
0
2
x
dydx ou  


2
0
2
0
2
y
dxdy . Para ver a região, veja resposta da Q. 1, item 12.2
de Thomas, v.2.
5) Área limitada pela parábola 2 y x  e a reta 2x y .
Resposta:   



1
2 2
2
2
9 y
y
dx dy . Para ver a região, veja resposta da Q. 3, item 12.2 de Thomas, v.2.
6) Esboce a região delimitada pelos limites da integral  
6
0
2
/ 3 2
y
y
dxdy , identifique cada curva-limite com
sua equação e dê as coordenadas dos pontos onde há interseção das curvas. Depois encontre a área
da região.
Resposta: Área = 12. Para ver a região, veja resposta da Q. 9, item 12.2 de Thomas, v.2.
7) Determine o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas x y  e
y  2  x se a densidade da placa é dada por x, y  6x  3y  3.
Dados: o centro de massa será: x, y, tal que
M
M
x y  ;
M
M
y x  , onde:
M é a massa total da placa: M   x, ydA
x M é o momento em relação ao eixo x:      dA y x y Mx  ,
y M é o momento em relação ao eixo y:      dA y x x My  ,