Este documento apresenta os conceitos fundamentais da integral definida ou integral de Riemann. Descreve o processo de partição de intervalos, a soma de Riemann e como o limite desta soma quando o tamanho máximo dos intervalos tende a zero define a integral definida. Apresenta também propriedades e teoremas importantes como o Teorema Fundamental do Cálculo.

1. Prof.Irã Assis Rocha Página 1
3 –INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN
3.1 – PARTIÇÃO
Seja dado o intervalo fechado [ ]
b
,
a . Uma partição de [ ]
b
,
a , é o conjunto :
{ }
x
,
x
,
...
,
x
,
x
,
...
,
x
,
x
,
x
P n
1
-
n
i
1
i
2
1
0 -
=
onde se tem : b
x
x
...
x
x
...
x
x
x
a n
1
-
n
i
1
i
2
1
0 =
<
<
<
<
<
<
<
<
= -
Vamos exemplificar , como ficaria uma partição com 8 pontos do intervalo [ ]
b
,
a indicado na
Uma partição determina n intervalos fechados do tipo [ ] n
...,
,
3
,
2
,
1
i
x
,
x i
1
-
i = . A amplitude de
cada um dos i-ésimos indicamos por 1
i
i
i x
x
x -
-
=
D . As amplitude da partição definem por :
{ } n
i
1
,
x
máx i £
£
D
3.2 – SOMA DE RIEMANN
Seja f uma função definida no intervalo fechado [ ]
b
,
a e seja P uma partição qualquer de [ ]
b
,
a . A
soma de Riemann da função f com respeito a esta partição indicamos por :
n
n
3
3
2
2
1
1
n
1
i
i
i x
)
c
(
f
...
x
)
c
(
f
x
)
c
(
f
x
)
c
(
f
x
)
c
(
f D
+
+
D
+
D
+
D
=
D
å
=
onde cada i
c é escolhido arbitrariamente em cada [ ]
x
,
x i
1
-
i .
Vamos exemplificar a soma de Riemann de uma função f, definida num intervalo [ ]
b
,
a ,com uma
partição de 8 pontos .
Geometricamente , cada parcela da soma de Riemann coincide com um retângulo i
R , cuja a base é i
x
D
e a altura é )
c
(
f i , assim a área do retângulo i
R será i
i x
)
c
(
f D , quando 0
)
c
(
f i > ou será
i
i x
)
c
(
f D
- , quando 0
)
c
(
f i < .
b
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a 8
7
6
5
4
3
2
1
0 =
=

2. Prof.Irã Assis Rocha Página 2
3.3 – INTEGRAL DE RIEMANN OU INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função definida em [ ]
b
,
a e L um número real. Dizemos que å
=
D
n
1
i
i
i x
)
c
(
f tende a L ,
quando o 0
x
máx i ®
D e indicamos por
L
x
)
c
(
f
n
1
i
i
i
0
x
máx
lim
i
=
D
å
=
®
D
se para todo å > 0 , existir ä>0 , que só depende de å mas não da particular escolha dos i
c , tal que
ú
û
ú
ê
ë
ê
-
D
å
=
L
x
)
c
(
f
n
1
i
i
i < å
para toda partição de [ ]
b
,
a , com i
x
máxD < d . O número real L quando existe , é único , e é
chamado : INTEGRAL DEFINIDA DE f no intervalo [ ]
b
,
a . Indicaremos o número L por:
ò
=
b
a
dx
)
x
(
f
L
Exemplo – 1 Verifique que a função constante f(x) =c definida no intervalo [ ]
b
,
a , é integrável e que
vale : ( )
ò =
b
a
a
-
b
c
dx
c .
De fato , para qualquer partição de [ ]
b
,
a , a soma de Riemann é da forma :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
a
b
c
x
x
c
x
x
x
x
...
x
x
x
x
x
x
c
x
)
c
(
f
0
n
1
n
n
1
n
2
n
2
3
1
2
0
1
n
1
i
i
i
-
=
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
=
D -
-
-
=
å
portanto , )
a
b
(
c
)
a
b
(
c
x
)
c
(
f
n
1
i
0
x
máx
n
1
i
i
i
0
x
máx
lim
lim i
i
-
=
-
=
D å
å =
®
D
=
®
D
. Assim f(x)=c definida em
[ ]
b
,
a é integrável e vale : )
a
b
(
c
cdx
b
a
-
=
ò .
Exemplo –2 O exemplo – 1 nos garante os seguintes exercícios : calcular
[ ]
[ ] 20
)
1
3
(
5
)
1
(
3
5
dx
5
)
c
3
)
0
3
.(
1
dx
.
1
dx
)
b
12
)
2
2
.(
3
)
2
(
2
.
3
dx
3
)
a
3
1
3
0
3
0
2
2
-
=
+
-
=
-
-
-
=
-
=
-
=
=
=
+
=
-
-
=
ò
ò
ò
ò
-
-
Existem funções que não são Riemann integráveis , como mostra o seguinte :
Exemplo – 3 - Seja função f definida no intervalo [ ]
1
,
0
[ ]
[ ]
î
í
ì
Ï
Î
=
0,1
Q
se
0
0,1
Q
se
1
)
x
(
f
I
I
. Temos que f
não é integrável segundo Riemann em [ ]
1
,
0 , pois para um partição qualquer de [ ]
1
,
0 temos :

