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1) Quais das seguintes aplicações de R 3 ~ R 3 são transformações lineares?
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  1. 1. r I I lista 6: Gabarito 1) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R 3 : a) U = {(x,y,z) E R3 1x-2y = O}; Como x-2y = °temos x = 2y. Assim: (x, y, z) = (2y,y,z) = y.(2,1,0)+z.(0,0,1) Portanto U =[(2,1,0),(0,0,1)]. b) V = {(x,y,z) E R3 Ix+z= °e x-2y = O}; Como x + z = Otemos z = -x. De x -2y = °temos -2y = -x ou y = x/2. Assim: (x, y, z) = (x,x/2, -x) = x.(1, Yz, -1) Logo V = [(1, Y2, -1) ]. c) W = {(x,y,z) E R3 1x + 2y - 3z = O}; Temos x = 3z-2y. Assim: (x, y, z) = (3z-2y,y,z) = y(-2,1,0)+z(3,0,1) Logo W = [(-2,1,0), (3,0,1)]. d) UnW; (x,y,z) E U nW se e só se x-2y = °e x +2y- 3z = O. Logo x = 2y e 2y+2y-3z = °o que implica em z = 4y/3. Assim: (x,y,z) = (2y,y,4y/3) = y.(2,1,4/3) e U nW = [(2,1,4/3)]. e) V + W. V = [(1, Yz , -1)] W = [(-2,1,0), (3,0,1)] V + W = {v + w I v E V e W E W} = {a(1, Yz, -1) + b(-2,1,0) + c(3,0,1) I a,b,c E R} Assim V + W = [(1, Yz , -1), (-2,1,0), (3,0,1)], o que conclui o solicitado. Mas, sendo (x,y,z) E R3 , veja que da igualdade: (x,y,z) = a. (1, Y2, -1) + b. (-2,1,0) + c. (3,0,1) = (a-2b+3c, a/2 +b, -a+c) obtemos o sistema linear: {~: -2b +Sc = x r -2b +Sc = x +b = y~ -4b +3c = x-2y~ +c = z -2b +4c = x+z r -2b +3c = x -4b +3c = x-2y 5c = x+2y+2z ;.,.::, que é possível e determinado. Logo V+W = R3. 2) Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M 2 (R):
  2. 2. Denotemos M, (R) ~ {( : : ]a,b, c,d E R} . Como a igualdade x(l 0J+ (1 1J+z(0 °J+w(O 1J.=(a bJ 01 yoo 11 12 cd gera o sistema linear: x +y = a x +y = a y +w = b y +w = b z +w = C z +w = C X +z +2w = d -y +z +2w = d-a x +y = a x +y = a y +w = b y +w = b z +w = C z +w = C +z +3w = d-a+b +2w = d-a+b-c que é possível, temos que as matrizes dadas geram M2 (R). 3) Mostrar que os dois conjuntos {(1,-1,2),(3,0,1)} e {(-1,-2,3),(3,3,-4)} geram o mesmo sub-espaço vetorial do R 3 •
  3. 3. •. lista 7: Gabarito 1) Verificar se os subconjuntos do R3 , abaixo, são linearmente independentes: a) {(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1), (2,3,5)}; a(1,0,0)+b(0, 1,0)+c(0,0, 1)+d(2,3,5) = (0,0,0) (a,O,O)+(O,b,O)+(O,O,c)+(2d,3d,5d) = (0,0,0) (a+2d,b+3d,c+5d) = (0,0,0) { a + 2d = ° Como o sistema b + 3d = °é indeterminado temos que o conjunto dado é LD. c + 5d = ° b) {(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)}; a(1,1,1) +b(1,0,1)+c(1,0,-2) = (0,0,0) (a,a,a)+(b,O,b )+(c,0,-2c) = (0,0,0) (a+b+c, a, a+b-2c) = (0,0,0) Como o sistema {: + b + c : ~ ~ {a :: :: : ~ é determinado temos que o a + b - 2c = ° -3c = ° conjunto dado é LI. c) {(0,0,0),(1,2,3),(4,1,-2)}; O conjunto dado é LD pois ele contem o vetar nulo. d) {(1,1,1),(1,2,1),(3,2,-1)}. a(1,I,I) +b(1,2,1)+c(3, 2,-1) = (0,0,0) (a,a,a)+(b,2b,b)+(3c,2c,-c) = (0,0,0) (a+b+3c, a+2b+2c, a+b-c) = (0,0,0) { a + b + 3c = ° {a + b + c = °Como o sistema a + 2b + 2c = °~ b - c = ° é determinado temos que o a + b - c = ° -4c = ° conjunto dado é LI. 2) Verificar se os subconjuntos de P4 (R), dados abaixo, são linearmente independentes: a) {1,x-l,x2 +Zx +Lx"]; O conjunto dado não é LI. b) {2x,x2 -i Lx-i-Lx" -1}; O conjunto dado não é LI. c) {x(x-l),x3 ,2x3 - x2 ,x}; O conjunto dado não é LI.
