SlideShare uma empresa Scribd logo
Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A.
      CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
          Curso de Engenharia Civil e Ambiental




   Aplicação do Cálculo Diferencial e
Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
                   Sobral - Ce – 2012
2




SUMÁRIO

CONTEÚDO                         PÁGINA

INTRODUÇÃO                         03

CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA        04

UNIDADES ADOTADAS                  04

VIGA  BIAPOIADA   COM    CARGA     04
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

VIGA  BIAPOIADA   COM   CARGA      07
CONCENTRADA

VIGA COM UM ENGASTE E CARGA        09
CONCENTRADA NA EXTREMIDADE
3




VIGA COM UM ENGASTE E CARGA   10
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

VIGA COM UM ENGASTE E CARGA   12
TRIANGULAR

CONCLUSÃO                     13

BIBLIOGRAFIA                  14
4




INTRODUÇÃO


          Podemos afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e as
Engenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e outras - estão intimamente
associados.
     No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos
esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importância
fundamental. Podemos dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor
submete as seções transversais de uma viga comum a esforços de
tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas
seções a Tensões de Cisalhamento.
     Portanto, ao efetuarmos o dimensionamento de uma viga, quer seja
esta feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro material
apropriado, devemos dividir esta tarefa em duas etapas.
5




    A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que
atuam na estrutura; em outras palavras: devemos achar o maior valor do
Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam
na viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa é
fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser
verificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistir
aos esforços solicitantes.
      O Cálculo Diferencial e Integral nos permite encontrar as funções do
Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção da viga.
Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para
determinado trecho de uma viga, ao derivarmos esta função
encontraremos outra f(x) que nos dá, desta vez, o Esforço Cortante para o
trecho considerado.
      Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia,
porque preferiu, antes, buscar os conhecimentos adquiridos nos bancos
escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa
dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da Universidade
Estadual Vale do Acaraú mais uma a opção de material didático.
    Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.
6




Omnia mecum porto.

    Sobral, Ce, maio de 2012,

    Daniel Caetano de Figueiredo (*)




(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e
Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.
7




CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA

      Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo
da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, quer
esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga
concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende a
imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será
considerado negativo.Ao colocarmos os valores encontrados no D.M.F.
(Diagrama do Momento Fletor), teremos, por convenção, Momento Fletor
com valor negativo acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x.
        Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção
perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cima
a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será
considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar para
baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o
valor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a
8




parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a
parte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o Esforço
Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os
valores positivos de Q ficam acima do eixo x e os valores negativos ficam
abaixo de do eixo x.




UNIDADES ADOTADAS

         Sabemos que a força que atua em um corpo de massa 1,0
                                                    m
quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 s na mesma direção e
                                                   2


sentido da força, equivale a 1,0 Newton.
     Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N
                                                      m
em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 s (valor médio aceito
                                                       2


para toda a superfície da Terra) podemos, para efeitos didáticos e por
praticidade, substituírmos a unidade Newton(unidade de força) por
9




kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa
1,0 kg pesa 1,0 Kgf.
          Com relação à unidade de comprimento, adotamos o metro,
comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas.
      Veremos, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas
comumente usadas.




VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
10




       Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente
                 kg
distribuída de q m e apoiada em A e B




       Para o cálculo das reações de apoio, aplicamos primeiramente a
equação ∑ M = 0 e encontramos o valor de R ; em seguida aplicamos ΣF = 0
            A                              B                         V

                                                                       ql
e encontramos a reação R ; os valores das duas reações são iguais a 2 ,
                          A


como era de se esperar(o carregamento é simétrico em relação a uma
seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical
e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
       Consideremos agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e
distante x metros do apoio A.
11




Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é
                                      2
                               qx
dado pela função M ( x) = R x − 2 que é uma função do segundo grau em x.
                             A




     Derivando esta f(x) obtemos a função do Esforço Cortante, que será
do primeiro grau e a mesma nos permitirá calcular o Esforço Cortante em
qualquer seção distante x metros do apoio A.
    Sendo assim, teremos:
dM ( x)
        = Q( x) = R A − qx
 dx
                                                                      l
            Devemos notar que esta função   Q(x)   se anula em   x=
                                                                      2   e também
                             dQ( x)
convém ressaltar que dx = −q . Em outras palavras: a função derivada de
Q(x) nos fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que
podemos, também, percorrermos o caminho inverso, qual seja, dadas as
cargas encontramos a função Q(x) por integração; integrando esta,
obtemos M(x).
     Conforme nos ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a
derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de existir,
12




constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de
mínimo, ponto de inflexão ou a função inexiste neste ponto crítico).

