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Assunto: Identidades trigonométricas
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2. Mostre que sin(2x) = (sin x + cos x)2
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e use esta fórmula para resolver a equação cos(2x) = sin(x).
4. Sabe–se que as expansões de sin(nx) e cos(nx), com n ∈ N, são dadas, respetivamente, por:
sin(nx) =
X
r=0
2r+1≤n
n
C2r+1(−1)r
cosn−2r−1
(x) sin2r+1
(x) e
cos(nx) =
X
r=0
2r≤n
n
C2r(−1)r
cosn−2r
(x) sin2r
(x).
(a) Use as fórmulas acima para obter as expressões de sin(2x), cos(3x) e sin(4x).
(b) Modifique a fórmula de cos(nx), de forma a obter uma expressão que não envolva a função seno.
(c) Mostre que:
tan(nx) =
X
r=0
2r+1≤n
n
C2r+1(−1)r
tan2r+1
(x)
X
r=0
2r≤n
n
C2r(−1)r
tan2r
(x)
e determine tan(3x) usando essa fórmula.
(d) Mostre que:
6
X
r=0
12
C2r(−1)r
36−r
= 4096.
(Sugestão: Faça x =
π
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numa das fórmulas fornecidas).

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