Funcoes matematica mto bom

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Funcoes matematica mto bom

  1. 1. MATEMÁTICA FUNÇÕES1. PAR ORDENADO I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na relação. É uma seqüência de dois elementos em uma II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A edada ordem. B.1.1 Igualdade III) Representação gráfica no plano cartesiano. (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d Exemplo:Exemplos: Considere a relação R = {(x, y ) ∈ AxB / y = x + 1} em E.1) (2,3) = (a + 1, b) ⇒ a + 1 = 2 e b = 3 , logo que A = {2,3,5,6} e B = {3,4,7,10,11} . Represente a rela-a =1 e b = 3. ção R. a + 2b = 3 Resolução: E.2) (a + 2b, a − b ) = (3,6) ⇒  , logo a − b = 6 I) Representação dos pares ordenados.a=5 e b = −1. R = {(2,3), (3,4), (6,7 )} .2. PRODUTO CARTESIANO2.1 Representação II) Representação com diagrama de flechas. O produto cartesiano será simbolizado por A BAxB. y=x+1 32.2 Definição 5 Dados os conjuntos A e B, não vazios, define- 4se como produto cartesiano (AxB) o conjunto de todos 2 7os pares ordenados (x, y ) , tais que x ∈ A e y ∈ B . Em 3símbolos, temos: 10 6 AxB = {(x, y ) / x ∈ A e y ∈ B} 11 Se A ou B forem vazios, afirmamos que III) Representação no gráfico cartesiano.AxB = φ .Exemplos: E.1) Dados A = { ,2} e B = {3,4} , determine AxB 1 7e BxA. Resolução: AxB = {(1,3 ) , (1, 4 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 )} 4 BxA = {(3,1), (4,1), (3,2), (4,2)} E.2) Determine A 2 = AxA , em que A = { ,2,3} . 1 3 Resolução: A 2 = AxA = {(11), (1 2), (1 3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} , , ,2.3 Propriedade 2 3 6 n(AxB) = n(A ) ⋅ n(B ) , em que n(AxB) , n(A ) e n(B) re-presentam, respectivamente, o número de elementosem AxB , A e B. 3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio Dada uma relação R de A em B (R : A → B) .3. RELAÇÃO BINÁRIA Define-se como:3.1 Definição Contra-domínio da relação R o conjunto de Define-se como relação binária de A em B a chegada da relação R, ou seja, o conjuntoqualquer subconjunto de AxB. B. Domínio da relação R o conjunto formado3.2 Representação pelos elementos relacionados pela relação A relação binária de A em B pode ser repre- R no conjunto de partida (conjunto A).sentada como: Imagem da relação R ao conjunto formado pelos elementos relacionados pela relaçãoEditora Exato 20
  2. 2. R no conjunto de chegada (conjunto B), ou A B seja, os segundos elementos de todos os pa- res ordenados de R.Exemplo: A B 1 10 3 2 satisfaz à 5 propriedade I 3 7 5 II) Cada elemento do domínio possui um único 8 correspondente no contra-domínio. 9 7 Exemplo: E.1) I) Domínio da relação R: D(R ) = { ,3,5,8} . 1 II) Contra-domínio da relação R (conjunto de chegada): CD(R ) = B . III) Imagem da relação R : Im(R ) = {2,3,5,10} .4. FUNÇÃO4.1 Definição Define-se como função de A em B a toda rela- não satisfaz à propriedade IIção binária de A em B que satisfaz as propriedadesabaixo. I) Todo elemento do domínio possui um cor- E.2)respondente no contra-domínio, ou seja, no conjuntode partida não existe elemento sem correspondente.Exemplo: E.1) A B satisfaz à propriedade II E.3) não satisfaz à propriedade I E.2) A satisfaz à B propriedade II 4.2 Função Inversa Dada uma função f de A em B, bijetora, defi- ne-se como função inversa de f a toda função g em B em A, tal que: satisfaz à fog ( x ) = go f ( x ) = x . propriedade I Símbolo: A função inversa de f é indicada por E.3) f −1 .Editora Exato 21