       Derivando mais uma vez M (x) encontramos a sua derivada de
segunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabemos então que no
meio da viga teremos um valor máximo(positivo) para o momento fletor e
                         2               2
                        ql               ql
este valor será igual a 8 . Citado valor( 8 ) foi encontrado ao calcularmos
  l
M( )
  2 . Devemos observar que na seção central da viga o valor do Esforço
Cortante é nulo. Temos ainda de ressaltar os valores nos extremos da
viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é
                                     ql      ql
máximo, possuindo valores iguais a 2 e − 2 , nos pontos A e B,
respectivamente.

     Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento
Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para entendermos
estes gráficos devemos recorrer à convenção usualmente adotada para
representá-los.
13




DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)




DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR(D.M.F.)
14




     Analisaremos em seguida o caso de uma viga biapoiada sujeita a
uma carga concentrada.




VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA
15




       Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros de
comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto
situado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A,
conforme a figura.




                                                                   Pa
      Aplicamos a equação ∑ M      A   =0   e encontramos   RB =
                                                                    l   ; em seguida
                                       Pb
fazemos ∑ F = 0 e encontramos R = l . A direção das reações é a direção
           V                   A


vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
16




      Consideremos agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga,
distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de
aplicação da força P.
     Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor
do momento fletor é dado pela função M ( x) = R x que é uma f(x) do primeiro
                                             A


grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado por
segmentos de retas inclinadas em relação ao eixo x.
     Derivando M(x) obtemos a função do Esforço Cortante, Q( x) = R sendo
                                                                    A


esta de grau zero(função constante) e nos permitirá calcular o esforço
cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trecho
compreendido entre A e o ponto de aplicação da força P.

       Sabemos portanto que:
dM ( x)
        = Q( x) = R A
 dx
   Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho
compreendido entre entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.
17




     Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será
dado por segmentos paralelos ao eixo x.
          No caso em questão devemos também analisar o trecho
compreendido entre a carga P e o apoio B.
Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que
M ( x) = R A x − P( x − a)
        Derivando esta função encontramos a Q(x) para o Esforço Cortante
Q( x) = R − P , ou seja, será igual a − R
          A                    B


            No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa o
Esforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor neste
                                              Pab
ponto alcança seu valor máximo, igual a l .            Queremos com isto
ressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é necessariamente
máximo no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questão
ocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante também é máximo. Mas
devemos atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da função
Q(x) dá um salto de descontinuidade.
            Teremos a seguir os Diagramas do Momento Fletor e da Força
Cortante.
18




DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR (D.M.F.)




DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)
19




          Analisaremos em seguida o caso de uma viga isostática
simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua
extremidade livre.
20




VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA
EXTREMIDADE


      Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a
extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindo
um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia
igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura.




         Para calcularmos as reações em A, reações estas que serão
constituídas por    um momento e uma força vertical, aplicaremos
21




primeiramente a equação ΣF = 0 , encontrando R = P ; em seguida usaremos
                             V                   A


∑ M = 0 encontrando M = Pl kg.m no sentido anti-horário. A reação R possui
   A                  A                                              A


a direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigas
anteriores, as reações de apoio horizontais serão nulas porque não existe
nenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga.
         Peguemos agora uma seção S distante x metros do apoio A.
Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por
M ( x ) = − M + R x , ou M ( x) = − Pl + Px .
       A   A


            Derivando M(x) encontraremos a função do Esforço Cortante, dada
por Q( x) = + P . Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado por
segmento paralelo ao eixo x.
             Com relação à função que representa o Momento da viga, em A
teremos o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeiro
grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação
ao eixo x, variando do valor M ao valor 0 em B, conforme a figura abaixo.
                                 A


A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira
análoga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B é
igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de
descontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.
22




DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR




DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE
23




      A seguir veremos o caso de uma viga com um engaste apenas só
que, desta vez, seu carregamento será uniformemente distribuído.




VIGA COM UM ENGASTE E            COM CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDA
24




      Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de
comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q
kg/m ao longo de seu vão.
     Usando as equações da Estática determinamos as reações de apoio.
Assim, fazendo ∑ M = 0 encontramos a reação (Momento) no ponto A , cujo
                  A
                      2
                   ql
valor será igual a 2 no sentido anti-horário. A reação horizontal H , a
                                                                   A



exemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não existir,
conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possua
componente de força atuando na direção horizontal. Fazendo ΣF = 0      V


encontramos a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e
25




que possui o valor R = ql kg, com direção vertical e sentido de baixo para
                                A


cima.
    Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do
                                  − ql
                                    2     2
                                             qx
Momento Fletor é dada por M ( x) = 2 + qlx − 2 . Vemos que esta função é do
segundo grau e possui um máximo.
Derivando esta função M(x), encontramos a função que nos dá o Esforço
Cortante ao longo da viga, qual seja Q( x) = ql − qx

     Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, para encontrarmos os
valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da viga), basta
                      l
encontrarmos M(0), M( 2 ),e M(l). Ao fazermos isto, encontramos os valores
          − ql 2   l   − ql 2
M (0) =, M ( 2 ) = 8 e M (l ) = 0 .
            2
      Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola,
conforme já dito, podemos elaborar o diagrama seguinte:


DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
26




    Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabemos que Q(x) é uma f(x)
de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será representado por
                                                               l
segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), Q( 2 ) e Q(l)
                                            ql
encontramos respectivamente os valores ql, 2 e 0. Convém ressaltar que,
para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluímos
que o valor do esforço Cortante no meio da viga será sempre igual à
metade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).
27




DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE




VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR
28




      Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q
kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser
nulo em B.
                                                                     2
                                                                    ql
     Aplicando as equações ∑ M = 0 e F = 0 obtemos os valores de M = 6 e
                               A     V                           A

       ql
RA = . Convém notar que o valor de R é numericamente igual à área do
       2
                                     A


triângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total que
atua na viga. Carregamento este que poderia ser substituído por uma
                                       l
força concentrada à uma distância 3 de A(Centro de Gravidade do
Triângulo).
29




     Para facilitar os nossos cálculos, façamos a origem do eixo x coincidir
com o ponto B.
     Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A,
                                                 qx
a altura do triângulo será igual a uma carga q = l , já que o triângulo maior
                                                  1


de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual
                 q l
a q e base x (
   1
                q1
                  = ).
                    x


Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B teremos:
       3             2
           qx             qx
M ( x) = −
            6l
               e Q( x) = − 2l , sendo esta última função obtida ao derivarmos M(x).
             A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábola
cúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x)
                          qx
encontramos − l que é o valor de q a uma distância x do ponto B, como
                                        1


era de se esperar.

     Teremos no ponto A, neste caso, os valores máximos para o esforço
Cortante e o Momento Fletor. Estes valores serão, respectivamente,
          ql 2
               ql
iguais a − 6 e 2 conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento
30




                  ql 2                       − ql                                     l
Fletor será   −
                  48
                         e valor de Q será    8     , encontrados ao calcularmos M.( 2 ) e
    l
Q ( 2)

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE




DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
31




CONCLUSÃO

  Esperamos ter contribuído para a difundir o assunto abordado.
32




      Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação dos
carregamentos vistos neste estudo, podemos usar o Principio da
Superposição dos Efeitos.
     Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, que
fez uso do programa Auto-CAD 2000 para confeccioná-los.


BIBLIOGRAFIA

-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção
Schaum, Editora McGraw- Hill

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosResistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Moreira1972
 
Mecânicas dos Solos (exercícios)
Mecânicas dos Solos (exercícios)Mecânicas dos Solos (exercícios)
Mecânicas dos Solos (exercícios)
Danilo Max
 
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
danielceh
 
Hidrostática
HidrostáticaHidrostática
Hidrostática
Marco Antonio Sanches
 
Aula diagramas
Aula diagramasAula diagramas
Aula diagramas
Roseno11
 
Exercicios resolvidos resmat
Exercicios resolvidos resmatExercicios resolvidos resmat
Exercicios resolvidos resmat
Marinaldo Junior
 
Pêndulo físico
Pêndulo físicoPêndulo físico
Pêndulo físico
Erick Fernandes
 
Leis de newton exercícios
Leis de newton exercíciosLeis de newton exercícios
Leis de newton exercícios
fisica_prefederal
 
E flexao pura
E   flexao puraE   flexao pura
FLEXÕES
FLEXÕESFLEXÕES
FLEXÕES
Eduardo Spech
 
Seção 4 momento de força
Seção 4   momento de forçaSeção 4   momento de força
Seção 4 momento de força
jpsmartinss
 
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Afonso Celso Siqueira Silva
 
Lista para estudo prova i
Lista para estudo prova iLista para estudo prova i
Lista para estudo prova i
Janaina Carvalho
 
Equações transcendentais e a função Lambert
Equações transcendentais e a função LambertEquações transcendentais e a função Lambert
Equações transcendentais e a função Lambert
Pedro Barros Neto
 
Mec solos exercícios resolvidos
Mec solos exercícios resolvidosMec solos exercícios resolvidos
Mec solos exercícios resolvidos
Adriana Inokuma
 
HIPERESTÁTICA
HIPERESTÁTICAHIPERESTÁTICA
HIPERESTÁTICA
Thabata Fonseca
 
Exercícios resolvidos eletro
Exercícios resolvidos eletroExercícios resolvidos eletro
Exercícios resolvidos eletro
zeu1507
 
96893253 tabela-centroides-de-areas
96893253 tabela-centroides-de-areas96893253 tabela-centroides-de-areas
96893253 tabela-centroides-de-areas
João Ferreira
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
Jennifer Luiene Machado
 
2 fluxo bidimensional novo
2   fluxo bidimensional novo2   fluxo bidimensional novo
2 fluxo bidimensional novo
raphaelcava
 

Mais procurados (20)

Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosResistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
 
Mecânicas dos Solos (exercícios)
Mecânicas dos Solos (exercícios)Mecânicas dos Solos (exercícios)
Mecânicas dos Solos (exercícios)
 
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...
 