3. Prof.Irã Assis Rocha Página 3
[ ]
[ ]
ï
î
ï
í
ì
Ï
Î
=
D
=
D å
å =
=
1
,
0
Q
c
se
0
1
,
0
Q
c
se
1
x
x
)
c
(
f
i
i
n
1
i
i
n
1
i
i
i
I
I
e nesse caso teríamos 1
x
)
c
(
f
n
1
i
i
i
0
x
máx
lim
i
=
D
å
=
®
D
ou 0
x
)
c
(
f
n
1
i
i
i
0
x
máx
lim
i
=
D
å
=
®
D
, o que confirma que tal função não é integrável segundo Riemann em
[ ]
1
,
0 .
3.4 – PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
I – 1 ò =
a
a
0
dx
)
x
(
f
I – 2 ò
ò -
=
a
b
b
a
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
I – 3 Se f é integrável em [ ]
b
,
a e f(x) 0 para todo xÎ[ ]
b
,
a então ò ³
b
a
0
dx
)
x
(
f
I– 4 Se f é integrável em [ ]
b
,
a e f(x) 0 para todo xÎ[ ]
b
,
a então ò £
b
a
0
dx
)
x
(
f
I– 5 Seja cÎ[ ]
b
,
a e f uma função integrável em [ ]
c
,
a , [ ]
b
,
c e em [ ]
b
,
a , então vale :
ò ò
ò +
=
c
a
b
c
b
a
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
I – 6 Se f e g são integráveis em [ ]
b
,
a e a é um número real então vale :
[ ] ò ò
ò a
+
=
a
+
b
a
b
a
b
a
dx
)
x
(
g
f(x)dx
dx
)
x
(
g
)
x
(
f
3.5 - 1 º TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Se f é uma função integrável em [ ]
b
,
a e se F é uma primitiva de f em [ ]
b
,
a , então vale :
[ ] )
a
(
F
)
b
(
F
)
x
(
F
dx
)
x
(
f
b
a
b
a -
=
=
ò .
A demonstração deste teorema baseia-se nos seguintes teoremas:
a) O teorema do Valor médio : Se f é contínua em [ ]
b
,
a então existe ] [
b
,
a
c Î tal que
( )
a
b
)
c
(
f
)
a
(
f
)
b
(
f -
¢
=
-
b) f admite primitiva F em [ ]
b
,
a .
c) Função continua é integrável em [ ]
b
,
a .
Esse resultado é conhecido como o 1º Teorema Fundamental do Cálculo que passaremos a aplicar.
Exemplo – 1 – Calcule as integrais definidas.
ò
-
2
1
dx
4
)
a
Temos então que uma primitiva para f(x) = 4 é F(x)=4x então:

4. Prof.Irã Assis Rocha Página 4
( ) ( ) 2
ln
2
3
7
1
ln
3
1
2
ln
2
3
2
x
ln
2
3
x
dx
x
2
x
,
logo
x
ln
2
3
x
F(x)
é
x
2
x
f(x)
de
pimitiva
Uma
dx
x
2
x
)
c
3
3
2
1
3
2
1
2
3
2
2
1
2
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
+
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
ò
ò
( ) ( )
( )
( )
( )
12
37
12
12
3
28
1
4
1
3
7
1
3
1
4
1
3
8
1
1
3
1
2
1
3
2
x
1
3
x
dx
x
2
x
dx
x
2
x
,
Logo
x
1
3
x
2
x
2
3
x
F(x)
é
x
2
x
x
2
x
f(x)
de
primitiva
Uma
dx
x
2
x
)
d
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
3
2
2
1
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
2
1
3
2
=
-
+
=
-
+
=
-
-
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
-
-
=
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
ò
ò
ò
-
-
-
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
14
1
0
14
1
14
1
2
1
.
2
14
1
21
14
1
x
2
dx
1
-
2x
Assim
14
1
x
2
7
1
x
2
2
1
F(x)
é
1
-
2x
f(x)
de
primitiva
Uma
dx
1
-
2x
)
e
7
7
1
2
1
7
1
2
1
6
7
7
6
1
2
1
6
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é -
=
-
=
-
=
=
ò
ò
dx
)
x
2
cos(
2
)
x
4
sen(
3
1
)
f
0
ò
p
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
:
logo
),
x
2
sen(
)
x
4
cos(
12
1
-
F(x)
é
)
x
2
cos(
2
)
x
4
sen(
3
1
f(x)
de
primitiva
Uma -
=
-
=
( )
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
1
1
0
0
1
1
x
x
dx
1
-
2x
,
Logo
x
x
x
2
x
2
F(x)
é
1
-
2x
f(x)
de
primitiva
uma
dx
1
x
2
)
b
2
2
1
0
2
1
0
2
2
1
o
=
-
=
-
-
-
=
-
=
-
=
-
=
=
-
ò
ò
[ ] 12
4
8
)
1
.(
4
)
2
.(
4
x
4
dx
4
2
1
2
1
=
+
=
-
-
=
= -
-
ò

5. Prof.Irã Assis Rocha Página 5
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
p
ò )
.
2
sen(
)
.
4
cos(
12
1
)
x
2
sen(
)
x
4
cos(
12
1
-
dx
)
x
2
cos(
2
)
x
4
sen(
3
1
0
0
0
12
1
12
1
)
0
.
2
sen(
)
0
.
4
cos(
12
1
=
+
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
- .
3.6 –CÁLCULO DE ÁREAS
O nosso objetivo é definir área de subconjunto do plano utilizando a integral definida. Lembramos que
área é um número real que se associa a uma superfície.
Seja então f uma função integrável e positiva em [ ]
b
,
a , e seja A o subconjunto do plano limitado
pelas retas : x =a , x = b , y = 0 e pelo gráfico de y = f ( x ).
Para qualquer partição de [ ]
b
,
a em cada escolha i
i c
e
c os pontos de mínimo e de máximo ,
respectivamente de f em [ ] n
i
1
x
,
x i
1
-
i £
£ . Assim temos que :
å
å =
=
D
£
£
D
1
i
i
i
1
i
i
i x
)
c
(
f
áreadeA
x
)
c
(
f
Como f é integrável , temos que ò
å
å =
D
=
D
=
D
=
D
b
a
n
1
i
i
i
x
máx
n
1
i
i
i
x
máx
dx
)
x
(
f
x
)
c
(
f
x
)
c
(
f lim
lim i
i
,
independentemente da escolha de i
c , segue então que : ò
=
b
a
f(x)dx
A
de
área
Exemplo – 1 Calcular a área do conjunto A = { ( x , y ) Î /
2
x
y
0
e
1
x
0 £
£
£
£ }
Desenhando-se A temos:
[ ]
a
.
u
3
1
3
x
dx
x
A
de
área
:
assim
e
1
,
0
em
positiva
e
integrável
é
x
)
x
(
f
1
0
1
0
3
2
2
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
=
ò

6. Prof.Irã Assis Rocha Página 6
Se f é integrável em [ ]
b
,
a , mas f é negativa em [ ]
b
,
a então a área do conjunto A limitado pelas retas
x =a , x =b , y = 0 e pelo gráfico de f é :
ò
=
b
a
f(x)dx
-
A
de
área
Exemplo – 2 – Calcular a área do conjunto A sombreado na figura .
Na igualdade * a multiplicação por 2 vem do fato da simetria do conjunto em relação ao eixo o y .
Genericamente , se f é integrável em [ ]
b
,
a então área do conjunto A sob o gráfico de f é dado por:
dx
b
a
f(x)
a
d
f(x)dx
d
c
f(x)dx
c
a
f(x)dx
A
de
área ò
=
ò
+
ò
-
ò
=
Os pontos de intersecção da reta y = 0 e a parábola
4
x
y 2
-
= são obtidos por
î
í
ì
-
=
=
4
x
y
0
y
2
, assim
2
x
0
4
x2
±
=
Þ
=
-
Temos que 4
x
)
x
(
f 2
-
= é integrável e negativa em
[ ]
2
,
2
- e portanto :
( ) ( )
a
.
u
3
32
3
8
8
.
2
3
x
x
4
2.
dx
x
4
2
dx
4
x
A
de
área
2
0
3
2
0
2
*
2
2
-
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
=
-
=
-
-
= ò
ò

