1) Uma função logarítmica transforma uma progressão geométrica em uma progressão aritmética. 2) A relação entre log10x e log10y é uma translação quando x = 10k * y. 3) A parte inteira de log10x é igual a k-1 quando a parte inteira de x tem k algarismos.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT
GRUPO DE ESTUDOS
MATEMÁTICA DISCRETA
CUIABÁ – 05/2012
1) Mostre que toda função logarítmica transforma P.G em P.A.
Solução:
Sejam an e bn P.G e P.A., respectivamente isto é: e .
Aplicando log nesta primeira expressão, temos que:
, ou seja,
Ln – Ln-1 = Lq que é a definição de Progressão Aritmética.
Usando a caracterização de uma função logarítmica podemos resolver este
problema também, pois a caracterização nos diz que: f(x.y) = f(x) + f(y) e como
e , segue que, f(an) = f(an-1.q) = f(an-1) + f(q) que é a
definição de P.A.
OBS: a razão q deve ser positiva!
2) Sejam x e y números Reais, tais que x = 10k
y, onde k é inteiro. Qual a relação
entre log10x e log10y?
Solução:
Considere a expressão: x = 10k
y. Aplicando log em ambos os lados, temos que:
Log x = log 10k
y, aplicando as propriedades da função logarítmica obtemos:
Log x = log 10k
+ log y = k + log y. Concluímos que a relação de log10x e log10y
consiste em uma translação, onde log10y é a translação de log10x por k.
Graficamente temos:

2. 3) Considere x > 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos. Mostre
que a parte inteira de log10x é igual a k-1.
Solução:
Podemos escrever x da seguinte maneira: x = M,d1d2...dn.10k-1
, onde M é um
número natural entre 0 e 10. Aplicando log em ambos os lados da igualdade,
aplicando as propriedades desta função e usando o exercício anterior obtemos: log
x = log (M,d1d2...dn) + (k-1). Como M,d1d2...dn está entre 0 e 10, temos que log
(M,d1d2...dn) está entre 0 e 1. Logo (k-1) + log (M,d1d2...dn) tem por parte inteira k –
1.
4) Determine a potência n > 0 de modo que (0,999)n
seja maior que um
milionésimo.
Solução:
Devemos encontrar n tal que: (0,999)n
< 0,000001 = 10-6
.
Aplicando log em ambos os lados da igualdade e usando as propriedades desta
função:
Log (0,999)n
< log 10-6
nlog(0,999) < -6. Como log (0,999) = -0,000434511774. Segue que:
n > 13806,60165, portanto n > 13806.

3. 5) Mostre que a função logarítmica L: é ilimitada inferior e superiormente.
Devemos mostrar que dado um número real T tão grande quanto eu queira é
possível encontrar um n natural tal que o log envolvendo este natural seja
maior que T.
Solução:
(Superiormente) Seja T um número real tão grande quanto eu queira. Como os
números naturais são ilimitados posso considerar um n tal que n > T/L(3). A
escolha de L(3) é dada, pois L(3) > 0. Poderíamos escolher qualquer numero
maior que 1. Desta forma temos que:
nL(3) > T. Aplicando as propriedades de L: L(3n
) > T. Logo L é ilimitada
superiormente.
(Inferiormente) Considere agora y = 1/x, logo, log y = log 1 – log x = - log x. Pelo
item acima dado um K tão grande quanto eu queira, posso encontrar x tal que
L(x) > -K. Mas como L(y) = -L(x), segue que: L(y) < K. Portanto L é ilimitada
inferiormente.
6) Sejam L, M: duas funções logarítmicas. Mostre que existe uma
constante c > 0, tal que M(x) = cL(x)
Solução:
Primeiro: Se tal que M(a) = L(a)
Como para x = ar
, temos: M(ar
) = rM(a) = rL(a) = L(ar
).
Supondo que b 0 tal que M(b) L(b). Daí tomando n de modo que
n[M(b) – L(b)] > L(a). Logo
Assim temos: definem intervalos
justapostos de mesmo comprimento Isto implica que m
Desta forma temos que:
. Daí, concluímos que
, o que é um absurdo. Portanto não existe tal b e M(x) = L(x)

4. No caso geral, dadas duas funções logarítmicas L e M, com L(2) > 0 e M(2) > 0. Uma
vez que 2 > 1, então tomando e definindo , por N(x) = cL(x) ,
então N(2) = cL(2) = = M(2). Logo pelo que foi demonstrado acima M(x) =
cL(x).
7) Seja L: uma função logarítmica. Dados quaisquer números ,
mostre que existe um número real x , tal que .
Solução:
Tomando n (número natural fixo) tal que:
Então temos c, 2c, 3c, ... , mc, ... que são intervalos justapostos de
comprimento c < . Desta forma para algum m inteiro temos:
Mc . Logo basta tomar x = 2m/n
.
8) Dados ln 2 = 0,6931 e ln 3 = 1,0986, obtenha ln 72, ln 27/128 e ln (12)1/2
,
usando as propriedades da função logarítmica.
Solução:
 ln 72 = ln 3.3.2.2.2 = ln 32
.23
= 2ln3 . 3ln3 =4,2765
 ln 27/128 = ln (33
/27
) = 3ln3 – 7ln2 = -1,5559
 ln (12)1/2
= (1/2)ln12 = (1/2)ln22
.3 = (1/2)(2ln2 . ln3) = 1,2424
9) Dados r = p/q um número racional. Mostre que y = se, e somente se,
ln(y)=r.
Solução:
Se y = , então aplicando ln em ambos os lados da igualdade obtemos que: ln y =
ln . Agora aplicando as propriedades da função logarítmica obtemos: ln y = r.
Se ln y = r então por definição temos que y = .