Hidrostática
HidrostáticaHidrostática
Hidrostática
 
Aula diagramas
Aula diagramasAula diagramas
Aula diagramas
 
Exercicios resolvidos resmat
Exercicios resolvidos resmatExercicios resolvidos resmat
Exercicios resolvidos resmat
 
Pêndulo físico
Pêndulo físicoPêndulo físico
Pêndulo físico
 
Leis de newton exercícios
Leis de newton exercíciosLeis de newton exercícios
Leis de newton exercícios
 
E flexao pura
E   flexao puraE   flexao pura
E flexao pura
 
FLEXÕES
FLEXÕESFLEXÕES
FLEXÕES
 
Seção 4 momento de força
Seção 4   momento de forçaSeção 4   momento de força
Seção 4 momento de força
 
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
 
Lista para estudo prova i
Lista para estudo prova iLista para estudo prova i
Lista para estudo prova i
 
Equações transcendentais e a função Lambert
Equações transcendentais e a função LambertEquações transcendentais e a função Lambert
Equações transcendentais e a função Lambert
 
Mec solos exercícios resolvidos
Mec solos exercícios resolvidosMec solos exercícios resolvidos
Mec solos exercícios resolvidos
 
HIPERESTÁTICA
HIPERESTÁTICAHIPERESTÁTICA
HIPERESTÁTICA
 
Exercícios resolvidos eletro
Exercícios resolvidos eletroExercícios resolvidos eletro
Exercícios resolvidos eletro
 
96893253 tabela-centroides-de-areas
96893253 tabela-centroides-de-areas96893253 tabela-centroides-de-areas
96893253 tabela-centroides-de-areas
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
2 fluxo bidimensional novo
2   fluxo bidimensional novo2   fluxo bidimensional novo
2 fluxo bidimensional novo
 

Semelhante a Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas

Fisica 1 exercicios gabarito 23
Fisica 1 exercicios gabarito 23Fisica 1 exercicios gabarito 23
Fisica 1 exercicios gabarito 23
comentada
 
Lista 01 lei-de_coulomb-111
Lista 01 lei-de_coulomb-111Lista 01 lei-de_coulomb-111
Lista 01 lei-de_coulomb-111
iagolirapassos
 
Teoria res mat_uff
Teoria res mat_uffTeoria res mat_uff
Teoria res mat_uff
Alexandre Paiva
 
Resistência dos materiais
Resistência dos materiaisResistência dos materiais
Resistência dos materiais
Andrew Cass
 
Aula eliane1 0204
Aula eliane1 0204Aula eliane1 0204
Aula eliane1 0204
Leonardo Ferreira
 
1º lista de exercícios
1º lista de exercícios 1º lista de exercícios
1º lista de exercícios
Wanderson Francy Dos Santos
 
flexao.pdf
flexao.pdfflexao.pdf
1listadeexercicios1ano2 b
1listadeexercicios1ano2 b1listadeexercicios1ano2 b
1listadeexercicios1ano2 b
CarlosPimentelGeocientista
 
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdfElite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
RobertoNeiva2
 
Flexibilidade
FlexibilidadeFlexibilidade
Flexibilidade
Micael Oliveira
 
2_conceitos na hidráulica.ppt
2_conceitos na hidráulica.ppt2_conceitos na hidráulica.ppt
2_conceitos na hidráulica.ppt
BethMonteiroVidal
 
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
belinharieper
 
Professor helanderson sousa
Professor helanderson sousaProfessor helanderson sousa
Professor helanderson sousa
Dayanne Sousa
 
Ita 2012 - prova
Ita   2012 - provaIta   2012 - prova
Ita 2012 - prova
fisicajuniorgv
 
Ita 2012 - prova
Ita   2012 - provaIta   2012 - prova
Ita 2012 - prova
fisicajuniorgv
 
Fisica 2014 tipo_a
Fisica 2014 tipo_aFisica 2014 tipo_a
Fisica 2014 tipo_a
Carol Monteiro
 
Fuvest 1999 - 2º fase - física
Fuvest   1999 - 2º fase - físicaFuvest   1999 - 2º fase - física
Fuvest 1999 - 2º fase - física
Simone Rocha
 
