Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo

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Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.

(apresentação publicada com autorização do autor).

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Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo

  1. 1. Aplica¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo Po¸co potencial finito e infinito Robenil dos Santos Almeida Universidade Federal do Recˆoncavo da Bahia Centro de Forma¸c˜ao de Professores Curso de Licenciatura em F´ısica
  2. 2. Sum´ario Equa¸c˜ao de Schr¨odinger unidimensional Interpreta¸c˜ao probabil´ıstica da fun¸c˜ao de onda Normaliza¸c˜ao Equa¸c˜ao de Schr¨odinger unidimensional independente do tempo Po¸co potencial quadrado infinito Po¸co potencial quadrado finito Caso E > V0
  3. 3. Equa¸c˜ao de Schr¨odinger unidimensional i ∂Ψ(x, t) ∂t = − 2 2m ∂2 Ψ(x, t) ∂x2 + V (x, t)Ψ(x, t) (1) Operadores diferenciais p → − ∂ ∂x (Operador momento) E → i 2 ∂ ∂t (Operador energia)
  4. 4. Interpreta¸c˜ao probabil´ıstica da fun¸c˜ao de onda O m´odulo do quadrado da fun¸c˜ao de onda Ψ(x, t) ´e uma quantidade real, que representa a localiza¸c˜ao aleat´oria da part´ıcula microsc´opica, que chamamos de densidade de probabilidade: |Ψ(x, t)|2 = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t)
  5. 5. Normaliza¸c˜ao ˆ +∞ −∞ |Ψ(x, t)|2 dx = 1 Se Ψ satisfazer a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao, Ψ → 0 quando |x| → ∞. Esta condi¸c˜ao imp˜oe restri¸c˜oes `as poss´ıveis solu¸c˜oes de Ψ que n˜ao tendem a zero quando |x| → ∞. Neste caso, estas solu¸c˜oes n˜ao s˜ao aceit´aveis como fun¸c˜ao de onda.
  6. 6. Equa¸c˜ao de Schr¨odinger unidimensional independente do tempo Quando V depende somente de x, ou seja, V = V (x), podemos separar a dependˆencia em x da dependˆencia em t de Ψ(x, t), assu- mindo que a solu¸c˜ao da eq.(1) seja Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t), de modo que obtemos φ(t) = eiEt/ − 2 2m d2 dx2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (2) Voltar
  7. 7. Po¸co potencial quadrado infinito
  8. 8. V (x) = ∞, se x ≤ 0 e x ≥ L 0, se 0 < x < L
  9. 9. V (x) = ∞, se x ≤ 0 e x ≥ L 0, se 0 < x < L As solu¸c˜oes do po¸co infinito s˜ao confinadas no interior do mesmo, j´a que seria necess´ario uma energia infinita para encontrar a part´ıcula fora do po¸co.
  10. 10. V (x) = ∞, se x ≤ 0 e x ≥ L 0, se 0 < x < L As solu¸c˜oes do po¸co infinito s˜ao confinadas no interior do mesmo, j´a que seria necess´ario uma energia infinita para encontrar a part´ıcula fora do po¸co. Portanto, precisamos considerar apenas a equa¸c˜ao de Schr¨odin- ger na regi˜ao 0 < x < L, que para uma part´ıcula de massa m tem a forma: − 2 2m d2 ψ(x) dx2 = Eψ(x) (3) Ver eq.(2)
  11. 11. Para resolver a eq.(3), assumimos ψ(x) = A eαx e a solu¸c˜ao fica
  12. 12. Para resolver a eq.(3), assumimos ψ(x) = A eαx e a solu¸c˜ao fica ψ(x) = A eikx + B e−ikx onde k = √ 2mE/ .
