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EQUAC¸ ˜OES IRRACIONAIS
1 Defini¸c˜ao e propriedades das ra´ızes
1.1 Defini¸c˜ao de ra´ızes de ordem ´ımpar
A raiz n
√
a de ordem ´ımpar n ≥ 3 de um n´umero real a ´e o n´umero real b
tal que bn
= a. ´E pressuposto que tal n´umero b existe qualquer que for a.
1.2 Defini¸c˜ao de ra´ızes de ordem par
A raiz n
√
a de ordem par n ≥ 2 de um n´umero real a ≥ 0 ´e o n´umero real
b ≥ 0 tal que bn
= a. ´E pressuposto que tal n´umero b existe qualquer que for
a ≥ 0.
Notamos que a defini¸c˜ao de ra´ızes ´ımpares n˜ao imp˜oe nenhuma restri¸c˜ao
sobre a e b, enquanto a de pares exige que tanto a como b sejam n´umeros
n˜ao negativos.
1.3 Propriedades b´asicas das ra´ızes
1. n
√
a n
√
b = n
√
ab;
2.
n√
a
n√
b
= n a
b
, b = 0;
3. ( n
√
a)m
= n
√
am;
4. ( n
√
a)n
= a;
5. m n
√
a = mn
√
a.
Naturalmente, as propriedades de ra´ızes ´ımpares s˜ao v´alidas para quais-
quer n´umeros a e b e das pares para a e b n˜ao negativos.
1
2 Equa¸c˜oes na forma n
f(x) = g(x)
• Muitas equa¸c˜oes irracionais podem ser representadas na forma
n
f(x) = g(x)
com n ∈ N, n ≥ 2
• O m´etodo geral da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes irracionais: redu¸c˜ao a equa-
¸c˜oes polinomiais de grau n.
– Caso n ´ımpar: n˜ao h´a restri¸c˜oes de x, al´em daquelas que s˜ao im-
postas pela forma de express˜oes f(x) e g(x), porque a raiz de or-
dem ´ımpar admite qualquer valor dentro da raiz e o seu resultado
tamb´em n˜ao tem restri¸c˜oes em termos do sinal. Usando proprie-
dades das raizes, podemos transformar a equa¸c˜ao irracional numa
equa¸c˜ao polinomial de grau n, equivalente `a original, elevando os
dois lados em potˆencia n: f(x) = (g(x))n
. A resolu¸c˜ao dessa
´ultima ´e o assunto de equa¸c˜oes polinomiais.
– Caso n par: a equa¸c˜ao tem sentido s´o naqueles pontos x onde
as duas fun¸c˜oes f(x) e g(x) s˜ao n˜ao negativas. Devido a essa
restri¸c˜ao, a equa¸c˜ao irracional pode ser reduzida a polinomial
f(x) = (g(x))n
junto com a condi¸c˜ao g(x) ≥ 0. Notamos que
a condi¸c˜ao f(x) ≥ 0 est´a automaticamente satisfeita nessa trans-
forma¸c˜ao, uma vez que (g(x))n
≥ 0 pois n ´e uma potˆencia par.
EXEMPLOS
1. Resolver a equa¸c˜ao irracional
√
3 + x = 3 − x.
Como a ordem da raiz ´e par (n = 2), ent˜ao depois de elevar os dois
lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e obter uma equa¸c˜ao quadr´atica
3 + x = (3 − x)2
, temos duas op¸c˜oes: resolver a ´ultima junto com a
restri¸c˜ao 3−x ≥ 0 ou resolver a ´ultima separadamente e depois verificar
as solu¸c˜oes obtidas substituindo eles na original. Nesse exemplo, vamos
aplicar os dois m´etodos para mostrar a sua equivalˆencia, mas, no futuro,
vamos usar a segunda op¸c˜ao que tem maior utilidade pr´atica.
2
Resolvendo a equa¸c˜ao quadr´atica 3+x = (3−x)2
, ou seja x2
−7x+6 = 0,
obtemos duas solu¸c˜oes x1 = 1 e x2 = 6. A desigualdade 3 − x ≥ 0, isto
´e, x ≤ 3, unida com a equa¸c˜ao, mostra que somente a primeira raiz
satisfaz essa restri¸c˜ao e a segunda deve ser desconsiderada. Assim, a
´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original ´e x1 = 1.
Da mesma maneira, empregando o segundo m´etodo, primeiro resolve-
mos a equa¸c˜ao x2
− 7x + 6 = 0 que tem as solu¸c˜oes x1 = 1 e x2 = 6.