  4. 4. d) {X 4 + x-I, x' - X + 1,x2 -I}. O conjunto dado é LI. 3) Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R3 , dados abaixo, sejam LI: a) {(3,5m,1),(2,0,4), (1,m,3)}; Para mi-O o conjunto é LI. b) {(1,3,5),(2,m+ 1,1O)}; Para m i- 5 o conjunto é LI. c) {(6,2,n),(3,m + n,m -I}. Para m i- 1 e n i- °o conjunto é LI. 4) Seja {u,v, w} um conjunto LI de vetores de um espaço vetorial V. Provar que o conjunto: {u+ v- 3w,u+ 3v-w, v+ w} éLD.
  5. 5. lista 8: Gabarito 1) Dar uma base e a dimensão do sub-espaço W do R 4 , onde: a) W={(x,y,z,t) E R 4 !x-y=y·ex-3y+t=0}; Como x-y = y temos x = 2y e como x-3y + t = °temos t = 3y-x= 3y -2y = y. Logo (x, y, z, t) = (2y, y, z, y) = y(2,1,0,1)+z(0,0,1,0). Então, os vetores VI = (2,1,0,1) e V2=(0,0,1,0) geram W. Vamos verificar se VI e V2são LI: aI (2,1,0,1 )+a2(0,0, 1,0) = (0,0,0,0) (2aI, a..O, al)+ (0,0, a2,0) = (0,0,0,0) (2al, ai, a2, ai) = (0,0,0,0). Logo ai = °e a2 = °e VI e V2são LI. Portanto, B = { (2,1,0,1), (0,0,1,0)} é base de W e dim W = 2. b) W = {(x, y, z, t) E R 4!X- y = °e x + 2y + t = O}. Como x-y = °temos x = y e como x+2y+t = °temos t = -x-2y = -y-2y = -3y. Logo (x, y, z, t) = (y, y, z,-3y) = y(1,l,0,-3)+z(0,0,1,0). Então, os vetores VI = (1,1,0,-3)e V2=(0,0,1,0) geram W. Vamos verificar se VI e V2são LI: al(1,1,0,-3)+a2(0,0,1,0) = (0,0,0,0) (a., aI,0,-3al)+ (0,0, a2,0) = (0,0,0,0) (ai, ai, a2, -3al) = (0,0,0,0). Logo ai = °e a2 = °e VI e V2são LI. Portanto, B = { (1,1,0,-3), (0,0,1,0)} é base de W e dim W = 2. e 2) No espaço vetorial R 3 , consideremos os seguintes sub-espaços: U = {(x,y,z) E R3 1x = O}, V = {(x,y,z) E R 3 !y-2z= O}, W = [(1,1,0),(0,0,2)]. Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: a) U; Uma base é {(0,1,0), (0,0,1)} e a dimensão é 2. b) V; Uma base é {(1,0,0), (0,2,1)} e a dimensão é 2. c) W; Uma base é {(1,1,0), (0,0,2)} e a dimensão é 2. d)UnV; Uma base é {(0,2,1)} e a dimensão é 1. e) V + W; Uma base é {(1,0,0), (0,2,1), (0,0,2)} e a dimensão é 3. Portanto V + W = R 3 .