7. Prof.Irã Assis Rocha Página 7
Exemplo – 3 - Calcular a área de cada conjunto A sombreado na figura :
Se f e g são funções integráveis em [ ]
b
,
a , [ ]
b
,
a
x
,
)
x
(
g
)
x
(
f Î
"
£
seja o conjunto A limitado pelas retas x = a , x =b e pelos gráficos de f e g .
Então basta entender A como união de dois conjuntos disjuntos : 2
1 A
A
A U
= onde 1
A é limitado
pelas retas x = a , x= b , y =0 e pelo gráfico de f ; 2
A é limitado pelas retas x = a , x = b , y = 0 e pelo
gráfico de g . Assim podemos escrever :
[ ]dx
g(x)
f(x)
g(x)dx
f(x)dx
A
de
área
A
de
área
A
de
área
b
a
b
a
b
a
2
1 ò ò ò -
=
-
=
+
=
Exemplo - 4 – Calcular a área do conjunto sombreado na figura :
Resolvendo o sistema :
î
í
ì
-
-
=
-
=
1
x
2
y
4
x
y 2
temos que 0
3
x
2
x
1
x
2
4
x 2
2
=
-
+
Þ
-
-
=
-
Resolvendo-se a equação do 2 º grau :
ï
î
ï
í
ì
-
=
-
-
=
+
-
=
±
-
=
+
±
-
=
3
2
4
2
1
2
4
2
2
4
2
2
12
4
2
x
u.a
4
17
4
1
)
4
(
4
x
4
x
dx
x
dx
x
-
A
de
área
1
0
4
0
2
4
1
0
3
0
2
-
3
=
+
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
+
=
-
ò
ò

8. Prof.Irã Assis Rocha Página 8
Na faixa vertical 1
x
3 £
£
- , temos que : 4
x
1
x
2 2
-
£
-
- e portanto :
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( ) ( ) a
.
u
3
32
3
33
1
11
3
1
-
9
9
9
3
1
3
1
-
3
.
3
3
3
3
3
1
3
1
-
x
3
x
3
x
dx
3
x
2
x
-
dx
4
x
1
x
2
A
de
área
2
3
1
3
2
3
1
3
-
2
1
3
2
=
+
-
=
+
=
+
+
-
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
-
-
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
-
=
+
-
=
-
-
-
-
=
-
-
ò
ò
Consideremos agora um ponto material , que se desloca sobre trajetória retilínea com função posição
s= s(t) e velocidade v = v(t) , continua no intervalo [ ]
b
,
a . Então a diferença s(b) – s(a) é o
deslocamento do ponto material entre os instantes a e b . Mas s(t)=v(t) , isto é s = s(t) é primitiva de v =
v(t) , segue pelo teorema fundamental do cálculo que :
ò
=
-
b
a
dt
)
t
(
v
)
a
(
x
)
b
(
x
Por outro lado o espaço percorrido entre os instantes a e b é dt
)
t
(
v
b
a
ò , isto , é o espaço percorrido entre
os instantes a e b é numericamente igual a área sob o gráfico da velocidade .
Exemplo –5 – Seja (SI)
0
t
,
t
t
)
t
(
v 2
³
-
= a velocidade de uma partícula em trajetória retilínea .
Pede-se: a) Calcular o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e 2 s. b) Calcule o espaço percorrido
entre os instantes 0 e 2 s
Solução: observemos que o gráfico da velocidade é:
__
3.7 – MUDANÇA DA VARIÁVEL NA INTEGRAL
É possível demonstrar que toda função continua no intervalo I , admite neste intervalo uma primitiva F .
Usaremos este fato no seguinte teorema:
TEOREMA: Seja f continua em um intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquer em I . Seja a função
[ ] I
d
,
c
:
g ® com g ‘ continua em [ ]
d
,
c , tal que : g (c ) = a e g(d) = b . Nestas condições vale :
ò ò ¢
=
b
a
d
c
du
)
u
(
g
))
u
(
g
(
f
dx
)
x
(
f
v
t
1
2
0
a) O deslocamento entre 0 e 2 s é :
( ) m
3
2
t
2
1
t
3
1
dt
t
t
)
0
(
s
)
2
(
s
s
2
0
2
3
2
0
2
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
-
=
-
=
D ò
b) o espaço percorrido entre 0 e 2 s é :
( ) ( )
m
2
3
t
2
1
t
3
1
t
2
1
t
3
1
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
2
1
2
3
1
0
2
3
2
1
2
1
0
2
2
0
2
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
=
-
+
-
-
=
- ò
ò
ò