  13. 13. Para resolver a eq.(3), assumimos ψ(x) = A eαx e a solu¸c˜ao fica ψ(x) = A eikx + B e−ikx onde k = √ 2mE/ . Assumindo A = B , temos ψ(x) = B (eikx + e−ikx ) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
  14. 14. Para resolver a eq.(3), assumimos ψ(x) = A eαx e a solu¸c˜ao fica ψ(x) = A eikx + B e−ikx onde k = √ 2mE/ . Assumindo A = B , temos ψ(x) = B (eikx + e−ikx ) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4) Por outro lado, se assumirmos B = −A , temos ψ(x) = A (eikx − e−ikx ) = 2A i sin(kx) = A sin(kx) (5) Como ambas as eqs.(4) e (5) s˜ao solu¸c˜oes, para um mesmo valor de E, ent˜ao a soma delas tamb´em ´e solu¸c˜ao
  15. 15. ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6) com k = √ 2mE/ .
  16. 16. ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6) com k = √ 2mE/ . No caso das regi˜oes externas, o potencial ´e infinito e, portanto, a probabilidade de encontrarmos a part´ıcula fora do po¸co ´e necessariamente nula.
  17. 17. ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6) com k = √ 2mE/ . No caso das regi˜oes externas, o potencial ´e infinito e, portanto, a probabilidade de encontrarmos a part´ıcula fora do po¸co ´e necessariamente nula. A fun¸c˜ao de onda ter´a de ser nula ent˜ao na regi˜ao externa ψ(x) = 0, em x ≤ 0 e x ≥ L
  18. 18. A continuidade da fun¸c˜ao de onda imp˜oe que ψ(0) = ψ(L) = 0
  19. 19. A continuidade da fun¸c˜ao de onda imp˜oe que ψ(0) = ψ(L) = 0 A derivada da fun¸c˜ao de onda, dψ(x)/dx, n˜ao pode ser nula nestes pontos extremos, j´a que, se fosse o caso, ent˜ao ψ(x) = 0 para todo valor de x.
  20. 20. Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condi¸c˜oes de contorno. Em x = 0, temos
  21. 21. Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condi¸c˜oes de contorno. Em x = 0, temos ψ(0) = A sin(0) + B cos(0) ⇒ B = 0
  22. 22. Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condi¸c˜oes de contorno. Em x = 0, temos ψ(0) = A sin(0) + B cos(0) ⇒ B = 0 Ent˜ao, a eq.(6) fica ψ(x) = A sin(kx) (7)
  23. 23. A condi¸c˜ao de contorno ψ(x) = 0 quando x = L, restringe os poss´ıveis valores de k e, portanto, os valores da energia E. Apli- cando esta condi¸c˜ao de contorno, temos
  24. 24. A condi¸c˜ao de contorno ψ(x) = 0 quando x = L, restringe os poss´ıveis valores de k e, portanto, os valores da energia E. Apli- cando esta condi¸c˜ao de contorno, temos ψ(L) = A sin(kL) = 0 Esta condi¸c˜ao ´e satisfeita quando k ≡ kn = n π L , n = 1, 2, 3, ... (8)
  25. 25. O valor de k havia sido determinado anteriormente como k ≡ kn = 2mE 2 =⇒ k2 n = 2mE 2 (9)
  26. 26. O valor de k havia sido determinado anteriormente como k ≡ kn = 2mE 2 =⇒ k2 n = 2mE 2 (9) Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
  27. 27. O valor de k havia sido determinado anteriormente como k ≡ kn = 2mE 2 =⇒ k2 n = 2mE 2 (9) Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos n2 π2 L2 = 2mE 2 E ≡ En = n2 2 π2 2mL2 (10)
  28. 28. Para cada valor de n, existe uma dada fun¸c˜ao de onda ψ(x) ≡ ψn(x) dada por ψn(x) = 0, para x < 0 e x > L An sin nπx/L , para 0 < x < L
  29. 29. Para cada valor de n, existe uma dada fun¸c˜ao de onda ψ(x) ≡ ψn(x) dada por ψn(x) = 0, para x < 0 e x > L An sin nπx/L , para 0 < x < L Normalizando, podemos determinar a constante An: ˆ L 0 |ψ(x)|2 dx = ˆ L 0 A2 n sin2 nπx/L dx = 1
  30. 30. An = 2 L Ent˜ao, obtemos, para a regi˜ao 0 < x < L, a seguinte fun¸c˜ao de onda ψn(x) = 2 L sin nπx/L (11)
  31. 31. Po¸co potencial quadrado finito
