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FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
23 de outubro de 2017
1 Propriedades Básicas da Álgebra
Propriedades da álgebra
Sejam u, v e w números reais.
1. Propriedade comutativa
u + v = v + u
uv = vu
2. Propriedade associativa
(u + v) + w = u + (v + w)
(uv)w = u(vw)
3. Elemento neutro
u + 0 = u
u.1 = u
4. Elemento inverso
u + (−u) = 0
u.1
u
= 1
5. Propriedade distributiva
u(v + w) = uv + uw
(u + v)w = uw + vw
u(v − w) = uv − uw
(u − v)w = uw − vw
1
Exemplo de uso da propriedade distributiva
1. Obtenha a forma expandida de (a + 2)x.
Solução: (a + 2)x = ax + 2x.
2. Obtenha a forma fatorada de 3y − by.
Solução: 3y − by = (3 − b)y.
Generalizando a propriedade distributiva
1. Obter a forma fatorada de 6yx2
− 12yx + 3ayx.
Solução: 6yx2
− 12yx + 3ayx = 3yx(2x − 4 + a)
2. Obter a forma expandida de (2x + 1)(ab + 3c).
Solução: (2x + 3)(ab + 3c) = 2xab + 6xc + 3ab + 9c
Propriedades da inversa aditiva
Sejam u e v números reais.
Propriedade Exemplo
1. −(−u) = u −(−3) = 3
2. (−u)v = u(−v) = −(uv) (−4)3 = 4(−3) = −(4.3) = −12
3. (−u)(−v) = uv (−6)(−7) = 6.7 = 42
4. (−1)u = −u (−1)5 = −5
5. −(u + v) = (−u) + (−v) −(7 + 9) = (−7) + (−9) = −16
Valor absoluto ou módulo
Seja u um número real
|u| =
(
u se u ≥ 0
−u se u < 0
Então |2| = 2 e | − 2| = −(−2) = 2.
2
Propriedades do valor absoluto
Seja u e v números reais e n um número inteiro
1. | − u| = |u|
2. |un
| =
(
un
para n par
|u|n
para n ı́mpar
3. |u.v| = |u|.|v|
4. |u + v| ≤ |u| + |v|
2 Potenciação
Notação exponencial
Sejam a um número real e n um número inteiro positivo.
an
= a.a.a.a . . . a
| {z }
n fatores
Onde n é o expoente e a é a base. Leia-se: “a elevado a n”
Exemplos
1. Em 34
, a base é 3 e o expoente é 4
34
= 3.3.3.3 = 81
2. Em (−3)4
, a base é −3 e o expoente é 4
(−3)4
= (−3)(−3)(−3)(−3) = 81
3. Em (−3)5
, a base é −3 e o expoente é 5
(−3)5
= (−3)(−3)(−3)(−3)(−3) = −243
4. Em −35
, a base é 3 e o expoente é 5
−35
= −3.3.3.3.3 = −243
3
Propriedades da potenciação
Sejam u e v números reais e m e n números inteiros. Todas as bases
diferentes de zero.
Propriedade Exemplo
1. um
un
= um+n
53
54
= 53+4
= 57
2. um
un = um−n x9
x4 = x9−4
= x5
3. u0
= 1 80
= 1
4. u−n
= 1
un y−3
= 1
y3
5. (uv)m
= um
vm
(2z)5
= 25
z5
= 32z5
6. (um
)n
= umn
(x2
)3
= x2.3
= x6
7.

u
v
m
= um
vm

a
b
7
= a7
b7
Simplificação de expressões envolvendo potências
1. (2ab3
)(5a2
b5
) = 2.5(aa2
)(b3
b5
) = 10a3
b8
2. x2y−2
x−1y3 = x2x1
y2y3 = x3
y5
3.

x2
2
−3
= (x2)−3
2−3 = x−6
2−3 = 23
x6 = 8
x6
4. (a2b−3)2(ab−2)−1
a2b
= (a2.2b−3.2)(a1(−1)b(−2)(−1))
a2b
= (a4b−6)(a−1b2)
a2b
= (a4a−1)(b−6b2)
a2b
= a4−1b−6+2
a2b
= a3b−4
a2b
= (a3
a−2
)(b−4
b−1
) = a3−2
b−4−1
= ab−5
= a
b5
5.

