Apostila de cálculo diferencial e integral 1

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Apostila de Cálculo
Diferencial e Integral 1
2013
Professora Gabriele Granada Veleda

1Continuidade de uma função real
Definição: Dizemos que uma função real é contínua em 𝑥 = 𝑎 se, e somente se,
as seguintes condições forem satisfeitas:
1) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe;
2) 𝑓(𝑎) existe;
3) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Exemplo: Verifique se as funções 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−9
𝑥+3
, 𝑒 𝑥 ≠ −3
4, 𝑠𝑒 𝑥 = −3
e 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−2
são
contínuas, em seguida, faça um esboço dos gráficos.
DE MANEIRA GERAL, PODEMOS DIZER QUE UMA FUNÇÃO É CONTÍNUA SE
CONSEGUIRMOS DESENHAR SEU GRÁFICO SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL.

2Exercício 1: Observe os gráficos a seguir e diga se eles representam um função
contínua ou descontínua. Caso seja descontínua, indique o ponto de descontinuidade
e justifique sua resposta utilizando as três condições para que uma função seja
contínua.
a) b)
c) d)
e) f)

3Exercício 2: Verifique se as funções a seguir são contínuas em seu domínio.
a) 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
b) 𝑔(𝑥) = {
|𝑥 − 3|, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 3
c) ℎ(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 − 5
d) 𝑗(𝑥) = √𝑥2 − 3
e) 𝑞(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑥2
+ 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
Tipos de descontinuidade
Podemos caracterizar a descontinuidade de uma função em:
Descontinuidade removível: quando lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎), a descontinuidade pode ser
removida redefinindo a função de modo a termos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Descontinuidade essencial (ou de salto): quando lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existir, ou seja, o
gráfico da função possui um salto.
Exercício 3: Classifique a descontinuidade das funções dos exercícios 1 e 2. Em
caso de descontinuidade removível, redefina a função de modo a torná-la contínua.

4O problema da velocidade instantânea
Suponha que uma bola é solta do topo de um prédio de 450m de altura. Determine
a velocidade da bola após 5 segundos de queda.
Para resolvermos este problema, precisamos lembrar da descoberta de Galileu: a
distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do
tempo de queda. Chamando o tempo de t, a distância percorrida s depende do tempo
de queda, logo, uma função que descreve a situação é 𝑠(𝑡) = 4,9𝑡2
.
Após 5s, a distância percorrida será 122,5m, pois 𝑠(5) = 4,9 ∙ (5)2
= 122,5.
Temos, então que a velocidade média (vm) da bola é calculada pela equação:
𝑣𝑚 =
𝑠(𝑡)
𝑡
=
122,5
5
= 24,5
Isto é, a velocidade média da bola é de 24,5m/s.
Porém, não é isto o que o problema pede, o problema pede para calcular a
velocidade no instante 5s (chamada de velocidade instantânea). Para isso, podemos
calcular a velocidade média sobre um breve intervalo de tempo, por exemplo, do tempo
de 5s até 6s, e irmos diminuindo este intervalo, conforme mostra a tabela a seguir.
Tempo
inicial (ti)
Tempo
final (tf)
Intervalo de tempo
(∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖)
𝑠(𝑡𝑖) 𝑠(𝑡𝑓)
𝑣𝑚 =
𝑠(𝑡𝑓) − 𝑠(𝑡𝑖)
∆𝑡
5 6 1 122,5 176,4 53,9
5 5,1 0,1 122,5 127,449 49,49
5 5,05 0,05 122,5 124,9623 49,24
5 5,01 0,01 122,5 122,9905 49,049
5 5,001 0,001 122,5 122,549 49,0049
Quanto mais encurtamos o tempo de queda da bola, mais a velocidade média se
aproxima de 49m/s, ou seja, conforme t se aproxima de 5, a velocidade média se
aproxima de 49. Essa segunda ideia nos remete a ideia de limite, portanto, podemos
escrever: lim
𝑡𝑓→𝑡𝑖
𝑣𝑚 = 49, ou ainda, lim
𝑡𝑓→𝑡𝑖
𝑠(𝑡𝑓)−𝑠(𝑡𝑖)
∆𝑡
= 49. Para deixarmos o limite

