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Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica A - 12.o
Ano - 2019/2020
Dura¸c˜ao: 1 hora
Miguel Fernandes
Nome do aluno:
Classifica¸c˜ao/Assinatura do professor:
Assinatura do encarregado de educa¸c˜ao:
Este teste ´e composto por dois grupos: o Grupo I e o Grupo II. As perguntas do Grupo I
s˜ao de escolha m´ultipla: deves apresentar, na tua folha de respostas, a ´unica op¸c˜ao correta.
O Grupo II ´e constitu´ıdo por perguntas de resposta aberta: dever´as apresentar todos os
c´alculos e justifica¸c˜oes necess´arias.
Grupo I
1. Qual a express˜ao da derivada da fun¸c˜ao f definida por f(x) =
1
1 − ex
?
A. f(2x) − f(x)
B. f(x)2
+ f(x)
C. f(x)2
− f(x)
D. f(2x) + f(x)
2. Qual o dom´ınio da fun¸c˜ao g definida por g(x) = ln ln x2
− 1 ?
A. ]1, +∞[ B. ]0, +∞[ C.
√
2, +∞ D. nenhuma das anteriores
3. Qual das seguintes express˜oes define uma fun¸c˜ao estritamente crescente no dom´ınio em que est´a definida?
A. y = ln x − ln(−2x)
B. y = ex3
C. y = e2x2
−x
D. y = ln x2
+ 1
4. Qual o valor do limite lim
x→2
x2
− 4
ln x − ln 2
?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
Grupo II
5. Resolve a equa¸c˜ao e2x+2
+ ex+1
− 4 = 0.
6. Resolve a inequa¸c˜ao x2
− 7x + 12 ln (2x − 6) > 0.
7. Considera a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f(x) = e−x
+ 3x.
7.1. Estuda a monotonia da fun¸c˜ao f.
7.2. Estuda f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas.
8. Dada uma fun¸c˜ao f de dom´ınio R, define-se:
f(0)
(x) = x
f(n)
(x) = f f(n−1)
(x) , n ≥ 1
.
Considera a fun¸c˜ao g definida por g(x) = ex
.
8.1. Resolve a equa¸c˜ao g(3)
(x) = 3.
8.2. Mostra que g(n)
(x) = g
n−1
i=0
g(i)
(x) , para n ≥ 1.
Fim da Prova
Cota¸c˜ao:
Grupo I: 1.5 valores cada
Grupo II: 2.5val - 2.5val - 2.5val - 2.5val - 1.5val - 2.5val
Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica A - 12.o
Ano - 2019/2020
Corre¸c˜ao
Grupo I
1. Usando as regras usuais, a derivada de f(x) =
1
1 − ex
´e dada por:
f (x) =
ex
(1 − ex)2
=
1
1 − ex
2
−
1
1 − ex
. (1)
Portanto, (C) ´e a op¸c˜ao correta.
2. Comecemos por notar que a express˜ao ln(x2
− 1) est´a definida para todo x real que verifique |x| > 1.
Portanto, o dom´ınio de g ´e:
Dg = x ∈ R : |x| > 1 ∧ ln(x2
− 1) > 0 . (2)
Ora, ln(x2
− 1) > 0 ⇔ x2
− 1 > 1 ⇔ x2
> 2 ⇔ |x| >
√
2.
Portanto,
Dg = x ∈ R : |x| > 1 ∧ |x| >
√
2 = x ∈ R : |x| >
√
2 . (3)
Op¸c˜ao correta: (D).
3. A derivada de y = ex3
´e dada por:
y = 3x2
ex3
≥ 0. (4)
No entanto, o ponto onde a fun¸c˜ao derivada se anula (x = 0) n˜ao est´a associado a uma mudan¸ca de sinal
dessa fun¸c˜ao. Logo, y = ex3
define uma fun¸c˜ao estritamente crescente.
Op¸c˜ao correta: (B).
4. Usando propriedades dos limites e defini¸c˜ao de derivada num ponto, resulta:
lim
x→2
x2
− 4
ln x − ln 2
= lim
x→2
(x − 2)
ln x − ln 2
(x + 2) = 2 × 4 = 8. (5)
Op¸c˜ao correta: (D).
Grupo II
1. Tem-se, usando f´ormula resolvente: e2x+2
+ ex+1
− 4 = 0 ⇔ e2(x+1)
+ ex+1
− 4 = 0 ⇔ ex+1
=
−1 ± 1 − 4 × 1 × (−4)
2 × 1
. Portanto, como o argumento de logaritmo deve ser um n´umero positivo, a
´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e x = ln
−1 +
√
17
2
− 1.
2. As ra´ızes de x2
− 7x + 12 s˜ao 3 e 4 (f´ormula resolvente); a ra´ız de ln (2x − 6) ´e
7
2
, sendo que esta ´ultima
express˜ao apenas est´a definida para x > 3. Portanto, estamos em condi¸c˜oes de construir a tabela de sinal:
x 3
7
2
4 +∞
x2
− 7x + 12 0 - - - 0 +
ln (2x − 6) n.d - 0 + + +
x2
− 7x + 12 ln (2x − 6) > 0 n.d + 0 - 0 +
Assim, o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao ´e: 3,
7
2
∪ ]4, +∞[.