x−2y3z
x3y2z−1
2
= x−4y6z2
x6y4z−2 = x−4
x−6
y6
y−4
z2
z2
= x−10
y2
z4
= y2z4
x10
4
3 Radiciação
Definição de raiz n-ésima de um número real
Sejam n um número inteiro maior que 1 e a e b números reais
1. Se bn
= a então b é uma raiz n-ésima de a.
2. Se a tem uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é
aquela com o mesmo sinal de a.
Notação de raiz
A principal raiz n-ésima de a é denotada por
n
√
a
Onde o inteiro positico n é o ı́ndice do radical e a é o radicando.
Verificando raı́zes
1.
√
36 = 6 porque 62
= 36.
2. 3
√
8 = 2 porque 23
= 2.2.2 = 8.
3. 3
√
−8 = −2 porque (−2)3
= (−2)(−2)(−2) = −8.
4. 3
q
27
8
= 3
2
porque

3
2
3
= 27
8
.
5. 4
√
−16 não tem solução real porque o ı́ndice 4 da raiz é par e o
radicando −16 é negativo (não existe numero real que elevado a
uma potência par resulte em número negativo).
5
Propriedades dos radicais
Sejam u e v números reais e m e n números inteiros positivos maiores
que 1.
Propriedade Exemplo
1. n
√
uv = n
√
u n
√
v
√
75 =
√
25.3 =
√
25
√
3 = 5
√
3
2. n
q
u
v
=
n
√
u
n
√
v
4
√
96
4
√
6
= 4
q
96
6
= 4
√
16 = 2
3. m
q
n
√
u = mn
√
u
q
3
√
7 = 2.3
√
7 = 6
√
7
4. ( n
√
u)
n
= u

4
√
5
4
= 5
5. n
√
um = ( n
√
u)
m 3
√
272 =

3
√
27
2
= 32
= 9
6. n
√
un =
(
|u| para n par
u para n ı́mpar
q
(−6)2 = | − 6| = 6
3
q
(−6)3 = −6
Simplificação de expressões com radicais
1. 4
√
80 = 4
√
2.2.2.2.5 =
4
√
245 =
4
√
24 4
√
5 = |2| 4
√
5 = 2 4
√
5
2. 4
√
x4y4 = 4
q
(xy)4 = |xy|
3.
√
18x5 =
√
9x4.2x =
q
(3x2)2.2x =
q
(3x2)2.
√
2x = |3x2
|
√
2x =
3x2
√
2x
4. 3
√
−24y6 = 3
q
(−2y2)3.3 = −2y2 3
√
3
5.
3
q
2x2
√
16x2 =
3
q
2x2.
√
16.
√
x2 = 3
q
2x2.4.|x| = 3
q
8.|x2|.|x|
= 3
q
8|x3| = 3
q
8.(|x|)3 = 3
√
8 3
q
(|x|)3 = 2.|x|
6.
√
3x
√
27xy =
√
3x.27xy =
√
81x2y =
√
81
√
x2√
y = 9|x|
√
y
6
4 Potenciação com expoentes racionais
Definição de expoentes racionais
Seja u um número real e n e m números inteiros positivos.
u1/n
= n
√
u um/n
= u
1
n
.m
=

u1/n
m
=

n
√
u
m
= n
√
um
Exemplos de expoentes racionais
1. a1/3
= 3
√
a 2.
5
√
x2 = x2/5
Conversão entre radicais e potências
1.
q
(x + y)3
= (x + y)3/2
2. 3x
5
√
x2 = 3x.x2/5
= 3x1+2
5 =
3x7/5
3. x2/3
y1/3
= (x2
)
1/3
y1/3
=
(x2
y)
1/3
= 3
√
x2y
4. z−3/2
= 1
z3/2 = 1
√
z3
Simplificação de expressões
1. (x2
y9
)1/3
(xy2
) = (x2/3
y3
)(xy2
) = x5/3
y5
2.

3x2/3
y1/2
 
2x−1/2
y2/5

= 6x1/6
y9/10
3.