5em função de ∆𝑡 basta lembrarmos que ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖, 𝑡𝑖 = 5 e 𝑡𝑓 = 5 + ∆𝑡, e o
limite fica:
lim
∆𝑡→0
𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5)
∆𝑡
= 49
Vamos resolver o limite e verificar que o seu valor é 49.
lim
∆𝑡→0
𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5)
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
4,9 ∙ (5 + ∆𝑡)2
− 4,9 ∙ (5)2
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
4,9 ∙ (25 + 10∆𝑡 + ∆𝑡2) − 122,5
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
122,5 + 49∆𝑡 + ∆𝑡2
− 122,5
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
49∆𝑡 + ∆𝑡2
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑡(49 + ∆𝑡)
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
49 + ∆𝑡⏞
0
= 49
Exercícios
1. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 40pés/s, e sua altura em pés
após t segundos é dada por 𝑦 = 40𝑡 − 16𝑡2
.
a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quanto 𝑡 =
2 e dura:
i) 0,5𝑠 ii) 0,1𝑠 iii) 0,05𝑠 iv) 0,01𝑠
b) Encontre a velocidade instantânea no tempo 2 segundos.
2. O deslocamento (em pés) de uma certa partícula movendo-se em linha reta é
dado por 𝑠(𝑡) = 𝑡3
6⁄ , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade instantânea
da partícula no tempo 1 segundo.

6Construindo a reta tangente em um ponto de um gráfico no Geogebra
Vamos construir a ideia de reta tangente no Geogebra:
1. Digite no campo “entrada” a função 0.5x^2 e tecle enter.
2. Marque o ponto A(2,2) e o ponto B(4,8).
3. Crie uma reta perpendicular ao eixo x que passe por B e uma reta perpendicular
ao eixo y que passe por A. Marque a intersecção das duas retas (ponto C) e apague-
as.
4. Crie os segmentos AC, BC e AB. Renomeie o segmento AC para ∆𝑥 e a reta
BC para ∆𝑦.
5. Crie uma reta que passe pelos pontos A e B.
6. Crie a reta 𝑦 = 0, marque o ponto D (4,0) e o ponto E, intersecção desta reta
com a reta criada no item anterior.
7. Marque o ângulo DÊA e o ângulo CÂB.
8. Crie a variável m, definida da seguinte forma: 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
.
9. Movimente o ponto B para próximo do ponto A e, utilizando uma calculadora,
calcule o a tangente do ângulo CAB, para auxiliar, complete a tabela a seguir.
Medida de CAB tg(CÂB) Medida de (DÊA) Valor de m
Agora, responda as perguntas:
a) O que ∆𝑥 e ∆𝑦 representam? Como é possível calculá-los.
b) O que acontece quando aproximamos o ponto B do ponto A?
c) Por que o ângulo CÂB é igual ao ângulo DÊA? Por que tg(CÂB) é igual a m?
d) Conforme ∆𝑥 tende a zero, para qual valor a imagem da função se aproxima?
e) Reescreva o item e como o limite de uma função e verifique se esse limite
tende ao valor que você respondeu no item anterior.

7Determinando a inclinação da reta tangente em um ponto do gráfico
Observe o gráfico de uma função na figura
ao lado.
Note que que é possível criar uma reta que
passa pelos pontos P e Q e, pelas propriedades
do triângulo retângulo, temos que
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
define o valor da tangente da inclinação da reta
em relação ao eixo x.
Para determinarmos a reta tangente no ponto P, basta aproximarmos o ponto
𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), ou seja, o valor de 𝑥2 será muito próximo (tende) de
𝑥1 e, com isso 𝑓(𝑥2) se aproxima de 𝑓(𝑥1), de modo que podemos determinar a reta
tangente no ponto P pelo limite:
lim
𝑥2→𝑥1
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
Como o ponto P é fixo, podemos deixar o limite acima em função de 𝑥1, que é um
valor conhecido, para isso, basta tomarmos ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, o que segue, 𝑥2 = 𝑥1 +
∆𝑥. Logo, quando 𝑥2 tende a 𝑥1, segue que ∆𝑥 tende a zero, e o limite pode ser
reescrito da seguinte forma:
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥

8Exemplo: Dada a parábola 𝑦 = 𝑥2
,
a) Ache a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (2;4) e (3,9); (2;4) e
(2,1;4,41); (2;4) e (2,01; 4,0401)
b) Determine a inclinação da reta tangente no ponto no ponto (2;4)
c) Faça um esboço do gráfico e da reta tangente no ponto (2;4)
a) 𝑚1 =
9−4
3−2
= 5; 𝑚2 =
4,41−4
2,1−2
=
0,41
0,1
= 4,1;
𝑚3 =
4,0401−4
2,01−2
=
0,0401
0,01
= 4,01
b) lim
∆𝑥→0
𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(2+∆𝑥)2−4
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
4+2∙2∙∆𝑥+∆𝑥2−4
∆𝑥
=
lim
∆𝑥→0
∆𝑥(4+∆𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
4 + ∆𝑥⏟
0
= 4
c)

