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Numeros complexos ficha

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Explica¸c˜ao de Matem´atica 12.º Ano
29 de Abril de 2020
Miguel Fernandes
Exerc´ıcios Suplementares sobre N´umeros Complexos:
1. Seja z = a + bi. Mostre que se n ∈ N ´e um m´ultiplo de 4, ent˜ao:
(a + bi)
n
= (−b + ai)
n
.
2. Mostre que ¯¯z = z.
3. Considere os n´umeros complexos da forma z = 2 cos θ + 2 sin θi, onde θ ∈ [0, 2π[.
Esses n´umeros complexos descrevem um determinado lugar geom´etrico no Plano de
Argand.
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(b) Determine o valor de z¯z.
(c) Determine θ de modo que z =
1
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+
√
3
2
i.
4. Diga se o n´umero complexo z = 1+2i pode ser escrito na forma (a2
+ b2
)+(a2
− b2
) i,
para alguns a, b ∈ R.
5. Em que condi¸c˜oes os n´umeros complexos z = a + bi e w = b + ai, onde a e b tˆem
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6. Esboce a zona do plano de Argand dos n´umeros complexos z que satisfazem:
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= 9 ∧ Re + Im(z) < 1.
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Numeros complexos ficha

  • 1. Explica¸c˜ao de Matem´atica 12.º Ano 29 de Abril de 2020 Miguel Fernandes Exerc´ıcios Suplementares sobre N´umeros Complexos: 1. Seja z = a + bi. Mostre que se n ∈ N ´e um m´ultiplo de 4, ent˜ao: (a + bi) n = (−b + ai) n . 2. Mostre que ¯¯z = z. 3. Considere os n´umeros complexos da forma z = 2 cos θ + 2 sin θi, onde θ ∈ [0, 2π[. Esses n´umeros complexos descrevem um determinado lugar geom´etrico no Plano de Argand. (a) Indique esse lugar geom´etrico e determine a sua ´area. (b) Determine o valor de z¯z. (c) Determine θ de modo que z = 1 2 + √ 3 2 i. 4. Diga se o n´umero complexo z = 1+2i pode ser escrito na forma (a2 + b2 )+(a2 − b2 ) i, para alguns a, b ∈ R. 5. Em que condi¸c˜oes os n´umeros complexos z = a + bi e w = b + ai, onde a e b tˆem sinal, pertencem ao mesmo quadrante? 6. Esboce a zona do plano de Argand dos n´umeros complexos z que satisfazem: Re(z)2 + Im(z)2 = 9 ∧ Re + Im(z) < 1. 1