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrauAula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
Adriano Silva
 
1º simulado periódico 2016 física
1º simulado periódico 2016   física1º simulado periódico 2016   física
1º simulado periódico 2016 física
Gustavo Mendonça
 
Física - Lei de Coulomb
Física - Lei de CoulombFísica - Lei de Coulomb
Física - Lei de Coulomb
Thiago Santiago
 

Semelhante a Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas (20)

Fisica 1 exercicios gabarito 23
Fisica 1 exercicios gabarito 23Fisica 1 exercicios gabarito 23
Fisica 1 exercicios gabarito 23
 
Lista 01 lei-de_coulomb-111
Lista 01 lei-de_coulomb-111Lista 01 lei-de_coulomb-111
Lista 01 lei-de_coulomb-111
 
Teoria res mat_uff
Teoria res mat_uffTeoria res mat_uff
Teoria res mat_uff
 
Resistência dos materiais
Resistência dos materiaisResistência dos materiais
Resistência dos materiais
 
Aula eliane1 0204
Aula eliane1 0204Aula eliane1 0204
Aula eliane1 0204
 
1º lista de exercícios
1º lista de exercícios 1º lista de exercícios
1º lista de exercícios
 
flexao.pdf
flexao.pdfflexao.pdf
flexao.pdf
 
1listadeexercicios1ano2 b
1listadeexercicios1ano2 b1listadeexercicios1ano2 b
1listadeexercicios1ano2 b
 
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdfElite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
Elite_Resolve_ITA_2015_Fisica.pdf
 
Flexibilidade
FlexibilidadeFlexibilidade
Flexibilidade
 
2_conceitos na hidráulica.ppt
2_conceitos na hidráulica.ppt2_conceitos na hidráulica.ppt
2_conceitos na hidráulica.ppt
 
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
9 Anos - Trabalho, Potência e Energia Mecânica..pptx
 
Professor helanderson sousa
Professor helanderson sousaProfessor helanderson sousa
Professor helanderson sousa
 
Ita 2012 - prova
Ita   2012 - provaIta   2012 - prova
Ita 2012 - prova
 
Ita 2012 - prova
Ita   2012 - provaIta   2012 - prova
Ita 2012 - prova
 
Fisica 2014 tipo_a
Fisica 2014 tipo_aFisica 2014 tipo_a
Fisica 2014 tipo_a
 
Fuvest 1999 - 2º fase - física
Fuvest   1999 - 2º fase - físicaFuvest   1999 - 2º fase - física
Fuvest 1999 - 2º fase - física
 
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrauAula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrau
 
1º simulado periódico 2016 física
1º simulado periódico 2016   física1º simulado periódico 2016   física
1º simulado periódico 2016 física
 
Física - Lei de Coulomb
Física - Lei de CoulombFísica - Lei de Coulomb
Física - Lei de Coulomb
 

Mais de danielceh

Cronologia Sobralense volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
Cronologia Sobralense  volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04Cronologia Sobralense  volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
Cronologia Sobralense volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
danielceh
 
Ahnentafel Chart de Angela von Halle
Ahnentafel  Chart de Angela von HalleAhnentafel  Chart de Angela von Halle
Ahnentafel Chart de Angela von Halle
danielceh
 
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
danielceh
 
Guia do aluno colégio sobralense - 2005
Guia do aluno   colégio sobralense - 2005Guia do aluno   colégio sobralense - 2005
Guia do aluno colégio sobralense - 2005
danielceh
 
A Familia Paula Pessoa
A Familia Paula PessoaA Familia Paula Pessoa
A Familia Paula Pessoa
danielceh
 
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
danielceh
 
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
danielceh
 
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
danielceh
 
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
danielceh
 
A familia cavalcanti(e)
A familia cavalcanti(e)A familia cavalcanti(e)
A familia cavalcanti(e)
danielceh
 
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
danielceh
 
O Cartaz da OBMEP 2011
O Cartaz da OBMEP 2011O Cartaz da OBMEP 2011
O Cartaz da OBMEP 2011
danielceh
 

Mais de danielceh (12)

Cronologia Sobralense volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
Cronologia Sobralense  volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04Cronologia Sobralense  volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
Cronologia Sobralense volume 5 de 1911 a 1950 parte 02 de 04
 
Ahnentafel Chart de Angela von Halle
Ahnentafel  Chart de Angela von HalleAhnentafel  Chart de Angela von Halle
Ahnentafel Chart de Angela von Halle
 
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
Cronologia Sobralense - Volume 5 (de 1911 a 1950) parte 01 de 04
 
Guia do aluno colégio sobralense - 2005
Guia do aluno   colégio sobralense - 2005Guia do aluno   colégio sobralense - 2005
Guia do aluno colégio sobralense - 2005
 