a−1/2b2/5
a1/5b−1/10
5/2 
a5/2
b1/3

=

a−5/4b
a1/2b−1/4
 
a5/2
b1/3

=

a−5/4
a−1/2
bb1/4
 
a5/2
b1/3

= a−5/4
a−1/2
a5/2
bb1/4
b1/3
= a−5/4−1/2+5/2
b1+1/4+1/3
= a3/4
b19/12
4. 3
√
xy2
√
x3y5 = 3
√
x 3
√
y2
√
x3
√
y5 = x1/3
y2/3
x3/2
y5/2
= x11/6
y19/6
=
6
√
x11 6
√
y19 = 6
√
x11y19
5.
√
xy(
√
xy2 − 3
√
x2y) =
√
xy
√
xy2 −
√
xy 3
√
x2y = x1/2
y1/2
x1/2
y −
x1/2
y1/2
x2/3
y1/3
= xy3/2
− x7/6
y5/6
= x
√
y3 − 6
√
x7y5
7
5 Racionalização de Frações
Definição
Racionalizar significa eliminar todas as raı́zes no denominador de uma
fração. Por exemplo, 1
√
3
=
√
3
3
, onde
√
3
3
é a forma racionalizada da fração
1
√
3
.
Caso 1: o denominador é uma raiz quadrada
O fator racionalizante é a própria raiz que aparece no denominador.
1. 1
√
3
= 1
√
3
.
√
3
√
3
=
√
3
(
√
3)2 =
√
3
3
2. 3
2
√
5
= 3
2
√
5
.
√
5
√
5
= 3
√
5
2(
√
5)2 = 3
√
5
2.5
= 3
√
5
10
3.
√
y
y
√
x
=
√
y
y
√
x
.
√
x
√
x
=
√
y
√
x
y(
√
x)2 =
√
xy
xy
Caso 2: o denominador é uma raiz n-ésima
Se a raiz do denominador é n
√
um, o fator racionalizante é n
√
un−m.
1. 2
3
√
2
= 2
3
√
2
.
3
√
22
3
√
22
= 2
3
√
22
3
√
2.22
= 2 3
√
4
3
√
23
= 2 3
√
4
2
= 3
√
4
2. 2
5
√
9
= 2
5
√
32
= 2
5
√
32
.
5
√
33
5
√
33
= 2 5
√
27
5
√
32.33
= 2 5
√
27
5
√
35
= 2 5
√
27
3
8
Caso 3: o denominador é uma soma ou diferença envolvendo
raiz quadrada
Se o denominador é uma soma, o fator racionalizante é a diferença, e se o
denominador é uma diferença, o fator racionalizante é uma soma. Então,
por exemplo, se o denominador é a−
√
b, o fator racionalizante é a+
√
b.
1. 1
3−
√
2
= 1
3−
√
2
.3+
√
2
3+
√
2
= 3+
√
2
(3−
√
2)(3+
√
2)
= 3+
√
2
9+3
√
2−3
√
2−(
√
2)2 = 3+
√
2
9−2
=
3+
√
2
7
2.
√
2
1+
√
2
=
√
2
1+
√
2
.1−
√
2
1−
√
2
=
√
2(1−
√
2)
1−2
=
√
2−2
−1
= 2 −
√
2
3. x−y
√
x+
√
y
= x−y
√
x+
√
y
.
√
x−
√
y
√
x−
√
y
=
(x−y)(
√
x−
√
y)
x−y
=
√
x −
√
y
6 Polinômios
Definição de polinômio
Um polinômio em x é uma expressão
anxn
+ an−1xn−1
+ an−2xn−2
+ · · · + a1x + a0
Onde n é um número inteiro não negativo e an 6= 0. O grau do polinômio
é n. Os números reais an, an−1, . . . a0 são chamados de coeficientes e an
é chamado de coeficiente principal.
Adição e subtração de polinômios
Para adicionar ou subtrair polinônimos, adicionamos ou subtraı́mos ter-
mos semelhantes.
1. (2x3
− 3x2
+ 4x − 1) + (x3
+ 2x2
− 5x + 3) = (2x3
+ x3
) + (−3x2
+
2x2
) + (4x + (−5x)) + (−1 + 3) = 3x3
− x2
− x + 2
2. (4x2
+ 3x − 4) − (2x3
+ x2
− x + 2) = (0 − 2x3
) + (4x2
− x2
) + (3x −
(−x)) + (−4 − 2) = −2x3
+ 3x2
+ 4x − 6
9
Multiplicação de polinômios na forma vertical
x2
− 4x + 3
x2
+ 4x + 5
x4
− 4x3
+ 3x2
4x3
− 16x2
+ 12x
5x2
− 20x + 15
x4
+ 0x3
− 8x2
− 8x + 15
Assim, (x2
− 4x + 3)(x2
+ 4x + 5) = x4
− 8x2
− 8x + 15
Produtos notáveis
Sejam u e v números reais.
1. Produto de uma soma e