  32. 32. Nesta situa¸c˜ao, o potencial ´e V (x) = 0 para −a<x<a V0 para x≤−a e x≥a
  33. 33. Nesta situa¸c˜ao, o potencial ´e V (x) = 0 para −a<x<a V0 para x≤−a e x≥a Considerando E < V0, na regi˜ao −a < x < a, o potencial ´e zero, e, portanto, − 2 2m d2 ψ(x) dx2 = Eψ(x) (12)
  34. 34. Nesta situa¸c˜ao, o potencial ´e V (x) = 0 para −a<x<a V0 para x≤−a e x≥a Considerando E < V0, na regi˜ao −a < x < a, o potencial ´e zero, e, portanto, − 2 2m d2 ψ(x) dx2 = Eψ(x) (12) Cuja solu¸c˜ao ´e ψ(x) = Ae−ikx + Beikx , k = √ 2mE
  35. 35. Ent˜ao, ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para − a < x < a (13)
  36. 36. Ent˜ao, ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para − a < x < a (13) Na regi˜ao x ≤ −a e x ≥ a, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger diz que − 2 2m d2 ψ(x) dx2 + V0ψ(x) = Eψ(x)
  37. 37. Ent˜ao, ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para − a < x < a (13) Na regi˜ao x ≤ −a e x ≥ a, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger diz que − 2 2m d2 ψ(x) dx2 + V0ψ(x) = Eψ(x) Cuja solu¸c˜ao para x ≤ −a, ´e ψ(x) = Celx + De−lx (14) onde l = 2m(V0 − E)/ .
  38. 38. A eq.(14) diverge quando x → −∞, assim, a solu¸c˜ao fisicamente admiss´ıvel ´e ψ(x) = Celx , para x ≤ −a (15)
  39. 39. A eq.(14) diverge quando x → −∞, assim, a solu¸c˜ao fisicamente admiss´ıvel ´e ψ(x) = Celx , para x ≤ −a (15) Para x ≥ a, a solu¸c˜ao ´e ψ(x) = Felx + Ge−lx (16) onde l = 2m(V0 − E)/ . A eq.(16) diverge quando x → +∞, assim, a solu¸c˜ao fisicamente admiss´ıvel ´e
  40. 40. ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (17)
  41. 41. ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (17) O pr´oximo passo ´e impor condi¸c˜oes de contorno:ψ e dψ/dx cont´ınuas em −a e +a.
  42. 42. ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (17) O pr´oximo passo ´e impor condi¸c˜oes de contorno:ψ e dψ/dx cont´ınuas em −a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando que esse potencial ´e uma fun¸c˜ao par, e assim podemos supor, sem perda de generalidade, que as solu¸c˜oes s˜ao pares e ´ımpares.
  43. 43. ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (17) O pr´oximo passo ´e impor condi¸c˜oes de contorno:ψ e dψ/dx cont´ınuas em −a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando que esse potencial ´e uma fun¸c˜ao par, e assim podemos supor, sem perda de generalidade, que as solu¸c˜oes s˜ao pares e ´ımpares. A vantagem disso ´e que precisamos impor as condi¸c˜oes de contorno apenas de um lado, pois ψ(−x) = ±ψ(x)
  44. 44. Trabalhando com as solu¸c˜oes pares, temos: ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (18) ψ(x) = B cos(kx) , para − a < x < a (19) ψ(x) = ψ(−x) , para x < 0 (20)
  45. 45. Trabalhando com as solu¸c˜oes pares, temos: ψ(x) = Ge−lx , para x ≥ a (18) ψ(x) = B cos(kx) , para − a < x < a (19) ψ(x) = ψ(−x) , para x < 0 (20) A continuidade de ψ(x), em x = a, diz que Ge−la = B cos(ka) (21)
  46. 46. E a continuidade de (dψ(x)/dx) diz que lG−la = Bk sin(ka) (22)
  47. 47. E a continuidade de (dψ(x)/dx) diz que lG−la = Bk sin(ka) (22) Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que l = k tan(ka) (23) Essa ´e uma f´ormula para as energias permitidas, pois k e l s˜ao fun¸c˜oes de E. Como, l = 2m(V0 − E)/ e k = √ 2mE/ , temos que
  48. 48. tan 2ma2E 2 = V0 − E E (24)
  49. 49. tan 2ma2E 2 = V0 − E E (24) Esta ´e uma equa¸c˜ao transcendental para E. Pode ser resolvida graficamente, organizando tan( (2ma2E)/ 2) e (V0 − E)/E na mesma grade e buscando pontos de interse¸c˜ao.