3. 3.1. A fun¸c˜ao derivada de f ´e definida por f (x) = −e−x
+ 3 e cuja ´unica raiz ´e o ponto x0 = − ln 3. Este
ponto est´a associado a uma mudan¸ca de sinal da fun¸c˜ao derivada: `a esquerda dele, f ´e negativa e,
`a sua direita, f ´e positiva. Portanto, f ´e estritamente decrescente `a esquerda de x0 e estritamente
crescente `a sua direita. O m´ınimo de f ´e dado por f (x0) = 3 − 3 ln 3.
3.2. f n˜ao tem ass´ıntotas horizontais, pois a fun¸c˜ao tem limites infinitos quando x tende para ±∞ (no
caso de x → −∞, usa-se o limite not´avel lim
x→+∞
ex
x
= +∞). Ass´ıntotas verticais tamb´em n˜ao existem,
pela continuidade de f. Finalmente, f admite uma ass´ıntota obl´ıqua, quando x → +∞, dada pela
equa¸c˜ao y = 3x (a computa¸c˜ao dos limites ´e praticamente trivial).
Page 2
4. 4.1. g(3)
(x) = 3 ⇔ eeex
= 3 ⇔ x = ln (ln (ln(3))).
4.2. Por indu¸c˜ao em n.
Para n = 1 tem-se g(1)
(x) = (ex
) = ex
= g(x) = g
0
i=0
g(i)
(x) . Vamos assumir que a
propriedade ´e v´alida para n fixo. Vamos mostrar que ela tamb´em ´e v´alida para o termo seguinte,
ou seja, para n + 1. Ora, g(n+1)
(x) = g g(n)
(x) , pela defini¸c˜ao apresentada. Pela defini¸c˜ao
de derivada da composta de duas fun¸c˜oes, vem: g g(n)
(x) = g g(n)
(x) . g(n)
(x) e,
usando a Hip´otese de Indu¸c˜ao, o facto g (x) = g(x) e a propriedade ex+y
= ex
ey
(para todo x e y
reais), segue g g(n)
(x) . g(n)
(x) = g g(n)
(x) .g
n−1
i=0
g(i)
(x) = g g(n)
+
n−1
i=0
g(i)
(x) =
g
n
i=0
g(i)
(x) , como se queria demonstrar.
Miguel Fernandes
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Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020

  • 1. Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica A - 12.o Ano - 2019/2020 Dura¸c˜ao: 1 hora Miguel Fernandes Nome do aluno: Classifica¸c˜ao/Assinatura do professor: Assinatura do encarregado de educa¸c˜ao: Este teste ´e composto por dois grupos: o Grupo I e o Grupo II. As perguntas do Grupo I s˜ao de escolha m´ultipla: deves apresentar, na tua folha de respostas, a ´unica op¸c˜ao correta. O Grupo II ´e constitu´ıdo por perguntas de resposta aberta: dever´as apresentar todos os c´alculos e justifica¸c˜oes necess´arias. Grupo I 1. Qual a express˜ao da derivada da fun¸c˜ao f definida por f(x) = 1 1 − ex ? A. f(2x) − f(x) B. f(x)2 + f(x) C. f(x)2 − f(x) D. f(2x) + f(x) 2. Qual o dom´ınio da fun¸c˜ao g definida por g(x) = ln ln x2 − 1 ? A. ]1, +∞[ B. ]0, +∞[ C. √ 2, +∞ D. nenhuma das anteriores 3. Qual das seguintes express˜oes define uma fun¸c˜ao estritamente crescente no dom´ınio em que est´a definida? A. y = ln x − ln(−2x) B. y = ex3 C. y = e2x2 −x D. y = ln x2 + 1 4. Qual o valor do limite lim x→2 x2 − 4 ln x − ln 2 ? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 Grupo II 5. Resolve a equa¸c˜ao e2x+2 + ex+1 − 4 = 0. 6. Resolve a inequa¸c˜ao x2 − 7x + 12 ln (2x − 6) > 0. 7. Considera a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f(x) = e−x + 3x. 7.1. Estuda a monotonia da fun¸c˜ao f. 7.2. Estuda f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas. 8. Dada uma fun¸c˜ao f de dom´ınio R, define-se: f(0) (x) = x f(n) (x) = f f(n−1) (x) , n ≥ 1 . Considera a fun¸c˜ao g definida por g(x) = ex . 8.1. Resolve a equa¸c˜ao g(3) (x) = 3. 8.2. Mostra que g(n) (x) = g n−1 i=0 g(i) (x) , para n ≥ 1. Fim da Prova Cota¸c˜ao: Grupo I: 1.5 valores cada Grupo II: 2.5val - 2.5val - 2.5val - 2.5val - 1.5val - 2.5val
