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FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS
Prof. Dr. Carlos Campani
1 O C´ırculo Trigonom´etrico
O c´ırculo trigonom´etrico ´e um c´ırculo de raio 1, dividido por dois eixos
ortogonais, bem ao centro, em quatro quadrantes. Portanto, os pontos onde
o c´ırculo intercepta os eixos s˜ao: (1, 0); (0, 1); (−1, 0); e (0, −1).
O c´ırculo perfaz 360◦
(graus) ou 2π radianos. Assim, estes pontos est˜ao,
respectivamente, nos ˆangulos α = 0◦
, α = 90◦
, α = 180◦
e α = 270◦
,
finalizando novamente no ponto (1, 0) em α = 360◦
. Podemos ter ˆangulos
negativos. Assim, −90◦
= 270◦
, −180◦
= 180◦
e assim por diante.
C´IRCULO EM GRAUS E COM OS QUADRANTES INDICADOS
1
C´IRCULO EM RADIANOS
Para converter graus em radianos e vice-versa, basta fazer uma regra de
trˆes. Por exemplo, desejamos determinar quantos radianos s˜ao 18◦
, ent˜ao,
360 ←→ 2π
18 ←→ x
360x = 18.2π ⇒ x =
36π
360
=
π
10
2
C´IRCULO COM ALGUNS ˆANGULOS IMPORTANTES
Observe que as proje¸c˜oes dos pontos no eixo horizontal s˜ao positivas no
1o
e 4o
quadrantes e negativas no 2a
e 3a
quadrantes. As proje¸c˜oes no eixo
vertical s˜ao positivas no 1o
e 2o
quadrantes e negativas no 3o
e 4o
quadrantes.
3
DETERMINAC¸ ˜AO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DE
INTERSEC¸ ˜AO MOSTRADOS NO C´IRCULO
Para 45◦
, a reta que intercepta o c´ırculo ´e a bissetriz do 1o
quadrante. As-
sim, as proje¸c˜oes do ponto nos dois eixos s˜ao iguais, digamos a, determinando
um triˆangulo retˆangulo com hipotenusa valendo 1, como mostra a figura.
Ent˜ao, aplicando Pit´agoras, ou seja, que o quadrado da hipotenusa ´e a soma
dos quadrados dos catetos de um triˆangulo retˆangulo, obtemos:
a2
+ a2
= 12
⇒ 2a2
= 1 ⇒ a2
=
1
2
⇒ a =
1
√
2
=
√
2
2
Resultando nas coordenadas do ponto (
√
2
2
,
√
2
2
) para 45◦
.
Para a determina¸c˜ao das proje¸c˜oes para os ˆangulos de 30◦
e 60◦
devemos
partir de um triˆangulo equil´atero de lado a, dividindo este triˆangulo em dois
por meio de uma reta vertical partindo do v´ertice superior do triˆangulo:
4
Sabemos que todos os ˆangulos internos de um triˆangulo equil´atero medem
60◦
. Assim, o corte feito define dois triˆangulos retˆangulos com ˆangulos 30◦
,
60◦
e 90◦
, hipotenusa a, e catetos a/2 e b, como mostra a figura.
O cateto b, que determina a altura do triˆangulo equil´atero, pode ser de-
terminado por Pit´agoras:
b2
+
a
2
2
= a2
⇒ b2
= a2
−
a2
4
⇒ b2
=
3a2
4
⇒ b = a
√
3
2
Como a = 1, pois ´e o raio do c´ırculo trigonom´etrico, as coordenadas para
30◦
s˜ao (
√
3
2
, 1
2
) e para 60◦
s˜ao (1
2
,
√
3
2
).
Para os demais quadrantes, basta verificar, por exemplo, que o ˆangulo
150◦
tem a mesma proje¸c˜ao do ˆangulo de 30◦
no eixo vertical, e a proje¸c˜ao
no eixo horizontal ´e o valor negativo do valor para 30◦
. Isso decorre do fato
que 150◦
= 180◦
− 30◦
e os triˆangulos s˜ao semelhantes. Logo, para 150◦
as
coordenadas do ponto s˜ao (−
√
3
2
, 1
2
).
As rela¸c˜oes que permitem definir os triˆangulos semelhantes e as proje¸c˜oes
de todos os pontos marcados na figura s˜ao:
• 120◦
= 180◦
− 60◦
• 135◦
= 180◦
− 45◦
• 150◦
= 180◦
− 30◦
• 210◦
= 180◦
+ 30◦
• 225◦
= 180◦
+ 45◦
• 240◦
= 180◦
+ 60◦
• 300◦
= 360◦
− 60◦
• 315◦
= 360◦
− 45◦
• 330◦
= 360◦
− 30◦
5
2 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas
C´IRCULO COM AS FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS
2.1 Fun¸c˜ao Seno
2.1.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Seno
6
Definimos seno de α, sin α, como sendo a ordenada OB do ponto M.
