1) O documento discute funções exponenciais, inequações exponenciais e suas resoluções. 2) Apresenta a definição de logaritmos, propriedades e casos particulares de logaritmos. 3) Explica como resolver equações logarítmicas e encontrar o domínio de funções logarítmicas.

1. AULAS 07, 08 e 09 MATEMÁTICA A RICARDINHO

2. FUNÇÃO EXPONENCIAL Forma: f(x) = a x ( a > 1 )  função crescente ( 0 < a < 1 )  função decrescente INEQUAÇÃO EXPONENCIAL a x > a y x > y x < y a > 1 0 < a < 1 Exemplos a) 2 x+3 > 32 2 x+3 > 2 5 x + 3 > 5 x > 2 b) (0,1) x+3 > 0,01 (0,1) x+3 > (0,1) 2 x + 3 < 2 x < - 1

3. Resolva, em R, as seguintes inequações exponenciais: 1) Resolução As bases são maiores que 1 (a>1) Logo a desigualdade permanece 2) (0,001) x – 0,01  0 Resolução (0,001) x  0,01 (10 -3 ) x  10 -2 10 -3x  10 -2 - 3x  - 2 multiplicando por (-1) 3x  2 As bases são maiores que 1 (a>1)Logo a desigualdade permanece

4. LOGARITMOS

5. DEFINIÇÃO log B A = x  A = B x Aplicando a definição, determine o valor dos seguintes logaritmos: 1) log 2 1024 log 2 1024 = x 1024 = 2 x 2 10 = 2 x x = 10 2) log 3 243 log 3 243 = x 243 = 3 x 3 5 = 3 x x = 5 CASOS PARTICULARES log B 1 = 0 log A A = 1 Determine o valor da seguinte expressão: log 2 1 + log 7 7 + log 10000 0 + 1 + 4 log 10 10000 = x 10000 = 10 x 10 4 = 10 x 4 = x 5

6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Considere a função f(x) = log B x Para f(x) ser definida são necessárias as seguintes condições: EXEMPLO: Determinar o domínio da função f(x) = log 2 (2x – 6) 2x – 6 > 0 2x > 6 x > 3 D(f) = {x  R| x > 3}

7. Primeira Propriedade: O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos. log a (b . c) = log a b + log a c Segunda Propriedade : O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos. log a b/c = log a b - log a c PROPRIEDADES Terceira Propriedade : O logaritmo de uma potência é igual a potência do logaritmo. log a b m = m.log a b

8. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 determine o valor de: a) log 6 b) log 1,5 c) log 64 a ) log 6: log 6 = log 2 · 3 log 6 = log 2 + log3 log 6 = 0,3 + 0,47 log 6 = 0,77 b) log 1,5: log 1,5 = log 3/2 log 1,5 = log 3 – log2 log 1,5 = 0,47 – 0,3 log 1,5 = 0,17 c) log 64: log 64 = log 2 6 log 64 = 6·log 2 log 64 = 6·(0,3) log 64 = 1,8

9. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? log 28 = log (2 2 .7) log 28 = log 2 2 + log 7 log a (b . c) = log a b + log a c log a b m = m.log a b log 28 = 2.log 2 + log 7 log 28 = 2.0,301 + 0,845 log 28 = 0,602 + 0,845 log 28 = 1,447 28 2 14 2 7 7 1

10. Quarta Propriedade : MUDANÇA DE BASE EXEMPLOS: 1) Passar log 3 8 para base 7 Resolução: log 3 8 = log 8 log 3 7 7 2) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule log 3 2 . Resolução: log 3 2 = log 2 log 3 10 10 log 3 2 = 0,30 0,47 log 3 2  0,64

11. EQUAÇÕES LOGARÍTIMICAS 1) log 2 (4x – 8) = 5 4x – 8 = 2 5 4x – 8 = 32 4x = 40 x = 10 2) log 2 (4x – 8) = log 2 (x + 1) log 2 (4x – 8) = log 2 (x + 1) 4x – 8 = x + 1 4x – x = 1 + 8 3x = 9 x = 3 3) log 2 (x – 8) + log 2 5 = log 2 10 log 2 (x – 8).5 = log 2 10 (x – 8).5 = 10 5x – 40 = 10 5x = 10 + 40 5x = 50 x = 10

12. ( UFSC ) A solução da equação log 2 (x + 4) + log 2 (x – 3) = log 2 18 , é: log 2 (x + 4) + log 2 (x – 3) = log 2 18 log a (b . c) = log a b + log a c log 2 (x + 4).(x – 3) = log 2 18 log 2 (x + 4).(x – 3) = log 2 18 (x + 4).(x – 3) = 18 x 2 – 3x + 4x – 12 = 18 x 2 + x – 12 – 18 = 0 x 2 + x – 30 = 0 x 2 + x – 30 = 0 a = 1 b = 1 c = - 30  = b 2 – 4ac  = 1 2 – 4.1.(-30)  = 1 + 120  = 121 Logo temos: x = 5

13. ( UEPG-PR ) Determine o produto das raízes da equação log x 4 + log 2 x = 3 log x 4 + log 2 x = 3 log 4 log x 2 2 Incógnita auxiliar: log 2 x = y 2 + y 2 = 3y y 2 – 3y + 2 = 0 y’ = 1 y’’ = 2 log 2 x = 1 log 2 x = 2 x = 2 1 x = 2 2 x = 2 x = 4 Portanto o produto das raízes é 2.4 = 8