  • 2. Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica A - 12.o Ano - 2019/2020 Corre¸c˜ao Grupo I 1. Usando as regras usuais, a derivada de f(x) = 1 1 − ex ´e dada por: f (x) = ex (1 − ex)2 = 1 1 − ex 2 − 1 1 − ex . (1) Portanto, (C) ´e a op¸c˜ao correta. 2. Comecemos por notar que a express˜ao ln(x2 − 1) est´a definida para todo x real que verifique |x| > 1. Portanto, o dom´ınio de g ´e: Dg = x ∈ R : |x| > 1 ∧ ln(x2 − 1) > 0 . (2) Ora, ln(x2 − 1) > 0 ⇔ x2 − 1 > 1 ⇔ x2 > 2 ⇔ |x| > √ 2. Portanto, Dg = x ∈ R : |x| > 1 ∧ |x| > √ 2 = x ∈ R : |x| > √ 2 . (3) Op¸c˜ao correta: (D). 3. A derivada de y = ex3 ´e dada por: y = 3x2 ex3 ≥ 0. (4) No entanto, o ponto onde a fun¸c˜ao derivada se anula (x = 0) n˜ao est´a associado a uma mudan¸ca de sinal dessa fun¸c˜ao. Logo, y = ex3 define uma fun¸c˜ao estritamente crescente. Op¸c˜ao correta: (B). 4. Usando propriedades dos limites e defini¸c˜ao de derivada num ponto, resulta: lim x→2 x2 − 4 ln x − ln 2 = lim x→2 (x − 2) ln x − ln 2 (x + 2) = 2 × 4 = 8. (5) Op¸c˜ao correta: (D). Grupo II 1. Tem-se, usando f´ormula resolvente: e2x+2 + ex+1 − 4 = 0 ⇔ e2(x+1) + ex+1 − 4 = 0 ⇔ ex+1 = −1 ± 1 − 4 × 1 × (−4) 2 × 1 . Portanto, como o argumento de logaritmo deve ser um n´umero positivo, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e x = ln −1 + √ 17 2 − 1. 2. As ra´ızes de x2 − 7x + 12 s˜ao 3 e 4 (f´ormula resolvente); a ra´ız de ln (2x − 6) ´e 7 2 , sendo que esta ´ultima express˜ao apenas est´a definida para x > 3. Portanto, estamos em condi¸c˜oes de construir a tabela de sinal: x 3 7 2 4 +∞ x2 − 7x + 12 0 - - - 0 + ln (2x − 6) n.d - 0 + + + x2 − 7x + 12 ln (2x − 6) > 0 n.d + 0 - 0 + Assim, o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao ´e: 3, 7 2 ∪ ]4, +∞[. 3. 3.1. A fun¸c˜ao derivada de f ´e definida por f (x) = −e−x + 3 e cuja ´unica raiz ´e o ponto x0 = − ln 3. Este ponto est´a associado a uma mudan¸ca de sinal da fun¸c˜ao derivada: `a esquerda dele, f ´e negativa e, `a sua direita, f ´e positiva. Portanto, f ´e estritamente decrescente `a esquerda de x0 e estritamente crescente `a sua direita. O m´ınimo de f ´e dado por f (x0) = 3 − 3 ln 3. 3.2. f n˜ao tem ass´ıntotas horizontais, pois a fun¸c˜ao tem limites infinitos quando x tende para ±∞ (no caso de x → −∞, usa-se o limite not´avel lim x→+∞ ex x = +∞). Ass´ıntotas verticais tamb´em n˜ao existem, pela continuidade de f. Finalmente, f admite uma ass´ıntota obl´ıqua, quando x → +∞, dada pela equa¸c˜ao y = 3x (a computa¸c˜ao dos limites ´e praticamente trivial). Page 2
  • 3. 4. 4.1. g(3) (x) = 3 ⇔ eeex = 3 ⇔ x = ln (ln (ln(3))). 4.2. Por indu¸c˜ao em n. Para n = 1 tem-se g(1) (x) = (ex ) = ex = g(x) = g 0 i=0 g(i) (x) . Vamos assumir que a propriedade ´e v´alida para n fixo. Vamos mostrar que ela tamb´em ´e v´alida para o termo seguinte, ou seja, para n + 1. Ora, g(n+1) (x) = g g(n) (x) , pela defini¸c˜ao apresentada. Pela defini¸c˜ao de derivada da composta de duas fun¸c˜oes, vem: g g(n) (x) = g g(n) (x) . g(n) (x) e, usando a Hip´otese de Indu¸c˜ao, o facto g (x) = g(x) e a propriedade ex+y = ex ey (para todo x e y reais), segue g g(n) (x) . g(n) (x) = g g(n) (x) .g n−1 i=0 g(i) (x) = g g(n) + n−1 i=0 g(i) (x) = g n i=0 g(i) (x) , como se queria demonstrar. Miguel Fernandes Page 3