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Teste Derivadas

Teste Derivadas

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Ginásio da Educação Da Vinci – Braga
Teste de Matemática de 12.º Ano
Ano letivo 2020/2021
Duração da prova: 2 horas
Responda às seguintes questões de forma completa e estruturada.
1. Seja f uma função derivável tal que f0
= 0, isto é, f0
é nula em todos os pontos.
(a) Verifique que f não é necessariamente uma função constante.
(b) Conclua que, dadas duas funções deriváveis g e h cujos gráficos se intersetam e tais que g0
= h0
,
não é necessariamente verdade que g = h.
2. Seja f : R −→ R definida por f(x) = cos(2x). Usando a definição, encontre a derivada de f no ponto
x = 0.
3. Usando as regras de derivação, encontre a expressão da derivada das seguintes funções:
(a) y = cos(x + sin x + 1);
(b) y = cos3
x + sin4
(3x).
4. Seja f : [0, 2π[ −→ R definida por f(x) = x cos x − sin x. Estude f quanto à monotonia e existência de
extremos.
5. Uma partı́cula desloca–se sobre a reta real, segundo a lei:
x(t) = cos t + sin t
onde x(t) é a posição da partı́cula no instante t ≥ 0. Sabe–se que a partı́cula terminou a sua trajetória
no instante t = 10.
(a) Indique a posição da partı́cula no instante inicial.
(b) Justifique que a partı́cula executa um movimento contı́nuo (sem ”saltos”) ao longo da reta.
(c) Indique um instante de tempo em que a partı́cula inverteu o sentido de marcha.
(d) Uma segunda partı́cula desloca–se segundo a lei x(t) =
√
2 + t2, no mesmo intervalo de tempo que
a anterior. Verifique se as duas partı́culas se cruzam em algum instante de tempo.
Responda a uma e só uma das seguintes questões:
6. Seja S = {α1, α2, ..., αn} um conjunto com n números reais. Mostre que o valor de x que minimiza a
soma
n
X
i=1
(x − αi)2
é a média aritmética dos elementos de S. Interprete geometricamente o caso em que
n = 3.
7. Mostre que, entre os retângulos com um dado perı́metro, é o quadrado que tem área máxima. Averigue
se, entre os retângulos com uma dada área, é o quadrado que tem perı́metro máximo.
Cotação:
Questão 1— 1.5pt/1.5pt ;— Questão 2 — 2.5pt ;— Questão 3 — 2pt/2pt ;— Questão 4— 3pt ;—
Questão 5— 1pt/1.5pt/2pt/1.5pt ;— Questão 6/7— 1.5pt
CORREÇÃO
1. Seja f uma função derivável tal que f0
= 0, isto é, f0
é nula em todos os pontos.
(a) Verifique que f não é necessariamente uma função constante.
Solução: Seja, por exemplo, f : ]0, 1[ ∪ ]2, 3[ −→ R definida por:
f(x) =

1 x ∈ ]0, 1[
2 x ∈ ]2, 3[
.
Tem–se f0
(x) = 0, para todo x ∈ ]0, 1[ ∪ ]2, 3[, isto é, f0
= 0 e, no entanto, f não é uma função
constante (relembre–se que uma função constante toma o mesmo valor em todos os pontos do seu
domı́nio).
(b) Conclua que, dadas duas funções deriváveis g e h cujos gráficos se intersetam e tais que g0
= h0
,
não é necessariamente verdade que g = h.
Solução: Como g0
= h0
, então (g − h)0
= 0 o que, pela alı́nea anterior, não implica que g − h seja
uma função constante. Em particular, se os gráficos de f e g se intersetarem, não é necessariamente
verdadeiro que g = h.
2. Seja f : R −→ R definida por f(x) = cos(2x). Usando a definição, encontre a derivada de f no ponto
x = 0.
Solução: Tem–se:
f0
(0) = lim
x→0
cos(2x) − cos(0)
x − 0
= lim
x→0
cos(2x) − 1
x
= lim
x→0
−2 sin2
x
x
= 0
onde, no penúltimo passo se usou a identidade cos(2x) = cos2
x − sin2
x. Portanto, f0
(0) = 0.
3. Usando as regras de derivação, encontre a expressão da derivada das seguintes funções:
(a) y = cos(x + sin x + 1); Solução: y0
= −(1 + cos x) sin(x + sin x + 1).
(b) y = cos3
x + sin4
(3x). Solução: y0
= −3 sin x cos2
x + 12 sin3
(3x) cos(3x).
4. Seja f : [0, 2π[ −→ R definida por f(x) = x cos x − sin x. Estude f quanto à monotonia e existência de
extremos.
Solução: Tem–se f0
(x) = cos x − x sin x − cos x = −x sin x e f0
(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ sin x = 0 ∧ x ∈
[0, 2π[ ⇔ x = 0 ∨ x = π. Nestas condições, construimos a tabela:
x 0 π 2π
f0
(x) 0 − 0 + N.D.
f(x) MAX  MIN % N.D.
5. Uma partı́cula desloca–se sobre a reta real, segundo a lei:
x(t) = cos t + sin t
onde x(t) é a posição da partı́cula no instante t ≥ 0. Sabe–se que a partı́cula terminou a sua trajetória
no instante t = 10.
(a) Indique a posição da partı́cula no instante inicial.
Solução: x(0) = cos 0 + sin 0 = 1 é a posição inicial da partı́cula.
(b) Justifique que a partı́cula executa um movimento contı́nuo (sem ”saltos”) ao longo da reta.
Solução: Como x(t) é uma função contı́nua no intervalo [0, 10], deduz–se que a partı́cula terá um
movimento contı́nuo ao longo do seu percurso.
(c) Indique um instante de tempo em que a partı́cula inverteu o sentido de marcha.
Solução: Tem–se x0
(t) = cos t − sin t e, por exemplo, x0
(π/4) = 0. Em particular, x =
π
4
corres-
ponde a um ponto de máximo local, pois numa vizinhança direita desse ponto x0
(t)  0, enquanto
que numa vizinhança esquerda do mesmo x0
(t)  0 (à medida que um ângulo percorre o primeiro
quadrante do cı́rculo trigonométrico, o seu cosseno diminui enquanto o seno aumenta). Portanto,
no instante t = π/4 a partı́cula inverte o sentido de marcha.
Page 2
(d) Uma segunda partı́cula desloca–se segundo a lei x(t) =
√
2 + t2, no mesmo intervalo de tempo que
a anterior. Verifique se as duas partı́culas se cruzam em algum instante de tempo.
Solução: Basta notar que, pela alı́nea anterior, os máximos serão atingidos em x =
√
2. Por
outro lado, a segunda partı́cula começa o seu percurso exatamente na posição x =
√
2 e, a partir
daı́, executa um movimento ascendente na reta. Como as posições iniciais das duas partı́culas são
diferentes, deduz–se que as mesmas não se cruzarão.
Responda a uma e só uma das seguintes questões:
6. Seja S = {α1, α2, ..., αn} um conjunto com n números reais. Mostre que o valor de x que minimiza a
soma
n
X
i=1
(x − αi)2
é a média aritmética dos elementos de S. Interprete geometricamente o caso em que
n = 3.
Solução: Derivando, em R, a função y =
n
X
i=1
(x − αi)2
, obtém–se:
y0
= 2
n
X
i=1
(x − αi) = 2nx − 2
n
X
i=1
αi.
Portanto:
y0
= 0 ⇔ x =
Pn
i=1 αi
n
isto é, a derivada da função y = y(x) anula–se no ponto x que representa a média aritmética dos
elementos de S. Em particular, é fácil de concluir que esse ponto está associado a um mı́nimo absoluto,
o que significa que a média aritmética dos elementos de S minimizam a soma y(x). Agora, no caso de
n = 3, temos que a soma
n
X
i=1
(x − αi)2
representa o quadrado da distância entre os pontos do espaço
cartesiano P1(α1, α2, α3) e P2(x, x, x), para algum x ∈ R. Repare–se que este último ponto pertence à
reta definida pela equação x = y = z. Portanto, o resultado provado acima mostra que o ponto dessa
reta que está ”mais perto”do ponto P1 é dado por
Pn
i=1 αi
n
,
Pn
i=1 αi
n
,
Pn
i=1 αi
n

.
7. Mostre que, entre os retângulos com um dado perı́metro, é o quadrado que tem área máxima. Averigue
se, entre os retângulos com uma dada área, é o quadrado que tem perı́metro máximo.
Solução: Sejam x e y, respetivamente, as variáveis que representam o comprimento e a largura de um
retângulo cujo perı́metro vale P, isto é, 2x + 2y = P. Queremos encontrar x e y de forma que a área
A = xy do retângulo seja máxima. Ora, 2x + 2y = P ⇔ y =
P − 2x
2
, donde A(x) = x
P − 2x
2
é a
expressão que queremos maximizar. Assim, derivando A(x) e igualando a zero, obtém–se:
P − 4x = 0 ⇔ x =
P
4
sendo fácil de ver que este ponto corresponde a um máximo absoluto de A(x). Portanto, a medida x
do retângulo que maximiza a área é dada por P/4, o que acontece exatamente quando x é medida de
um quadrado. Por outro lado, a segunda afirmação é falsa. Com efeito, considerando o retângulo com
comprimento 1 e largura 2, temos que a sua área vale 2 e o perı́metro 6. No entanto, ao quadrado de
área 2 corresponde um lado igual a
√
2 e, portanto, perı́metro 4
√
2  6.
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Teste Derivadas

  • 1. Ginásio da Educação Da Vinci – Braga Teste de Matemática de 12.º Ano Ano letivo 2020/2021 Duração da prova: 2 horas Responda às seguintes questões de forma completa e estruturada. 1. Seja f uma função derivável tal que f0 = 0, isto é, f0 é nula em todos os pontos. (a) Verifique que f não é necessariamente uma função constante. (b) Conclua que, dadas duas funções deriváveis g e h cujos gráficos se intersetam e tais que g0 = h0 , não é necessariamente verdade que g = h. 2. Seja f : R −→ R definida por f(x) = cos(2x). Usando a definição, encontre a derivada de f no ponto x = 0. 3. Usando as regras de derivação, encontre a expressão da derivada das seguintes funções: (a) y = cos(x + sin x + 1); (b) y = cos3 x + sin4 (3x). 4. Seja f : [0, 2π[ −→ R definida por f(x) = x cos x − sin x. Estude f quanto à monotonia e existência de extremos. 5. Uma partı́cula desloca–se sobre a reta real, segundo a lei: x(t) = cos t + sin t onde x(t) é a posição da partı́cula no instante t ≥ 0. Sabe–se que a partı́cula terminou a sua trajetória no instante t = 10. (a) Indique a posição da partı́cula no instante inicial. (b) Justifique que a partı́cula executa um movimento contı́nuo (sem ”saltos”) ao longo da reta. (c) Indique um instante de tempo em que a partı́cula inverteu o sentido de marcha. (d) Uma segunda partı́cula desloca–se segundo a lei x(t) = √ 2 + t2, no mesmo intervalo de tempo que a anterior. Verifique se as duas partı́culas se cruzam em algum instante de tempo. Responda a uma e só uma das seguintes questões: 6. Seja S = {α1, α2, ..., αn} um conjunto com n números reais. Mostre que o valor de x que minimiza a soma n X i=1 (x − αi)2 é a média aritmética dos elementos de S. Interprete geometricamente o caso em que n = 3. 7. Mostre que, entre os retângulos com um dado perı́metro, é o quadrado que tem área máxima. Averigue se, entre os retângulos com uma dada área, é o quadrado que tem perı́metro máximo. Cotação: Questão 1— 1.5pt/1.5pt ;— Questão 2 — 2.5pt ;— Questão 3 — 2pt/2pt ;— Questão 4— 3pt ;— Questão 5— 1pt/1.5pt/2pt/1.5pt ;— Questão 6/7— 1.5pt
  • 2. CORREÇÃO 1. Seja f uma função derivável tal que f0 = 0, isto é, f0 é nula em todos os pontos. (a) Verifique que f não é necessariamente uma função constante. Solução: Seja, por exemplo, f : ]0, 1[ ∪ ]2, 3[ −→ R definida por: f(x) = 1 x ∈ ]0, 1[ 2 x ∈ ]2, 3[ . Tem–se f0 (x) = 0, para todo x ∈ ]0, 1[ ∪ ]2, 3[, isto é, f0 = 0 e, no entanto, f não é uma função constante (relembre–se que uma função constante toma o mesmo valor em todos os pontos do seu domı́nio). (b) Conclua que, dadas duas funções deriváveis g e h cujos gráficos se intersetam e tais que g0 = h0 , não é necessariamente verdade que g = h. Solução: Como g0 = h0 , então (g − h)0 = 0 o que, pela alı́nea anterior, não implica que g − h seja uma função constante. Em particular, se os gráficos de f e g se intersetarem, não é necessariamente verdadeiro que g = h. 2. Seja f : R −→ R definida por f(x) = cos(2x). Usando a definição, encontre a derivada de f no ponto x = 0. Solução: Tem–se: f0 (0) = lim x→0 cos(2x) − cos(0) x − 0 = lim x→0 cos(2x) − 1 x = lim x→0 −2 sin2 x x = 0 onde, no penúltimo passo se usou a identidade cos(2x) = cos2 x − sin2 x. Portanto, f0 (0) = 0. 3. Usando as regras de derivação, encontre a expressão da derivada das seguintes funções: (a) y = cos(x + sin x + 1); Solução: y0 = −(1 + cos x) sin(x + sin x + 1). (b) y = cos3 x + sin4 (3x). Solução: y0 = −3 sin x cos2 x + 12 sin3 (3x) cos(3x). 4. Seja f : [0, 2π[ −→ R definida por f(x) = x cos x − sin x. Estude f quanto à monotonia e existência de extremos. Solução: Tem–se f0 (x) = cos x − x sin x − cos x = −x sin x e f0 (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ sin x = 0 ∧ x ∈ [0, 2π[ ⇔ x = 0 ∨ x = π. Nestas condições, construimos a tabela: x 0 π 2π f0 (x) 0 − 0 + N.D. f(x) MAX MIN % N.D. 5. Uma partı́cula desloca–se sobre a reta real, segundo a lei: x(t) = cos t + sin t onde x(t) é a posição da partı́cula no instante t ≥ 0. Sabe–se que a partı́cula terminou a sua trajetória no instante t = 10. (a) Indique a posição da partı́cula no instante inicial. Solução: x(0) = cos 0 + sin 0 = 1 é a posição inicial da partı́cula. (b) Justifique que a partı́cula executa um movimento contı́nuo (sem ”saltos”) ao longo da reta. Solução: Como x(t) é uma função contı́nua no intervalo [0, 10], deduz–se que a partı́cula terá um movimento contı́nuo ao longo do seu percurso. (c) Indique um instante de tempo em que a partı́cula inverteu o sentido de marcha. Solução: Tem–se x0 (t) = cos t − sin t e, por exemplo, x0 (π/4) = 0. Em particular, x = π 4 corres- ponde a um ponto de máximo local, pois numa vizinhança direita desse ponto x0 (t) 0, enquanto que numa vizinhança esquerda do mesmo x0 (t) 0 (à medida que um ângulo percorre o primeiro quadrante do cı́rculo trigonométrico, o seu cosseno diminui enquanto o seno aumenta). Portanto, no instante t = π/4 a partı́cula inverte o sentido de marcha. Page 2
  • 3. (d) Uma segunda partı́cula desloca–se segundo a lei x(t) = √ 2 + t2, no mesmo intervalo de tempo que a anterior. Verifique se as duas partı́culas se cruzam em algum instante de tempo. Solução: Basta notar que, pela alı́nea anterior, os máximos serão atingidos em x = √ 2. Por outro lado, a segunda partı́cula começa o seu percurso exatamente na posição x = √ 2 e, a partir daı́, executa um movimento ascendente na reta. Como as posições iniciais das duas partı́culas são diferentes, deduz–se que as mesmas não se cruzarão. Responda a uma e só uma das seguintes questões: 6. Seja S = {α1, α2, ..., αn} um conjunto com n números reais. Mostre que o valor de x que minimiza a soma n X i=1 (x − αi)2 é a média aritmética dos elementos de S. Interprete geometricamente o caso em que n = 3. Solução: Derivando, em R, a função y = n X i=1 (x − αi)2 , obtém–se: y0 = 2 n X i=1 (x − αi) = 2nx − 2 n X i=1 αi. Portanto: y0 = 0 ⇔ x = Pn i=1 αi n isto é, a derivada da função y = y(x) anula–se no ponto x que representa a média aritmética dos elementos de S. Em particular, é fácil de concluir que esse ponto está associado a um mı́nimo absoluto, o que significa que a média aritmética dos elementos de S minimizam a soma y(x). Agora, no caso de n = 3, temos que a soma n X i=1 (x − αi)2 representa o quadrado da distância entre os pontos do espaço cartesiano P1(α1, α2, α3) e P2(x, x, x), para algum x ∈ R. Repare–se que este último ponto pertence à reta definida pela equação x = y = z. Portanto, o resultado provado acima mostra que o ponto dessa reta que está ”mais perto”do ponto P1 é dado por Pn i=1 αi n , Pn i=1 αi n , Pn i=1 αi n . 7. Mostre que, entre os retângulos com um dado perı́metro, é o quadrado que tem área máxima. Averigue se, entre os retângulos com uma dada área, é o quadrado que tem perı́metro máximo. Solução: Sejam x e y, respetivamente, as variáveis que representam o comprimento e a largura de um retângulo cujo perı́metro vale P, isto é, 2x + 2y = P. Queremos encontrar x e y de forma que a área A = xy do retângulo seja máxima. Ora, 2x + 2y = P ⇔ y = P − 2x 2 , donde A(x) = x P − 2x 2 é a expressão que queremos maximizar. Assim, derivando A(x) e igualando a zero, obtém–se: P − 4x = 0 ⇔ x = P 4 sendo fácil de ver que este ponto corresponde a um máximo absoluto de A(x). Portanto, a medida x do retângulo que maximiza a área é dada por P/4, o que acontece exatamente quando x é medida de um quadrado. Por outro lado, a segunda afirmação é falsa. Com efeito, considerando o retângulo com comprimento 1 e largura 2, temos que a sua área vale 2 e o perı́metro 6. No entanto, ao quadrado de área 2 corresponde um lado igual a √ 2 e, portanto, perı́metro 4 √ 2 6. Page 3