Substituindo a primeira na equa¸c˜ao original temos identidade. Mas a
substitui¸c˜ao da segunda gera uma rela¸c˜ao imposs´ıvel
√
3 + 6 = 3 − 6,
uma vez que a parte direita ´e negativa (note que nesse passo na reali-
dade verificamos se g(x) = 3 − x ´e negativa ou n˜ao). Assim, de novo
temos a mesma solu¸c˜ao x1 = 1.
2. Resolver a equa¸c˜ao irracional
√
2x2 + 1 = 1 − x.
Primeiro elevamos os dois lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e
obtemos a equa¸c˜ao quadr´atica 2x2
+ 1 = (1 − x)2
, ou seja x2
+ 2x = 0,
cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = −2 e x2 = 0. Testando as duas na equa¸c˜ao
original, confirmamos que ambas s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao dada.
3. Resolver a equa¸c˜ao irracional
√
2x2 − 14x + 13 = 5 − x.
Primeiro elevamos os dois lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e
obtemos a equa¸c˜ao quadr´atica 2x2
− 14x + 13 = (5 − x)2
, ou seja
x2
− 4x − 12 = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = −2 e x2 = 6. Substituindo
a primeira na equa¸c˜ao original temos identidade. Mas a substitui¸c˜ao
da segunda gera uma rela¸c˜ao imposs´ıvel
√
1 = −1, uma vez que a
parte direita ´e negativa. Assim, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original ´e
x1 = −2.
4. Resolver a equa¸c˜ao irracional 3
√
x3 − 2x + 1 = 1.
Como a ordem da raiz ´e´ımpar, ent˜ao elevando os dois lados ao cubo n˜ao
vamos precisar de qualquer verifica¸c˜ao adicional. Ent˜ao, elevamos os
dois lados ao cubo e obtemos a seguinte equa¸c˜ao c´ubica x3
−2x+1 = 1,
ou seja x3
− 2x = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = 0 e x2,3 = ±
√
2. Todos
esses valores s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao original.
3
3 Equa¸c˜oes na forma n
f(x) ± n
g(x) = h(x)
• Forma mais geral de equa¸c˜oes irracionais
• Solu¸c˜ao: transformar essa equa¸c˜ao numa equa¸c˜ao polinomial elevando
os lados da original na potˆencia correspondente
• Aplicar transforma¸c˜oes
• ´E necess´ario fazer a verifica¸c˜ao das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao polinomial,
mesmo quando a ordem da raiz original ´e impar
EXEMPLOS
1. Resolver a equa¸c˜ao irracional
√
2x + 3 +
√
x − 2 = 4.
Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equa¸c˜ao, por exemplo,√
2x + 3 = 4 −
√
x − 2 e elevamos os dois lados dessa equa¸c˜ao ao qua-
drado: 2x + 3 = 16 + (x − 2) − 8
√
x − 2. Em seguida, isolamos a raiz
restante, isto ´e, reescrevemos a nova equa¸c˜ao na forma 8
√
x − 2 = 11−x
e elevamos ao quadrado mais uma vez: 64(x − 2) = 121 − 22x + x2
, ou
simplificando, x2
− 86x + 249 = 0. As solu¸c˜oes da ´ultima equa¸c˜ao s˜ao
x1 = 3 e x2 = 83. Como foi realizada a opera¸c˜ao de eleva¸c˜ao ao qua-
drado (de n˜ao equivalˆencia), poderia ocorrer que a equa¸c˜ao quadr´atica
final tem mais solu¸c˜oes que a original. Substituindo a solu¸c˜ao x1 na
equa¸c˜ao original, obtemos a identidade:
√
6 + 3 +
√
3 − 2 = 4. Tes-
tando x2, temos
√
166 + 3 +
√
83 − 2 = 13 + 9 = 22 = 4, isto ´e, x2 n˜ao
´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada. Assim, a ´unica solu¸c˜ao ´e x1 = 3.
2. Resolver a equa¸c˜ao irracional
√
3x − 5 −
√
4 − x = 1.
Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equa¸c˜ao, por exemplo,√
3x − 5 = 1 +
√
4 − x e elevamos os dois lados dessa equa¸c˜ao ao qua-
drado: 3x − 5 = 1 + (4 − x) + 2
√
4 − x. Em seguida, isolamos a raiz
restante, isto ´e, reescrevemos a nova equa¸c˜ao na forma
√
4 − x = 2x−5
e elevamos ao quadrado mais uma vez: 4−x = 4x2
−20x+25, ou seja,
4x2
− 19x + 21 = 0. As solu¸c˜oes da ´ultima equa¸c˜ao s˜ao x1 = 3 e
x2 = 7
4
. Como foi realizada a opera¸c˜ao de eleva¸c˜ao ao quadrado (de
n˜ao equivalˆencia), poderia ocorrer que a equa¸c˜ao quadr´atica final tem
mais solu¸c˜oes que a original. Substituindo a solu¸c˜ao x1 na equa¸c˜ao
4
original, obtemos a identidade:
√
9 − 5 −
√
4 − 3 = 1. Testando x2,
temos 21
4
− 5 − 4 − 7
4
= 1
2
− 3
2
= −1 = 1, isto ´e, x2 n˜ao ´e a solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao dada. Assim, a ´unica solu¸c˜ao ´e x1 = 3.
3. Resolver a equa¸c˜ao irracional 3
√
2x − 1 + 3
√
x − 1 = 1.
Elevando os dois lados ao cubo, obtemos
(2x − 1) + 3 3
(2x − 1)2(x − 1) + 3 3
(2x − 1)(x − 1)2 + (x − 1) = 1
ou reagrupando os termos,
3x − 2 + 3 3
(2x − 1)(x − 1) 3
√
2x − 1 + 3
√
x − 1 = 1
Notamos que a soma das raizes dentro das parˆenteses pode ser subs-
titu´ıda por 1 de acordo com a equa¸c˜ao original. Ent˜ao simplificamos
a ´ultima equa¸c˜ao `a forma 3x − 2 + 3 3
(2x − 1)(x − 1) = 1, ou iso-
lando a raiz restante 3
(2x − 1)(x − 1) = 1 − x. Elevando de novo
os dois lados da ´ultima equa¸c˜ao ao cubo, encontramos a equa¸c˜ao po-
linomial (2x − 1)(x − 1) = (1 − x)3
. Depois da separa¸c˜ao da solu¸c˜ao
x1 = 1 dessa equa¸c˜ao, relativa ao fator x−1, resta a equa¸c˜ao quadr´atica
1 − 2x = (1 − x)2
que se simplifica a x2
= 0 com a ´unica solu¸c˜ao
x2 = 0. Verificando as duas solu¸c˜oes, para x1 = 1 temos identidade
3
√
2 − 1 + 3
√
1 − 1 = 1, mas para x2 = 0 a equa¸c˜ao original n˜ao confere
3
√
0 − 1 + 3
√
0 − 1 = −2 = 1. Assim, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada
´e x1 = 1.
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  • 1. EQUAC¸ ˜OES IRRACIONAIS 1 Defini¸c˜ao e propriedades das ra´ızes 1.1 Defini¸c˜ao de ra´ızes de ordem ´ımpar A raiz n √ a de ordem ´ımpar n ≥ 3 de um n´umero real a ´e o n´umero real b tal que bn = a. ´E pressuposto que tal n´umero b existe qualquer que for a. 1.2 Defini¸c˜ao de ra´ızes de ordem par A raiz n √ a de ordem par n ≥ 2 de um n´umero real a ≥ 0 ´e o n´umero real b ≥ 0 tal que bn = a. ´E pressuposto que tal n´umero b existe qualquer que for a ≥ 0. Notamos que a defini¸c˜ao de ra´ızes ´ımpares n˜ao imp˜oe nenhuma restri¸c˜ao sobre a e b, enquanto a de pares exige que tanto a como b sejam n´umeros n˜ao negativos. 1.3 Propriedades b´asicas das ra´ızes 1. n √ a n √ b = n √ ab; 2. n√ a n√ b = n a b , b = 0; 3. ( n √ a)m = n √ am; 4. ( n √ a)n = a; 5. m n √ a = mn √ a. Naturalmente, as propriedades de ra´ızes ´ımpares s˜ao v´alidas para quais- quer n´umeros a e b e das pares para a e b n˜ao negativos. 1
