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MATEMÁTICA ELEMENTAR


Carlos Alberto G. de Almeida
(cviniro@dce.ufpb.com)

17 de setembro de 2012


Introdução

Olá a todos, sejam muito bem vindos a disciplina
Matemática Elementar

Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:
Teoria dos Conjuntos.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria.

BOM ESTUDO!


Questão 01: Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {7, 9} e
C = {5, 7, 9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ( B ) ∩ A e
C
(B∩C)
A .

Solução:
(A ∩ B) = {7, 9}.
Daí, teremos
(A ∩ B) ∪ C = {7, 9} ∪ {5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C
(B ∪ C) = {5, 7, 9}, logo
(B ∪ C) ∩ A = {5, 7, 9} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C
Sabemos que B = C − B = {5}. Assim, temos que
C
( B ) ∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}.
C
B∩C = A − (B ∩ C) = {3, 5, 7, 9} − {7, 9} = {3, 5}
A


Questão 02: Determine o conjunto A tal que
A ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, e}, A ∪ {c, d} = {a, c, d, e} e
A ∩ {b, c, d} = {c}.

Solução:
De acordo com a primeira igualdade, podemos concluir
que os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d ou
e. Porém, a única certeza é que e ∈ A
Da segunda igualdade, concluimmos que b ∈ A e também
/
que a ∈ A
Da terceira igualdade, segue que c ∈ A e d ∈ A
/
Portanto, o conjunto A = {a, c, e}


Questão 03: Dados os conjuntos A = {n, u, m, e, r , o} e
B = {z, e, r , o}, quantos são os subconjuntos de
(A ∪ B) − (A ∩ B)?

Solução: Observe que:
(A ∪ B) = {n, u, m, e, r , o, z} e
(A ∩ B) = {e, r , o}. Então
(A ∪ B) − (A ∩ B) = {n, u, m, z} possui quatro elementos.
Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B) − (A ∩ B)
será 24 = 16 subconjuntos.


Questão 04: Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 16 e 8
subconjuntos. Sabendo que (A ∩ B) tem dois elementos,
determine o número de elementos do conjunto (A ∪ B).

Solução:
Sabemos que o número de subconjuntos do conjunto A é
dado por 2n(A) . Então, segue que
2n(A) = 16 ⇒ 2n(A) = 24 ⇒ n(A) = 4.
De modo análogo, o número de subconjutos do conjunto B
é dado por 2n(B) . Então, segue que
2n(B) = 8 ⇒ 2n(B) = 23 ⇒ n(B) = 3.
Mas, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Então, segue que
n(A ∪ B) = 4 + 3 − 2 = 5.
Portanto, (A ∪ B) tem 5 elementos.


Questão 05: Um professor recomendou a leitura de obras do
escritor Machado de Assis a um grupo de 30 jovens. Depois de
algum tempo, o professor realizou um levantamento para saber
quais livros foram lidos. Veriﬁcou-se, então, que 21 alunos
tinham lido Dom Casmurro, 19 alunos leram Quincas Borba e 12
alunos leram essas duas obras.

Solução: Vamos veriﬁcar então:
quantos leram apenas Dom Casmurro;
quantos leram apenas Quincas Borba;
quantos não leram quaisquer dessas obras.


Questão 05 (Continuação)
Para obter essas informações, vamos recorrer a um diagrama.
O conjunto A representa os alunos que leram Dom Casmurro e
o conjunto B, os alunos que leram Qunicas Borba. Como o
número 12 indica a quantidade de alunos que leram os dois
livros, ele será colocado na interseção (ﬁgura 1).


Questão 05(Continuação)
No conjunto A, já estão colocados 12 alunos. Como eles são
em número de 21, para saber quantos alunos leram apenas
Dom casmurro devemos fazer 21 − 12 = 9 (ﬁgura 2).


Questão 05(Continuação)
No conjunto B, já estão colocados 12 alunos. Como eles são
em número de 19, para saber quantos alunos leram apenas
Quincas Borba devemos fazer 19 − 12 = 7 (ﬁgura 3).

Agora sabemos que 28 jovens desse grupo já leram alguma
obra de Machado de Assis, pois 9 + 12 + 7 = 28.
Consequentemente, não leram quaisquer desses livros 2
jovens (30 − 28).


Questão 06: Em uma cidade existem dois clubes, A e B, que
têm, juntos, 1 400 sócios. O clube A tem 600 sócios e 400 sócios
pertencem aos dois clubes. Pergunta-se:
a) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao
clube A?
b) Quantos sócios pertencem ao clube B?
c) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao
clube B?

Solução: De acordo com os dados temos que
n(A ∪ B) = 1 400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400.
a) Sócios exclusivos do clube A:
Observe o diagrama



Seja x o número de sócios exclusivos do clube A, representado
no diagrama pela parte hachurada. Então
n(A) = x + 400 ⇒ 600 = x + 400 ⇒ x = 200.
Portanto, 200 sócios são exclusivos do clube A.


b) Sócios do clube B:
Sabemos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Substituindo os dados, temos
1 400 = 600 + n(B) − 400 ⇒ n(B) = 1 200.
Portanto, o clube B tem 1 200 sócios.
c) Sócios exclusivos do clube B:
Observe o diagrama



Seja y o número de sócios exclusivos do clube B, representado
no diagrama pela parte hachurada. Então:
y = n(A ∪ B) − n(A) = 1 400 − 600 ⇒ y = 800
ou
y = n(B) − n(A ∩ B) = 1 200 − 400 ⇒ y = 800.
Portanto, 800 sócios são exclusivos do clube B.


Questão 07: Veriﬁque se A ⊂ B nos seguintes casos:
a) A = {5, 7, 11} e B={números primos}
b) A = {x ∈ N|x + 2 < 7} e B = {x ∈ N|1 < x < 4}
c) A = {x ∈ N|x 2 − 11x + 18 = 0} e B = {x ∈ N|x < 10}

a) Solução: A ⊂ B, pois todos os elementos do conjunto A
são também elementos do conjunto B.
b) Determinando os elementos do conjunto A e do conjunto
B, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, }. Então B ⊂ A
pois todos os elementos do conjunto B estão também no
conjunto A.
c) Determinando os elementos do conjunto A e do conjunto
B, temos: A = {2, 9} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Então
A ⊂ B pois todos os elementos do conjunto A estão
também no conjunto B.


Questão 08: Mostre que (A − B) ⊂ A para todo conjunto A.

Solução: Sempre que quisermos demonstrar uma fórmula
envolvendo a inclusão entre conjuntos, isto é, fórmulas com ⊂
ou ⊃, devemos considerar um elemento qualquer em um dos
conjuntos, e mostrarmos que ele pertence também ao outro
conjunto.
Dessa forma, seja x ∈ (A − B). Então, por deﬁnição de
diferença entre conjuntos, temos que x ∈ A e x ∈ B. Portanto
/
x ∈ A.
Isto nos garante que todo elemento x ∈ (A − B), também é
elemento do conjunto A. Ou seja

(A − B) ⊂ A.


Questão 09: Se adicionarmos 4 novos elementos a um conjunto
X , obteremos um conjunto Y . Que relação existe entre as
quantidades de elementos de P(X ) e P(Y )?

Solução: Vamos supor que o conjunto X tenha n elementos.
Então o conjunto Y terá n + 4 elementos.
Daí, o número de elementos de P(X ) será 2n , enquanto que o
número de elementos de P(Y ) será 2n+4 .
Observe que 2n+4 = 2n .24 = 16.2n .
Portanto a quantidade de elementos do conjunto P(Y ) será 16
vezes a quantidade de elementos de P(X ).


Questão 10: Sendo o conjunto A = {1, 2, {3}, {3, 4, 5}}, analise
as aﬁrmações abaixo:
a) 1 ∈ A ou {1} ∈ A?
b) {3, 4, 5} ∈ A ou {3, 4, 5} ⊂ A?
c) {1, 2} ∈ A ou {1, 2} ⊂ A?

Solução: Observe que o conjunto A tem quatro elementos.
Vamos denotá-los por x = 1, y = 2, z = {3} e w = {3, 4, 5}.
a) Daí, podemos ver claramente que x = 1 é um dos
elementos de A, enquanto {1} é um subconjunto de A.
Portanto, 1 ∈ A está verdadeira, enquanto que {1} ∈ A
está falsa.



b) De modo análogo, w = {3, 4, 5} também é um dos
elementos de A, enquanto {3, 4, 5} não é um subconjunto
de A. Logo, {3, 4, 5} ∈ A está verdadeira, enquanto que
{3, 4, 5} ⊂ A está falsa. Nessa segunda parte, o correto
seria escrever {{3, 4, 5}} ⊂ A.
c) A aﬁrmação {1, 2} ∈ A está falsa, pois como 1 e 2 são
elementos de A, segue que {1, 2} é subconjunto de A, e
portanto a relação correta é {1, 2} ⊂ A.
É importante lembrar que os símbolos ∈ e ∈ são usados
/
para relacionar elemento com conjunto, chamados de
Relação de Pertinência. Já a relação de inclusão, isto é,
os símbolos ⊂ e ⊃ devem ser usados para relacionar
conjunto com conjunto.


OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,
e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu
possa tentar esclarecê-las.

BOM ESTUDO!

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