Este documento apresenta 15 questões sobre polígonos regulares e suas propriedades geométricas. As questões abordam tópicos como medidas de segmentos, áreas, números de lados, diagonais e relações entre polígonos inscritos e circunscritos em círculos. O gabarito é apresentado no final para correção das respostas.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
POLÍGONOS

2. POLÍGONOS
1
01. (Espcex 2020) Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados.
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual a
a) 2 3.
−
b)
3
2 .
3
−
c)
3
1 .
3
−
d) 3 1.
−
e)
3
.
3
02. (Ime 2019) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do
hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que
R
r ?
2
=
a) 0
b) 1 10
c) 3 5
d) 1 20
e) 1 6
03. (Eear 2019) A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de 6 cm de raio é _____ 2
3 cm .
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15

3. POLÍGONOS
2
04. (Epcar 2018) A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) 1 5
+
b) 1 5
− +
c)
5
2
2
+
d) 2 5 1
−
05. (Ime 2018) Seja um heptágono regular de lado  cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a
qual das expressões?
a)
d
d
⋅
−


b)
2
d
d − 
c)
d
d
⋅
+


d)
2
d +


e)
3 d
2
⋅
06. (Ime 2018) A menor raiz real positiva da equação
3 2
arctg x tg arcsen
5 x 2
π
 
 
 
⋅ =
 
 
  +
 
 
 
encontra-se no intervalo:
a) (0,1]
b) (1
, 2]
c) (2, 3]
d) (3, 4]
e) (4, 5]
07. (Eear 2017) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se
a) 66
b) 56
c) 44
d) 42

4. POLÍGONOS
3
08. (Ita 2017) Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um
hexágono regular, conforme a figura abaixo.
O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,
a) 18 3 .
π
+
b) 30 10 .
π
+
c) 18 6 .
π
+
d) 60 10 .
π
+
e) 36 6 .
π
+
09. (Ita 2016) Seja n
P um polígono convexo regular de n lados, com n 3.
≥ Considere as afirmações a seguir:
I. n
P é inscritível numa circunferência.
II. n
P é circunscritível a uma circunferência.
III. Se n
 é o compromisso de um lado de n
P e n
a é o comprimento de um apótema de n
P , então n
n
a
1
≤

para todo
n 3.
≥
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) apenas I e II
e) I, II e III
10. (Acafe 2015) Tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um octógono regular, a
probabilidade de que a diagonal passe pelo centro do octógono é de
a) 50%.
b) 40%.
c) 20%.
d) 0%.
11. (Ita 2007) Seja Pn um polígono regular de n lados, com n > 2. Denote por an o apótema e por bn o comprimento de
um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as desigualdades bn ≤ an e b n-1 > an-1, pertence ao intervalo
a) 3 < n < 7
b) 6 < n < 9
c) 8 < n < 11
d) 10 < n < 13
e) 12 < n < 15

5. POLÍGONOS
4
12. (Ita 2003) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada
um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de
todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°
. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual
a
a) 63
b) 69
c) 90
d) 97
e) 106
13. (Ita 2001) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos
números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a
a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77
14. (Ita 1998) Considere as afirmações sobre polígonos convexos:
I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.
III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de
lados do polígono é ímpar.
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
15. (Ita 1996) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui
uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será
a) 3 2
R
2
− b) 2 1
R
2
+ c) 3 1
R
2
+ d) 2 1
R
2
− e) 3 1
R
2
−
GABARITO
1 - A 2 - B 3 - B 4 - A 5 - A
6 - D 7 - A 8 - D 9 - D 10 - C
11 - B 12 - D 13 - B 14 - B 15 - A