9. Prof.Irã Assis Rocha Página 9
Demonstração:
Como f é contínua em I , então f admite primitiva F em I ( F ‘ (x) = f(x) em I ) , e usando o Teorema
fundamental do cálculo podemos escrever :
ò -
=
b
a
)
a
(
F
)
b
(
F
dx
)
x
(
f
.
A função H ( u) = F (g(u)) , [ ]
d
,
c
u Î , é tal que , )
u
(
g
))
u
(
g
(
f
)
u
(
g
))
u
(
g
(
F
)
u
(
H ¢
=
¢
¢
=
¢ , pois F
’=f , e portanto H é primitiva de f (g(u))g’(u) . Assim:
[ ] ò
ò =
-
=
-
=
=
¢
b
a
d
c
d
c
dx
)
x
(
f
)
a
(
F
)
b
(
F
))
c
(
g
(
F
))
d
(
g
(
F
)
u
(
g
(
F
du
)
u
(
g
)
u
(
g
(
f
A aplicação desse teorema pode ser feita da seguinte maneira:
(u)du
g
))
u
(
g
(
f
dx
)
x
(
f
b
g(d)
onde
,
d
u
;
b
x
a
g(c)
onde
,
c
u
;
a
x
du
)
u
(
g
dx
;
)
u
(
g
x
?
dx
)
x
(
f
b
a
d
c
b
a
¢
=
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
=
=
¢
=
=
=
ò ò
ò
Exemplo – 1 : Calcular ( )
ò -
1
0
6
dx
1
x
Façamos x-1=u, ou seja, x= u +1.
[ ]
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
Þ
+
=
=
=
Þ
+
=
=
=
¢
+
=
+
=
0
u
1
u
1
;
1
x
-1
u
1
u
0
;
0
x
du
dx
seja
ou
du
1
u
dx
;
1
u
x
( )
7
1
7
)
1
(
0
7
u
du
u
dx
1
x
7
0
1
0
1
7
6
1
0
6
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
-
-
-
ò
ò
Exemplo -2 – Calcule
ò -
1
2
1
dx
1
x
2
3
1
u
3
1
2
3
u
.
2
1
du
2
1
.
u
du
2
1
.
u
dx
1
x
2
1
u
;
1
x
0
u
;
2
1
x
du
2
1
dx
;
2
1
u
2
1
x
2
1
u
2
1
x
seja
ou
1
-
2x
u
Façamos
1
o
2
3
1
0
2
3
1
0
2
1
1
0
1
2
1
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
=
=
-
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
=
=
=
=
-
=
-
=
=
ò
ò
ò