  3. 3. Exemplo: 7. CONCAVIDADE E RAÍZES Dada f ( x ) = 3x + 5 , determine sua função inver- A função polinomial do 2º grau possui comosa. representação gráfica a curva denominada de parábo-Resolução: la. Na prática, para determinarmos a função inver- concavidade  a > 0 ⇒ voltada para cimasa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois a < 0 ⇒ voltada para baixoisolar o y. ∆ > 0 ⇒ 2 raízes reais e distintas x−5 y  f (x ) = 3x + 5 ⇒ x = 3y + 5 ⇒ −1 = { , logo raízes ∆ = 0 ⇒ 2 raízes reais e iguais { f (x ) 3 ∆ < 0 ⇒ não existem raízes reais y x  x −5 f −1(x ) = . 3 8. GRÁFICOS5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Devemos observar que o número de possibili- dades para a construção do gráfico da função quadrá-5.1 Definição tica é 6, levando em consideração as possibilidades Define-se como função polinomial do 1º grau da concavidade e raízes.ou função afim a toda função f de R em R que asso- 8.1 a>0 e ∆>0cia a cada número x ∈ D ( f ) um número f ( x ) ∈ CD ( f ) , Concavidade voltada para cima e duas raí-tal que f ( x )=ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R). zes reais distintas.5.2 Gráficos Dada a função f: R → R, tal que f (x ) = ax + b(com a ≠ 0 ). x1 x2 Gráficos 8.2 a>0 e ∆=0 a>0 a<0 Concavidade voltada para cima e duas raí- y y zes reais iguais. O x O x x1 = x2 8.3 a>0 e ∆<0 função crescente função decrescente Concavidade voltada para cima e não pos- sui raízes reais. Propriedades O coeficiente a é denominado de coeficienteangular e representa a tangente do ângulo de inclina-ção. O coeficiente b é denominado de coeficientelinear e representa o ponto de encontro da funçãocom o eixo y, ou seja, o ponto (0, b ) pertence ao grá-fico da função f.6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 8.4 a<0 e ∆>0 Define-se como função polinomial do 2º grau a Concavidade voltada para baixo e duas raí-função quadrática a toda função f de R em R que as- zes reais distintas.socia a cada número x ∈ D ( f ) um númerof ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que f (x ) = ax 2 + bx + c (com a∈R* e b, x1 x2c ∈R).Editora Exato 22
  4. 4. 8.5 a<0 e ∆=0 9.1 Valor máximo e mínimo Concavidade voltada para baixo e duas raí- Para uma função polinomial do 2º grau pode- zes reais iguais. mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima- gem determinando o valor da imagem da função no vértice da parábola  y v = −∆ x1= x2  .  4a  Se a > 0, então o valor encontrado no yv se- rá mínimo. Se a < 0, então o valor encontrado no yv se- rá máximo.8.6 a<0 e ∆<0 10. FUNÇÃO MODULAR Concavidade voltada para baixo e não pos- 10.1. Definição sui raízes reais. Define-se como função modular a toda função f de R em R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número f ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que, f ( x ) = x . Em símbolos, temos:  x, se x ≥ 0 f:R →R f(x) =  . -x, se x<0 10.2. Elementos9. VÉRTICE DA PARÁBOLA Dada a função módulo f(x) = x . Dada a função f ( x )=ax 2+bx+c (com a ≠ 0 ) a Domínio de f : D(f) = R .coordenada do vértice da parábola v(x v , y v ) pode ser Contra domínio de f: CD(f) = R .determinada pelas relações abaixo. Imagem de f: Im(f) = R + . 10.3. Equações Modulares −b −∆ xv= e yv = 2a 4a x = k  x = k ⇔  ouExemplo:  Dada a função f(x) = 2x 2 − 5x − 10 , determine a  x = −kcoordenada do vértice da parábola e faça a represen-tação gráfica da função f no plano cartesiano. Exemplo: E.1) Determine o valor de x na equaçãoResolução: x −3 = 5. xv = − (−5) = 5 e yv = ((− 5) 2 ) − 4 ⋅ 2(− 10 ) =− 105 2.2 4 4⋅2 8 Resolução Devemos observar que ∆ > 0 e a > 0 ; logo, a x − 3 = 5 → x = 8 parábola possui concavidade voltada para cima e du- x −3 = 5 ⇒  ouas raízes reais distintas.  x − 3 = −5 ⇒ x = −2  Propriedades y x ≥ 0. x⋅y = x ⋅ y . x x = , para y ≠ 0. y y n nn = x . 5 n 4 x = x n , para n par. x 105 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8  5 105  V  ,− v  4 8  1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função? a)Editora Exato 23
