exercícios

1. 1
Transformações de funções e seus grácos.
Lista 10a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Demana p.120:
N 1, 3, 5
2. Exercícios adicionais:
a) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar translações horizontais e verticais):
f(x) = x2
; g(x) = (x − 1)2
+ 2, h(x) = (x + 2)2
− 1.
Solução.
Lembramos que o gráco de f(x) = x2
é uma parábola voltada para cima e com vértice na origem.
Esse gráco é considerado (nesse exercício) como dado. Lembramos que a transformação de f(x)
para f(x + c), qualquer que for f(x), resulta na translação horizontal do gráco de f(x) de c
unidades para esquerda (sendo para c negativo a translação se faz |c| unidades para direita). Assim,
partindo do gráco de f(x) = x2
chegamos, primeiro, ao gráco de ˜
f(x) = (x − 1)2
= f(x − 1)
deslocando o primeiro 1 unidade para direita. Agora, considerando o último como dado, faremos
mais uma transformação para obter g(x) = (x − 1)2
+ 2. Comparando ˜
f(x) e g(x), notamos que
g(x) = ˜
f(x) + 2, o que signica (geometricamente) a translação vertical do gráco de ˜
f(x) de 2
unidades para cima. (Lembramos que a transformação de f(x) para f(x) + c, qualquer que for
f(x), resulta na translação vertical do gráco de f(x) de c unidades para cima, o que no caso de c
negativo é interpretado como |c| unidades para baixo.) Assim, o gráco de g(x) = (x − 1)2
+ 2 é
obtido do gráco de f(x) = x2
deslocando o último 1 unidade para direita e 2 unidades para cima.
Raciocinando de modo análogo, podemos concluír que o gráco de h(x) = (x + 2)2
− 1 pode
ser obtido do gráco de f(x) = x2
deslocando o último 2 unidades para esquerda e 1 unidade para
baixo. (Alunos Restituir todos os passos dessa transformação !)
b) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar extensões e compressões horizontais e verticais):
f(x) = |2x|; g(x) = |1
3
x|, h(x) = −|2x|.
Solução.
Lembramos que o gráco de f(x) = |2x| consiste de duas partes retilíneas −2x, para x ≤ 0 e 2x
para x ≥ 0 as quais se encontram na origem (que é vértice desse gráco). Ele é considerado (nesse
exercício) como dado. Para chegar ao gráco de g(x) = |1
3
x|, podemos alongar (extender) o gráco
original 6 vezes na horizontal, uma vez que g(x) = |1
6
2x| = f(1
6
x). (Lembramos que a transformação
de f(x) para f(cx), c 0, qualquer que for f(x), resulta na extenção horizontal do gráco 1
c
vezes
caso c 1 e compressão c vezes caso c 1; se c 0, então aplicamos as mesmas transformações
com |c|, acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Oy.)
A maneira alternativa é levar tudo a extensão/compressão vertical. Para isso, podemos reescrever
g(x) na forma equivalente g(x) = 1
6
|2x| = 1
6
f(x). Então, para obter o gráco de g(x), podemos
comprimir o gráco original 6 vezes na vertical. (Lembramos que a transformação de f(x) para
cf(x), c 0, qualquer que for f(x), resulta na extenção vertical do gráco c vezes caso c 1
e compressão 1
c
vezes caso c 1; se c 0, então aplicamos as mesmas transformações com |c|,
acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Ox.)
Para obter o gráco de h(x) = −|2x| = −f(x), lembramos que multiplicação da função por −1
resulta em reexão do seu gráco em torno do eixo Ox.

2. 2
c) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar combinações de transformações):
f(x) = x2
; g(x) = 3 − (2x + 1)2
, h(x) = 3(1
2
x − 1)2
− 2.
Solução. Lembramos que o gráco de f(x) = x2
é uma parábola voltada para cima e com
vértice na origem. Ele é considerado (nesse exercício) como dado. Para chegar ao gráco de
g(x) = 3−(2x+1)2
, temos que efetuar uma sequência de transformações. Primeiro, transformamos
f(x) = x2
em f1(x) = −x2
= −f(x) isso signica reetir o gráco de f(x) em relação ao eixo Ox.
Depois, transformamos f1(x) = −x2
em f2(x) = −(2x)2
= f1(2x), comprimindo horizontalmente 2
vezes o gráco de f1(x) em relação ao eixo Oy. Próximo, transformamos f2(x) = −(2x)2
em f3(x) =
−(2x+1)2
= −(2(x+ 1
2
))2
= f2(x+ 1
2
), deslocando horizontalmente o gráco de f2(x) em 1
2
unidades
para esquerda. Finalmente, de f3(x) = −(2x + 1)2
chegamos a g(x) = 3 − (2x + 1)2
= 3 − f3(x),
trazendo o gráco de f3(x) três unidades para cima. Assim, nessa cadeia de transformações, o
gráco de f(x) é reetido em relação ao eixo Ox, depois comprimido horizontamente duas vezes,
depois deslocado 1
2
unidades para esquerda, e, nalmente, deslocado três unidades para cima. Veja
gura abaixo.
Figura 1: Transformações de funções de f(x) = x2
a g(x) = 3 − (2x + 1)2
.
Tem outros modos de obter o mesmo gráco.
Raciocinando de modo análogo, concluímos que o gráco de h(x) = 3(1
2
x−1)2
−2 pode ser obtido
do gráco de f(x) = x2
, primeiro, extendendo o duas vezes horizontalmente, segundo, deslocando
duas unidades para direita, terceiro, afastando três vezes do eixo Ox (isto é, extendendo três vezes
verticalmente) e, nalmente, baixando duas unidades. Nesse caso é usada a seguinte cadeia de
transformações:
x2
→
(
1
2
x
)2
→
(
1
2
(x − 2)
)2
=
(
1
2
x − 1
)2
→ 3
(
1
2
x − 1
)2
→ 3
(
1
2
x − 1
)2
− 2 .
(Alunos Restituir todos os passos dessa transformação com detalhes !)
Veja gura abaixo.
Tem outros modos de obter o mesmo gráco.

3. 3
Figura 2: Transformações de funções de f(x) = x2
a h(x) = 3(1
2
x − 1)2
− 2.