10. Prof.Irã Assis Rocha Página 10
Com pequenos ajustes , as vezes , a integral a ser calculada pode ser posta na forma ò ¢
d
c
dx
)
x
(
g
)
x
(
g
(
f .
Neste caso , a mudança de variável u = g(x) , com x em [ ]
d
,
c , transforma a integral ò
=
=
)
d
(
g
b
)
c
(
g
a
du
)
u
(
f na
anterior . Assim temos o seguinte esquema:
ò
ò
ò
=
¢
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
¢
=
=
¢
)
d
(
g
)
c
(
g
d
c
d
c
du
)
u
(
f
dx
)
x
(
g
)
x
(
g
(
f
g(d)
u
;
d
u
g(c)
u
;
c
u
(x)dx
g
du
;
)
c
(
g
u
dx
)
x
(
g
)
x
(
g
(
f
Exemplo -3 Calcular ò
1
0
x
4
dx
e
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
=
=
=
=
4
4.1
u
1
x
0
4.0
u
0
x
4dx
du
;
x
4
u
Exemplo – 4 – Calcular dx
1
x
x
1
0
3
2
ò +
Façamos a seguinte mudança da variável:
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
=
+
=
2
u
1
x
1
u
0
x
dx
3x
du
;
1
x
u 2
3
[ ] ( ) 2
ln
3
1
1
ln
2
ln
3
1
u
ln
3
1
du
u
1
3
1
dx
x
3
1
x
1
3
1
dx
1
x
x 2
1
2
1
2
1
0
3
1
0
3
2
=
-
=
=
=
+
=
+ ò
ò
ò
Exemplo -5 – Calcular x
d
1
x
x
1
0
3
2
ò +
Façamos a seguinte mudança da variável :
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
=
+
=
2
u
1
x
1
u
0
x
dx
3x
du
;
1
x
u 2
3
[ ] ( ) ( )
1
e
4
1
e
e
4
1
e
4
1
du
e
4
1
dx
.
4
.
e
4
1
dx
e 4
0
4
4
0
u
4
0
u
1
0
x
4
1
0
x
4
-
=
-
=
=
=
= ò
ò
ò

11. Prof.Irã Assis Rocha Página 11
)
1
2
2
(
9
2
)
)
1
(
)
2
(
(
9
2
x
3
2
3
1
du
u
3
1
x
d
3x
1
x
3
1
x
d
1
x
x 3
2
1
3
2
1
1
0
2
3
1
0
3
2
-
=
=
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
+
=
+ ò
ò
ò
Observemos que o valor da integral de f em [ ]
b
,
a não depende do símbolo que se usa para representar a
variável independente :
ò
ò
ò
ò
ò =
=
=
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dt
f(t)
ds
f(s)
du
f(u)
dx
f(x) f ( ª ) d ª
Exemplo – 6 – Seja f uma função ímpar e contínua em [ ] 0
r
,
r
,
r
- > . Mostre que :
ò
-
=
r
r
0
dx
)
x
(
f
Dizemos que f é uma função ímpar no intervalo [ ] 0
r
,
r
,
r
- > se , e somente se
[ ]
r
r,
-
x
todo
para
,
)
x
(
f
)
x
(
f Î
-
=
-
O gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem. São exemplos de funções ímpares : a) f : [ -1 ,
1 ] ® ,
3
x
)
x
(
f = b) f : [ ]
p
p
- , ® , f(x)=senx
Façamos a seguinte mudança de variável:
ï
î
ï
í
ì
-
=
=
=
-
=
-
=
-
=
r
u
r
x
r
u
r
x
dx
du
x
u
dx
)
x
(
f
du
)
u
(
f
du
)
u
(
f
)
dx
)(
x
(
f
dx
)
x
(
f
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ò
ò ò
ò ò -
-
-
- -
-
=
-
=
-
-
=
-
-
=
ò ò ò ò =
=
-
=
r
r
-
r
r
-
r
r
-
r
r
-
0
f(x)dx
logo
0
f(x)dx
2
assim
e
f(x)dx
f(x)dx
que
Temos
Exemplo – 7 – Calcule dx
3
x
x
2
2
2
ò
-
+
Solução :
)
x
(
f
)
3
x
x
(
3
(-x)
(-x)
f(-x)
:
pois
,
ímpar
é
,
3
x
x
)
x
(
f 2
3
2
-
=
+
-
=
+
=
+
=
Logo pelo exemplo - 6 segue que ; 0
dx
3
x
x
2
2
2
=
+
ò
-
Exemplo – 8 - dx
1
x
x
0
1
2
ò
-
+
Neste caso é mais conveniente a mudança u = x +1
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
-
=
=
+
=
1
u
0
x
0
u
1
x
dx
du
;
1
x
u
Do fato de que u = x +1 segue: x= u – 1
( ) ( )
105
16
105
70
84
30
3
2
5
4
7
2
u
3
2
u
5
4
u
7
2
du
u
u
2
u
du
u
1
u
2
u
du
u
1
u
dx
1
x
x
1
0
2
3
2
5
2
7
1
0
2
1
2
3
2
5
1
0
2
1
2
1
0
2
0
1
2
=
+
-
=
+
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
=
+
-
=
-
=
+ ò
ò
ò
ò
-
_____________________________________