UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT
...
3) Considere x > 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos. Mostre
que a parte inteira de log10x é igual a k-1....
5) Mostre que a função logarítmica L: é ilimitada inferior e superiormente.
Devemos mostrar que dado um número real T tão ...
No caso geral, dadas duas funções logarítmicas L e M, com L(2) > 0 e M(2) > 0. Uma
vez que 2 > 1, então tomando e definind...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Atividades - Matemática discreta

902 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
902
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
63
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Atividades - Matemática discreta

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT GRUPO DE ESTUDOS MATEMÁTICA DISCRETA CUIABÁ – 05/2012 1) Mostre que toda função logarítmica transforma P.G em P.A. Solução: Sejam an e bn P.G e P.A., respectivamente isto é: e . Aplicando log nesta primeira expressão, temos que: , ou seja, Ln – Ln-1 = Lq que é a definição de Progressão Aritmética. Usando a caracterização de uma função logarítmica podemos resolver este problema também, pois a caracterização nos diz que: f(x.y) = f(x) + f(y) e como e , segue que, f(an) = f(an-1.q) = f(an-1) + f(q) que é a definição de P.A. OBS: a razão q deve ser positiva! 2) Sejam x e y números Reais, tais que x = 10k y, onde k é inteiro. Qual a relação entre log10x e log10y? Solução: Considere a expressão: x = 10k y. Aplicando log em ambos os lados, temos que: Log x = log 10k y, aplicando as propriedades da função logarítmica obtemos: Log x = log 10k + log y = k + log y. Concluímos que a relação de log10x e log10y consiste em uma translação, onde log10y é a translação de log10x por k. Graficamente temos:
  2. 2. 3) Considere x > 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos. Mostre que a parte inteira de log10x é igual a k-1. Solução: Podemos escrever x da seguinte maneira: x = M,d1d2...dn.10k-1 , onde M é um número natural entre 0 e 10. Aplicando log em ambos os lados da igualdade, aplicando as propriedades desta função e usando o exercício anterior obtemos: log x = log (M,d1d2...dn) + (k-1). Como M,d1d2...dn está entre 0 e 10, temos que log (M,d1d2...dn) está entre 0 e 1. Logo (k-1) + log (M,d1d2...dn) tem por parte inteira k – 1. 4) Determine a potência n > 0 de modo que (0,999)n seja maior que um milionésimo. Solução: Devemos encontrar n tal que: (0,999)n < 0,000001 = 10-6 . Aplicando log em ambos os lados da igualdade e usando as propriedades desta função: Log (0,999)n < log 10-6 nlog(0,999) < -6. Como log (0,999) = -0,000434511774. Segue que: n > 13806,60165, portanto n > 13806.
  3. 3. 5) Mostre que a função logarítmica L: é ilimitada inferior e superiormente. Devemos mostrar que dado um número real T tão grande quanto eu queira é possível encontrar um n natural tal que o log envolvendo este natural seja maior que T. Solução: (Superiormente) Seja T um número real tão grande quanto eu queira. Como os números naturais são ilimitados posso considerar um n tal que n > T/L(3). A escolha de L(3) é dada, pois L(3) > 0. Poderíamos escolher qualquer numero maior que 1. Desta forma temos que: nL(3) > T. Aplicando as propriedades de L: L(3n ) > T. Logo L é ilimitada superiormente. (Inferiormente) Considere agora y = 1/x, logo, log y = log 1 – log x = - log x. Pelo item acima dado um K tão grande quanto eu queira, posso encontrar x tal que L(x) > -K. Mas como L(y) = -L(x), segue que: L(y) < K. Portanto L é ilimitada inferiormente. 6) Sejam L, M: duas funções logarítmicas. Mostre que existe uma constante c > 0, tal que M(x) = cL(x) Solução: Primeiro: Se tal que M(a) = L(a) Como para x = ar , temos: M(ar ) = rM(a) = rL(a) = L(ar ). Supondo que b 0 tal que M(b) L(b). Daí tomando n de modo que n[M(b) – L(b)] > L(a). Logo Assim temos: definem intervalos justapostos de mesmo comprimento Isto implica que m Desta forma temos que: . Daí, concluímos que , o que é um absurdo. Portanto não existe tal b e M(x) = L(x)
  4. 4. No caso geral, dadas duas funções logarítmicas L e M, com L(2) > 0 e M(2) > 0. Uma vez que 2 > 1, então tomando e definindo , por N(x) = cL(x) , então N(2) = cL(2) = = M(2). Logo pelo que foi demonstrado acima M(x) = cL(x). 7) Seja L: uma função logarítmica. Dados quaisquer números , mostre que existe um número real x , tal que . Solução: Tomando n (número natural fixo) tal que: Então temos c, 2c, 3c, ... , mc, ... que são intervalos justapostos de comprimento c < . Desta forma para algum m inteiro temos: Mc . Logo basta tomar x = 2m/n . 8) Dados ln 2 = 0,6931 e ln 3 = 1,0986, obtenha ln 72, ln 27/128 e ln (12)1/2 , usando as propriedades da função logarítmica. Solução:  ln 72 = ln 3.3.2.2.2 = ln 32 .23 = 2ln3 . 3ln3 =4,2765  ln 27/128 = ln (33 /27 ) = 3ln3 – 7ln2 = -1,5559  ln (12)1/2 = (1/2)ln12 = (1/2)ln22 .3 = (1/2)(2ln2 . ln3) = 1,2424 9) Dados r = p/q um número racional. Mostre que y = se, e somente se, ln(y)=r. Solução: Se y = , então aplicando ln em ambos os lados da igualdade obtemos que: ln y = ln . Agora aplicando as propriedades da função logarítmica obtemos: ln y = r. Se ln y = r então por definição temos que y = .

×