9Exercícios
1. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 4 no
ponto (𝑥1, 𝑦1).
2. Ache uma equação da reta tangente à curva do exercício 1 no ponto (2,6).
Lembre-se que a equação geral de uma reta é dada pela equação 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1).
3. Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um paciente após
uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos cardíacos após t minutos. Quando
os dados na tabela são colocados em um gráfico, a inclinação da reta tangente
representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto.
t (min) 36 38 40 42 44
Batimentos cardíacos 2530 2661 2806 2948 3080
O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta secante. Use os
dados da tabela para estimar a taxa de batimentos cardíacos após 42 minutos usando
a reta secante entre 𝑡 = 42 e os outros tempos dados. Quais são as suas conclusões?

10Derivada
Observe que no problema da velocidade instantânea e na determinação da
inclinação da reta tangente a ideia de construção é semelhante: escolhemos um ponto
𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) diferente do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), dado no problema e aproximamos Q de
P, modo a diminuir a distância entre os valores do domínio, isto é, fazemos 𝑥2 tender a
𝑥1. Chamando a diferença entre 𝑥2 e 𝑥1 de ∆𝑡 (∆𝑡 = 𝑥2 − 𝑥1), segue que 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑡,
e a resposta ao problema proposto é obtida resolvendo o seguinte limite:
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
Este limite, por ser usado na resolução de diferentes problemas, pode ser dito
especial, e por isso, recebe o nome de derivada.
Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 12.
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
3(𝑥 + ∆𝑥)2
+ 12 − (3𝑥2
+ 12)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2
+ 6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2
+ 12 − 3𝑥2
− 12
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥(6𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥 + ∆𝑥⏟
0
= 6𝑥
Portanto, a derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥.
Definição: A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu valor
em qualquer número 𝑥 do domínio de f seja dado por
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
se esse limite existir.
O SÍMBOLO 𝑓′ FOI INTRODUZIDO PELO MATEMÁTICO LAGRANGE, NO SÉCULO XVIII.
EXISTEM OUTRAS NOTAÇÕES : 𝑦′,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦), E REPRESENTAM A DERIVADA DA
FUNÇÃO 𝑦 EM RELAÇÃO À VARIÁVEL 𝑥
Leithold, 1994.

11Observação: Se 𝑥1 for um determinado número do domínio de 𝑓, podemos calcular
a derivada neste ponto utilizando a seguinte equação:
𝑓′(𝑥1) = lim
𝑥→𝑥1
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1)
𝑥 − 𝑥1
Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 12 no ponto 2.
Como foi calculado no exemplo anterior 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, aplicando 𝑥 = 2, segue que
𝑓′(2) = 6 ∙ 2 = 12
Utilizando a fórmula da observação acima, podemos realizar o seguinte cálculo:
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(3𝑥2
+ 12) − 24
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
3𝑥2
− 12
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
3(𝑥2
− 4)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
3(𝑥 + 2) = 3 ∙ 4 = 12
Exercícios:
1. Calcule a derivada das funções dadas:
a) 𝑦 = 8 − 𝑥3
d) 𝑦 = 7𝑥 + 3 g) 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑥
b) 𝑦 = 𝑥3
e) 𝑦 = 3𝑥2
+ 4 h) 𝑦 =
1
𝑥
c) 𝑦 = √ 𝑥 f) 𝑦 = 3𝑥2
− 6 i) 𝑦 = −2
2. Ache a equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado.
a) 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥 − 5; (−2,7) c) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥3
; (−2,4)
b) 𝑦 =
6
𝑥
; (3,2) d) 𝑦 = −
8
√ 𝑥
; (4, −4)

12Derivabilidade e continuidade
O processo do cálculo da derivada é chamado derivação. Assim, a derivação é a
operação de derivar uma função 𝑓′ de uma função 𝑓.
Se uma função possui uma derivada em 𝑥1, a função será derivável em 𝑥1. Uma
função será derivável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número
deste intervalo aberto.
Exemplo 1: A derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. Como o domínio
de 𝑓(𝑥) são todos os reais e 6𝑥 pode ser calculado para qualquer número real, dizemos
que 𝑓(𝑥) é derivável em todos os reais.
Exemplo 2: A derivada da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 é a função 𝑔′(𝑥) =
1
2√𝑥−3
. Note que
o domínio de 𝑔(𝑥) é o intervalo [3, +∞[, no entanto, não podemos calcular 𝑔′(3), pois
o valor do denominador seria zero, logo, a função 𝑔(𝑥) não é derivável em todo o seu
domínio, porém, 𝑔(𝑥) é derivável no intervalo (3, +∞).
Exemplo 3: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3⁄
, resolva o que se pede.
a) Ache 𝑓′(𝑥).
b) Mostre que 𝑓′(0) não existe, mesmo que 𝑓(𝑥) seja contínua nesse número.
c) Faça um esboço do gráfico de 𝑓.