Ent˜ao, a fun¸c˜ao seno,
f(x) = sin x
tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1].
A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica, ou seja, seu valor se repete, com per´ıodo 2π.
2.1.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Seno
Chamamos este gr´afico de sen´oide.
Observe que a fun¸c˜ao ´e crescente no intervalo (−π/2, π/2) e decrescente
no intervalo (π/2, 3π/2).
2.2 Fun¸c˜ao Cosseno
2.2.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cosseno
Definimos cosseno de α, cos α, como sendo a abscissa OA do ponto M.
Ent˜ao, a fun¸c˜ao cosseno,
f(x) = cos x
tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1].
A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica, com per´ıodo 2π.
7
2.2.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Cosseno
A fun¸c˜ao cosseno ´e crescente no intervalo (−π, 0) e decrescente no inter-
valo (0, π).
Observe este gr´afico em que as fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao mostradas
juntas:
Percebemos que o gr´afico da fun¸c˜ao cosseno ´e idˆentico ao da fun¸c˜ao seno,
apenas que sofreu uma transla¸c˜ao no eixo x de π/2.
2.3 Sobre o Seno e o Cosseno
2.3.1 Triˆangulo Retˆangulo do Seno e Cosseno
8
Deste triˆangulo podemos deduzir uma rela¸c˜ao trigonom´etrica fundamen-
tal usado Pit´agoras:
Propriedade
(sin α)2
+ (cos α)2
= 1
2.3.2 Alguns Valores Importantes de Seno e Cosseno
Da discuss˜ao feita na se¸c˜ao 1, p´aginas 4 e 5, podemos apresentar alguns
valores do seno e do cosseno:
α (em graus) seno de α cosseno de α
0 0 1
30 1/2 = 0, 5
√
3
2
≈ 0, 8660
45
√
2
2
≈ 0, 7071
√
2
2
≈ 0, 7071
60
√
3
2
≈ 0, 8660 1/2 = 0, 5
90 1 0
120
√
3
2
≈ 0, 8660 −1/2 = −0, 5
135
√
2
2
≈ 0, 7071 −
√
2
2
≈ −0, 7071
150 1/2 = 0, 5 −
√
3
2
≈ −0, 8660
180 0 −1
210 −1/2 = −0, 5 −
√
3
2
≈ −0, 8660
225 −
√
2
2
≈ −0, 7071 −
√
2
2
≈ −0, 7071
240 −
√
3
2
≈ −0, 8660 −1/2 = −0, 5
270 −1 0
300 −
√
3
2
≈ −0, 8660 1/2 = 0, 5
315 −
√
2
2
≈ −0, 7071
√
2
2
≈ 0, 7071
330 −1/2 = −0, 5
√
3
2
≈ 0, 8660
360 0 1
9
2.3.3 Propriedades do Seno e Cosseno
Propriedades
1. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
2. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y
EXEMPLO DE USO
Sejam x = 30◦
e y = 45◦
. Podemos determinar o seno de 75◦
usando a
propriedade 1:
sin(75◦
) = sin(30◦
+ 45◦
) = sin(30◦
) cos(45◦
) + cos(30◦
) sin(45◦
) ≈
0, 5.0, 7071 + 0, 8660.0, 7071 ≈ 0, 965
2.4 Fun¸c˜ao Tangente
2.4.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Tangente
Tra¸cando uma tangente vertical ao c´ırculo trigonom´etrico passando em
(1, 0), definimos uma proje¸c˜ao da reta secante do ˆangulo α com a reta tan-
gente que passa por (1, 0). Isso define um ponto X, que ´e a interse¸c˜ao da
reta secante com a reta tangente. A tangente de α ´e definida como a medida
do segmento que une o ponto (1, 0) e o ponto X.
Denotamos a fun¸c˜ao tangente de x como:
f(x) = tan x
10
2.4.2 Rela¸c˜ao entre Seno, Cosseno e Tangente
Observamos que o triˆangulo formado pelo seno e o cosseno ´e semelhante ao
triˆangulo que tem como cateto oposto a tangente de α. Assim, as propor¸c˜oes
entre os lados se mant´em e podemos fazer a seguinte regra de trˆes:
tan α ←→ sin α
1 ←→ cos α
Observe que o cateto adjacente do triˆangulo da tangente ´e o raio do c´ırculo
que vale 1. Assim,
tan α. cos α = 1. sin α
Propriedade
tan α =
sin α
cos α
e cos α = 0
2.4.3 Dom´ınio da Tangente
Sendo tan α = sin α
cos α
, exige-se que cos α = 0. Sabemos que o cosseno
anula-se em π/2, 3π/2, −π/2 e seus m´ultiplos. Para deduzir uma condi¸c˜ao
que defina o dom´ınio do cosseno de α precisamos encontrar uma rela¸c˜ao entre
o conjunto Z e os valores em que o cosseno se anula. Assim,
. . . −π
2
π
2
3π
2
. . .
