O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre identidades trigonométricas, incluindo mostrar que sin(2x)=(sin x + cos x)2 - 1, usar a fórmula cos2(x)=(1+cos(2x))/2 para resolver a equação cos(2x)=sin(x) e obter as expressões de sin(2x), cos(3x) e sin(4x) usando as fórmulas de expansão de senos e cossenos de um ângulo múltiplo.

1. Ginásio da Educação da Vinci – Braga
Matemática A – 12.º Ano
Assunto: Identidades trigonométricas
Miguel Fernandes
1. Indique o valor da expressão cos2
π
12
− sin2
π
12
.
2. Mostre que sin(2x) = (sin x + cos x)2
− 1.
3. Mostre que:
cos2
(x) =
1 + cos(2x)
2
e use esta fórmula para resolver a equação cos(2x) = sin(x).
4. Sabe–se que as expansões de sin(nx) e cos(nx), com n ∈ N, são dadas, respetivamente, por:
sin(nx) =
X
r=0
2r+1≤n
n
C2r+1(−1)r
cosn−2r−1
(x) sin2r+1
(x) e
cos(nx) =
X
r=0
2r≤n
n
C2r(−1)r
cosn−2r
(x) sin2r
(x).
(a) Use as fórmulas acima para obter as expressões de sin(2x), cos(3x) e sin(4x).
(b) Modifique a fórmula de cos(nx), de forma a obter uma expressão que não envolva a função seno.
(c) Mostre que:
tan(nx) =
X
r=0
2r+1≤n
n
C2r+1(−1)r
tan2r+1
(x)
X
r=0
2r≤n
n
C2r(−1)r
tan2r
(x)
e determine tan(3x) usando essa fórmula.
(d) Mostre que:
6
X
r=0
12
C2r(−1)r
36−r
= 4096.
(Sugestão: Faça x =
π
6
numa das fórmulas fornecidas).