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Teste eqs e intervalos com res

1. O documento apresenta um teste de matemática do 9o ano com instruções de resolução e 5 questões de escolha múltipla e 3 questões abertas. 2. As questões de escolha múltipla versam sobre conjuntos, equações e raízes. As questões abertas pedem para identificar elementos de um intervalo, resolver uma equação quadrática e mostrar que outra equação tem uma única solução. 3. O teste avalia conceitos matemáticos como conjuntos, equações e raízes em diferentes tipos de questões.

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Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica – 9.º Ano
Instru¸c˜oes de resolu¸c˜ao:
ˆ Responder a todos os itens de forma clara e justificada;
ˆ Nos itens de escolha m´ultipla, apresentar apenas a op¸c˜ao correta como resposta;
ˆ Como suporte de c´alculo, ´e apenas permitido o uso de m´aquina calculadora cient´ıfica;
ˆ Escrever com caneta azul/preta, n˜ao sendo permitido o uso de corretor.
GRUPO I (escolha m´ultipla)
Cada uma das seguintes quest˜oes ´e de escolha m´ultipla: deves escolher apenas uma ´unica op¸c˜ao.
10 pontos cada quest˜ao
1. Qual dos seguintes n´umeros n˜ao pertence ao conjunto −π, π−1
∩ x ∈ R : x2
< π ?
A. 0 B. −
√
2 C. π−2
D.
√
2
2. Dados dois subconjuntos reais A e B sabe–se que A ∩ B tem 5 elementos. Qual das seguintes afirma¸c˜oes
´e verdadeira?
A. Nenhum dos conjuntos A e B pode ser um intervalo.
B. Pelo menos um dos conjuntos A e B tem de possuir um n´umero finito de elementos.
C. O conjunto A ∪ B tem mais do que 5 elementos.
D. O conjunto (A ∩ B) ∩ N n˜ao tem mais do que 5 elementos.
3. Qual das seguintes equa¸c˜oes admite como conjunto–solu¸c˜ao ∅?
A. x2
− 4 = 0
B. x2
+ 4x + 2 = 0
C. x2
+ 2x + 3 = 0
D. x2
− x − 1 = 0
4. Quantas solu¸c˜oes tem a equa¸c˜ao (x2
− 4)(x − 2) = 0?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. Para certos k1 e k2 reais n˜ao nulos, a equa¸c˜ao x2
+ k1x + k2 = 0 admite
√
3 como solu¸c˜ao. Qual das
seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?
A. Os n´umeros k1 e k2 podem ser simultaneamente n´umeros inteiros.
B. Se k1 = −k2, ent˜ao k1 = −(3 + 3
√
3)/2.
C. Se
√
3 for a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao, ent˜ao k1 e k2 s˜ao n´umeros da mesma natureza.
D. O n´umero −
√
3 pode ser outra solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
GRUPO II (desenvolvimento)
Cada uma das seguintes quest˜oes ´e de resposta aberta: deves responder de forma completa.
Cota¸c˜ao no seguimento das quest˜oes
1. Considera o intervalo A = [−500, 1010].
(a) Indica: o n.º de inteiros que pertencem a A; a amplitude de A. Compara esses valores e comenta.
10 pontos
(b) Escreve uma condi¸c˜ao que descreva o conjunto A. 5 pontos
(c) Seja A2
o conjunto que compreende todos os reais da forma a2
, onde a ∈ A. Identifica esse conjunto.
10 pontos
2. Resolve a equa¸c˜ao 2x2
− x − 3 = 0. 15 pontos
3. Mostra que a equa¸c˜ao (x2
− 4)2
+ (x − 2)2
= 0 tem uma ´unica solu¸c˜ao e identifica–a. 10 pontos
Grupo I
1. Op¸c˜ao correta: D, −π, π−1
∩ x ∈ R : x2
< π = −
√
π, π−1
, portanto, apenas
√
2 n˜ao pertence a tal
conjunto.
2. Op¸c˜ao correta: D. De facto, se (A ∩ B) ∩ N tivesse mais do que 5 elementos, ent˜ao, por defini¸c˜ao do
conjunto interse¸c˜ao, A ∩ B teria mais do que 5 elementos, o que contraria a hip´otese enunciada.
3. Op¸c˜ao correta: C, o bin´omio discriminante ∆ = 22
− 4 × 3 = −8 < 0.
4. Op¸c˜ao correta: C, a equa¸c˜ao tem 2 solu¸c˜oes, x = 2 e x = −2, usando a lei do anulamento do produto.
5. Op¸c˜ao correta: B. De facto, se k1 = −k2, a equa¸c˜ao toma a forma x2
+ k1x − k1 = 0. Ora, como
√
3 ´e
solu¸c˜ao da mesma, obt´em–se
√
3
2
+ k1
√
3 − k1 = 0 ⇔ 3 + (
√
3 − 1)k1 = 0 ⇔ k1 = 3
1−
√
3
= 3+3
√
3
−2 .
Grupo II
1. (a) A = [−500, 1010], cujos extremos s˜ao n´umeros inteiros. O n´umero de inteiros que pertencem a A ´e
1010 − (−500) + 1 = 1511. A amplitude do mesmo intervalo ´e 1010 − (−500) = 1510, inferior ao
n´umero de inteiros. Tal deve–se ao facto de o intervalo ser fechado.
(b) −500 ≤ x ≤ 1010.
(c) A2
= 0, 10102
(porque 10102
> 5002
).
2. x =
1±
√
12−4×2×(−3)
4 ⇔ x = 1±5
5 ⇔ x = −4
5 ∨ x = 6
5 .
3. A soma de dois quadrados, digamos x2
e y2
, s´o ´e nula quando ambos os quadrados s˜ao nulos, isto ´e,
quando x = y = 0. Portanto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao dos conjuntos–solu¸c˜ao das equa¸c˜oes
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− 4 = 0 e x − 2 = 0, claramente o conjunto {2}, conjunto singular.
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Teste eqs e intervalos com res