. . . −1 0 1 . . .
Para generalizar isso para todos os valores em que o cosseno anula-se, preci-
samos encontrar os valores de a e b, tal que ak + b, para k ∈ Z, que resulte
na rela¸c˜ao mostrada acima. Assim, tomamos primeiro k = 0,
a.0 + b =
π
2
⇒ b =
π
2
Agora podemos usar um outro valor para obter a
a.1 +
π
2
=
3π
2
⇒ a = π
Ent˜ao, para f(x) = tan x,
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z}
11
2.4.4 Alguns Valores Importantes da Fun¸c˜ao Tangente
Usando a rela¸c˜ao tan α = sin α
cos α
podemos obter, a partir da tabela mostrada
na se¸c˜ao 2.3.2, alguns valores importantes da tangente:
α (em graus) tangente de α
0 0
30
√
3
3
≈ 0, 57735
45 1
60
√
3 ≈ 1, 732
90 n˜ao existe
120 −
√
3 ≈ −1, 732
135 −1
150 −
√
3
3
≈ −0, 57735
180 0
210
√
3
3
≈ 0, 57735
225 1
240
√
3 ≈ 1, 732
270 n˜ao existe
300 −
√
3 ≈ −1, 732
315 −1
330 −
√
3
3
≈ −0, 57735
360 0
12
2.4.5 Gr´afico da Fun¸c˜ao Tangente
Para a determina¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao tangente devemos observar que:
• Ocorrem ass´ıntotas verticais nos valores x = kπ + π/2, para k ∈ Z,
onde o cosseno anula-se
• A fun¸c˜ao tangente ´e crescente em todo seu dom´ınio
13
2.5 Fun¸c˜ao Secante
2.5.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Secante
Definimos secante de α, sec α, como sendo o valor do segmento de reta
OX. Denotamos a fun¸c˜ao secante como:
f(x) = sec x
2.5.2 Triˆangulo Retˆangulo da Tangente e Secante
Deste triangulo podemos deduzir uma rela¸c˜ao fundamental entre a tan-
gente e a secante aplicando Pit´agoras:
Propriedade
(sec α)2
= (tan α)2
+ 1
14
2.5.3 Rela¸c˜ao entre a Secante e o Cosseno
A partir dos triˆangulo semelhantes da figura obtemos,
sec α ←→ 1
1 ←→ cos α
e deduzimos:
Propriedade
sec α =
1
cos α
e cos α = 0
2.5.4 Dom´ınio da Secante
Pelo exposto acima, o dom´ınio da secante ´e idˆentico ao da tangente.
Ent˜ao, para f(x) = sec x,
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z}
15
2.5.5 Gr´afico da Secante
Observe que a imagem da secante ´e img(f) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞).
2.6 Fun¸c˜ao Cotangente
2.6.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cotangente
Tra¸camos uma reta horizontal tangente ao c´ırculo trigonom´etrico, pas-
sando pelo ponto (0, 1). A intercepta¸c˜ao da reta tangente pela reta secante
16
determina o ponto X. Definimos, conforme a figura acima, cotangente de α
como sendo a medida do segmento que une (0, 1) e X. Assim, denotamos a
fun¸c˜ao cotangente por:
f(x) = cot(x)
2.6.2 Gr´afico da Cotangente
17
2.7 Fun¸c˜ao Cossecante
2.7.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cossecante
Definimos a cossecante de α como sendo o segmento de reta OX. Deno-
tamos a fun¸c˜ao cossecante como:
f(x) = csc(x)
18
2.7.2 Gr´afico da Cossecante
2.8 Sobre Seno, Cosseno, Cotangente e Cossecante
2.8.1 Triˆangulo Retˆangulo da Cotangente e Cossecante
19
Deste triˆangulo podemos retirar uma rela¸c˜ao fundamental entre a cotan-
gente e a cossecante:
Propriedade
(csc α)2
= (cot α)2
+ 1
2.8.2 Rela¸c˜oes Trigonom´etricas Envolvendo Cotangente e Cosse-
cante
Devemos perceber que os dois triˆangulos retˆangulos definidos pelos se-
guintes v´ertices s˜ao triˆangulos semelhantes:
• O, (0, 1) e X
• O, A e M
Assim,
sin α ←→ 1
cos α ←→ cot α
Disso deduzimos as seguintes rela¸c˜oes:
Propriedades
cot α =
cos α
sin α
=
1
tan α
e sin α = 0
20
De forma semelhante, podemos deduzir a seguinte propriedade da cosse-
cante:
Propriedade
csc α =
1
sin α
e sin α = 0
2.8.3 Dom´ınio das Fun¸c˜oes Cotangente e Cossecante
Ambas as fun¸c˜oes, cotangente e cossecante, exigem sin x = 0. Assim, o
dom´ınio de ambas ´e igual:
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ, k ∈ Z}
2.9 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes
Trigonom´etricas
A) Simplifique 1
(csc x)2 + 1
(sec x)2
1
(csc x)2
+
1
(sec x)2
= (sin x)2
+ (cos x)2
= 1
Pois csc x = 1
sin x
e sec x = 1
cos x
.
