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![INTEGRAL DEFINIDA
DEFINIÇÃO.
Sejam (𝑎 =)𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos, e
sejam 𝑥1
∗
, 𝑥2
∗
, … , 𝑥𝑛
∗
pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de
forma que 𝑥𝑖
∗
esteja no i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Então a integral
definida de f de a a b é:
𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑖
∗
∆𝑥
𝑛
𝑖=1
desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas
de pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em 𝑎, 𝑏 .
Se 𝑓 é uma função contínua definida em
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dividimos o intervalo 𝑎, 𝑏 em n
subintervalos de comprimentos iguais:
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛](https://image.slidesharecdn.com/matiiaula-2integral-definida-230815163910-42eaa5d3/85/mat_ii_aula-2_integral-definida-pdf-2-320.jpg)
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- 1. MATEMÁTICA II Profa. Dra.Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda@fcav.unesp.br
- 2. INTEGRAL DEFINIDA DEFINIÇÃO. Sejam (𝑎=)𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos, e sejam 𝑥1 ∗ , 𝑥2 ∗ , … , 𝑥𝑛 ∗ pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de forma que 𝑥𝑖 ∗ esteja no i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Então a integral definida de f de a a b é: 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥𝑖 ∗ ∆𝑥 𝑛 𝑖=1 desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em 𝑎, 𝑏 . Se 𝑓 é uma função contínua definida em 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dividimos o intervalo 𝑎, 𝑏 em n subintervalos de comprimentos iguais: ∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛
- 3. INTEGRAL DEFINIDA OBSERVAÇÃO 1.O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral. • Ele é um 𝑆 alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite de somas. • Na notação 𝒇(𝒙) é chamado integrando; 𝒂 e 𝒃 são ditos limites de integração, sendo 𝒂 o limite inferior e 𝒃 o limite superior. 𝒅𝒙 indica que a variável dependente é 𝑥. • O procedimento de calcular a integral é chamado integração. 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙
- 4. INTEGRAL DEFINIDA OBSERVAÇÃO 2.A integral definida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 é um número; ela não depende de 𝑥. • Podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da integral: 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑏 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑟) 𝑏 𝑎 𝑑𝑟
- 5. INTEGRAL DEFINIDA OBSERVAÇÃO 3.A soma 𝑓(𝑥𝑖 ∗ )∆𝑥 𝑛 𝑖=1 é chamada soma de Riemann, em homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866). • Assim, a definição de integral definida de uma função integrável pode ser aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de Riemann. • Sabemos que se 𝑓 for positiva, então a soma de Riemann pode ser interpretada como uma soma de áreas de retângulos aproximantes. • A integral definida pode ser interpretada como a área sob a curva de a até b.
- 6. INTEGRAL DEFINIDA • Se𝑓 assumir valores positivos e negativos, então a soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e do oposto das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo 𝑥 (as áreas dos retângulos azuis menos as áreas dos retângulos amarelos). • Quando tomamos o limite dessas somas de Riemann, obtemos a situação ao lado. Uma integral definida pode ser interpretada como área resultante, isto é, a diferença das áreas: ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 𝑏 𝑎 onde 𝐴1 é a área da região acima do eixo 𝑥 e abaixo do gráfico de 𝑓 𝑥 , e 𝐴2 é a área da região abaixo do eixo 𝑥 e acima do gráfico de 𝑓.
