Aula 01 conjuntos

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Material sobre Conjuntos, Relação de Pertinência, Representação de Conjuntos, Tipos de Conjuntos, Igualdade de Conjuntos, Subconjuntos e Partes de um Contuntos. Possui exercícios, onde a parte em azul são as respostas de tais.

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  • b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±24, ±42} o número 24 não pertence ao conjuntos de números divisores de 42 pois 42/24 é igual : 1,75 * a resposta correta seria : D(42)={ ±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14,±21,±42} sendo assim ao invés de 24 seria 21 , pois 42/21 é igual : 2 .
    Atenciosamente , Diego Vilella Rodrigues .
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  • A letra g do exercício 10, na minha opinião a resposta é F (falsa) pois ' a' entre chaves é elemento ( no caso estudado), então deve ser usado os símbolos pertence e não pertence. Para ser conjunto quando usaríamos o simbolo de está contido deveria ter uma segunda chave representando notação de conjunto ou seja, {{a}} C {a,{a}}
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Aula 01 conjuntos

  1. 1. CONJUNTO – ELEMENTO – PERTINÊNCIA Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, sãoconsideradas noções primitivas:a) Conjuntob) Elementoc) Pertinência entre elemento e conjunto A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa nalinguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.EXEMPLOS:1) Conjunto das vogais2) Conjunto dos algarismos romanos3) Conjunto dos números ímpares positivos4) Conjunto dos números primos positivos5) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho6) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento.Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:1) a, e, i, o, u2) I, V, X, L, C, D, M3) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…4) 2, 3, 5, 7, 11, 13,…5) paus, ouros, copas, espadas6) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares,isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos númerosímpares e 2 não pertence. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. Éimportante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Porexemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol éum conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C,…, e um
  2. 2. elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y, … . Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos: É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada enão entrelaçada. Assim, na representação abaixo temos: No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando oassim chamado diagrama de Euler-Venn.DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos:enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos umapropriedade característica dos elementos do conjunto. Descrição pela citação dos elementos Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.EXEMPLOS:• Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}• Conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M}• Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} Essa notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemosalguns elementos que evidenciam a lei de formação e em seguida colocamosreticências.EXEMPLOS:• Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}• Conjunto dos números primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}• Conjunto dos múltiplos inteiros de 3: {0, 3, -3, 6, -6, 9, -9, …}
  3. 3. A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grandenúmero de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocando reticências eindicamos o último elemento.EXEMPLOS:• Conjunto dos números inteiros de 0 a 500: {0, 1, 2, 3, …, 500}• Conjunto dos divisores positivos de 100: {1, 2, 5, 10, …, 100} Descrição por uma propriedade Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedadecaracterística P de seus elementos x, escrevemos:e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.EXEMPLOS:• {x| x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1, -1, 3, -3}• {x| x é inteiro e 0 ≤ x ≤ 500}pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, …, 500}CONJUNTO UNITÁRIO – CONJUNTO VAZIO Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.EXEMPLOS:• Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}• Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3} Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo usualpara o conjunto vazio é Ø.EXEMPLOS:CONJUNTO UNIVERSO Quando vamos desenvolver um certo assunto em Matemática, admitimos aexistência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no talassunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto universoé ℝ (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja soluçãovai ser um número inteiro, nosso conjunto universo é ℤ (conjuntos dos números
  4. 4. inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjuntouniverso é um certo plano α. EXERCÍCIOS1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = {x| x é letra da palavra matemática} = {m, a t, e, i, c} B = {x| x é cor da bandeira brasileira} = {azul, branco, verde, amarelo}2. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A = {0, 2, 4, 6, 8, …} = {x | x é inteiro par} B = {0, 1, 2, …, 9} = {x | x é algarismo indo - arábico}3. Escreva com símbolos: a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±24, ±42} c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; {0} d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 0 e 3; {1/1, 1/2, 2/1, 2/2}4. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos: A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} = {x | x é divisor inteiro de 6} B = {0, -10, -20, -30, -40, …} = {x | x é múltiplo inteiro não positivo de 10} C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} = {x | x é quadrado perfeito}5. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? Apenas o conjunto D
  5. 5. 6. Quais dos conjuntos abaixo são vazios? Apenas o conjunto B.CONJUNTOS IGUAIS Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) quando todo elemento de A pertence a Be, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A.EXEMPLOS:• {a, b, c, d} = {d, c, b, a}• {1, 3, 5, 7,…} = {x |x é inteiro, positivo e ímpar}• {x | 2x + 1 = 5} = {2} Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noçãode ordem entre os elementos, como verificamos no primeiro exemplo. Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto éalgo absolutamente inútil, pois, por exemplo: {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d} Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B. É evidente que A é diferente de B seexiste um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento nãopertencente a A.EXEMPLO:• {a, b, d} ≠ {a, b, c, d}SUBCONJUNTOS Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elementode A pertence também a B. Com a notação A ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contidoem B” ou “A é parte de B”. O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão.
  6. 6. EXEMPLOS:• {a, b} ⊂ {a, b, c, d}• {a} ⊂ {a, b}• {a, b} ⊂ {a, b}• {x | x é inteiro é par} ⊂ {x | x é inteiro} Quando A ⊂ B, também escrevemos B ⊃ A, que se lê “B contém A” Com a notação A ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”. É evidente que A ⊄ B somente se existe ao menos um elemento de A que nãopertence a B.EXEMPLOS:• {a, b, c} ⊄ {b, c, d, e}• {a, b} ⊄ {c, d, e}• {x | x é inteiro e par} ⊄ {x | x é inteiro e primo} Conjuntos iguais Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos. Naquela definição,está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A ⊂ B e B⊂ A; portanto, podemos escrever: A= B ⇔A⊂ B e B ⊂A Propriedades da Inclusão Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: • ∅⊂A • A ⊂ A (reflexiva) • (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica) • (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva)
  7. 7. Conjunto das partes Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação P(A) – aqueleque é formado por todos os subconjuntos de A. P(A) = {X | X ⊂ A}EXEMPLOS:• Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é: P(A) = {∅, {a}}.• Se A = {a, b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a, b}, isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.• Se A = {a, b, c}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}, isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. EXERCÍCIOS7. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = { 2, 4}, a) Escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.8. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique. a) A ⊂ D V d) D ⊃ B V b) A ⊂ B F e) C = D F c) B ⊂ C F f) A ⊄ C V9. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? a) {a, a, a, b, b} = {a, b} V b) {x | x² = 4} = {x | x ≠ 0 e x³ - 4x = 0} V c) {x | 2x + 7 = 11} = {2} V d) {x | x<0 e x ≥ 0} = ∅ V
  8. 8. 10. Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo. a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} V f) a ∈ {a, {a}} V b) {a} ∈ {a, b} F g) {a} ⊂ {a, {a}} V c) ∅ ∈ {0} F h) ∅ ⊂ {∅, {a}} V d) 0 ∈ ∅ F i) ∅ ∈ {∅, {a}} V e) {a} ⊂ ∅ F j){a, b} ∈ {a, b, c, d} F11. Faça um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjuntos não vazios, D ⊂ C ⊂ B ⊂ A.12. Construa o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d}P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c},{a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

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