  • 2. 2 Equa¸c˜oes na forma n f(x) = g(x) • Muitas equa¸c˜oes irracionais podem ser representadas na forma n f(x) = g(x) com n ∈ N, n ≥ 2 • O m´etodo geral da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes irracionais: redu¸c˜ao a equa- ¸c˜oes polinomiais de grau n. – Caso n ´ımpar: n˜ao h´a restri¸c˜oes de x, al´em daquelas que s˜ao im- postas pela forma de express˜oes f(x) e g(x), porque a raiz de or- dem ´ımpar admite qualquer valor dentro da raiz e o seu resultado tamb´em n˜ao tem restri¸c˜oes em termos do sinal. Usando proprie- dades das raizes, podemos transformar a equa¸c˜ao irracional numa equa¸c˜ao polinomial de grau n, equivalente `a original, elevando os dois lados em potˆencia n: f(x) = (g(x))n . A resolu¸c˜ao dessa ´ultima ´e o assunto de equa¸c˜oes polinomiais. – Caso n par: a equa¸c˜ao tem sentido s´o naqueles pontos x onde as duas fun¸c˜oes f(x) e g(x) s˜ao n˜ao negativas. Devido a essa restri¸c˜ao, a equa¸c˜ao irracional pode ser reduzida a polinomial f(x) = (g(x))n junto com a condi¸c˜ao g(x) ≥ 0. Notamos que a condi¸c˜ao f(x) ≥ 0 est´a automaticamente satisfeita nessa trans- forma¸c˜ao, uma vez que (g(x))n ≥ 0 pois n ´e uma potˆencia par. EXEMPLOS 1. Resolver a equa¸c˜ao irracional √ 3 + x = 3 − x. Como a ordem da raiz ´e par (n = 2), ent˜ao depois de elevar os dois lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e obter uma equa¸c˜ao quadr´atica 3 + x = (3 − x)2 , temos duas op¸c˜oes: resolver a ´ultima junto com a restri¸c˜ao 3−x ≥ 0 ou resolver a ´ultima separadamente e depois verificar as solu¸c˜oes obtidas substituindo eles na original. Nesse exemplo, vamos aplicar os dois m´etodos para mostrar a sua equivalˆencia, mas, no futuro, vamos usar a segunda op¸c˜ao que tem maior utilidade pr´atica. 2
  • 3. Resolvendo a equa¸c˜ao quadr´atica 3+x = (3−x)2 , ou seja x2 −7x+6 = 0, obtemos duas solu¸c˜oes x1 = 1 e x2 = 6. A desigualdade 3 − x ≥ 0, isto ´e, x ≤ 3, unida com a equa¸c˜ao, mostra que somente a primeira raiz satisfaz essa restri¸c˜ao e a segunda deve ser desconsiderada. Assim, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original ´e x1 = 1. Da mesma maneira, empregando o segundo m´etodo, primeiro resolve- mos a equa¸c˜ao x2 − 7x + 6 = 0 que tem as solu¸c˜oes x1 = 1 e x2 = 6. Substituindo a primeira na equa¸c˜ao original temos identidade. Mas a substitui¸c˜ao da segunda gera uma rela¸c˜ao imposs´ıvel √ 3 + 6 = 3 − 6, uma vez que a parte direita ´e negativa (note que nesse passo na reali- dade verificamos se g(x) = 3 − x ´e negativa ou n˜ao). Assim, de novo temos a mesma solu¸c˜ao x1 = 1. 2. Resolver a equa¸c˜ao irracional √ 2x2 + 1 = 1 − x. Primeiro elevamos os dois lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e obtemos a equa¸c˜ao quadr´atica 2x2 + 1 = (1 − x)2 , ou seja x2 + 2x = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = −2 e x2 = 0. Testando as duas na equa¸c˜ao original, confirmamos que ambas s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao dada. 3. Resolver a equa¸c˜ao irracional √ 2x2 − 14x + 13 = 5 − x. Primeiro elevamos os dois lados da equa¸c˜ao original ao quadrado e obtemos a equa¸c˜ao quadr´atica 2x2 − 14x + 13 = (5 − x)2 , ou seja x2 − 4x − 12 = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = −2 e x2 = 6. Substituindo a primeira na equa¸c˜ao original temos identidade. Mas a substitui¸c˜ao da segunda gera uma rela¸c˜ao imposs´ıvel √ 1 = −1, uma vez que a parte direita ´e negativa. Assim, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original ´e x1 = −2. 4. Resolver a equa¸c˜ao irracional 3 √ x3 − 2x + 1 = 1. Como a ordem da raiz ´e´ımpar, ent˜ao elevando os dois lados ao cubo n˜ao vamos precisar de qualquer verifica¸c˜ao adicional. Ent˜ao, elevamos os dois lados ao cubo e obtemos a seguinte equa¸c˜ao c´ubica x3 −2x+1 = 1, ou seja x3 − 2x = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao x1 = 0 e x2,3 = ± √ 2. Todos esses valores s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao original. 3