  50. 50. Caso E > V0 Esse caso, ´e bem parecido com o problema da barreira de potencial em que a energia ´e maior que a altura da barreira.
  51. 51. Caso E > V0 Esse caso, ´e bem parecido com o problema da barreira de potencial em que a energia ´e maior que a altura da barreira. ψ(x) = Feikx + Ge−ikx , −a < x < a (25) com k = √ 2mE/ .
  52. 52. Caso E > V0 Esse caso, ´e bem parecido com o problema da barreira de potencial em que a energia ´e maior que a altura da barreira. ψ(x) = Feikx + Ge−ikx , −a < x < a (25) com k = √ 2mE/ . No caso das regi˜oes externas, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger tem a forma − 2 2m d2 ψ(x) dx2 + V0ψ(x) = Eψ(x) (26)
  53. 53. Cuja solu¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao de onda correspondente `a de uma part´ıcula livre com energia total (E − V0): ψ(x) = Aeik x + Be−ik x , x < −a ψ(x) = Ceik x + De−ik x, x > a (27) com k = 2m(E − V0)/ .
  54. 54. Cuja solu¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao de onda correspondente `a de uma part´ıcula livre com energia total (E − V0): ψ(x) = Aeik x + Be−ik x , x < −a ψ(x) = Ceik x + De−ik x, x > a (27) com k = 2m(E − V0)/ . Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es- querda sobre o po¸co de potencial.
  55. 55. Cuja solu¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao de onda correspondente `a de uma part´ıcula livre com energia total (E − V0): ψ(x) = Aeik x + Be−ik x , x < −a ψ(x) = Ceik x + De−ik x, x > a (27) com k = 2m(E − V0)/ . Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es- querda sobre o po¸co de potencial. Para determinar as constantes A, B, C, F, e G, igualamos os valores da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada em x = a:
  56. 56. Feika + Ge−ika = Ceik a ik(Feika − G−ika) = ik Ceik a (28)
  57. 57. Feika + Ge−ika = Ceik a ik(Feika − G−ika) = ik Ceik a (28) F G = k + k k − k e−ika (29)
  58. 58. Feika + Ge−ika = Ceik a ik(Feika − G−ika) = ik Ceik a (28) F G = k + k k − k e−ika (29) Da mesma forma, em x = −a, temos Fe−ika + Geika = Ae−ik a + Beik a ik(Fe−ika − Geika) = ik (Ae−ik a − Beik a) (30)
  59. 59. F/G + eika F/G − eika = k k A/B + eik a A/B − eik a (31)
  60. 60. F/G + eika F/G − eika = k k A/B + eik a A/B − eik a (31) As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter o coeficiente de reflex˜ao R. De forma an´aloga, podemos calcular C/A e obter o coeficiente de transmiss˜ao T. R = |B|2 |A|2 = 1 + 4k2 k 2 (k2 − k 2)2 sin2 (ka) −1 (32) T = |C|2 |A|2 = 1 + (k2 − k 2 )2 sin2 (ka) 4k2k 2 −1 (33)
  61. 61. Referˆencias GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 1a . ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1994. LIMA, C. R. A. Notas de Aula: F´ısica Moderna. Dispon´ıvel em: http://www.fisica.ufjf.br/∼cralima/index arquivos/Page491. htm . Acesso em: 03 de maio de 2015. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. F´ısica para cientistas e engenheiros. 5a . ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

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