- 7. INTEGRAL DEFINIDA Propriedades daIntegral Definida Quando definimos a integral definida , implicitamente assumimos que 𝑎 < 𝑏. • A definição dessa integral como o limite das somas de Riemann faz sentido mesmo que 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 . Se 𝒂 < 𝒃, então ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝟐 e com 𝑥𝑖 = 1 2 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 =ponto médio de 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 . Se 𝒂 > 𝒃, então ∆𝒙 = 𝒂−𝒃 𝟐 = − (𝒃−𝒂) 𝟐 e Se 𝒂 = 𝒃, então ∆𝒙 = 𝒂−𝒂 𝟐 = 𝟎 e 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒂 𝒅𝒙 = 𝟎 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙 𝒏 𝒊=𝟏 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒃 𝒅𝒙 = − 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙
- 8. INTEGRAL DEFINIDA Propriedade 1.Considere 𝑐 uma constante real fixa, então: 𝑐 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑏 − 𝑎 Exemplo: Considere 𝑐 = 3 no intervalo 𝟏, 𝟓 , então: 3 𝟓 𝟏 𝑑𝑥 = 3 𝟓 − 𝟏 = 3 4 = 12 𝑦 = 3 𝑥 𝑦 Note que temos um retângulo de base 5 − 1 = 4 e altura 3, logo: 𝐴 = 𝑏 ∙ = 4 ∗ 3 = 12
- 9. INTEGRAL DEFINIDA Propriedade 2.Sejam 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 funções integráveis em 𝑎, 𝑏 , então: 𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝒇 𝒙 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Exemplo: Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 no intervalo 𝟎, 𝟏 , então: 𝒙𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 = 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 + 𝑥 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟐 + 𝑥 𝑥 𝑦
- 10. INTEGRAL DEFINIDA Propriedade 3.Considere 𝑐 uma constante real fixa e 𝑓 𝑥 uma função integrável em 𝑎, 𝑏 , então: 𝒄 𝒇 𝒙 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝒄 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Exemplo: Determine a integral abaixo no intervalo 𝟎, 𝟏 , conderando ∫ 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 = 1 3 𝟑𝑥2 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 = 𝟑 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 = 𝟑 ⋅ 1 3 = 1 𝒙𝟐 𝟑𝒙𝟐 𝑥 𝑦
- 11. INTEGRAL DEFINIDA Propriedade 4.Considere 𝑓 𝑥 uma função integrável em 𝑎, 𝑏 e 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , então: 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 Exemplo: Sabe-se que ∫ 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟎 𝑑𝑥 = 17 e ∫ 𝑓 𝑥 𝟖 𝟎 𝑑𝑥 = 12 , determine ∫ 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟖 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝟖 𝟎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟖 𝑑𝑥 ⟹ 17 = 12 + 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟖 𝑑𝑥 ∴ 𝑓 𝑥 𝟏𝟎 𝟖 𝑑𝑥 = 17 − 12 = 5
- 12. INTEGRAL DEFINIDA Exercício1. Useas propriedades de integral para calcular ∫ (4 + 6𝑥2 ) 1 0 𝑑𝑥, considerando ∫ 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 = 1 3 Solução. 𝟒 + 𝟔𝑥2 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 𝑃2 = 𝟒 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 + 𝟔𝑥2 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 𝑃3 = 𝟒 𝑑𝑥 𝟏 𝟎 + 𝟔 𝑥2 𝟏 𝟎 𝑑𝑥 𝑃1 = 𝟒 𝟏 − 𝟎 + 𝟔 1 3 = 4 + 2 = 6
- 13. INTEGRAL DEFINIDA Propriedades Comparativas(PC) PC1. Se 𝑓 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então PC2. Se 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então PC3. Considere 𝑚 e 𝑀 constantes reais fixas. Se 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então 𝑚 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≥ 0 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥
- 14. TEOREMA FUNDAMENTAL DOCÁLCULO Exemplo: Use a propriedade PC3 para estimar o valor de ∫ 𝑒−𝑥2 1 0 𝑑𝑥, sabendo que 𝑒−1 ≅ 0,3679. Solução. Note que 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2 , então para • 𝑥 = 0, 𝑓 0 = 𝑒−02 = 1 = 𝑀 (máximo absoluto em 0,1 ) • 𝑥 = 1, 𝑓 1 = 𝑒−12 = 𝑒−1 = 0,3679 = 𝑚 (mínimo absoluto em 0,1 ) Utilizando a propriedade PC3 no intervalo 0,1 temos que: 𝑚 1 − 0 ≤ 𝑓 𝑥 1 0 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(1 − 0) 0,3679 1 − 0 ≤ 𝑒−𝑥2 1 0 𝑑𝑥 ≤ 1(1 − 0) 0,3679 ≤ 𝑒−𝑥2 1 0 𝑑𝑥 ≤ 1
- 15. INTEGRAL DEFINIDA Teorema Fundamentaldo Cálculo – Parte 1 (TFC1) Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então a função 𝐹 é definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑥 0 𝑑𝑡, 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 é contínua em 𝑎, 𝑏 , derivável em 𝑎, 𝑏 e 𝐹’ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . Exemplo. Encontre a derivada da função 𝐹 𝑥 = ∫ 1 + 𝑡2 𝑥 0 𝑑𝑡 Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2 é contínua, utilizando TFC1 temos que: 𝐹’ 𝑥 = 1 + 𝑥2
- 16. INTEGRAL DEFINIDA Teorema Fundamentaldo Cálculo – Parte 2 (TFC2) Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 , sendo 𝐹(𝑥) uma primitiva de 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Exemplo. Calcule ∫ 𝑒𝑥 3 1 𝑑𝑥 Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 é contínua em 1, 3 e uma primitiva de 𝑓 𝑥 é 𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥, então: 𝑒𝑥 3 1 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 1 3 = 𝐹 3 − 𝐹 1 = 𝑒3 − 𝑒
- 17. INTEGRAL DEFINIDA Exercício 2.Encontre a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1. Solução. Note que: • a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é contínua em 0, 1 • uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é 𝐹 𝑥 = 𝑥3 3 Assim, a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1 utilizando o TFC2 é: 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 0 1 = 𝐹 1 − 𝐹 0 = 13 3 − 03 3 = 1 3
- 18. INTEGRAL DEFINIDA Exercício 3.Determine ∫ 𝑑𝑥 𝑥 6 3 SOLUÇÃO: • Note que a função 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 é contínua em 3 , 6 , pelo TFC temos que: 1 𝑥 6 3 𝑑𝑥 = ln 𝑥 3 6 = ln 6 − ln 3 = ln 6 3 = ln 2 𝑦 𝑥
- 19. 𝑥 𝑦 INTEGRAL DEFINIDA Exercício 4.O que está errado com esse cálculo? 1 𝑥2 3 −1 𝑑𝑥 = 𝑥−1 −1 −1 3 = − 1 3 − 1 = − 4 3 Solução. 1 𝑥2 3 −1 𝑑𝑥 = 𝑥−2 3 −1 𝑑𝑥 = 𝑥−2+1 −2 + 1 −1 3 = 𝑥−1 −1 −1 3 = −𝑥−1 −1 3 = − 3−1 − −1 −1 = − 1 3 + 1 = − 1 3 − 1 = − 4 3 Note que: 1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 mas ∫ 𝑓 𝑥 < 0 3 −1 , logo não atende a Propriedade PC1. 2. O TFC aplica-se a funções contínuas e ele não poder ser aplicado, pois temos uma descontinuidade da função 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 no intervalo −1, 3 . Portanto não é possível determinar a integral ∫ 1 𝑥2 3 −1 𝑑𝑥.
- 20. INTEGRAL DEFINIDA Exercício deAplicação. Calcule o centro de massa de uma placa semicircular de raio 𝑟, sabendo que o centro de massa da placa está localizado no ponto 𝒙 = 1 𝐴 𝑥𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑒 𝑦 = 1 2𝐴 𝑓 𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 SOLUÇÃO. Note que: 𝑓 𝑥 = 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 = 1 2 𝜋𝑟2
- 21. INTEGRAL DEFINIDA SOLUÇÃO.𝑓 𝑥= 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 = 1 2 𝜋𝑟2 O centro de massa deve estar sobre o eixo y, assim: 𝒙 = 0 𝑦 = 1 2𝐴 𝑓 𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 1 2 1 2 𝜋𝑟2 𝑟2 − 𝑥2 2 𝑟 −𝑟 𝑑𝑥 = = 2 2 1 2 𝜋𝑟2 ∫ 𝑟2 − 𝑥2 2 𝑟 0 𝑑𝑥 = 2 𝜋𝑟2 ∫ 𝑟2 − 𝑥2 𝑟 0 𝑑𝑥 = = 2 𝜋𝑟2 𝑟2 ∫ 𝑑𝑥 𝑟 −𝑟 − ∫ 𝑥2𝑑𝑥 𝑟 −𝑟 = 2 𝜋𝑟2 𝑟2𝑥 − 𝑥3 3 0 𝑟 = = 2 𝜋𝑟2 𝑟2 𝑟 − 𝑟3 3 − 𝑟2 0 − 03 3 = 2 𝜋𝑟2 𝑟3 − 𝑟3 3 = 2 𝜋𝑟2 2𝑟3 3 = 4𝑟 3𝜋 Logos, o centro de massa está localizado no ponto 0, 4𝑟 3𝜋