A Familia Paula Pessoa
A Familia Paula PessoaA Familia Paula Pessoa
A Familia Paula Pessoa
 
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
Apostila de Fíisica do Colégio Geo Sobralense 1998
 
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
Álbum Fotos Turma Humaitá Escola Naval 1974
 
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
A Familia Saboia (Saboya) Versão de Maio de 2011
 
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
Cronologia-1960-2011 Versão de Maio de 2011
 
A familia cavalcanti(e)
A familia cavalcanti(e)A familia cavalcanti(e)
A familia cavalcanti(e)
 
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
A Familia Ferreira da Ponte(versão completa)
 
O Cartaz da OBMEP 2011
O Cartaz da OBMEP 2011O Cartaz da OBMEP 2011
O Cartaz da OBMEP 2011
 

Último

Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Centro Jacques Delors
 
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.pptNR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
Vanessa F. Rezende
 
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
LuizHenriquedeAlmeid6
 
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da químicaTEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
VictorEmanoel37
 
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
mozalgebrista
 
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptxLicao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
jetroescola
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Luzia Gabriele
 
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdfGuia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
FLAVIOROBERTOGOUVEA
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
shirleisousa9166
 
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Mary Alvarenga
 
Seminário de Gestão Pública e Defesa Civil
Seminário de Gestão Pública e Defesa CivilSeminário de Gestão Pública e Defesa Civil
Seminário de Gestão Pública e Defesa Civil
EduardoLealSilva
 
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptxIV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
Ligia Galvão
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
felipescherner
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mary Alvarenga
 
Ideais do Ministério jovem Adventista pdf
Ideais do Ministério jovem Adventista pdfIdeais do Ministério jovem Adventista pdf
Ideais do Ministério jovem Adventista pdf
Anesio2
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFVRegistros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
Yan Kayk da Cruz Ferreira
 
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1) educação infantil fu...
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1)  educação infantil fu...1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1)  educação infantil fu...
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1) educação infantil fu...
antonio carlos
 

Último (20)

Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
 
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.pptNR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
NR-12-Treinamento-Maquinas-Rotativas.ppt
 
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
 
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da químicaTEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
TEORIAS UECE.pdf química geral nome de cientistas famosos da química
 
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
Resolução do Exame de Biologia UEM - 2008.
 
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptxLicao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
Licao de adultos Topico 1 CPAD edit.pptx
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdfGuia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
 
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
 
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA .
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA                .TALENTOS DA NOSSA ESCOLA                .
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA .
 
Seminário de Gestão Pública e Defesa Civil
Seminário de Gestão Pública e Defesa CivilSeminário de Gestão Pública e Defesa Civil
Seminário de Gestão Pública e Defesa Civil
 
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptxIV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
IV Jornada Nacional Tableau - Apresentações.pptx
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
 
RECORDANDO BONS MOMENTOS! _
RECORDANDO BONS MOMENTOS!               _RECORDANDO BONS MOMENTOS!               _
RECORDANDO BONS MOMENTOS! _
 
Ideais do Ministério jovem Adventista pdf
Ideais do Ministério jovem Adventista pdfIdeais do Ministério jovem Adventista pdf
Ideais do Ministério jovem Adventista pdf
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFVRegistros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
Registros da 8ª edição da FECINTEC - AFV
 
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1) educação infantil fu...
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1)  educação infantil fu...1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1)  educação infantil fu...
1°ao5°ano_HISTÓRIA_ORGANIZADOR CURRICULAR BIMESTRAL (1) educação infantil fu...
 

Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas

  • 1. Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A. CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Engenharia Civil e Ambiental Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas Sobral - Ce – 2012
  • 2. 2 SUMÁRIO CONTEÚDO PÁGINA INTRODUÇÃO 03 CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA 04 UNIDADES ADOTADAS 04 VIGA BIAPOIADA COM CARGA 04 UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA VIGA BIAPOIADA COM CARGA 07 CONCENTRADA VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 09 CONCENTRADA NA EXTREMIDADE
  • 3. 3 VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 10 UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 12 TRIANGULAR CONCLUSÃO 13 BIBLIOGRAFIA 14
  • 4. 4 INTRODUÇÃO Podemos afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e as Engenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e outras - estão intimamente associados. No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importância fundamental. Podemos dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor submete as seções transversais de uma viga comum a esforços de tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas seções a Tensões de Cisalhamento. Portanto, ao efetuarmos o dimensionamento de uma viga, quer seja esta feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro material apropriado, devemos dividir esta tarefa em duas etapas.
  • 5. 5 A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que atuam na estrutura; em outras palavras: devemos achar o maior valor do Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam na viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa é fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser verificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistir aos esforços solicitantes. O Cálculo Diferencial e Integral nos permite encontrar as funções do Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção da viga. Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para determinado trecho de uma viga, ao derivarmos esta função encontraremos outra f(x) que nos dá, desta vez, o Esforço Cortante para o trecho considerado. Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia, porque preferiu, antes, buscar os conhecimentos adquiridos nos bancos escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual Vale do Acaraú mais uma a opção de material didático. Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.
  • 6. 6 Omnia mecum porto. Sobral, Ce, maio de 2012, Daniel Caetano de Figueiredo (*) (*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.
  • 7. 7 CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, quer esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende a imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será considerado negativo.Ao colocarmos os valores encontrados no D.M.F. (Diagrama do Momento Fletor), teremos, por convenção, Momento Fletor com valor negativo acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x. Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cima a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar para baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o valor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a
  • 8. 8 parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a parte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o Esforço Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os valores positivos de Q ficam acima do eixo x e os valores negativos ficam abaixo de do eixo x. UNIDADES ADOTADAS Sabemos que a força que atua em um corpo de massa 1,0 m quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 s na mesma direção e 2 sentido da força, equivale a 1,0 Newton. Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N m em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 s (valor médio aceito 2 para toda a superfície da Terra) podemos, para efeitos didáticos e por praticidade, substituírmos a unidade Newton(unidade de força) por
  • 9. 9 kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa 1,0 kg pesa 1,0 Kgf. Com relação à unidade de comprimento, adotamos o metro, comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas. Veremos, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas comumente usadas. VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
  • 10. 10 Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente kg distribuída de q m e apoiada em A e B Para o cálculo das reações de apoio, aplicamos primeiramente a equação ∑ M = 0 e encontramos o valor de R ; em seguida aplicamos ΣF = 0 A B V ql e encontramos a reação R ; os valores das duas reações são iguais a 2 , A como era de se esperar(o carregamento é simétrico em relação a uma seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima. Consideremos agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e distante x metros do apoio A.
  • 11. 11 Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é 2 qx dado pela função M ( x) = R x − 2 que é uma função do segundo grau em x. A Derivando esta f(x) obtemos a função do Esforço Cortante, que será do primeiro grau e a mesma nos permitirá calcular o Esforço Cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A. Sendo assim, teremos: dM ( x) = Q( x) = R A − qx dx l Devemos notar que esta função Q(x) se anula em x= 2 e também dQ( x) convém ressaltar que dx = −q . Em outras palavras: a função derivada de Q(x) nos fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que podemos, também, percorrermos o caminho inverso, qual seja, dadas as cargas encontramos a função Q(x) por integração; integrando esta, obtemos M(x). Conforme nos ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de existir,
  • 12. 12 constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de mínimo, ponto de inflexão ou a função inexiste neste ponto crítico). Derivando mais uma vez M (x) encontramos a sua derivada de segunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabemos então que no meio da viga teremos um valor máximo(positivo) para o momento fletor e 2 2 ql ql este valor será igual a 8 . Citado valor( 8 ) foi encontrado ao calcularmos l M( ) 2 . Devemos observar que na seção central da viga o valor do Esforço Cortante é nulo. Temos ainda de ressaltar os valores nos extremos da viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é ql ql máximo, possuindo valores iguais a 2 e − 2 , nos pontos A e B, respectivamente. Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para entendermos estes gráficos devemos recorrer à convenção usualmente adotada para representá-los.
  • 13. 13 DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.) DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR(D.M.F.)
  • 14. 14 Analisaremos em seguida o caso de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada. VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA
  • 15. 15 Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto situado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A, conforme a figura. Pa Aplicamos a equação ∑ M A =0 e encontramos RB = l ; em seguida Pb fazemos ∑ F = 0 e encontramos R = l . A direção das reações é a direção V A vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