  • 4. 3 Equa¸c˜oes na forma n f(x) ± n g(x) = h(x) • Forma mais geral de equa¸c˜oes irracionais • Solu¸c˜ao: transformar essa equa¸c˜ao numa equa¸c˜ao polinomial elevando os lados da original na potˆencia correspondente • Aplicar transforma¸c˜oes • ´E necess´ario fazer a verifica¸c˜ao das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao polinomial, mesmo quando a ordem da raiz original ´e impar EXEMPLOS 1. Resolver a equa¸c˜ao irracional √ 2x + 3 + √ x − 2 = 4. Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equa¸c˜ao, por exemplo,√ 2x + 3 = 4 − √ x − 2 e elevamos os dois lados dessa equa¸c˜ao ao qua- drado: 2x + 3 = 16 + (x − 2) − 8 √ x − 2. Em seguida, isolamos a raiz restante, isto ´e, reescrevemos a nova equa¸c˜ao na forma 8 √ x − 2 = 11−x e elevamos ao quadrado mais uma vez: 64(x − 2) = 121 − 22x + x2 , ou simplificando, x2 − 86x + 249 = 0. As solu¸c˜oes da ´ultima equa¸c˜ao s˜ao x1 = 3 e x2 = 83. Como foi realizada a opera¸c˜ao de eleva¸c˜ao ao qua- drado (de n˜ao equivalˆencia), poderia ocorrer que a equa¸c˜ao quadr´atica final tem mais solu¸c˜oes que a original. Substituindo a solu¸c˜ao x1 na equa¸c˜ao original, obtemos a identidade: √ 6 + 3 + √ 3 − 2 = 4. Tes- tando x2, temos √ 166 + 3 + √ 83 − 2 = 13 + 9 = 22 = 4, isto ´e, x2 n˜ao ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada. Assim, a ´unica solu¸c˜ao ´e x1 = 3. 2. Resolver a equa¸c˜ao irracional √ 3x − 5 − √ 4 − x = 1. Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equa¸c˜ao, por exemplo,√ 3x − 5 = 1 + √ 4 − x e elevamos os dois lados dessa equa¸c˜ao ao qua- drado: 3x − 5 = 1 + (4 − x) + 2 √ 4 − x. Em seguida, isolamos a raiz restante, isto ´e, reescrevemos a nova equa¸c˜ao na forma √ 4 − x = 2x−5 e elevamos ao quadrado mais uma vez: 4−x = 4x2 −20x+25, ou seja, 4x2 − 19x + 21 = 0. As solu¸c˜oes da ´ultima equa¸c˜ao s˜ao x1 = 3 e x2 = 7 4 . Como foi realizada a opera¸c˜ao de eleva¸c˜ao ao quadrado (de n˜ao equivalˆencia), poderia ocorrer que a equa¸c˜ao quadr´atica final tem mais solu¸c˜oes que a original. Substituindo a solu¸c˜ao x1 na equa¸c˜ao 4
  • 5. original, obtemos a identidade: √ 9 − 5 − √ 4 − 3 = 1. Testando x2, temos 21 4 − 5 − 4 − 7 4 = 1 2 − 3 2 = −1 = 1, isto ´e, x2 n˜ao ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada. Assim, a ´unica solu¸c˜ao ´e x1 = 3. 3. Resolver a equa¸c˜ao irracional 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 1. Elevando os dois lados ao cubo, obtemos (2x − 1) + 3 3 (2x − 1)2(x − 1) + 3 3 (2x − 1)(x − 1)2 + (x − 1) = 1 ou reagrupando os termos, 3x − 2 + 3 3 (2x − 1)(x − 1) 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 1 Notamos que a soma das raizes dentro das parˆenteses pode ser subs- titu´ıda por 1 de acordo com a equa¸c˜ao original. Ent˜ao simplificamos a ´ultima equa¸c˜ao `a forma 3x − 2 + 3 3 (2x − 1)(x − 1) = 1, ou iso- lando a raiz restante 3 (2x − 1)(x − 1) = 1 − x. Elevando de novo os dois lados da ´ultima equa¸c˜ao ao cubo, encontramos a equa¸c˜ao po- linomial (2x − 1)(x − 1) = (1 − x)3 . Depois da separa¸c˜ao da solu¸c˜ao x1 = 1 dessa equa¸c˜ao, relativa ao fator x−1, resta a equa¸c˜ao quadr´atica 1 − 2x = (1 − x)2 que se simplifica a x2 = 0 com a ´unica solu¸c˜ao x2 = 0. Verificando as duas solu¸c˜oes, para x1 = 1 temos identidade 3 √ 2 − 1 + 3 √ 1 − 1 = 1, mas para x2 = 0 a equa¸c˜ao original n˜ao confere 3 √ 0 − 1 + 3 √ 0 − 1 = −2 = 1. Assim, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada ´e x1 = 1. 5