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Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }
e a relação R de A em B, tal que:e a relação R de A em B, tal que:
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R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }
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Sejam dois conjuntos ASejam dois conjuntos A ≠≠ Ø e BØ e B ≠≠ Ø , e umaØ , e uma
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Produto cartesiano e função definição

  • 1. Produto cartesianoProduto cartesiano Vejamos primeiramente o conceito deVejamos primeiramente o conceito de par ordenado:par ordenado: Dados dois númerosDados dois números xx ee yy numa certa ordem,numa certa ordem, chamamos de par ordenado ( x,y) ao par dechamamos de par ordenado ( x,y) ao par de númerosnúmeros xx ee yy ,, tais quetais que xx é o 1º elemento do par eé o 1º elemento do par e yy é o 2º elemento do par ordenadoé o 2º elemento do par ordenado.. Exemplo: ( 2, 3 )Exemplo: ( 2, 3 ) xx = 2 e= 2 e yy = 3= 3 ( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2 ( x, y )( x, y )
  • 2. Produto cartesianoProduto cartesiano Sendo conhecidos os conjunto A e B:Sendo conhecidos os conjunto A e B: A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 }A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 } A x B = { ( 3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}A x B = { ( 3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)} Produto cartesiano A x B é o produto deProduto cartesiano A x B é o produto de A por B, formado por pares ordenados onde oA por B, formado por pares ordenados onde o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e1º elemento pertence ao 1º conjunto e o 2º elemento pertence ao 2º conjunto.o 2º elemento pertence ao 2º conjunto.
  • 3. Todos elementos de ATodos elementos de A 3 4 5 1 2 A B A x B Em diagrama:Em diagrama:
  • 4. RELAÇÃORELAÇÃO Dados os conjuntos A e B, qualquerDados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B ésubconjunto do produto cartesiano A x B é chamado dechamado de relaçãorelação de A em B.de A em B. Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3, 4 } e oSejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B.produto cartesiano A x B. A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1ºQual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento é igual ao 2º elemento?elemento é igual ao 2º elemento? R = { ( 1,1 ), (2,2) } RR = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B⊂ A x B
  • 5. Lei de formação:Lei de formação: Existe uma lei de formação entre osExiste uma lei de formação entre os conjuntos A e B. No caso do exemploconjuntos A e B. No caso do exemplo anterior temos:anterior temos: R = { (x,y) | xR = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x }∈ A, y ∈ B e y = x } 1 2 1 2 3 4Y = x A B
  • 6. DOMÍNIO E IMAGEMDOMÍNIO E IMAGEM Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 } e a relação R de A em B, tal que:e a relação R de A em B, tal que: R = { { (x, y ) | xR = { { (x, y ) | x ∈∈ A, yA, y ∈∈ B e y = 2 x }B e y = 2 x } R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) } Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos paresDomínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos paresImagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares
  • 7. Relação InversaRelação Inversa Seja dada a relação R, tal que:Seja dada a relação R, tal que: R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) } invertendo os valores dos pares obtemosinvertendo os valores dos pares obtemos a relação inversa de Ra relação inversa de R RR -1-1 = { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }= { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }
  • 8. FUNÇÕESFUNÇÕES Sejam dois conjuntos ASejam dois conjuntos A ≠≠ Ø e BØ e B ≠≠ Ø , e umaØ , e uma relaçãorelação ff de A em B. Dizemos quede A em B. Dizemos que ff é umaé uma função ou aplicação de A em B se a todofunção ou aplicação de A em B se a todo elemento xelemento x ∈∈ A associa-se umA associa-se um únicoúnico elementoelemento yy ∈B,∈B, tal que o par ( x, y )tal que o par ( x, y ) ∈∈ f.f. Lemos: f : A BLemos: f : A B Ou y = f ( x )Ou y = f ( x )
  • 9. Observações:Observações: 1- Toda função é uma relação1- Toda função é uma relação 2- Nem toda relação é uma função.2- Nem toda relação é uma função. Vamos verificar os casos:Vamos verificar os casos:
  • 10. Permitido: f . . . . . . Vários elementos de A associarem-se ao mesmo elemento em B . . . . . f Sobrar elementos em B A B A B Proibido: A B Sobrar elementos em A . . . . . . . . . . A B Um elemento de A associar-se a vários elementos em B
  • 11. .. Domínio:Domínio: É o conjunto de partida das flechas ( A ),É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os valores de x na função.são os valores de x na função. .. Contradomínio:Contradomínio: É o conjunto de chegada das flechas ( B ),É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos os valores de B.são todos os valores de B. .. Imagem:Imagem: São as respostas encontradas para o y.São as respostas encontradas para o y. Imagem pode ser uma parte ou igual aoImagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto Bconjunto B
  • 12. FUNÇÃO SOBREJETORA Uma função f : A B é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio B
  • 13. FUNÇÃO INJETORA Uma função f : A B é injetora quando a dois diferentes valores de A correspondem dois diferentes valores em B.
  • 14. FUNÇÃO BIJETORA Uma função f : A B é bijetora quando é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, ou seja quando a cada elemento de A corresponde um único elemento em B
  • 15. Elaboração;Elaboração; Meire de Fátima MoralezMeire de Fátima Moralez