Potenciação e radiciação

ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI
POTENCIAÇÃO,
RADICIAÇÃO
PRODUTOS NOTÁVEIS E
FATORAÇÃO
PROF. RONOALDO ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI

27
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Este módulo é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação.
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão.
1ª PARTE: POTENCIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto
3.3.3.3 pode ser indicado na forma 4
3 . Assim, o símbolo n
a , sendo a um número
inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
  
fatoresn
n
aaaaa .......=
- a é a base;
- n é o expoente;
- o resultado é a potência.
Por definição temos que: aaea == 10
1
Exemplos:
a) 2733333
=⋅⋅=
b) ( ) 4222
2
=−⋅−=−
c) ( ) 82222
3
−=−⋅−⋅−=−
d)
16
9
4
3
4
3
4
3
2
=⋅=





CUIDADO !!
Cuidado com os sinais.
 Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
( ) 1622222
4
=−⋅−⋅−⋅−=−
( ) 9333
2
=−⋅−=−
 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti

27
( )
0;
..
≠=





=






=





−
bcom
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
Ex. 1:
( ) 2222
3
−⋅−⋅−=−

=−⋅ 24 8−
 Se 2x = , qual será o valor de “ 2
x− ”?
Observe: ( ) 42
2
−=− , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
( ) 42x
22
−=−=− → os parênteses devem ser usados, porque o sinal
negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o
valor de x.
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Quadro Resumo das Propriedades
( )
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
a
a
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.
=
=
=
=
=
−
⋅
−
+
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a)
nmnm
aaa +
=⋅ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de
potências de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.
Ex. 1.:
22
222 +
=⋅ xx
Ex. 2.:
117474
aaaa ==⋅ +
Ex. 3.: 42
34 ⋅ → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois
multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.

27
1296811634 42
=⋅=⋅
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos.
Assim: nmnm
aaa +
=⋅ ou nmnm
aaa ⋅=+ Exemplo: n7n7
aaa ⋅=+
b) nm
n
m
a
a
a −
= Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potências de
bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1: x
x
−
= 4
4
3
3
3
Ex. 2:
154
5
4
−−
== aa
a
a
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,
nm
n
m
a
a
a −
= ou
n
m
nm
a
a
a =−
Exemplo: x
x
a
a
a
4
4
=−
c) ( ) nmnm
aa ⋅
= Nesta propriedade temos uma potência elevada a outro expoente, para
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes.
Ex. 1:
( ) 62323
444 == ⋅
Ex. 2:
( ) xxx
bbb ⋅⋅
== 444
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,
( ) nmnm
aa ⋅
= ou ( )nmnm
aa =⋅ Ex.: ( ) ( )444
333 xxx
ou=

27
(d) m
n
m n
aa = Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado
numa potência de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do
expoente.
Ex. 1: 2
1
2 1
xxx ==
Ex. 2: 3
7
3 7
xx =
Ex. 3: 52525 2
1
==
Ex. 4: 3 83
8
xx =
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
m
n
m n
aa = ou m nm
n
aa = Ex.: 52
5
aa =
e) 0bcom,
b
a
b
a
n
nn
≠=





Ex. 1:
9
4
3
2
3
2
2
22
==





Ex. 2:
25
1
5
1
5
1
2
22
==





n
nn
b
a
b
a
=




 ou
n
n
n
b
a
b
a






= Ex.:
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
1
=





==

27
f) ( ) nnn
baba ⋅=⋅
Ex. 1: ( ) 222
axax ⋅=⋅
Ex. 2:
( ) 3333
6444 xxx =⋅=
Ex. 3:
( ) ( ) 2242
4
4
4
2
1
4
4
4
4
8133333 xxxxxx =⋅=⋅=



⋅=⋅=
( ) nnn
baba ⋅=⋅ ou ( )nnn
baba ⋅=⋅ Ex.: ( ) yxyxyxyx ⋅=⋅=⋅=⋅ 2
1
2
1
2
1
g)
n
n
a
1
a =−
Ex. 1:
33
33
3 111
aaa
a ==





=−
Ex. 2:
4
9
2
3
2
3
3
2
2
222
==





=





−
Ex. 3: ( )
4
1
4
1
4
1
1
−=





−=− −
O sinal negativo no
expoente indica que a base
da potência deve ser
invertida e
simultaneamente devemos
eliminar o sinal negativo do
expoente.

27
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
n
a
1
a =−
ou
n
n
a
a
−
=
1
Ex.: a)
2
2
1 −
= x
x
b)
3
33
3
21
3
2
3
2 −
⋅=⋅= x
xx
CUIDADO !!!
 ( ) ( )
( ) 8
1
2
1
2
1
2
3
33
3 −
=
−
=





−=− −

( )
27
1
3
1
3
1
3 3
33
3
==





=
−
 3
3
333
a
1
a
1
a
a
1
==





=





−
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do
expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências:
a) 2
6
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h)
4
2
3






i)
4
2
3






−
j)
3
2
3






−
k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o)
2
5
3






−
Primeiro eliminamos o
sinal negativo do expoente
invertendo a base.

27
2. O valor de [47
.410
.4]2
: (45
)7
é:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual é a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3
. b . (b . c)2
b) 7
4523
....
y
xxyyx
4. Sendo 7.3.2 87
=a e 65
3.2=b , o quociente de a por b é:
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expressão:
212
4
1
2
1
3
2
−−−






−+





−





=A
6. Simplificando a expressão
2
3
3
1
.3
4
1
2
1
.3
2
2
−





−
+





−
, obtemos o número:
a)
7
6−
b)
6
7−
c)
7
6
d)
6
7
e)
7
5−
7. Quando 3be
3
1
a −=−= , qual o valor numérico da expressão 22
baba +− ?
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
a) 2-3
=
b) 10-2
=
c) 4-1
=

27
Exemplos mais complexos:
(1) ( )
33232
3
2
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4
=⋅==








=
−
(2) ( )
( ) 622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1
y.x ===







=
−
(3)
( ) ( ) 912
3.33.4
3
33343343
34
b.a
1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1
===







=





−
(4) ( )
( )
( ) ( )
682324
22
34
positivo.fica
par,expoente
aelevado
negativonº
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1
.
yayaya
ou
yayaya
ya
ya
==





 →
==
−
=





−=−
⋅⋅
−
(5) ( )
( ) ( ) 242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8 ===







=
−
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece
dentro dos parênteses.
(6)
3
4
1
2
−






+
729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
1
2 3
33333
==





=





=




 +
=





+
−−−
(7)
( ) ( ) ( ) =
+++
=
+⋅+
=
+
=




 +
=





+
4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1
c
2
2
222
4
1c4c4 2
++
ou
=⋅+⋅+⋅+=





+⋅





+=





+
2
1
2
1
c
2
1
2
1
cc
2
1
c
2
1
c
2
1
c 2
2
4
1c4c4
4
1
cc
4
1
2
c2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
222 ++
=++=++=+++=

27
EXERCÍCIOS
9. Efetue:
a) =46
.aa
b) =3
8
a
a
c) =







⋅







322
3
2
2
b
ca
c
ab
d) =
















3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
e) ( ) =4
3x
f) =53
)(x
g) =32
)2( x
h) ( ) =
332
5 ba
i) =





4
2
3
b
a
j) =







−2
4
3
5
2
x
ab
k) =





−
−4
2
3
1
a
10. Sabendo que
2
5
4
2
−






+−=a , determine o valor de a.
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:
=
⋅
⋅
+1n33
n
28
42
Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes,
devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos
escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por
22
e 283
por .
=
⋅
⋅
+1n3
2n
22
22
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de
mesma base.
( )
==== −−++−+
+
+
++
+
2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
22
2
2
2
2 n2
2−
ou n2
2
1
EXERCÍCIOS
11. Simplifique as expressões:
a) 1n
n2n
33
33
E +
+
⋅
⋅
= b)
( )
( )1n
1nn
4
24
E +
−
⋅
= c) 1n
2n
5
10025
G +
+
⋅
=

27
Essa propriedade mostra
que todo radical pode ser
escrito na forma de uma
potência.
2ª PARTE: RADICIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos
escrever:
( )1nenabba nn
≥Ν∈=⇔=
Ex. 1: 4224 2
== pois
Ex. 2: 8228 33
== pois
Na raiz n
a , temos:
- O número n é chamado índice;
- O número a é chamado radicando.
2. CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS
a) n
p
n p
aa ⇔
Ex. 1: 3
1
3
22 =
Ex. 2: 2
3
3
44 =
Ex. 3: 5
2
5 2
66 =

27
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido
contrário, ou seja, n pn
p
aa = (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice
do radical).
Exemplo: 5 35
3
22 = .
b)
aaaa 1n
n
n n
=== Ex.:
2222 13
3
3 3
===
c) nnn
baba ⋅=⋅ Ex.: 23
6
3
3
3 63 33 63
babababa ⋅=⋅=⋅=⋅
d)
n
n
n
b
a
b
a
= Ex.:
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a
===
e)
( ) n
mm
n
m
n
m
n
mn
bbbbb ===





=
⋅⋅
1
11
1
Ex.:
( ) 2
3
1
3
2
1
3
2
13
2
13
55555 ===





=
⋅⋅
f) nmn m
aa ⋅
= Ex.: 6233 2
333 == ⋅
EXERCÍCIOS
12.Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:

27
a) =
100
1
b) =−
16
1
c) =
9
4
d) =− 01,0
e) =81,0
f) =25,2
13. Calcule a raiz indicada:
a) 9 3
a
b) 3
48 c) 7
t
d) 4 12
t
14.Escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) =7
b) =4 3
2
c) =5 2
3
d) =6 5
a
15. Escreva na forma de radical:
a)
=5
1
2
b)
=3
2
4
c) =4
1
x
d) =
−
2
1
8
e) =7
5
a
f) ( ) =4
1
3
ba
g) ( ) =
−
5
1
2
nm
h) =
−
4
3
m
16.De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro
negativo?
a) 1
10−
b) 2
10−
c) 3
10−
d) 4
10−
e) 10
1−
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS
Exemplos:
a) =⋅= 24
32144
123432
32
32
12
2
2
2
4
24
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
Devemos fatorar 144
14432
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
24
=⋅
Forma fatorada
de 144
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
=
Forma fatorada
de 243

27
b)
=⋅== 3 233 53
333243
=⋅3 23 3
33
3
2
3
3
33 ⋅
3
2
33⋅
ou
3 2
33⋅
ou
3
93 ⋅
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2.3 RAÍZES LITERAIS
a) 2
9
9
xx =
Escrever o radical 9
x na forma de expoente fracionário 2
9
x
não resolve o
problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte
forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.
Assim teremos:
xxxxxxxxxx 42
8
818189
⋅=⋅=⋅=⋅== +
b) 3 2123 14
xx +
= pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
3 24
3 23
12
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
Outros Exemplos:
a) 3 633 6
x27x.27 ⋅=
Resultados
possíveis
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=

27
2
21
23
3
3
6
3 3
x3
x3
x3
3)pordivisívelé6(poisx3
=
⋅=
⋅=
⋅=
b) 3 63 433 64
yx48yx48 ⋅⋅=⋅⋅
3
3
2
2
2
2
EXERCÍCIOS
17.Calcule:
a) =3
125
b) =5
243
c) =36
d) =5
1
e) =6
0
f) =1
7
g) =−3
125
h) =−5
32
i) =−7
1
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) =3
32
b) =3
25
c) =4
27
d) =7
81
e) =8
512
f) =8
625
19. Calcule a raiz indicada:
a) =2
4a
b) =62
36 ba
c) =42
9
4
ba
d) =
100
2
x
e) =
25
16 10
a
f) =4 2
100x
g) =8
121
h) =5 105
1024 yx
i) =4
25
1
j) =3
3
6
b
a
k) =62
4
16
zy
x
20. Simplifique os radicais:
486.23.2.2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
33
==

27
a) =5 10
xa
b) =cba 24
c) =ba3
d) =xa4
25
e) =3
432
f) =45
3
1
3. OPERAÇÕES COM RADICAIS
3.1. Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los
a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1)
( ) 331324132343 ==⋅−+=−+
2)
( ) 55555
333232323332 =⋅−+=−+ 
externos
fatores
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que
apareceram em todos os termos da soma.
3)
( ) ( ) 
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 −=−+−=−+−
4)
( ) ( ) 32247253425723 +−=−+⋅−=−−+
EXERCÍCIOS
21. Simplifique 1081061012 −− :
22. Determine as somas algébricas:
a) =−− 333
2
4
5
222
3
7
b) =−−+
3
5
5
5
2
5
6
5
c) =+−+− 3333
382423825
d) =−−+ 4545
610712678
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:
a) =+−− 452632203285 b) =−−+− 729501518138528

27
c) =−+− 201010864812456
d) =−− 10
4
1
250
4
1
90
2
3
e) =+−+ 4444
24396248696
f) =+−+− 33333
4
5
8
2216256
5
2
325
g) =−− 555
248664
h) =−+ 333
125
24
10
729
375
81
64
81
4
24. Calcule as somas algébricas:
a) =−++− xxxx 6410
b) =+−− baba 144896814
c) =−− 333
1000827 aa
d) =+−− 4 944 5
3122 aaaaa
e) =−+− aaaxaxa 434 32
f) =−−− baba 835 44
g) =−+− x
xy
x
yx
81
10094
2
h) =−− 4
4 544 4
1682
c
a
cbca
25. Considere mcmbma 368,1002,9 −=== e determine:
a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c=
26. Simplifique a expressão 





−−− 10 1056 34 42
2
1
yaayya .
3.2 Multiplicação
Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada
um:
1º
CASO: Radicais têm raízes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo:
( ) 824816 3
−=−⋅=−⋅
2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que
possível o resultado obtido.
Exemplos: a)
155353 =⋅=⋅
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = 3 53
yx ⋅ pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e
divisão:
3 23 23 33 233 233 53 33 53
yyxyyxyyxyxyxyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅ +

27
c)
10652652325322 =⋅=⋅⋅⋅=⋅
3º
CASO: Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em
seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo
denominador).
Exemplos: a)
44 24 14 24
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4
18232323232323 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
b)
12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43
xaxaxaxaxaxa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
ATENÇÃO:
- 2222 =+ , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de
dois.
- 222 =⋅ por que?
( ) ( )2222
2
==⋅
ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de
potência, então:
222222222 12
2
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
==== →⋅=⋅
+
+opotenciaçã
deregra
3.3Divisão
Conservamos a base e
somamos os expoentes.
A ordem dos fatores não
altera o produto
(multiplicação)
Multiplicamos numerador e denominador da fração
por 2 e transformamos na fração equivalente

27
A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:
1º
CASO: Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.
Exemplo:
33:927:81 3
==
2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.
Exemplos:
y
x
xy
x
xy
x
xy:x
233
3
===
33
3
3
33
2
10
20
10
20
10:20 ===
3º
CASO: Radicais com índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as
operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
2222
2
2
2
2
2:2 ======
−
−
4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar
uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar
ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que
racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os
radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
Como os índices das raízes são
iguais, podemos substituir as duas
raízes por uma só!

27
( ) 3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2
==⋅=
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a) 3
x
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2
x , pois 1 + 2 = 3.
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
2 3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
+
(b) 5 2
x
1
Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3
x , pois 2 + 3 = 5.
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
1 5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2
===
⋅
=⋅
+
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
2
22
+
=
/
+/
=
−
+
=
−
+
=
+
+
⋅
−
=
−
EXERCÍCIOS
27. Calcule
a) =−+ 737576
b) =−+ 18250325
c) =++ 333
3524812
d) =⋅ 2354
e) =⋅55
223
f) =⋅ 3234
g) =
52
108
h) =
−−
2
4.1.455 2
i) =
−+
2
5.1.466 2
O sinal deve ser contrário, senão a raiz
não será eliminada do denominador.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
3
2
7
2
37337
2
73737 −=−⋅+⋅−=+⋅−

27
28. Simplifique os radicais e efetue:
a) =+− 33
8822 xxxx
b) =+−− 3333
19224323434
c) =−++ 32
5334 xxxxyxy
29. Efetue:
a) =+−− 32
9423 xxaxxxa
b) =−−+ aaaaa 335
445
c) =+++−+ 3216450253842 xxx
d) =−−+− 32
373 aaaabab
30. Escreva na forma mais simplificada:
a) =xx.
b) =+ xx3
c) =− aa 7
d) =
x
x3
e) =2
3
x
x
f) =−− 43
.xx
g) =7
.xx
h) =⋅3 43
aa
i) =⋅ aa4
j) ( ) =⋅ 23
aa
k) =⋅ 42
5 b
31. Efetue as multiplicações e divisões:
a) =4 223 5
.. baaba
b) =223 2
4.4 xaxa
c) =xx .10 3
d) =yxyxxy 33 22
..
e) =⋅⋅ 43
aaa
f) =
3
3 5
a
a
32. Efetue:
a) =
8 3
4 2
a
a
b) =
4 5
6 23
ba
ba
c) =
3
4 32
xy
yx
d) =
⋅
4
6
9
272
e) =⋅⋅ 43
3
1
53 bbb
f) =4
6
25.5
125.3
33. Quando
3
2
−=x , o valor numérico da expressão 23 2
−− xx é:
a) 0
b) 1
c) –1
d)
3
1
e)
3
2
−
34. Se 6
3=x e 3
9=y :
a) x é o dobro de y;
b) 1=− yx
c) yx =
d) y é o triplo de x;
e) 1=+ yx

27
35. Racionalize as frações:
a)
x
1
b)
4x
2
+
c)
x1
3
−
d) 3
x
4

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão:
a) 36 h)
16
81 o)
25
9
b) 36 i)
16
81
c) –36 j)
8
27-
d) –8 k) 0
e) –8 l) 1
f) 1 m) 1
g) 1 n) -1
2ª Questão:
d)
3ª Questão:
a) 263
cba b) 8
x
4ª Questão:
a)
5ª Questão:
4
65
A =
6ª Questão:
a)
7ª Questão:
9
73
8ª Questão:
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25
9ª Questão:
a) 10
a d)
4
3y
8x g) 6
8x j)
62
8
b4a
25x
b) 5
a e) 4
81x h) 96
ba125 k) 8
a81
c)
3
8
c
ba4 f) 15
x i)
8
4
b
a81
10ª Questão:

36
25
a =
11ª Questão:
a) E = 3n
b) F = 2n –3
c) G = 5 n + 4
. 2
12ª Questão:
a)
10
1 c)
3
2 e)
10
9
b)
4
1− d)
10
1- f)
10
15
13ª Questão:
a) 3
a b) 3
62 ⋅ c) tt3
⋅ d) 3
t
14ª Questão:
a)
2
1
7
c)
5
2
3
e)
3
2
x
b)
4
3
2
d)
6
5
a
f)
2
1
3
−
15ª Questão:
a) 5
2 c) 4
x e) 7 5
a g)
5 2
1
nm
b) 3 2
4 d)
8
1 f) 4 3
ba h)
4 3
m
1
16ª Questão:
c)
17ª Questão:
a) 5 c) 6 e) 0 g) -5
b) 3 d) 1 f) 7 h) –2
i) -1
18ª Questão:
a)
3
5
2
c)
4
3
3
e)
7
3
2
g)
8
9
2
b)
3
2
5
d)
4
3
5
f)
7
4
3
h)
2
1
5
19ª Questão:
a) 2ª d)
10
x g) 4
11 j)
b
a2
b) 3
6ab e)
5
4a5 h) 2
4xy k)
3
2
yz
4x
c) 2
ab
3
2
⋅
f) x10 i)
5
1
20ª Questão:
a) 52
xa c) aba ⋅ e) 3
26⋅

b) cba 2
d) xa 2
5 f) 5
21ª Questão:
102−
22ª Questão:
a) 3
2
12
11
⋅−
b)
5
15
2 c) 223
+ d) 45
6974 −−
23ª Questão:
a) 74 c) 52312 −− e) 44
32763 ⋅+⋅ g) 5
22⋅−
b) 292− d) 103 f) 3
410⋅ h) 3
344⋅
24ª Questão:
a) x− c) 3
123 a⋅− e) aaxa −− g)
xy
x
.
10
89
.
6
−
b) ba 8716 +− d) 42
)12( aaa ⋅− f) ba 132 4
−⋅− h) 4
c
8
bc
⋅
−
25ª Questão:
a) m25− b) m31 c) m65− d) m71
26ª Questão:
a
2
y
−
27ª Questão:
a) 78 c) 3
313⋅ e) 5
43⋅ g) 24
b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1
i) 5
28ª Questão:
a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( −
29ª Questão:
a) xxa )( + b) aaa )123( 2
−+ c) 25 +x d) )(4 aba −
30ª Questão:
a) X d)
6
1
x
g)
2
15
x
j)
2
7
a
b) x4 e) x h)
3
5
a
k) 5b4
c) a6− f) x -7
i)
4
3
a
31ª Questão:
a)
ba 3
8
⋅
c)
5
4
x
e) 12
aa ⋅
b) 3 2
42 xaax ⋅ d) 3 222
yxyx ⋅ f) 6
a

32ª Questão:
a)
8
1
a
c)
12
5
6
1
yx ⋅
e) 12 bb5
b)
12
1
4
3
ba ⋅
− d) 2 f)
5
3
33ª Questão:
a)
34ª Questão:
c)
35ª Questão:
a)
x
x b)
4x
42x2
−
− c)
x1
x33
−
+ d)
x
x4 3 2
⋅
5. PRODUTOS NOTÁVEIS
Resumo sobre produtos notáveis:
Quadrado da soma de dois termos

•
Quadrado da diferença de dois termos
•
Produto da soma pela diferença
•
Observação: Existem fórmulas para o cálculo do cubo da soma e da
diferença entre dois termos.
•
•
1 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)

2 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
3 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)

Exercícios complementares
1 – Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2 – Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3 – Desenvolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 – Desenvolva e reduza:
a)

b)
c)
d)
e)
f)
5 – Desenvolva e reduza:
a)
b)
c)
d)
FATORAÇÃO – EXERCÍCIOS
1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples).
a) ax + ay + az =
b) 4m2
+ 6am =
c) 7xy2
– 21x2
y =
2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento)
a) ax + bx + am + bm =
b) 2x + 4y + mx + 2my =
3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados)
a) 9x2
– 16 =
b) 25 – 4a2
m6
=
c) 0, 81b4
– 36
d) (a + 3)2
– 9 =
e) (m + 1)2
– (k – 2)2
=
4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos
a) x2
– 4x + 4 =
b) x2
– 6x + 9 =
c) x2
– 10x + 25 =
d) m2
+ 8m + 16 =
e) p2
– 2p + 1 =
f) k4
+ 14k2
+ 49 =
g) (m + 1)2
– 6(m + 1) + 9 =
5) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos

a) a3
+ b3
=
b) m3
– 8n3
=
c) x6
+ 64 =
d) y3
– 125 =
6) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis:
a) m8
– 1 =
b) ax3
– 10ax2
+ 25ax =
c) 2m3
– 18m =
d) [(x -3)2
– 4(x – 3) + 4] – [(x – 3)2
+ 4(x – 3) + 4] =
Respostas: 1) a) a(x + y + z); b) 2m(2m 3ª); c) 7xy(y – 3x).
2) a) (a + b).(x + m); b) (x + 2y).(2 + m)
3) a) (3x – 4).(3x + 4); b) (5 – 2am3
.(5 + 2m3
); c) (0,9b2
– 6).(0,9b2
+ 6); d) a(a + 6); e) (m –
k +3).(m + k – 1)
4) a) (x – 2)2
= (x – 2).(x – 2); b) (x – 3)2
= (x - ).(x – 3); c)(x – 5)2
= (x – 5).(x – 5) d)(m +
4)2
= (m +4).(m+4) e) (p – 1)2
= (p – 1).(p – 1); f) (k2
+ 7)2
= (k2
+ 7).(k2
+ 7); g)
(m – 2)2
= (m – 2).(m – 2)
5) a) (a + b).(a2
– ab + b2
); b) (m – 2n)(m2
+ 2mn + 4n2
); c) (x2
+ 4).(x4
– 4x2
+ 16); d) (y –
5).(y2
+ 5y + 25)
6) a) (m – 1).(m + 1).(m2
+ 1).(m4
+ 1); b) ax(x – 5).(x – 5); c) 2m(m – 3).(m + 3); d) -8.(x –
3)
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO
1) Simplifique a expressão
a) 1
b) c + 3
c)
3
3
−
+
c
c
d) c²
e) c − 3
2) Fatore:
(a + 1)² + 2 (a + 1) + 1
a) a (a + 4)
b) (a + 1)²
c) (a + 2)²
d) (a - 2)²
e) (a + 1) (a + 1 + 1)
3) Fatore x² - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)
a) (x - 2) + 3 (x - 1)
b) (x - 2) (3x2 - 5)
c) 5x - 7

d) (x - 2) (4x + 1)
e) (2x - 2) (2x - 5)
4) Fatore (x² + 9)² - 36x2
a) 3 (x² - 12x² + 3)
b) (x + 3)² . (x - 3)²
c) (x + 3) . (x - 3)
d) (x - 3)² . (x - 3)²
e) (x + 3)²
5) Fatore:
x² + 6x + 9
a) (x - 3)²
b) (x + 3)²
c) x² + 3
d) (x - 9)²
e) 3 (x + 3)²
6) Fatore:
x4
– y4
a) (x² - y²) (x - y) (x - y)
b) (x² + y²) (x + y) (x + y)
c) (x² + y²) x²
d) (x² + y²2) y²
e) (x² + y²) (x + y) (x - y)
7) Se a² - b² = 2 . (a - b)², a diferente de b, então b =
a) a
b) 2a
c) 3a
d) 4a
e) n.d.a
8) Se x² + y² = 1681 e x . y = 360 calcule x + y, sabendo que x e y são números positivos.
a) 49
b) 62
c) 54
d) 81
e) 124
9) Seja a expressão P = (x -1) (x + 2) - 2 (x + 2) (x - 5).
Se Q = 2 (x + 2) (x - 5), simplifique o quociente p/q.

10) Fatore a expressão E = a² + ba + 2a + 2b
a) E = (a + b) (a + 2)
b) E = (a + b) (a - 2)
c) E = (a - b) (a - b)
d) E = (a + b) (a + b)
e) E = (a + 2b) (a - 2)
11) Fatore a expressão:
3xy + 3 - x - 9y
a) (x - 3) . (3y - 1)
b) (x - 3) . (x + 3)
c) (x + 9) . (x - 9)
d) (x - 3) . (9y + 1)
e) (x - 3) . (3y + 1)
abd - abe + acd - ace
a) a² . (d + e) (b + c)
b) a . (d + e) (b - c)
c) a . (d - e) (b + c²)
d) a . (d - e) (b² + c²)
e) a . (d - e) (b + c)
13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x² + y²).
a) x4
– y4
b) x4
+ 4x²y² + y4
c) x4
- 2x²y² + y4
d) x4
+ y4
e) x4
+ 2x²y² + y4
14) Simplifique a expressão:

a) 78
b) 16
c) 4
d) 24
e) 64
15) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é:
16) Fatore:
9x² - 12x + 4
a) (x + 2)²
b) (6x + 3)²
c) (3x - 2)²
d) (3x + 2)²
e) 3 (3x² - 4x)
17) Fatore:
(x + y)² - 2 (x + y) + 1
a) (x + y)² - 2 (x + y)
b) (x + y + 1)²
c) (x - y)²
d) 2 (x + y) + 12
e) (x + y)² + (x - y)
18) Calcule
a) 100 . 50
b) 100 . 25
c) 2
d) 4
e) 25

19) Fatore:
x² - 2xy + y² - z²
a) (x - z + z) . (x - y - z)
b) (x - y)² - z²
c) (x - y)²
d) (x - y) (x - y - z)
e) (x - y - z)²
20) Fatore:
4x² - z² + 4xy + y²
a) (2x - y - z)²
b) (2x + z) (2x + y)
c) (2x + y + z)²
d) (2x + y)² - z²
e) (2x + y + z) (2x + y - z)
21) Se x = + 1, calcule x² - 2x + 1.
22) Se a . b = 3/5 e a + b = -1,2, a expressão
é igual a:
a) -0,6
b) -0,5
c) 0,5
d) 0,6
e) n.d.a.
23) Desenvolva (5x - 2y)²
a) 25x² - 4y²
b) 25x² + 4y²
c) 25x² - 10xy + 4y²
d) 25x² + 10xy + 4y²
e) 25x² - 20xy + 4y²
24) Simplifique .

25) Fatore:
a)
2
2
1
2 





−x
b)
2
8
1
2 





+x
c) (2x + 1)
d) 4 





−
2
12
x
e)
2
8
1
2 





−x
26) Fatore 3xy²z³ + 6xyz³ - 3xz².
a) 3xyz . (yz + 2yz + 1)
b) 3²x²y²z . (y²z + 2yz + 1)
c) 3xz² . (y²z + 2yz - 1)
d) 3x³ . (y²z + 2yz - 1)
e) 3xz³ . (y²z + 2yz + 1)
-5x² + 25x
a) -5x² . (x² + 5)
b) -5x. (x + 5)
c) -5x² . (x - 5)
d) -5x . (x² - 5)
e) -5x . (x - 5)
15xy² - 10x²y²
a) 10xy (3 + x)
b) 15x²y² (3 - x)
c) 5xy² (3 - x)
d) 5xy² (3 + x)
e) 5xy (3 - x)
27x³y³ + 81x²y²

a) 27x²y³ . (x + 3y)
b) 27x³y³ . (x + y)
c) 81xy . (x + 3y)
d) 81x²y² . (x - 3y)
e) 9x²y² . (x - 3y)
14a²b³ + 17b³
a) b . (7a² + 17)
b) b³ . (14a² + 17)
c) b³ . (7a² + 17)
d) b² . (14a + 17)
e) b² . (2a + 17)
11a³b² - 15a²b
a) ab . (11ab - 10)
b) a²b² . (11ab - 15)
c) a²b . (11ab - 15)
d) a²b . (11ab + 15)
e) a²b² . (11ab + 15)
ax + a + x + 1
a) (x - 1) . (a + x)
b) (x + 1) . (a + 1)
c) (x - 1) . (a + 1)
d) (x - 1) . (a - 1)
e) (x - 1) . (a - x)
3a + 6
a) 3a + 2
b) 3 . (a + 1)
c) 6 . (a + 2)
d) 3 . ( a + 2)
e) 3 . (a + 6)
-2a2 - 8a
a) 2a . (a + 4)
b) 2a . (a + 2)
c) -2a . (2a + 4)
d) -2a . (a + 4)
e) -8a . (a + 4)

35) Simplifique a expressão
36) Fatore:
16x4
- 25y²
a) (2x² + 5y) . (2x² + 5y)
b) (2x² + 5y) . (2x² - 5y)
c) (4x² + 5y) . (4x² - 5y)
d) (4x² - 5y) . (4x² - 5y)
e) (4x² + 5y) . (4x² + 5y)
37) Fatore:
144 – h²
a) (144 - h) (144 + h)
b) (144 - h) (144 - h)
c) (100 - h) (44 + h)
d) (12 + h) (12 - h)
e) (12 + h) (12 + h)
38) Fatore:
2y³ - 18y
a) (y + 3)² (y - 3)³
b) (y + 3)³ (y - 3)³
c) 2y . (y + 3) (y - 3)
d) 2y . (y + 3)³
e) 2y . (y + 3) (y + 3)
39) Fatore:
2t² - 288
a) (t + 12) (t - 12)
b) (t + 287) (t - 1)
c) 2 . (t + 12) (t - 12)
d) 2 . (t + 12) (t + 12)

e) 2 . (t - 12) (t - 12)
40) Fatore:
( x + y )² – z²
a) (x + y + z)² . (x + y + z)
b) (xyz)² + (x - y - z)²
c) (x - z) . (y - z)²
d) (x + y + z) . (x + y - z)
e) (x - y - z) . (x - y - z)
41) Fatore:
a² - b² + a + b
a) (a + b) . (a - b + 1)
b) (a + b) . (a - b)
c) (a - b) . (a - b)
d) (a + b)² . (a + b + 1)²
e) (a - b)² . (a - b -1)²
42) Se x e y são números reais distintos, então:
a) (x²+y²)/(x-y) = x+y
b) (x²-y²)/(x-y) = x+y
c) (x²+y²)/(x-y) = x-y
d) (x²-y²)/(x-y) = x-y
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
43) Fatorando a² - b² obtemos:
a) a. b+ 3 (a+ b+ c)
b) 3. a- b. c
c) (a + b) (a - b)
d) a. b+ c
e) n.d.a
44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:
a) (2x - y ).(x - 2y +3)
b) ( x + y ) . (x + 2y + 1)
c) (2x + y) . (x + y -3 )
d) x + y (2. x .y)
e) 2x +y (x + 2y + 1)
45) Fatorando x²y - xy² obtemos:
a) y. x (2- 3)
b) x (x+ 5)
c) 5.x ( 3 - y )
d) xy (x - y)
e) N.d.a
46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:
a) (2 .a + 2b ) . (3.a .2b)

b) (a. b)( 3a. 2+ b)
c) ( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d) 2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e) (2 .a + 3b ) . (6 a b)
47) (Puc) -
Se Simplificando a expressão
Quanto vai obter?
48) Simplificando a seguinte expressão
obtemos:
a) -3
b) 5
c) 1
d) 2
e) -1
49) Fatorando 6a²b + 8a obtemos:
a) 2.a ( 3ab + 4 )
b) 4.a ( 6ab + 2 )
c) 2.a + b. 2
d) 2.a.b
e) 3.b (2. b+ a. 4)
50) Simplificando a seguinte expressão
obtemos:

Gabarito
Questão 1 C
Questão 2 C
Questão 3 D
Questão 4 B
Questão 5 B
Questão 6 E
Questão 7 C
Questão 8 A
Questão 9 C
Questão 10 A
Questão 11 A
Questão 12 E
Questão 13 A
Questão 14 E
Questão 15 A
Questão 16 C
Questão 17 B
Questão 18 C
Questão 19 A
Questão 20 E
Questão 21 A
Questão 22 C
Questão 23 E
Questão 24 D
Questão 25 A
Questão 26 C
Questão 27 E
Questão 28 C
Questão 29 A
Questão 30 B
Questão 31 C
Questão 32 B
Questão 33 D
Questão 34 D
Questão 35 B
Questão 36 C
Questão 37 D
Questão 38 C
Questão 39 C
Questão 40 D
Questão 41 A
Questão 42 B
Questão 43 C
Questão 44 B
Questão 45 D
Questão 46 E
Questão 47 A
Questão 48 C
Questão 49 A
Questão 50 C

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