  • 1. Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica – 9.º Ano Instru¸c˜oes de resolu¸c˜ao: ˆ Responder a todos os itens de forma clara e justificada; ˆ Nos itens de escolha m´ultipla, apresentar apenas a op¸c˜ao correta como resposta; ˆ Como suporte de c´alculo, ´e apenas permitido o uso de m´aquina calculadora cient´ıfica; ˆ Escrever com caneta azul/preta, n˜ao sendo permitido o uso de corretor. GRUPO I (escolha m´ultipla) Cada uma das seguintes quest˜oes ´e de escolha m´ultipla: deves escolher apenas uma ´unica op¸c˜ao. 10 pontos cada quest˜ao 1. Qual dos seguintes n´umeros n˜ao pertence ao conjunto −π, π−1 ∩ x ∈ R : x2 < π ? A. 0 B. − √ 2 C. π−2 D. √ 2 2. Dados dois subconjuntos reais A e B sabe–se que A ∩ B tem 5 elementos. Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira? A. Nenhum dos conjuntos A e B pode ser um intervalo. B. Pelo menos um dos conjuntos A e B tem de possuir um n´umero finito de elementos. C. O conjunto A ∪ B tem mais do que 5 elementos. D. O conjunto (A ∩ B) ∩ N n˜ao tem mais do que 5 elementos. 3. Qual das seguintes equa¸c˜oes admite como conjunto–solu¸c˜ao ∅? A. x2 − 4 = 0 B. x2 + 4x + 2 = 0 C. x2 + 2x + 3 = 0 D. x2 − x − 1 = 0 4. Quantas solu¸c˜oes tem a equa¸c˜ao (x2 − 4)(x − 2) = 0? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. Para certos k1 e k2 reais n˜ao nulos, a equa¸c˜ao x2 + k1x + k2 = 0 admite √ 3 como solu¸c˜ao. Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira? A. Os n´umeros k1 e k2 podem ser simultaneamente n´umeros inteiros. B. Se k1 = −k2, ent˜ao k1 = −(3 + 3 √ 3)/2. C. Se √ 3 for a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao, ent˜ao k1 e k2 s˜ao n´umeros da mesma natureza. D. O n´umero − √ 3 pode ser outra solu¸c˜ao da equa¸c˜ao. GRUPO II (desenvolvimento) Cada uma das seguintes quest˜oes ´e de resposta aberta: deves responder de forma completa. Cota¸c˜ao no seguimento das quest˜oes 1. Considera o intervalo A = [−500, 1010]. (a) Indica: o n.º de inteiros que pertencem a A; a amplitude de A. Compara esses valores e comenta. 10 pontos (b) Escreve uma condi¸c˜ao que descreva o conjunto A. 5 pontos (c) Seja A2 o conjunto que compreende todos os reais da forma a2 , onde a ∈ A. Identifica esse conjunto. 10 pontos 2. Resolve a equa¸c˜ao 2x2 − x − 3 = 0. 15 pontos 3. Mostra que a equa¸c˜ao (x2 − 4)2 + (x − 2)2 = 0 tem uma ´unica solu¸c˜ao e identifica–a. 10 pontos
  • 2. Grupo I 1. Op¸c˜ao correta: D, −π, π−1 ∩ x ∈ R : x2 < π = − √ π, π−1 , portanto, apenas √ 2 n˜ao pertence a tal conjunto. 2. Op¸c˜ao correta: D. De facto, se (A ∩ B) ∩ N tivesse mais do que 5 elementos, ent˜ao, por defini¸c˜ao do conjunto interse¸c˜ao, A ∩ B teria mais do que 5 elementos, o que contraria a hip´otese enunciada. 3. Op¸c˜ao correta: C, o bin´omio discriminante ∆ = 22 − 4 × 3 = −8 < 0. 4. Op¸c˜ao correta: C, a equa¸c˜ao tem 2 solu¸c˜oes, x = 2 e x = −2, usando a lei do anulamento do produto. 5. Op¸c˜ao correta: B. De facto, se k1 = −k2, a equa¸c˜ao toma a forma x2 + k1x − k1 = 0. Ora, como √ 3 ´e solu¸c˜ao da mesma, obt´em–se √ 3 2 + k1 √ 3 − k1 = 0 ⇔ 3 + ( √ 3 − 1)k1 = 0 ⇔ k1 = 3 1− √ 3 = 3+3 √ 3 −2 . Grupo II 1. (a) A = [−500, 1010], cujos extremos s˜ao n´umeros inteiros. O n´umero de inteiros que pertencem a A ´e 1010 − (−500) + 1 = 1511. A amplitude do mesmo intervalo ´e 1010 − (−500) = 1510, inferior ao n´umero de inteiros. Tal deve–se ao facto de o intervalo ser fechado. (b) −500 ≤ x ≤ 1010. (c) A2 = 0, 10102 (porque 10102 > 5002 ). 2. x = 1± √ 12−4×2×(−3) 4 ⇔ x = 1±5 5 ⇔ x = −4 5 ∨ x = 6 5 . 3. A soma de dois quadrados, digamos x2 e y2 , s´o ´e nula quando ambos os quadrados s˜ao nulos, isto ´e, quando x = y = 0. Portanto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao dos conjuntos–solu¸c˜ao das equa¸c˜oes x2 − 4 = 0 e x − 2 = 0, claramente o conjunto {2}, conjunto singular. Page 2