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Juros Compostos                                          Juros Compostos

  No regime de capitalização composta o valor dos         No Brasil os juros compostos são conhecidos
juros para o período atual é obtido pela aplicação da   popularmente como “juros sobre juros”
taxa de juros sobre o montante acumulado até o início
desse período




                Juros Compostos                                          Juros Compostos

  No Brasil, a maioria das operações do mercado           Podemos calcular juros compostos fazendo uma
financeiro é calculada a juros compostos, por           sucessão de cálculos de juros simples, calculando o
exemplo: Certificados de Depósitos Bancários, Fundos    montante para cada período de capitalização, utilizando
de    Investimento,   Caderneta     de    Poupança,     sempre como base de cálculo o valor futuro ou o
Financiamentos H bit i
Fi    i    t Habitacionais, C diá i
                        i Crediários, L
                                      Leasing etc.
                                          i    t        montante conseguido no período d capitalização
                                                           t t          id        í d de    it li   ã
                                                        anterior.




                                                                                                                  1
Juros Compostos                                                Juros Compostos

  A fórmula de juros simples para cada período de            Valor futuro após o primeiro período de capitalização:

capitalização (cada dia, cada mês etc.) é a seguinte:
                                                                       FV1 = PV × (1 + i)

            FV = PV × (1 + i)                                Valor futuro após o segundo período de capitalização:


                                                                       FV2 = FV1 × (1 + i)
Nota: a variável “n” será desprezada pois será sempre 1
                                                                 FV2 = PV × (1 + i) × (1 + i)




                 Juros Compostos                                                Juros Compostos

  Valor futuro após o terceiro período de capitalização:

            FV3 = FV2 × (1 + i)
                                                                        FV = PV (1 + i)n
FV3 = PV × (1 + i) × (1 + i) × (1 + i)
                                                               FV = Valor Futuro (Future Value)

  Valor futuro após “n” períodos de capitalização:
                                                               PV = Valor Presente (Present Value)
                                                               i = Taxa (Interest Rate)
           FVn = PV × (1 + i)n                                 n = Período (Number of periods)




        Exemplo 1 (Método Algébrico)                                        Exemplo 1 (HP-12C)

  Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de          Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de
2% a.m. durante 5 meses. Calcule o montante.               2% a.m. durante 5 meses. Calcule o montante.



                                                                        f       FIN
                                                                        600 PV

                                                                            2    i

                                                                            5    n

                                                                                 FV        – 662,45




                                                                                                                      2
Cálculo do Juros                                         Cálculo do Juros

  Para calcular apenas o valor dos juros, partimos da
                                                                                           n
idéia de que:                                                  INT = PV × (1 + i) – PV
                FV = PV + INT
                                                         E, deixando o PV em evidência, teremos:

  Daí pode-se dizer que:
                                                               INT = PV × [(1 + i)n – 1]
                INT = FV – PV
  E, finalmente:

        INT = PV × (1 + i)n – PV




        Exemplo 2 (Método Algébrico)                                Derivações da Fórmula

  Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de
2% a.m. durante 5 meses. Calcule o valor dos juros.
                                                                                                   .


                                                                                  n
                                                         FV  PV         1 i                        .




        Exemplo 3 (Método Algébrico)                                    Exemplo 3 (HP-12C)

  Calcule o montante para um principal de R$ 1.470,00    Calcule o montante para um principal de R$ 1.470,00
a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 meses           a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 meses



                                                                    f       FIN
                                                                   1470 PV

                                                                        2     i

                                                                        5    n

                                                                            FV        – 1.623,00




                                                                                                               3
Exemplo 4 (Método Algébrico)                                   Exemplo 4 (HP-12C)

  Calcule o principal que gerou um montante de           Calcule o principal que gerou um montante de
R$ 1.623,00 a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5    R$ 1.623,00 a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5
meses.                                                 meses.

                                                                   f         FIN
                                                                  1623 FV

                                                                        2        i

                                                                        5    n

                                                                             PV                – 1.470,00




         Exemplo 5 (Método Algébrico)                                   Exemplo 5 (HP-12C)

  Calcule a taxa mensal para um principal de             Calcule a taxa mensal para um principal de
R$ 1.470,00 que gerou um montante de R$ 1.623,00       R$ 1.470,00 que gerou um montante de R$ 1.623,00
num prazo de 5 meses.                                  num prazo de 5 meses.

