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Teste 12ano

Teste 12ano

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Ginásio da Educação Da Vinci – Braga
Teste de Matemática de 12.º Ano
Ano letivo 2020/2021
Duração da prova: 2 horas
Responda às seguintes questões de forma completa e estruturada.
1. Seja f : R  {0} −→ R a função definida por f(x) = x sin
π
x

.
(a) Indique três zeros da função f e justifique que f admite uma infinidade de zeros.
(b) Calcule o limite lim
x→+∞
f(x).
(c) Mostre que f é uma função par e use a alı́nea anterior para calcular lim
x→−∞
f(x).
2. Averigue quantas soluções tem a equação
p
cos(2x) = sin x + 1, no intervalo [0, 2π[.
3. Mostre que sin6
x − 3 sin4
x + 2 sin2
x = cos2
x − cos6
x.
4. Calcule o valor do seguinte limite:
lim
x→0
cos x + sin x − 1
x2 + x
e comente a seguinte afirmação:
Numa vizinhança próxima da origem, o gráfico de y = cos x+sin x−1 comporta–se como uma parábola.
5. Seja g : R −→ R a função definida por g(x) = 3 sin(3x) + 2x.
(a) Indique a expressão da derivada da função g.
(b) Encontre uma função G tal que a respetiva função derivada seja igual à função g, isto é, G0
= g.
Responda a uma e só uma das seguintes questões:
6. Mostre que lim
n
sin
n
X
k=1
π
7
k
!

√
3
2
.
7. Seja f : [0, 1] −→ R uma função contı́nua tal que f(0) = f(1). Sendo n um número natural, mostre que
existe x ∈ [0, 1[ tal que:
f(x) = f

x +
1
n

.
Cotação:
Questão 1.: 1.5/2/1.5/2 val.
Questão 2.: 3 val.
Questão 3.: 2 val.
Questão 4.: 3 val.
Questão 5.: 2/2 val.
Questão 6./7.: 1 val.
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Teste 12ano

  • 1. Ginásio da Educação Da Vinci – Braga Teste de Matemática de 12.º Ano Ano letivo 2020/2021 Duração da prova: 2 horas Responda às seguintes questões de forma completa e estruturada. 1. Seja f : R {0} −→ R a função definida por f(x) = x sin π x . (a) Indique três zeros da função f e justifique que f admite uma infinidade de zeros. (b) Calcule o limite lim x→+∞ f(x). (c) Mostre que f é uma função par e use a alı́nea anterior para calcular lim x→−∞ f(x). 2. Averigue quantas soluções tem a equação p cos(2x) = sin x + 1, no intervalo [0, 2π[. 3. Mostre que sin6 x − 3 sin4 x + 2 sin2 x = cos2 x − cos6 x. 4. Calcule o valor do seguinte limite: lim x→0 cos x + sin x − 1 x2 + x e comente a seguinte afirmação: Numa vizinhança próxima da origem, o gráfico de y = cos x+sin x−1 comporta–se como uma parábola. 5. Seja g : R −→ R a função definida por g(x) = 3 sin(3x) + 2x. (a) Indique a expressão da derivada da função g. (b) Encontre uma função G tal que a respetiva função derivada seja igual à função g, isto é, G0 = g. Responda a uma e só uma das seguintes questões: 6. Mostre que lim n sin n X k=1 π 7 k ! √ 3 2 . 7. Seja f : [0, 1] −→ R uma função contı́nua tal que f(0) = f(1). Sendo n um número natural, mostre que existe x ∈ [0, 1[ tal que: f(x) = f x + 1 n . Cotação: Questão 1.: 1.5/2/1.5/2 val. Questão 2.: 3 val. Questão 3.: 2 val. Questão 4.: 3 val. Questão 5.: 2/2 val. Questão 6./7.: 1 val.