  5. 5. y a) substituir na função o valor atribuído a x y 2 f ( 0 ) = 03 − 2 ( 0 ) + 0 + 1 = 1 1 y 2 b) 3 2 ( −1) − 2 ( −1) + ( −1) + 1 = −1− 2 − 1 + 1 = −3 / / x1 x EXERCÍCIOS b) 1 (FMU-SP) Seja a função f definida por Então f ( 0 ) + f ( −1) + f   é: 1 y f ( x ) = 2x 3 − 1 .  y 2 1 3 19 a) − d) − 4 4 15 13 y b) − e) − 2 4 4 17 x1 x c) − 4 c) 2 (MACK-SP) Se f ( x − 1) = x , então o valor de 2 y f ( 2 ) é: a) 9 b) 6 c) 4 y 1 d) 1 x1 e) 0 x d) 3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t 4 y anos é estimada em P ( t ) = 30 − milhares de pes- t soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula- ção será de: y a) 300 pessoas. 1 b) 200 pessoas. c) 133 pessoas. x1 x d) 30 pessoas. e) 2 pessoas. 4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio- nários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, Resolução: numa determinada cidade, seja dado pela função c) e d) 300x Observe que a definição de função compreen- f (x) = . Se o número de funcionários ne- 150 − xde dar um valor x e encontrar um, e somente um, va- cessários para distribuir, em um dia, as contas delor para y. luz foi 75, a porcentagem de moradores que as Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon- receberam é:to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores a) 30.em y. b) 40. c) 45.2 Seja a função f ( x ) = x 3 − 2x 2 + x + 1, calcular: d) 50. e) 55. a) f(0) b) f ( −1) Resolução:Editora Exato 24
  6. 6. 5 (UEL-PR) Para que os pontos (1;3 ) e ( 3; −1) per- d) tençam ao gráfico da função dada f(x) = ax + b , o valor de b − a deve ser: y a) 7. b) 5. c) 3. d) –3. e) –7. x6 (CESCEM) Se f(x) = 2x , então, os valores de: 3 e) f(0); f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( −2 ) ; e −f  −  são:  1  2   y a) 2, 2, 4, -4, -1/4. b) 0, -2, 16, -16, 1/4. c) 0, -6, 16, -16, 1/3. d) 2, -2, 2, -2,-1/3. e) 0, 2, 16, 16, 1/4. x7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma função? a) 8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên- cia da função y = 4 − x : 2 y a) ( −4,4 ) b) [ −2,4] c) ( 2, −2 ) d) [ −2,2] e) Nenhuma. x b) 9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por 1 f (x) = é o conjunto: y 2x 2 + 5x − 3  1 a) R − −3,   2 b) R − − ,3 1 x    2   1 c) R−  2 d) −3,  1 c)    2  1  y e) − ,2  2  x 10 (FMU-SP) O domínio real da função 2 x −4 f (x) = é o conjunto: x−2 a) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x ≥ 2} b) {x ∈ R / − 2 ≤ x<2} c) {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} d) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x>2} e) {x ∈ R / x > 2}Editora Exato 25
  7. 7. 11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R 17 A função y = 2x − x + 1 é uma parábola que: 2 por f ( x ) = x + 2 e g ( x ) = 3x + 5 , então g  f ( x ) é:   a) corta o eixo x em dois pontos. a) 3x+11 b) passa pela origem. b) 3x2 + 10 c) não corta o eixo x. c) 3x2 + 11x + 10 d) tem concavidade voltada para baixo. d) 4x+7 e) nenhuma. e) f g ( x )   18 Dada a função f ( x ) = mx + n , conhecendo-se12 (USP) Se f ( x ) = 5x e g ( x ) = 3x , então f g ( x ) 2 f ( 0 ) = 2 e f (1) = 3 , então o valor de m e n é:   será igual a: a) 1 e 2. a) 15x + 3x2 b) 2 e 1. b) 15x2 c) 3 e 1. c) 8x3 d) 2 e 3. d) 15x e) 0 e 1. e) 15x3 19 (PUC) Sendo m ∈ R , então as raízes da equação13 (PUC-SP) Sendo f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = x − 2 , então 3 x − ( m − 1) x − m = 0 serão reais e iguais se, e so- 2 gof ( 0 ) é igual a: mente se, a) m ≠ 1 . a) 1 b) m=1. b) 3 c) m ≠ −1 . c) 0 d) m=-1. d) 2 e) m=0. e) –1 20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função y = x − mx + 4 sejam reais, é necessário que: 2 a) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m>4] .14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam b) m ∈ R e m>4 . f ( x ) = x e g ( x ) = f  f ( x )  . Calcular o valor de 2   c) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m ≤ 4] . f g ( 3 )    d) m ∈ R e [-4 ≤ m ≤ 4] . . g ( 3) e) m ∈ R e [-4 < m <4] . a) 20. b) 21. c) 31. 21 (UFPR) O vértice da parábola y = −2x + 8x − 82 d) 81. tem coordenadas: e) 80. a) ( 0, −8 ) . b) (1, −2 ) .15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre c) ( 2,0 ) . a) uma reta. d) ( 3,0 ) . b) uma hipérbole. c) uma parábola. e) ( 3. − 2 ) . d) uma elipse. e) nenhuma. GABARITO16 O vértice da parábola y = − x + 4x + 5 é: 2 a) V ( 2,9 ) . 1 D b) V ( 5, −1) . 2 A c) V ( −1, −5 ) . 3 B d) V ( 0,0 ) . 4 A e) Nenhuma. 5 BEditora Exato 26
  8. 8. 6 B7 B8 D9 A10 D11 A12 B13 E14 D15 C16 A17 C18 A19 D20 C21 CEditora Exato 27

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