  6. 6. f) U+ v + w. Observe que U + V + W = R 3 e portanto a dimensão é 3 e uma base é a base canônica. 3) Mostrar que as matrizes: formam uma base de M2 (R). 4) Determinar uma base de R4 que contenha os seguintes vetores: ( 1 1 Como 1 1 (0,0,0,1)}. 1 1 ° 1 (1,1,1,0)e (1,1,2,1). 0) 4 1 uma base do R é {(l,l,1,0), (0,1,0,0), (1,1,2,1), 5) Mostrar que os polinômios: 1 l+t 1-t2 e 1-t-t2 -e, " , formam uma base de P3(R). 6) Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema: rx-y-z-t=O S:~3x- y +2z-4t=0. l 2y + 5z + t = ° { X - y - z - t = ° {X - Y - z - t = ° {X - Y - z - t = ° S: 3x - y + 2z - 4t = °~ 2y + 5z - t = °~ 2y + 5z - t = ° . 2y + 5z + t = ° 2y + 5z + t = ° 2t = ° . . 1 - ,{( -3 -5 O) R}e aSSImo seu conjunto so uçao e 2z, 2z, z, Z E . Logo uma base é {( -} , -; ,I,O)} e a dimensão é I.
  7. 7. lista 9: gabarito 1) Determinar as coordenadas do vetor u = (4,-5,3) E R3, em relação às bases: a) Canônica; As coordenadas são [ -:5) . b) {(1,1,1),(1,2,0), (3,1,0)}; As coordenadas são [ ~5 ) . c) {(1,2,1),(0,3,2),(1,1,4)}. 21/ 1111 As coordenadas são 4J{1 . 23/ 111 2) Determinar as coordenadas do polinômio e E P3(R), em relação à base: {1,2-t,t2 +1,I+t+e}. As coordenadas são -3 1 °1 3) A matriz de mudança da base {I+ t,1- e} para uma base C, ambas do mesmo sub-espaço de P2 (R) é: Determinar a base C. Sendo C = Ic., C2} temos: { c1 = 1(I+t) + 1(1-t 2 ) d d b {c1 =_t 2 +t+2 L e on e o temos . ogo: c2 = 2(I+t) - 1(1-t2) c2 =t2 +2t+l C = {-e +t+2, e+2t+1}. 4) No espaço R3 , consideremos as bases B={epe2,e3} e C={gpg2,g3} relacionadas da seguinte maneira:
  8. 8. rgl = e1 - e2 - e3 ~ g2 = 2e2 + 3e3 . 193 = 3e1 + e3 a) Determinar a matriz de mudança da base B para a base C e da base C para a base B. A matriz de mudança da base B para a base C é P = [~ 1 ~ ~J.A matriz de mudança -1 3 1 da base C para a base B é p- 1 = [=~ =: ~J. 1 3 -2 b) Se um vetor u de R 3 , apresenta as coordenadas 1, 2, e 3 em relação à base B, quais as coordenadas de u em relação à base C? Seja Y as coordenadas de u em relação à base C. Sendo P a matriz de mudança da base B para a base C temos que: y~p-lm~[~~=3:}2mJ ~[-n
  9. 9. lista 10: gabarito 1) Quais das seguintes aplicações de R 3 ~ R 3 são transformações lineares? a) F](x,y,z) = (x-y,x+y,O); É uma transformação linear. b) F2(x,y,z) = (2x-y+z,O,O); É uma transformação linear. c) F3(x,y,z) = (x,x,x); É uma transformação linear. d) F4(x,y,z) = (2x2 +3y,x,z). Não é uma transformação linear. 