B) Simplifique sec x sec x − 1
sec x
− (sin x)2
(sec x)2
1. sec x sec x − 1
sec x
− (sin x)2
(sec x)2
2. [(sec x)2
− 1] − (sin x)2
(sec x)2
[prop. distributiva]
3. (tan x)2
− (sin x)2
(sec x)2
[pois (sec x)2
= (tan x)2
+ 1]
4. (tan x)2
− sin x
cos x
2
[pois sec x = 1
cos x
]
5. (tan x)2
− (tan x)2
= 0 [pois tan x = sin x
cos x
]
21
3 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas
3.1 Fun¸c˜ao Arco Seno
Observemos primeiro que fun¸c˜ao seno n˜ao ´e injetora e, portanto, n˜ao
admite inversa. Na verdade, todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas,
e nenhuma fun¸c˜ao peri´odica passa pelo teste da reta horizontal. Ent˜ao, faz-se
necess´ario efetuar uma restri¸c˜ao de dom´ınio.
Consideremos o gr´afico do seno:
Para efetuar a restri¸c˜ao de dom´ınio, consideraremos as seguintes priori-
dades para selecionar o novo dom´ınio:
• preferencialmente incluir a origem
• preferencialmente incluir tanto valores positivos quanto valores negati-
vos
• preferencialmente preservar toda a imagem
No gr´afico da fun¸c˜ao seno, mostrado acima, marcamos o intervalo −π
2
, π
2
,
que satisfaz todas estas recomenda¸c˜oes. Assim, a fun¸c˜ao seno, com a restri¸c˜ao
de dom´ınio, fica definida como:
f(x) = sin x com dom(f) = −
π
2
,
π
2
e img(f)[−1, 1]
Definimos o arco seno como
f−1
(x) = arcsin x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = −
π
2
,
π
2
22
GR´AFICO DO ARCO SENO
3.2 Fun¸c˜ao Arco Cosseno
Consideremos o gr´afico do cosseno:
O intervalo que melhor satisfaz as prioridades acima definidas ´e o intervalo
[0, π]. Assim,
f(x) = cos x com dom(f) = [0, π] e img(f) = [−1, 1]
e definimos o arco cosseno como
f−1
(x) = arccos x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = [0, π]
23
GR´AFICO DO ARCO COSSENO
3.3 Fun¸c˜ao Arco Tangente
Seja f(x) = tan x, com dom(f) = (−π/2, π/2) e img(f) = R. Definimos
o arco tangente como f−1
(x) = arctan x, com dom(f) = R e img(f) =
(−π/2, π/2).
GR´AFICO DO ARCO TANGENTE
24
3.4 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes
Trigonom´etricas Inversas
A) Seja y = tan(arcsin(x)).
Tomamos α = arcsin(x), x = sin(α) e y = tan(α). Do triˆangulo retˆangulo
do seno e cosseno, sabemos que x2
+ (cos(α))2
= 12
e cos(α) =
√
1 − x2.
Ent˜ao,
y = tan(α) =
sin(α)
cos(α)
=
x
√
1 − x2
B) Seja y = sin(arctan(x)).
Tomamos α = arctan(x), x = tan(α) e y = sin(α). Do triˆangulo retˆangulo
da tangente e secante, sabemos que (sec(α))2
= (tan(α))2
+ 12
. Portanto
sec(α) =
√
x2 + 1. Como sec(α) = 1
cos(α)
, conclu´ımos que cos(α) = 1√
x2+1
.
Usando o triˆangulo retˆangulo do seno e cosseno, (sin(α))2
+ (cos(α))2
= 12
,
deduzimos que
y = sin(α) = 1 − (cos(α))2 = 1 −
1
√
x2 + 1
2
=
1 −
1
x2 + 1
=
x
√
x2 + 1
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Funções trigonométricas

  • 1. FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS Prof. Dr. Carlos Campani 1 O C´ırculo Trigonom´etrico O c´ırculo trigonom´etrico ´e um c´ırculo de raio 1, dividido por dois eixos ortogonais, bem ao centro, em quatro quadrantes. Portanto, os pontos onde o c´ırculo intercepta os eixos s˜ao: (1, 0); (0, 1); (−1, 0); e (0, −1). O c´ırculo perfaz 360◦ (graus) ou 2π radianos. Assim, estes pontos est˜ao, respectivamente, nos ˆangulos α = 0◦ , α = 90◦ , α = 180◦ e α = 270◦ , finalizando novamente no ponto (1, 0) em α = 360◦ . Podemos ter ˆangulos negativos. Assim, −90◦ = 270◦ , −180◦ = 180◦ e assim por diante. C´IRCULO EM GRAUS E COM OS QUADRANTES INDICADOS 1
  • 2. C´IRCULO EM RADIANOS Para converter graus em radianos e vice-versa, basta fazer uma regra de trˆes. Por exemplo, desejamos determinar quantos radianos s˜ao 18◦ , ent˜ao, 360 ←→ 2π 18 ←→ x 360x = 18.2π ⇒ x = 36π 360 = π 10 2
  • 3. C´IRCULO COM ALGUNS ˆANGULOS IMPORTANTES Observe que as proje¸c˜oes dos pontos no eixo horizontal s˜ao positivas no 1o e 4o quadrantes e negativas no 2a e 3a quadrantes. As proje¸c˜oes no eixo vertical s˜ao positivas no 1o e 2o quadrantes e negativas no 3o e 4o quadrantes. 3
  • 4. DETERMINAC¸ ˜AO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DE INTERSEC¸ ˜AO MOSTRADOS NO C´IRCULO Para 45◦ , a reta que intercepta o c´ırculo ´e a bissetriz do 1o quadrante. As- sim, as proje¸c˜oes do ponto nos dois eixos s˜ao iguais, digamos a, determinando um triˆangulo retˆangulo com hipotenusa valendo 1, como mostra a figura. Ent˜ao, aplicando Pit´agoras, ou seja, que o quadrado da hipotenusa ´e a soma dos quadrados dos catetos de um triˆangulo retˆangulo, obtemos: a2 + a2 = 12 ⇒ 2a2 = 1 ⇒ a2 = 1 2 ⇒ a = 1 √ 2 = √ 2 2 Resultando nas coordenadas do ponto ( √ 2 2 , √ 2 2 ) para 45◦ . Para a determina¸c˜ao das proje¸c˜oes para os ˆangulos de 30◦ e 60◦ devemos partir de um triˆangulo equil´atero de lado a, dividindo este triˆangulo em dois por meio de uma reta vertical partindo do v´ertice superior do triˆangulo: 4
  • 5. Sabemos que todos os ˆangulos internos de um triˆangulo equil´atero medem 60◦ . Assim, o corte feito define dois triˆangulos retˆangulos com ˆangulos 30◦ , 60◦ e 90◦ , hipotenusa a, e catetos a/2 e b, como mostra a figura. O cateto b, que determina a altura do triˆangulo equil´atero, pode ser de- terminado por Pit´agoras: b2 + a 2 2 = a2 ⇒ b2 = a2 − a2 4 ⇒ b2 = 3a2 4 ⇒ b = a √ 3 2 Como a = 1, pois ´e o raio do c´ırculo trigonom´etrico, as coordenadas para 30◦ s˜ao ( √ 3 2 , 1 2 ) e para 60◦ s˜ao (1 2 , √ 3 2 ). Para os demais quadrantes, basta verificar, por exemplo, que o ˆangulo 150◦ tem a mesma proje¸c˜ao do ˆangulo de 30◦ no eixo vertical, e a proje¸c˜ao no eixo horizontal ´e o valor negativo do valor para 30◦ . Isso decorre do fato que 150◦ = 180◦ − 30◦ e os triˆangulos s˜ao semelhantes. Logo, para 150◦ as coordenadas do ponto s˜ao (− √ 3 2 , 1 2 ). As rela¸c˜oes que permitem definir os triˆangulos semelhantes e as proje¸c˜oes de todos os pontos marcados na figura s˜ao: • 120◦ = 180◦ − 60◦ • 135◦ = 180◦ − 45◦ • 150◦ = 180◦ − 30◦ • 210◦ = 180◦ + 30◦ • 225◦ = 180◦ + 45◦ • 240◦ = 180◦ + 60◦ • 300◦ = 360◦ − 60◦ • 315◦ = 360◦ − 45◦ • 330◦ = 360◦ − 30◦ 5