                                                                    f        FIN
                                                                  1470 PV

                                                                  1623 CHS                FV

                                                                        5        n

                                                                                 i             2%




         Exemplo 6 (Método Algébrico)                                   Exemplo 6 (HP-12C)

  Calcule o número de períodos de capitalização para     Calcule o número de períodos de capitalização para
um   principal   de   R$   1.470,00,   montante   de   um   principal       de       R$    1.470,00,     montante   de
R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m.                       R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m.

                                                                    f        FIN
                                                                  1470 PV

                                                                  1623 CHS                FV

                                                                        2        i

                                                                                 n             5 meses




                                                                                                                         4
Exemplo 7 (Método Algébrico)                                          Exemplo 7 (HP-12C)

  Calcule o número de períodos de capitalização para       Calcule o número de períodos de capitalização para
um   principal   de    R$   1.000,00,   montante   de    um    principal          de        R$    1.000,00,       montante      de
R$ 1.211,83 à taxa de 3,00% a.m.                         R$ 1.211,83 à taxa de 3,00% a.m.

                                                                          f        FIN
                                                                    1211,83 PV

                                                                      1000 CHS                   FV

                                                                              3        i

                                                                                       n              7 meses




                      Curiosidade                                                          Curiosidade

  Observe que os resultados encontrados pela fórmula       A HP-12C arredonda a resposta                     n     para o inteiro
e pela HP-12C são diferentes, e fica evidente que a      imediatamente superior nos casos em que o resultado
resposta encontrada pela HP-12C não está correta         for fracionário. No exemplo anterior, o resultado correto
                                                         é de 6,5 meses; assim, a HP-12C arredondou o
                                                         resultado para 7




                      Curiosidade                                             Período Fracionário

  Para contornar esse problema de arredondamento na      Quando o tempo de uma aplicação não for um número
HP-12C, deve-se armazenar no registrador financeiro      inteiro, podemos ter três possibilidades:
 i   a taxa equivalente diária a juros compostos para
que o resultado do prazo seja calculado e fornecido em     Somente ter remuneração pelo número inteiro de
uma quantidade exata de dias.                            períodos    de       capitalização,          como       ocorre   com    a
                                                         caderneta de poupança
                                                           Os juros do número inteiro de períodos de
                                                         capitalização são calculados a juros compostos e a
                                                         parte fracionária a juros simples
                                                           São calculados juros compostos pelo tempo todo,
                                                         inclusive na parte fracionária




                                                                                                                                     5
Período Fracionário                        Juros Compostos na Parte Fracionária

  Com a seqüência de teclas STO       EEX aparecerá no       Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$
visor a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo   1.450,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5
no visor, a HP-12C fará os cálculos levando em             anos
consideração os dois regimes de capitalização (juros                        Com o “C” no visor:
compostos na parte inteira e juros simples na parte
fracionária)                                                           f        FIN
                                                                      1450 PV

                                                                           15   i
                                                                           3,5 n

                                                                                FV       2.364,89




       Juros Simples na Parte Fracionária                           Juros Simples e Compostos

  Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$
1.450,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5
anos
                    Sem o “C” no visor:

               f        FIN
               1450 PV

                   15   i
                   3,5 n

                        FV       2.370,67




                                                                                                                  6

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  • 1. Juros Compostos Juros Compostos No regime de capitalização composta o valor dos No Brasil os juros compostos são conhecidos juros para o período atual é obtido pela aplicação da popularmente como “juros sobre juros” taxa de juros sobre o montante acumulado até o início desse período Juros Compostos Juros Compostos No Brasil, a maioria das operações do mercado Podemos calcular juros compostos fazendo uma financeiro é calculada a juros compostos, por sucessão de cálculos de juros simples, calculando o exemplo: Certificados de Depósitos Bancários, Fundos montante para cada período de capitalização, utilizando de Investimento, Caderneta de Poupança, sempre como base de cálculo o valor futuro ou o Financiamentos H bit i Fi i t Habitacionais, C diá i i Crediários, L Leasing etc. i t montante conseguido no período d capitalização t t id í d de it li ã anterior. 1
  • 2. Juros Compostos Juros Compostos A fórmula de juros simples para cada período de Valor futuro após o primeiro período de capitalização: capitalização (cada dia, cada mês etc.) é a seguinte: FV1 = PV × (1 + i) FV = PV × (1 + i) Valor futuro após o segundo período de capitalização: FV2 = FV1 × (1 + i) Nota: a variável “n” será desprezada pois será sempre 1 FV2 = PV × (1 + i) × (1 + i) Juros Compostos Juros Compostos Valor futuro após o terceiro período de capitalização: FV3 = FV2 × (1 + i) FV = PV (1 + i)n FV3 = PV × (1 + i) × (1 + i) × (1 + i) FV = Valor Futuro (Future Value) Valor futuro após “n” períodos de capitalização: PV = Valor Presente (Present Value) i = Taxa (Interest Rate) FVn = PV × (1 + i)n n = Período (Number of periods) Exemplo 1 (Método Algébrico) Exemplo 1 (HP-12C) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de 2% a.m. durante 5 meses. Calcule o montante. 2% a.m. durante 5 meses. Calcule o montante. f FIN 600 PV 2 i 5 n FV – 662,45 2
  • 3. Cálculo do Juros Cálculo do Juros Para calcular apenas o valor dos juros, partimos da n idéia de que: INT = PV × (1 + i) – PV FV = PV + INT E, deixando o PV em evidência, teremos: Daí pode-se dizer que: INT = PV × [(1 + i)n – 1] INT = FV – PV E, finalmente: INT = PV × (1 + i)n – PV Exemplo 2 (Método Algébrico) Derivações da Fórmula Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à taxa de 2% a.m. durante 5 meses. Calcule o valor dos juros. . n FV  PV  1 i . Exemplo 3 (Método Algébrico) Exemplo 3 (HP-12C) Calcule o montante para um principal de R$ 1.470,00 Calcule o montante para um principal de R$ 1.470,00 a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 meses a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 meses f FIN 1470 PV 2 i 5 n FV – 1.623,00 3
  • 4. Exemplo 4 (Método Algébrico) Exemplo 4 (HP-12C) Calcule o principal que gerou um montante de Calcule o principal que gerou um montante de R$ 1.623,00 a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 R$ 1.623,00 a uma taxa de 2,00% a.m. num prazo de 5 meses. meses. f FIN 1623 FV 2 i 5 n PV – 1.470,00 Exemplo 5 (Método Algébrico) Exemplo 5 (HP-12C) Calcule a taxa mensal para um principal de Calcule a taxa mensal para um principal de R$ 1.470,00 que gerou um montante de R$ 1.623,00 R$ 1.470,00 que gerou um montante de R$ 1.623,00 num prazo de 5 meses. num prazo de 5 meses. f FIN 1470 PV 1623 CHS FV 5 n i 2% Exemplo 6 (Método Algébrico) Exemplo 6 (HP-12C) Calcule o número de períodos de capitalização para Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de R$ 1.470,00, montante de um principal de R$ 1.470,00, montante de R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m. R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m. f FIN 1470 PV 1623 CHS FV 2 i n 5 meses 4
  • 5. Exemplo 7 (Método Algébrico) Exemplo 7 (HP-12C) Calcule o número de períodos de capitalização para Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de R$ 1.000,00, montante de um principal de R$ 1.000,00, montante de R$ 1.211,83 à taxa de 3,00% a.m. R$ 1.211,83 à taxa de 3,00% a.m. f FIN 1211,83 PV 1000 CHS FV 3 i n 7 meses Curiosidade Curiosidade Observe que os resultados encontrados pela fórmula A HP-12C arredonda a resposta n para o inteiro e pela HP-12C são diferentes, e fica evidente que a imediatamente superior nos casos em que o resultado resposta encontrada pela HP-12C não está correta for fracionário. No exemplo anterior, o resultado correto é de 6,5 meses; assim, a HP-12C arredondou o resultado para 7 Curiosidade Período Fracionário Para contornar esse problema de arredondamento na Quando o tempo de uma aplicação não for um número HP-12C, deve-se armazenar no registrador financeiro inteiro, podemos ter três possibilidades: i a taxa equivalente diária a juros compostos para que o resultado do prazo seja calculado e fornecido em Somente ter remuneração pelo número inteiro de uma quantidade exata de dias. períodos de capitalização, como ocorre com a caderneta de poupança Os juros do número inteiro de períodos de capitalização são calculados a juros compostos e a parte fracionária a juros simples São calculados juros compostos pelo tempo todo, inclusive na parte fracionária 5
  • 6. Período Fracionário Juros Compostos na Parte Fracionária Com a seqüência de teclas STO EEX aparecerá no Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ visor a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo 1.450,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 no visor, a HP-12C fará os cálculos levando em anos consideração os dois regimes de capitalização (juros Com o “C” no visor: compostos na parte inteira e juros simples na parte fracionária) f FIN 1450 PV 15 i 3,5 n FV 2.364,89 Juros Simples na Parte Fracionária Juros Simples e Compostos Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos Sem o “C” no visor: f FIN 1450 PV 15 i 3,5 n FV 2.370,67 6