2) Seja F:R 3 ~ R 3 o operador linear assim definido na base canônica: F(l,O,O)= (2,3,1), F(O,I,O)= (5,2,7), F(O,O,I)= (-2,0,7). Determinar F(x,y,z) onde (x,y,z) é um vetor genérico do R3. Mostrar que F realmente é um operador linear. Seja (x, y, z) é um vetor genérico do R 3. Temos: (x,y,z) = x(1,O,O)+ y(O,I,O) + z(O,O,I). Logo: F(x,y,z) = xF(1,O,O) + yF(O,I,O) + zF(O,O,I) = x(2,3,1) + y(S,2,7) + z(-2,0,7) = (2x + Sy - 2z, 3x + 2y, x + 7y + 7z). Sejam (xpypz])ER3,(X2'Y2,z2)ER3e aER: F((xpypz])+(X2'Y2,Z2»=F(x] +x2'Y] +Y2'Z] +Z2) = (2(x] +x2)+S(Y1 +Y2)-2(Z1 +z2),3(x1 +x2)+2(Y1 +Y2)'(X, +x2)+7(y, +Y2)+7(z, +Z2» = (Zx, +2x2 +Sy, +5Y2 -2z1 -2z2,3x1 +3x2 +2Y1 +2Y2,X1 +x2 +7y, +7Y2 +7z1 +7z2) =(2x] +SY1 -2z, +2x2 +SY2 -2z2,3x] +Zy. +3x2 +2Y2'X, +7y, +7z, +x2 +7Y2 +7z2) = (Zx. +SY1 -2zp3x1 +2Ypx1 +7y, +7z,)+(2x2 +SY2 -2z2,3x2 +2Y2,X2 +7Y2 +7z2) = F(x], ypz,) + F(x2, Y2 ,Z2); F(a(xpypz]» = F(axpaYpaz1) = (2ax, + Sccy, -2azp3ax, +2aYpax] +7ay, +7az,) = (a(2x1 +5Y1-2z,),a(3x, +2y,),a(x1 +7y, +7zJ) = a(2x] + Sy, - 2zp3x] + 2y" x1 + 7y] + 7z,) = aF(x"y"z1)' Logo F é uma transformação linear.
  10. 10. 3) Seja u=(x,y,z,t) um vetor genérico do R4 • Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R4 ? a) F(u) = u + (1,0,1,0); F(x,y,z,t) = (x + 1, y, z + 1, t) não é um operador linear. b) F(u) = (1,0,1,1); F(x,y,z,t) = (1,0,1,1) não é um operador linear. c) F(u) = (x,x- z,y + z.x-i t). F(x,y,z,t) = (x, x - z, y + z, x + t) é um operador linear. 4) Seja F o operador linear do R2 tal que: F(1,O)= (2,1) e F(O,I) = (1,4). a) Determinar F(2,4); F(2,4) = 2F(1,0) + 4F(0,1) = 2(2,1) + 4(1,4) = (8,18). b) Determinar (x.y) E R2 tal que F(x,y) = (2,3). F(x,y) = xF(1,O) + yF(O,I) = x(2,1) + y(1,4) = (2,3). Logo: { 2X + Y = 2 ~ {2X + Y = 2, x + 4y = 3 7y = 4 . 4 5. (5 4)e assIm temos y=- e x=-,ouseJa, (x,y) = -,- . 7 7 7 7 5) Para cada uma das transformações lineares do exercício 1) determine a matriz canônica: a) F1(x,y,z) = (x-y,x+y,O); [ 1 -1 0JA matriz canônica é C1 = 1 1 O. ° ° ° b) F2 (x,y,z) = (2x - Y+ z,O,O); [ 2 -1 lJA matriz canônica é C2 = ° ° O. ° ° ° c) F3(x,y,z) = (x,x,x); [ 1 ° A matriz canônica é C3 = 1 ° 1 °
  11. 11. lista 11: gabarito 1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem: a) F:R 3 ~ R dada por F(x,y,z) = x+y-z; Uma base para Ker(F) é B = {(-1,1,0), (1,0,1)} e assim dim(Ker(F» = 2. Como Im(F) = R temos dimrlmff') = 1. b) F:R 2 ~ R 2 dada por F(x,y) = (2x,x+y); Ker(F) = {(O,O)} e assim dim(Ker(F» = O. Uma base para Im(F) é C = {(2,1), (0,1)} e assim dimflrruf') = 2. c) F:R3 ~ R 4 dada por F(x,y,z, t) = (x- Y- z.x + Y+ z,2x- y+ z,-y); Ker(F) = {(O,O,O)} e assim dim(Ker(F» = O. Uma base para Im(F) é C = {(1,1,2,0), (-1,1,-1,-1), (-1,1,1,0)} e assim dimflnuf') = 3. d) F:M, (R) -> M, (R) dada por F(X) ~ MX + X onde M ~ (~ ~) Ker(F) ~ {( ~ ~)} e assim dim(Ker(F)) ~ O. Uma base para Im(F) é C ~ {[~ ~J[~~JG~J[~:)}eassim diln(lm(F)) ~ 4 e) F: M, (R) -> M, (R) dada por F(X) ~ MX - XM onde M ~ (~ ~). Uma base para Ker(F) é B ~ {[ ~ ~J[~ ~)}e assim dim(Ker(F)) ~ 2 Uma base para Im(F) é C ~ {[ ~ -0 2 J[~ _°2 ) } e assim dim(lm(F)) ~ 4. 2) Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por: (1,1,0,0) e (0,0,1,0). Sabemos que se T : R 4 ~ R 4 é definida por: T(x,y,z,t) = (a.x+b.y+c.z+d.t, a-x+b-y+c-z+d-t, a.x+b.y+c-z+d-t, a.x+bay+caz+dat) onde ai, b., c., d., a2, b2, C2,d-, a3, b3, C3,d3, aa, b., C4 e d, são números reais para todo (x,y,z,t) E R 4 é um operador linear. Como T(1,l,O,O) = (0,0,0,0) e (1,1,0,0) = (1,0,0,0) + (0,1,0,0) segue que: T(O,I,O,O) = - T(1,O,O,O). Além disso T(O,O,l,O) = (0,0,0,0). Observe ainda que T(O,O,O,I) deve ser diferente de (0,0,0,0) pois caso contrário (0,0,0,1) E Ker(F) o que não é verdade pois Ker(T) = [(1,1,0,0), (0,0,1,0). Como desejamos um operador escolhemos: T(1,O,O,O) = (1,0,0,0), T(O,l,O,O) = (-1,0,0,0) e
  12. 12. T(O,O,O,l) = (0,0,0,1). Observe que não poderíamos escolher também T(O,O,O,l) = (k,O,O,O),com k s R*, pois neste caso dim(Im(T)) = 1 contradizendo o teorema do núcleo e da imagem. De T(l,O,O,O) = (1,0,0,0) obtemos (aI,a2,a3,{4) = (1,0,0,0). De T(O,l,O,O) = (-1,0,0,0) obtemos (bI,b2,b3,b4)= (-1,0,0,0). De T(O,O,l,O) = (0,0,0,0) obtemos (c],C2,C3,C4)= (0,0,0,0). De T(O,O,O,l) = (0,0,0,1) obtemos (dI,d2,d3,d4) = (0,0,0,1). Logo T(x,y,z,t) = (x-y, 0, 0, t). 3) Determinar um operador linear do R3 cujo núcleo tenha dimensão 1. Sabemos que se T : R3 ---+ R3 é definida por: T(x,y,z) = (a.x+b.y+c.z, a2x+b2Y+C2Z,a3x+b3Y+C3Z,(4x+b4Y+C4Z) onde a., b., c], a2, b2, C2,a3,b3, C3,(4, b, e C4são números reais para todo (x,y,z,) E R3 é um operador linear. Como dim(Ker(T)) = 1 temos que dim(Im(T)) = 2 e assim podemos escolher: T(l,O,O) = (0,0,0), T(O,l,O) = (0,1,0) e T(O,O,l) = (0,0,1). Daí obtemos (aI,a2,a3) = (0,0,0), (b1,b2,b3) = (0,1,0) e (CI,C2,C3)= (0,0,1). Logo T(x,y,z) = (O,y, z). 4) Seja F:R 3 ---+ R 3 definida por: F(l,O,O) = (1,1,0), F(O,l,O) = (1,1,2), F(O,O,l) = (0,0,2). Determinar uma base para Ker(F) e Im(F). Seja (x, y, z) é um vetor genérico do R 3 . Temos: (x,y,z) = x(1,O,O) + y(O,l,O) + z(O,O,l). Logo: F(x,y,z) = xF(1,O,O) + yF(O,l,O) + zF(O,O,l) = x(1,l,O) + y(1,1,2) + z(0,0,2) = (x + y, x + y, 2y+ 2z). Daí: Uma base para Ker(F) é B = {(1,-1,1)} e assim dim(Ker(F)) = l. Uma base para Im(F) é C = {(1,1,0), (0,0,1)} e assim dim(Im(F)) = 2.

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