  • 16. 16 Consideremos agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga, distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P. Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor do momento fletor é dado pela função M ( x) = R x que é uma f(x) do primeiro A grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado por segmentos de retas inclinadas em relação ao eixo x. Derivando M(x) obtemos a função do Esforço Cortante, Q( x) = R sendo A esta de grau zero(função constante) e nos permitirá calcular o esforço cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trecho compreendido entre A e o ponto de aplicação da força P. Sabemos portanto que: dM ( x) = Q( x) = R A dx Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho compreendido entre entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.
  • 17. 17 Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será dado por segmentos paralelos ao eixo x. No caso em questão devemos também analisar o trecho compreendido entre a carga P e o apoio B. Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que M ( x) = R A x − P( x − a) Derivando esta função encontramos a Q(x) para o Esforço Cortante Q( x) = R − P , ou seja, será igual a − R A B No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa o Esforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor neste Pab ponto alcança seu valor máximo, igual a l . Queremos com isto ressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é necessariamente máximo no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questão ocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante também é máximo. Mas devemos atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da função Q(x) dá um salto de descontinuidade. Teremos a seguir os Diagramas do Momento Fletor e da Força Cortante.
  • 18. 18 DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR (D.M.F.) DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)
  • 19. 19 Analisaremos em seguida o caso de uma viga isostática simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua extremidade livre.
  • 20. 20 VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA EXTREMIDADE Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura. Para calcularmos as reações em A, reações estas que serão constituídas por um momento e uma força vertical, aplicaremos
  • 21. 21 primeiramente a equação ΣF = 0 , encontrando R = P ; em seguida usaremos V A ∑ M = 0 encontrando M = Pl kg.m no sentido anti-horário. A reação R possui A A A a direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigas anteriores, as reações de apoio horizontais serão nulas porque não existe nenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga. Peguemos agora uma seção S distante x metros do apoio A. Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por M ( x ) = − M + R x , ou M ( x) = − Pl + Px . A A Derivando M(x) encontraremos a função do Esforço Cortante, dada por Q( x) = + P . Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado por segmento paralelo ao eixo x. Com relação à função que representa o Momento da viga, em A teremos o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeiro grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação ao eixo x, variando do valor M ao valor 0 em B, conforme a figura abaixo. A A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira análoga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B é igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de descontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.
  • 22. 22 DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE
  • 23. 23 A seguir veremos o caso de uma viga com um engaste apenas só que, desta vez, seu carregamento será uniformemente distribuído. VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
  • 24. 24 Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q kg/m ao longo de seu vão. Usando as equações da Estática determinamos as reações de apoio. Assim, fazendo ∑ M = 0 encontramos a reação (Momento) no ponto A , cujo A 2 ql valor será igual a 2 no sentido anti-horário. A reação horizontal H , a A exemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não existir, conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possua componente de força atuando na direção horizontal. Fazendo ΣF = 0 V encontramos a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e
  • 25. 25 que possui o valor R = ql kg, com direção vertical e sentido de baixo para A cima. Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do − ql 2 2 qx Momento Fletor é dada por M ( x) = 2 + qlx − 2 . Vemos que esta função é do segundo grau e possui um máximo. Derivando esta função M(x), encontramos a função que nos dá o Esforço Cortante ao longo da viga, qual seja Q( x) = ql − qx Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, para encontrarmos os valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da viga), basta l encontrarmos M(0), M( 2 ),e M(l). Ao fazermos isto, encontramos os valores − ql 2 l − ql 2 M (0) =, M ( 2 ) = 8 e M (l ) = 0 . 2 Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola, conforme já dito, podemos elaborar o diagrama seguinte: DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
  • 26. 26 Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabemos que Q(x) é uma f(x) de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será representado por l segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), Q( 2 ) e Q(l) ql encontramos respectivamente os valores ql, 2 e 0. Convém ressaltar que, para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluímos que o valor do esforço Cortante no meio da viga será sempre igual à metade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).
  • 27. 27 DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR
  • 28. 28 Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser nulo em B. 2 ql Aplicando as equações ∑ M = 0 e F = 0 obtemos os valores de M = 6 e A V A ql RA = . Convém notar que o valor de R é numericamente igual à área do 2 A triângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total que atua na viga. Carregamento este que poderia ser substituído por uma l força concentrada à uma distância 3 de A(Centro de Gravidade do Triângulo).
  • 29. 29 Para facilitar os nossos cálculos, façamos a origem do eixo x coincidir com o ponto B. Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A, qx a altura do triângulo será igual a uma carga q = l , já que o triângulo maior 1 de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual q l a q e base x ( 1 q1 = ). x Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B teremos: 3 2 qx qx M ( x) = − 6l e Q( x) = − 2l , sendo esta última função obtida ao derivarmos M(x). A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábola cúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x) qx encontramos − l que é o valor de q a uma distância x do ponto B, como 1 era de se esperar. Teremos no ponto A, neste caso, os valores máximos para o esforço Cortante e o Momento Fletor. Estes valores serão, respectivamente, ql 2 ql iguais a − 6 e 2 conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento
  • 30. 30 ql 2 − ql l Fletor será − 48 e valor de Q será 8 , encontrados ao calcularmos M.( 2 ) e l Q ( 2) DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
  • 31. 31 CONCLUSÃO Esperamos ter contribuído para a difundir o assunto abordado.
  • 32. 32 Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação dos carregamentos vistos neste estudo, podemos usar o Principio da Superposição dos Efeitos. Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, que fez uso do programa Auto-CAD 2000 para confeccioná-los. BIBLIOGRAFIA -NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill