Lista de exercícios sobre sequências e PA.

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ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
NAPOLEÃO ÁBDON DA NÓBREGA
“Educando com amor e qualidade”.
PROFESSOR: CONTEÚDO: SEQUÊNCIAS E
JOZAN MEDEIROS 1º ANO/ ENSINO MÉDIO
PROGRESSÃO ARITMÉTICAS - PA
RUMO A UNIVERSIDADE
ALUNO (A):
Progressões Aritméticas (PA)
I. Introdução
A história da matemática conta que na álgebra babilônica já havia
alguns estudos sobre seqüências. Inicialmente, definiremos a seqüência e, a
seguir, estudaremos dois importantes tipos de seqüências.
II. Seqüência ou Sucessão
Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa
determinada ordem é chamado seqüência ou sucessão.
Em uma seqüência o primeiro termo é indicado por a1 , o segundo
por a2 , o enésimo termo por an e assim sucessivamente.
Simbolicamente temos: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... . De modo geral, a
seqüência pode ser:
 Finita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an 
 Infinita: possui um número limitado de elementos
a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,...
III. Lei de Formação
Inúmeras são as seqüências existentes, mas para a matemática são
importantes aquelas cujos termos obedecem a uma determinada lei de
formação.
Vamos estudar agora duas formas diferentes de definir uma
seqüência.
 Pelo termo geral
Neste caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor
de cada termo an em função de sua posição n na seqüência. Essa fórmula é
denominada termo geral da seqüência.
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Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência definida por
2n  1
an  .
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 Por recorrência
Podemos definir uma seqüência atribuindo determinado valor a um
de seus termos (geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite
calcular cada termo, conhecendo valor do termo anterior da seqüência. Neste
caso, dizemos que a seqüência esta definida por recorrência.
Exemplo: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida
a  3
por:  1 .
an 1  an  2, n  1
Exercícios Resolvidos
01- Escreva a seqüência dada pelo termo geral an  3n e n  {1, 2, 3, 4, 5}.
b  2
02- Escreva os cinco primeiros termos da seqüência  1 .
bn 1  5bn , n  N *
03- Escreva a seqüência cujos termos obedecem a lei de formação
an  4n 2  1 , n  R* e n  4 .
j 5
04- Escreva a seqüência definida por  1 , n  R* e n  2 .
 jn  jn 1  2
Exercícios de Fixação
01- Escreva as seqüências definidas pelos termos gerais a seguir (nos
casos em que não aparece o conjunto de variação de n, considere
n  R*).
a) an  4n  1
n
d) an  1   , com
1  n
b) an  n , n  R* e n  4 .
3 n  R* e 1  n  6
n e) an  7
c) an 
n 1 n
f) an  (1) n n
2
g) an  8n
02- Considere a seqüência cujo termo geral é an  2n  1 . Qual é o termo
que tem seu valor entre 30 e 40?
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03- Determine:
a) O 10º termo da seqüência dos números naturais pares.
b) O 7º termo da seqüência cujo termo geral é an  2(n  1) .
04- Determine os cinco primeiros elementos das seqüências, n R*,
definidas pelas leis de recorrências a seguir:
a1  2 a1  1
a)  n 
an  ( 1) .an 1 , n  2 c) a2  5
a  2.a  3a , n  2
 n n 2 n 1
a  1
b)  1
an  2.an 1  3, n  2
a1  4

05- Determine o 6º termo da seqüência  3 .
an  an 1  2 , n  2

IV. Progressão Aritmética (PA)
Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência de números naturais
na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é
constante. Essa diferença constante é chamada razão (r) da progressão.
Observações:
1º) Notamos então que, de modo geral, uma seqüência a1 , a2 , a3 ,..., an  é uma
PA quando:
a2  a1  r  a2  a1  r
a3  a2  r  a3  a2  r
a4  a3  r  a4  a3  r
...
an  an 1  r  an  an 1  r
Comparando, temos:
a2  a1  a3  a2  a4  a3  ...  an  an 1  ...  r
2º) Da definição decorre que, se a1 ,a 2 e a 3 estão em PA, então:
a a
a2  a1  a3  a2  2 a2  a1  a3  a2  1 3
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Ou seja, dados três números consecutivos de uma progressão
aritmética, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.
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Exercícios Resolvidos
01- Verifique se a seqüência (6, 13, 20, 27, 34) é uma PA.
02- Diga se a seqüência  x  4 y, x  2 y, x, x  2 y  , em que x e y são números
reais, é ou não uma PA. Se for, determine a razão.
 7 
03- A seqüência  2, ,... é uma PA infinita. Determine a razão e o 3º termo
 3 
dessa PA.
04- Determine o 4º termo da PA (x – 3, x – 1, ...).
05- Determine o 8º termo de uma PA na qual a3  8 e r  3 .
06- Calcule a de modo que (3a,6a  3,15a  21) é uma PA.
07- Verifique quais das seqüências abaixo formam uma PA, determine a
razão (r) dessas seqüências e classifique como crescente ou
decrescente.
a) (5, 7, 9, ...) 2 7 5 
b) (3, 11, 2, 1, ...) f)  , , ,...
3 6 3 
c) (12, 8, 4, ...)
d) (-2, 4, -8, ...) g)  
2 ,2  2 ,4  2 ,...
e) (-35, -30, -25, ...) h) (7, 7, 7, ...)
08- Sabendo que ( x  1,3 x  2,2 x  4) formam, nessa ordem, uma PA,
calcular o valor de x e a razão dessa P.A.
V. Termo Geral de uma PA
Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter uma
fórmula para o termo geral:
1º termo a1  a1  0 r
2º termo a2  a1  1r
3º termo a3  a1  2r
4º termo a4  a1  3r
 
n-ésimo termo an  a1  (n  1)r
Observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade
inferior ao índice do termo considerado, obtivemos a fórmula do termo geral:
an  a1  ( n  1) r
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Onde:
an : termo geral
a1 : primeiro termo
n : número de termos
r : razão
Propriedade: observe a P.A. finita a1 , a2 , a3 , a4  . Nela os termos a2 e a3 são
eqüidistantes dos extremos a1 e a4 . Veja:
a2  a3  a1  r  a3  a1  a3  r  a1  a4
Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa P.A. a soma dos termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exercícios Resolvidos (Use o caderno para fazer as respostas)
01- Determine o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7, ...).
02- Qual é o 20º termo de PA. (2, 8, ...)?
03- Qual é o termo geral da PA (5, 9, ...)?
04- Encontrar o termo geral da PA(4, 7, ...).
05- Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623?
06- Qual é o primeiro termo de uma PA em que a10  39 e r  4 ?
07- Numa PA de 14 termos, o 1º termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão
dessa PA.
08- Quantos elementos tem a PA finita (-2, 3, ... , 43)?
09- Determine o valor de x para que os números x 2 , ( x  2) 2 e ( x  3) 2 sejam,
nessa ordem, os três primeiros termos de uma PA.
“O VALOR DE UM HOMEM É DETERMINADO PELO GRAU E PELO SENTIDO EM
QUE ELE SE LIBERTOU DE SEU EGO”.
ALBERT EINSTEIN
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