13Teorema: Se uma função 𝑓 for derivável em 𝑥1, então 𝑓 será contínua em 𝑥1.
Demonstração:
Observe que, pelo teorema, segue que toda função é derivável é necessariamente
contínua. Entretanto, conforme o exemplo 3, nem toda função contínua é derivável.

14Exercícios:
1. Calcule a derivadas das funções a seguir e diga o que é possível concluir.
a) 𝑦 = 3 b) 𝑦 = −3 c) ) 𝑦 = 5 d) ) 𝑦 = −√2
e) 𝑦 = 𝑥 f) 𝑦 = 𝑥 + 2 g) 𝑦 = 𝑥 − 4 h) 𝑦 = −𝑥
i) 𝑦 = 𝑥2
j) 𝑦 = 𝑥2
− 1 k) 𝑦 = 𝑥2
+ 2 l) 𝑦 = 𝑥2
− 7
2. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 3 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 9, calcule as derivadas indicadas e
diga se há alguma regularidade:
a) 𝑓′(𝑥) b) 𝑔′(𝑥) c) 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) d) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′
e) 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) f) [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ g) 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) h) [𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)]′
i) 𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) j) [𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)]′ k) 𝑔′(𝑥)/𝑓′(𝑥) l) [𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥)]′

15Teoremas de derivação de funções contínuas
Considerando 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) funções contínuas e uma constante real c, são
válidos os seguintes teoremas:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1
3. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑐
4. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + ℎ′(𝑥)
5. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) − ℎ′(𝑥)
6. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + ℎ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
7. 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥)∙ℎ(𝑥)−ℎ′(𝑥)∙𝑔(𝑥)
[ℎ(𝑥)]2
, com ℎ(𝑥) ≠ 0
8. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
9. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥
Exercícios:
1. Calcule a derivada das funções a seguir utilizando os teoremas e, em seguida,
confirme o resultado calculando pela definição.
a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 5
b) 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥2
c) ℎ(𝑥) = 4𝑥2
+ 𝑥 + 1
2. Calcule a derivada das funções indicadas utilizando os teoremas de derivação.
a) ℎ(𝑥) = 𝑥2
− 𝑥
b) 𝑦 = (𝑥2
+ 1)3(𝑥 − 4)
c) 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥
d) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
e) 𝑤(𝑥) =
5𝑥
(2𝑥)3
+ 2𝑠𝑒𝑛𝑥
3. Determine 𝑓′
(1) se 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥 + 1.

164. O limite abaixo representa o limite de uma função em um ponto a, ou seja,
𝑓′(𝑎). Determine f(x) e o valor de a.
lim
ℎ→0
√(4 + ℎ) + 2
ℎ
5. Dada a função 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, mostre que 𝑓′(𝑥) =
𝑥
√𝑥2+1
.

17
Derivada da função composta
10. Regra da cadeia: 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(ℎ(𝑥)) ∙ ℎ′(𝑥)
Exemplo 1: Seja 𝑓(𝑥) = (2𝑥3
− 5𝑥2
+ 4)10
, calcule 𝑓′(𝑥).
Exemplo 2: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) calcule 𝑓′(𝑥).
Exercícios:
1. Utilize a regra da cadeia para derivar as seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 2)2
b) 𝑔(𝑡) = √2𝑡2 + 5𝑡
c) ℎ(𝑥) =
3
(2𝑥−5)2
2. Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação 𝑠(𝑡) = √4 + 3𝑡2,
onde s é dado em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2].
b) Determine a velocidade do corpo no instante t = 2s.

18Outros teoremas de derivação de função contínua
11. 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑔(𝑥)
⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐 𝑔(𝑥)
∙ ln 𝑐 ∙ 𝑔′(𝑥)
Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2+𝑥
Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = √3 𝑠𝑒𝑛𝑥+15
12. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥)
⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥)
∙ 𝑔′(𝑥)
Exemplo: 𝑓(𝑥) =
𝑒cos( 𝑥
2⁄ )+1
𝑠𝑒𝑛[𝑐𝑜𝑠( 𝑥2
2⁄ )]
13. 𝑓(𝑥) = log 𝐶 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)∙ln 𝑐
Exemplo: 𝑓(𝑥) = log3
(5𝑥2
+ 3𝑥)
14. ( 𝑥) = 𝑙𝑛 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′( 𝑥) =
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑠𝑒𝑛2
(
5𝑥−1
4−3𝑥
))

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