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  1. 1. MATEMÁTICA ELEMENTAR MATEMÁTICA ELEMENTAR Carlos Alberto G. de Almeida (cviniro@dce.ufpb.com) 17 de setembro de 2012
  2. 2. MATEMÁTICA ELEMENTARIntrodução Olá a todos, sejam muito bem vindos a disciplina Matemática Elementar Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo: Teoria dos Conjuntos. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria. BOM ESTUDO!
  3. 3. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 01: Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {7, 9} eC = {5, 7, 9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ( B ) ∩ A e C (B∩C) A . Solução: (A ∩ B) = {7, 9}. Daí, teremos (A ∩ B) ∪ C = {7, 9} ∪ {5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C (B ∪ C) = {5, 7, 9}, logo (B ∪ C) ∩ A = {5, 7, 9} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C Sabemos que B = C − B = {5}. Assim, temos que C ( B ) ∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}. C B∩C = A − (B ∩ C) = {3, 5, 7, 9} − {7, 9} = {3, 5} A
  4. 4. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 02: Determine o conjunto A tal queA ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, e}, A ∪ {c, d} = {a, c, d, e} eA ∩ {b, c, d} = {c}. Solução: De acordo com a primeira igualdade, podemos concluir que os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d ou e. Porém, a única certeza é que e ∈ A Da segunda igualdade, concluimmos que b ∈ A e também / que a ∈ A Da terceira igualdade, segue que c ∈ A e d ∈ A / Portanto, o conjunto A = {a, c, e}
  5. 5. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 03: Dados os conjuntos A = {n, u, m, e, r , o} eB = {z, e, r , o}, quantos são os subconjuntos de(A ∪ B) − (A ∩ B)? Solução: Observe que: (A ∪ B) = {n, u, m, e, r , o, z} e (A ∩ B) = {e, r , o}. Então (A ∪ B) − (A ∩ B) = {n, u, m, z} possui quatro elementos. Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B) − (A ∩ B) será 24 = 16 subconjuntos.
  6. 6. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 04: Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 16 e 8subconjuntos. Sabendo que (A ∩ B) tem dois elementos,determine o número de elementos do conjunto (A ∪ B). Solução: Sabemos que o número de subconjuntos do conjunto A é dado por 2n(A) . Então, segue que 2n(A) = 16 ⇒ 2n(A) = 24 ⇒ n(A) = 4. De modo análogo, o número de subconjutos do conjunto B é dado por 2n(B) . Então, segue que 2n(B) = 8 ⇒ 2n(B) = 23 ⇒ n(B) = 3. Mas, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Então, segue que n(A ∪ B) = 4 + 3 − 2 = 5. Portanto, (A ∪ B) tem 5 elementos.
  7. 7. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: Um professor recomendou a leitura de obras doescritor Machado de Assis a um grupo de 30 jovens. Depois dealgum tempo, o professor realizou um levantamento para saberquais livros foram lidos. Verificou-se, então, que 21 alunostinham lido Dom Casmurro, 19 alunos leram Quincas Borba e 12alunos leram essas duas obras. Solução: Vamos verificar então: quantos leram apenas Dom Casmurro; quantos leram apenas Quincas Borba; quantos não leram quaisquer dessas obras.
  8. 8. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05 (Continuação) Para obter essas informações, vamos recorrer a um diagrama. O conjunto A representa os alunos que leram Dom Casmurro e o conjunto B, os alunos que leram Qunicas Borba. Como o número 12 indica a quantidade de alunos que leram os dois livros, ele será colocado na interseção (figura 1).
  9. 9. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05(Continuação) No conjunto A, já estão colocados 12 alunos. Como eles são em número de 21, para saber quantos alunos leram apenas Dom casmurro devemos fazer 21 − 12 = 9 (figura 2).
  10. 10. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05(Continuação) No conjunto B, já estão colocados 12 alunos. Como eles são em número de 19, para saber quantos alunos leram apenas Quincas Borba devemos fazer 19 − 12 = 7 (figura 3). Agora sabemos que 28 jovens desse grupo já leram alguma obra de Machado de Assis, pois 9 + 12 + 7 = 28. Consequentemente, não leram quaisquer desses livros 2 jovens (30 − 28).
  11. 11. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: Em uma cidade existem dois clubes, A e B, quetêm, juntos, 1 400 sócios. O clube A tem 600 sócios e 400 sóciospertencem aos dois clubes. Pergunta-se: a) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao clube A? b) Quantos sócios pertencem ao clube B? c) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao clube B? Solução: De acordo com os dados temos que n(A ∪ B) = 1 400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400. a) Sócios exclusivos do clube A: Observe o diagrama
  12. 12. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06 (Continuação) Seja x o número de sócios exclusivos do clube A, representado no diagrama pela parte hachurada. Então n(A) = x + 400 ⇒ 600 = x + 400 ⇒ x = 200. Portanto, 200 sócios são exclusivos do clube A.