  • 6. 2 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas C´IRCULO COM AS FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS 2.1 Fun¸c˜ao Seno 2.1.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Seno 6
  • 7. Definimos seno de α, sin α, como sendo a ordenada OB do ponto M. Ent˜ao, a fun¸c˜ao seno, f(x) = sin x tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1]. A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica, ou seja, seu valor se repete, com per´ıodo 2π. 2.1.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Seno Chamamos este gr´afico de sen´oide. Observe que a fun¸c˜ao ´e crescente no intervalo (−π/2, π/2) e decrescente no intervalo (π/2, 3π/2). 2.2 Fun¸c˜ao Cosseno 2.2.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cosseno Definimos cosseno de α, cos α, como sendo a abscissa OA do ponto M. Ent˜ao, a fun¸c˜ao cosseno, f(x) = cos x tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1]. A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica, com per´ıodo 2π. 7
  • 8. 2.2.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Cosseno A fun¸c˜ao cosseno ´e crescente no intervalo (−π, 0) e decrescente no inter- valo (0, π). Observe este gr´afico em que as fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao mostradas juntas: Percebemos que o gr´afico da fun¸c˜ao cosseno ´e idˆentico ao da fun¸c˜ao seno, apenas que sofreu uma transla¸c˜ao no eixo x de π/2. 2.3 Sobre o Seno e o Cosseno 2.3.1 Triˆangulo Retˆangulo do Seno e Cosseno 8
  • 9. Deste triˆangulo podemos deduzir uma rela¸c˜ao trigonom´etrica fundamen- tal usado Pit´agoras: Propriedade (sin α)2 + (cos α)2 = 1 2.3.2 Alguns Valores Importantes de Seno e Cosseno Da discuss˜ao feita na se¸c˜ao 1, p´aginas 4 e 5, podemos apresentar alguns valores do seno e do cosseno: α (em graus) seno de α cosseno de α 0 0 1 30 1/2 = 0, 5 √ 3 2 ≈ 0, 8660 45 √ 2 2 ≈ 0, 7071 √ 2 2 ≈ 0, 7071 60 √ 3 2 ≈ 0, 8660 1/2 = 0, 5 90 1 0 120 √ 3 2 ≈ 0, 8660 −1/2 = −0, 5 135 √ 2 2 ≈ 0, 7071 − √ 2 2 ≈ −0, 7071 150 1/2 = 0, 5 − √ 3 2 ≈ −0, 8660 180 0 −1 210 −1/2 = −0, 5 − √ 3 2 ≈ −0, 8660 225 − √ 2 2 ≈ −0, 7071 − √ 2 2 ≈ −0, 7071 240 − √ 3 2 ≈ −0, 8660 −1/2 = −0, 5 270 −1 0 300 − √ 3 2 ≈ −0, 8660 1/2 = 0, 5 315 − √ 2 2 ≈ −0, 7071 √ 2 2 ≈ 0, 7071 330 −1/2 = −0, 5 √ 3 2 ≈ 0, 8660 360 0 1 9
  • 10. 2.3.3 Propriedades do Seno e Cosseno Propriedades 1. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y 2. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y EXEMPLO DE USO Sejam x = 30◦ e y = 45◦ . Podemos determinar o seno de 75◦ usando a propriedade 1: sin(75◦ ) = sin(30◦ + 45◦ ) = sin(30◦ ) cos(45◦ ) + cos(30◦ ) sin(45◦ ) ≈ 0, 5.0, 7071 + 0, 8660.0, 7071 ≈ 0, 965 2.4 Fun¸c˜ao Tangente 2.4.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Tangente Tra¸cando uma tangente vertical ao c´ırculo trigonom´etrico passando em (1, 0), definimos uma proje¸c˜ao da reta secante do ˆangulo α com a reta tan- gente que passa por (1, 0). Isso define um ponto X, que ´e a interse¸c˜ao da reta secante com a reta tangente. A tangente de α ´e definida como a medida do segmento que une o ponto (1, 0) e o ponto X. Denotamos a fun¸c˜ao tangente de x como: f(x) = tan x 10
  • 11. 2.4.2 Rela¸c˜ao entre Seno, Cosseno e Tangente Observamos que o triˆangulo formado pelo seno e o cosseno ´e semelhante ao triˆangulo que tem como cateto oposto a tangente de α. Assim, as propor¸c˜oes entre os lados se mant´em e podemos fazer a seguinte regra de trˆes: tan α ←→ sin α 1 ←→ cos α Observe que o cateto adjacente do triˆangulo da tangente ´e o raio do c´ırculo que vale 1. Assim, tan α. cos α = 1. sin α Propriedade tan α = sin α cos α e cos α = 0 2.4.3 Dom´ınio da Tangente Sendo tan α = sin α cos α , exige-se que cos α = 0. Sabemos que o cosseno anula-se em π/2, 3π/2, −π/2 e seus m´ultiplos. Para deduzir uma condi¸c˜ao que defina o dom´ınio do cosseno de α precisamos encontrar uma rela¸c˜ao entre o conjunto Z e os valores em que o cosseno se anula. Assim, . . . −π 2 π 2 3π 2 . . . . . . −1 0 1 . . . Para generalizar isso para todos os valores em que o cosseno anula-se, preci- samos encontrar os valores de a e b, tal que ak + b, para k ∈ Z, que resulte na rela¸c˜ao mostrada acima. Assim, tomamos primeiro k = 0, a.0 + b = π 2 ⇒ b = π 2 Agora podemos usar um outro valor para obter a a.1 + π 2 = 3π 2 ⇒ a = π Ent˜ao, para f(x) = tan x, dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z} 11
  • 12. 2.4.4 Alguns Valores Importantes da Fun¸c˜ao Tangente Usando a rela¸c˜ao tan α = sin α cos α podemos obter, a partir da tabela mostrada na se¸c˜ao 2.3.2, alguns valores importantes da tangente: α (em graus) tangente de α 0 0 30 √ 3 3 ≈ 0, 57735 45 1 60 √ 3 ≈ 1, 732 90 n˜ao existe 120 − √ 3 ≈ −1, 732 135 −1 150 − √ 3 3 ≈ −0, 57735 180 0 210 √ 3 3 ≈ 0, 57735 225 1 240 √ 3 ≈ 1, 732 270 n˜ao existe 300 − √ 3 ≈ −1, 732 315 −1 330 − √ 3 3 ≈ −0, 57735 360 0 12
  • 13. 2.4.5 Gr´afico da Fun¸c˜ao Tangente Para a determina¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao tangente devemos observar que: • Ocorrem ass´ıntotas verticais nos valores x = kπ + π/2, para k ∈ Z, onde o cosseno anula-se • A fun¸c˜ao tangente ´e crescente em todo seu dom´ınio 13
  • 14. 2.5 Fun¸c˜ao Secante 2.5.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Secante Definimos secante de α, sec α, como sendo o valor do segmento de reta OX. Denotamos a fun¸c˜ao secante como: f(x) = sec x 2.5.2 Triˆangulo Retˆangulo da Tangente e Secante Deste triangulo podemos deduzir uma rela¸c˜ao fundamental entre a tan- gente e a secante aplicando Pit´agoras: Propriedade (sec α)2 = (tan α)2 + 1 14
  • 15. 2.5.3 Rela¸c˜ao entre a Secante e o Cosseno A partir dos triˆangulo semelhantes da figura obtemos, sec α ←→ 1 1 ←→ cos α e deduzimos: Propriedade sec α = 1 cos α e cos α = 0 2.5.4 Dom´ınio da Secante Pelo exposto acima, o dom´ınio da secante ´e idˆentico ao da tangente. Ent˜ao, para f(x) = sec x, dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z} 15
  • 16. 2.5.5 Gr´afico da Secante Observe que a imagem da secante ´e img(f) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞). 2.6 Fun¸c˜ao Cotangente 2.6.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cotangente Tra¸camos uma reta horizontal tangente ao c´ırculo trigonom´etrico, pas- sando pelo ponto (0, 1). A intercepta¸c˜ao da reta tangente pela reta secante 16
  • 17. determina o ponto X. Definimos, conforme a figura acima, cotangente de α como sendo a medida do segmento que une (0, 1) e X. Assim, denotamos a fun¸c˜ao cotangente por: f(x) = cot(x) 2.6.2 Gr´afico da Cotangente 17
  • 18. 2.7 Fun¸c˜ao Cossecante 2.7.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cossecante Definimos a cossecante de α como sendo o segmento de reta OX. Deno- tamos a fun¸c˜ao cossecante como: f(x) = csc(x) 18
  • 19. 2.7.2 Gr´afico da Cossecante 2.8 Sobre Seno, Cosseno, Cotangente e Cossecante 2.8.1 Triˆangulo Retˆangulo da Cotangente e Cossecante 19
  • 20. Deste triˆangulo podemos retirar uma rela¸c˜ao fundamental entre a cotan- gente e a cossecante: Propriedade (csc α)2 = (cot α)2 + 1 2.8.2 Rela¸c˜oes Trigonom´etricas Envolvendo Cotangente e Cosse- cante Devemos perceber que os dois triˆangulos retˆangulos definidos pelos se- guintes v´ertices s˜ao triˆangulos semelhantes: • O, (0, 1) e X • O, A e M Assim, sin α ←→ 1 cos α ←→ cot α Disso deduzimos as seguintes rela¸c˜oes: Propriedades cot α = cos α sin α = 1 tan α e sin α = 0 20
  • 21. De forma semelhante, podemos deduzir a seguinte propriedade da cosse- cante: Propriedade csc α = 1 sin α e sin α = 0 2.8.3 Dom´ınio das Fun¸c˜oes Cotangente e Cossecante Ambas as fun¸c˜oes, cotangente e cossecante, exigem sin x = 0. Assim, o dom´ınio de ambas ´e igual: dom(f) = {x ∈ R|x = kπ, k ∈ Z} 2.9 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes Trigonom´etricas A) Simplifique 1 (csc x)2 + 1 (sec x)2 1 (csc x)2 + 1 (sec x)2 = (sin x)2 + (cos x)2 = 1 Pois csc x = 1 sin x e sec x = 1 cos x . B) Simplifique sec x sec x − 1 sec x − (sin x)2 (sec x)2 1. sec x sec x − 1 sec x − (sin x)2 (sec x)2 2. [(sec x)2 − 1] − (sin x)2 (sec x)2 [prop. distributiva] 3. (tan x)2 − (sin x)2 (sec x)2 [pois (sec x)2 = (tan x)2 + 1] 4. (tan x)2 − sin x cos x 2 [pois sec x = 1 cos x ] 5. (tan x)2 − (tan x)2 = 0 [pois tan x = sin x cos x ] 21
  • 22. 3 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas 3.1 Fun¸c˜ao Arco Seno Observemos primeiro que fun¸c˜ao seno n˜ao ´e injetora e, portanto, n˜ao admite inversa. Na verdade, todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas, e nenhuma fun¸c˜ao peri´odica passa pelo teste da reta horizontal. Ent˜ao, faz-se necess´ario efetuar uma restri¸c˜ao de dom´ınio. Consideremos o gr´afico do seno: Para efetuar a restri¸c˜ao de dom´ınio, consideraremos as seguintes priori- dades para selecionar o novo dom´ınio: • preferencialmente incluir a origem • preferencialmente incluir tanto valores positivos quanto valores negati- vos • preferencialmente preservar toda a imagem No gr´afico da fun¸c˜ao seno, mostrado acima, marcamos o intervalo −π 2 , π 2 , que satisfaz todas estas recomenda¸c˜oes. Assim, a fun¸c˜ao seno, com a restri¸c˜ao de dom´ınio, fica definida como: f(x) = sin x com dom(f) = − π 2 , π 2 e img(f)[−1, 1] Definimos o arco seno como f−1 (x) = arcsin x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = − π 2 , π 2 22
  • 23. GR´AFICO DO ARCO SENO 3.2 Fun¸c˜ao Arco Cosseno Consideremos o gr´afico do cosseno: O intervalo que melhor satisfaz as prioridades acima definidas ´e o intervalo [0, π]. Assim, f(x) = cos x com dom(f) = [0, π] e img(f) = [−1, 1] e definimos o arco cosseno como f−1 (x) = arccos x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = [0, π] 23
  • 24. GR´AFICO DO ARCO COSSENO 3.3 Fun¸c˜ao Arco Tangente Seja f(x) = tan x, com dom(f) = (−π/2, π/2) e img(f) = R. Definimos o arco tangente como f−1 (x) = arctan x, com dom(f) = R e img(f) = (−π/2, π/2). GR´AFICO DO ARCO TANGENTE 24
  • 25. 3.4 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas A) Seja y = tan(arcsin(x)). Tomamos α = arcsin(x), x = sin(α) e y = tan(α). Do triˆangulo retˆangulo do seno e cosseno, sabemos que x2 + (cos(α))2 = 12 e cos(α) = √ 1 − x2. Ent˜ao, y = tan(α) = sin(α) cos(α) = x √ 1 − x2 B) Seja y = sin(arctan(x)). Tomamos α = arctan(x), x = tan(α) e y = sin(α). Do triˆangulo retˆangulo da tangente e secante, sabemos que (sec(α))2 = (tan(α))2 + 12 . Portanto sec(α) = √ x2 + 1. Como sec(α) = 1 cos(α) , conclu´ımos que cos(α) = 1√ x2+1 . Usando o triˆangulo retˆangulo do seno e cosseno, (sin(α))2 + (cos(α))2 = 12 , deduzimos que y = sin(α) = 1 − (cos(α))2 = 1 − 1 √ x2 + 1 2 = 1 − 1 x2 + 1 = x √ x2 + 1 25