Análise Combinatória

1. Sum´ario
AN ´ALISE COMBINAT ´ORIA
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
08 de maio de 2015

2. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Sum´ario
1 O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
2 Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes

3. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Outline
1 O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
2 Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes

4. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
Se h´a x modos de tomar uma decis˜ao D1 e, tomada a decis˜ao
D1, h´a y modos de tomar a decis˜ao D2, ent˜ao o n´umero de
modos de tomar sucessivamente as decis˜oes D1 e D2 ´e xy
Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se
pode formar um casal?
Exemplo 2: Uma bandeira ´e formada por 7 listras que devem ser
coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra
deve ter apenas uma cor e n˜ao se pode usar cores iguais em listras
adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

5. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
Exemplo 2: Uma bandeira ´e formada por 7 listras que devem
ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se
cada listra deve ter apenas uma cor e n˜ao se pode usar cores
iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir
a bandeira?
Exemplo 3: Quantos s˜ao os n´umeros de trˆes d´ıgitos distintos?

6. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
Estrat´egia para resolver os problemas de contagem:
1 Postura
2 Divis˜ao
3 N˜ao adiar dificuldades
Exemplo 4: O c´odigo Morse usa duas letras, ponto e trac¸o, e
as palavras tem de 1 a 4 letras. Quantas s˜ao as palavras do
c´odigo Morse?

7. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
Exemplo 5: Quantos divisores inteiros positivos possui o
n´umero 360? Quantos divisores s˜ao pares? Quantos s˜ao
´ımpares? Quantos s˜ao quadrados perfeitos?
Exemplo 6: Quantos s˜ao os n´umeros pares de trˆes d´ıgitos
distintos?

8. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Outline
1 O Princ´ıpio Fundamental da Contagem
2 Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes

9. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Problemas de Combinat´oria: Permutac¸ ˜oes
Simples
Problema das permutac¸ ˜oes simples: De quantos modos
podemos ordenar em fila n objetos distintos?
Pn = n!
Exemplo 7: Quantos s˜ao os anagramas da palavra “calor”? Quantos
comec¸am com consoante?
Exemplo 8: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros
diferentes de Matem´atica, 3 livros diferentes de Estat´ıstica e 2 livros
diferentes de F´ısica, de modo que livros de uma mesma mat´eria
permanec¸am juntos?

10. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Problemas de Combinat´oria: Permutac¸ ˜oes
Simples
Exemplo 9: Quantos s˜ao os anagramas da palavra
CURICICA?
O n´umero de permutac¸ ˜oes de n objetos,dos quais α s˜ao iguais
a A, β s˜ao iguais a B, γ s˜ao iguais a C, etc, ´e dado por
Pα,β,γ,...
n = n!
α!β!γ!
Exemplo 10: De quantos modos podemos dividir 8 objetos em
um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos?

11. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Problemas de Combinat´oria: Combinac¸ ˜oes
Simples
De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos
entre n objetos distintos dados?
Cp
n = n!
p!(n−p)!
Exemplo 11: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss˜oes
de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser
formadas?

12. O Princ´ıpio Fundamental da Contagem Permutac¸ ˜oes e Combinac¸ ˜oes
Problemas de Combinat´oria: Combinac¸ ˜oes
Simples
Exemplo 12: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss˜oes
de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser
formadas?
Exemplo 12: Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos
sobre uma reta R’ paralela a R. Quantos triˆangulos e quantos
quadril´ateros convexos com v´ertices nesses pontos existem?