  13. 13. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06 (Continuação) b) Sócios do clube B: Sabemos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Substituindo os dados, temos 1 400 = 600 + n(B) − 400 ⇒ n(B) = 1 200. Portanto, o clube B tem 1 200 sócios. c) Sócios exclusivos do clube B: Observe o diagrama
  14. 14. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06 (Continuação) Seja y o número de sócios exclusivos do clube B, representado no diagrama pela parte hachurada. Então: y = n(A ∪ B) − n(A) = 1 400 − 600 ⇒ y = 800 ou y = n(B) − n(A ∩ B) = 1 200 − 400 ⇒ y = 800. Portanto, 800 sócios são exclusivos do clube B.
  15. 15. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 07: Verifique se A ⊂ B nos seguintes casos:a) A = {5, 7, 11} e B={números primos}b) A = {x ∈ N|x + 2 < 7} e B = {x ∈ N|1 < x < 4}c) A = {x ∈ N|x 2 − 11x + 18 = 0} e B = {x ∈ N|x < 10} a) Solução: A ⊂ B, pois todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. b) Determinando os elementos do conjunto A e do conjunto B, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, }. Então B ⊂ A pois todos os elementos do conjunto B estão também no conjunto A. c) Determinando os elementos do conjunto A e do conjunto B, temos: A = {2, 9} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Então A ⊂ B pois todos os elementos do conjunto A estão também no conjunto B.
  16. 16. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 08: Mostre que (A − B) ⊂ A para todo conjunto A. Solução: Sempre que quisermos demonstrar uma fórmula envolvendo a inclusão entre conjuntos, isto é, fórmulas com ⊂ ou ⊃, devemos considerar um elemento qualquer em um dos conjuntos, e mostrarmos que ele pertence também ao outro conjunto. Dessa forma, seja x ∈ (A − B). Então, por definição de diferença entre conjuntos, temos que x ∈ A e x ∈ B. Portanto / x ∈ A. Isto nos garante que todo elemento x ∈ (A − B), também é elemento do conjunto A. Ou seja (A − B) ⊂ A.
  17. 17. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 09: Se adicionarmos 4 novos elementos a um conjuntoX , obteremos um conjunto Y . Que relação existe entre asquantidades de elementos de P(X ) e P(Y )? Solução: Vamos supor que o conjunto X tenha n elementos. Então o conjunto Y terá n + 4 elementos. Daí, o número de elementos de P(X ) será 2n , enquanto que o número de elementos de P(Y ) será 2n+4 . Observe que 2n+4 = 2n .24 = 16.2n . Portanto a quantidade de elementos do conjunto P(Y ) será 16 vezes a quantidade de elementos de P(X ).
  18. 18. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 10: Sendo o conjunto A = {1, 2, {3}, {3, 4, 5}}, analiseas afirmações abaixo: a) 1 ∈ A ou {1} ∈ A? b) {3, 4, 5} ∈ A ou {3, 4, 5} ⊂ A? c) {1, 2} ∈ A ou {1, 2} ⊂ A? Solução: Observe que o conjunto A tem quatro elementos. Vamos denotá-los por x = 1, y = 2, z = {3} e w = {3, 4, 5}. a) Daí, podemos ver claramente que x = 1 é um dos elementos de A, enquanto {1} é um subconjunto de A. Portanto, 1 ∈ A está verdadeira, enquanto que {1} ∈ A está falsa.
  19. 19. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 10 (Continuação) b) De modo análogo, w = {3, 4, 5} também é um dos elementos de A, enquanto {3, 4, 5} não é um subconjunto de A. Logo, {3, 4, 5} ∈ A está verdadeira, enquanto que {3, 4, 5} ⊂ A está falsa. Nessa segunda parte, o correto seria escrever {{3, 4, 5}} ⊂ A. c) A afirmação {1, 2} ∈ A está falsa, pois como 1 e 2 são elementos de A, segue que {1, 2} é subconjunto de A, e portanto a relação correta é {1, 2} ⊂ A. É importante lembrar que os símbolos ∈ e ∈ são usados / para relacionar elemento com conjunto, chamados de Relação de Pertinência. Já a relação de inclusão, isto é, os símbolos ⊂ e ⊃ devem ser usados para relacionar conjunto com conjunto.
  20. 20. MATEMÁTICA ELEMENTAROBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu possa tentar esclarecê-las. BOM ESTUDO!

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