uma diferença: (u + v)(u − v) = u2
− v2
2. Quadrado de uma soma: (u + v)2
= u2
+ 2uv + v2
3. Quadrado de uma diferença: (u − v)2
= u2
− 2uv + v2
4. Cubo de uma soma: (u + v)3
= u3
+ 3u2
v + 3uv2
+ v3
5. Cubo de uma diferença: (u − v)3
= u3
− 3u2
v + 3uv2
− v3
6. Soma de dois cubos: (u + v)(u2
− uv + v2
) = u3
+ v3
7. Diferença de dois cubos: (u − v)(u2
+ uv + v2
) = u3
− v3
Uso dos produtos notáveis para expansão de produtos
1. (3x + 8)(3x − 8) = (3x)2
− 82
= 9x2
− 64
2. (5y − 4)2
= (5y)2
− 2(5y)(4) + 42
= 25y2
− 40y + 16
3. (2x−3y)3
= (2x)3
−3(2x)2
(3y)+3(2x)(3y)2
−(3y)3
= 8x3
−36x2
y+
54xy2
− 27y3
10
7 Fatoração de polinômios
Conceito de fatoração
Fatorar é escrever um polinômio como um produto de dois ou mais fatores
polinomiais. Uma expressão polinomial:
1. Pode estar completamente fatorada: se estiver escrita como um
produto de seus fatores irredutı́veis
2. Ser um polinômio irredutı́vel: um polinômio que não pode ser fa-
torado
Fatoração por fator comum
Este método de fatoração faz uso da propriedade distributiva.
1. 3x2
y − 5xy = xy(3x − 5)
2. 18ab3
− 12a2
b5
+ 42a3
b2
= 6ab2
(3b − 2ab3
+ 7a2
)
Fatoração usando produtos notáveis: diferença de dois qua-
drados
1. 25x2
− 36 = (5x)2
− 62
= (5x + 6)(5x − 6)
2. 4x2
− (y + 3)2
= (2x)2
− (y + 3)2
= [2x + (y + 3)][2x − (y + 3)] =
(2x + y + 3)(2x − y − 3)
Fatoração usando produtos notáveis: quadrados perfeitos
1. 9x2
+ 6x + 1 = (3x)2
+ 2(3x)(1) + 12
= (3x + 1)2
2. 4x2
− 12xy + 9y2
= (2x)2
− 2(2x)(3y) + (3y)2
= (2x − 3y)2
11
Fatoração usando produtos notáveis: soma e diferença de
dois cubos
1. x3
− 64 = x3
− 43
= (x − 4)(x2
+ 4x + 16)
2. 8x3
+ 27 = (2x)3
+ 33
= (2x + 3)(4x2
− 6x + 9)
3. 2x4
− 54x = 2x(x3
− 27) = 2x(x3
− 33
) = 2x(x − 3)(x2
+ 3x + 9)
Fatoração de trinômio do segundo grau
Determinando as raı́zes do trinômio usando a fórmula de Bhaskara.
ax2
+ bx + c
x =
−b ±
√
∆
2a
∆ = b2
− 4ac
Se ∆  0 então existem 2 raı́zes reais distintas
Se ∆ = 0 então as raı́zes são idênticas
Se ∆  0 então não existem raı́zes reais e o polinômio é irredutı́vel
ax2
+ bx + c = a(x − x0
)(x − x00
) ou a(x − x0
)2
Onde x0
e x00
são as raı́zes do polinômio e o segundo caso é quando ∆ = 0
1. x2
+ x − 6 = (x − 2)(x + 3) onde ∆ = 25, x0
= 2 e x00
= −3
2. 2x2
− 2x − 4 = 2(x + 1)(x − 2) onde ∆ = 36, x0
= −1 e x00
= 2
3. 3x2
− 5x − 2 = 3(x + 1
3
)(x − 2) = (3x + 1)(x − 2) onde ∆ = 49,
x0
= −1
3
e x00
= 2
4. x2
+ 4x + 4 = (x + 2)2
pois ∆ = 0 e x0
= −2
5. x2
− 3x + 4 é irredutı́vel pois ∆ = −7
12
Fatoração por agrupamento
Utiliza a propriedade distributiva.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
1. 3x3
+x2
−6x−2 = (3x3
+x2
)−(6x+2) = x2
(3x+1)−2(3x+1) =
(3x + 1)(x2
− 2)
2. 2ac−2ad+bc−bd = (2ac−2ad)+(bc−bd) = 2a(c−d)+b(c−d) =
(c − d)(2a + b)
3. 2axy3
− 2ax2
y2
− 10ay2
+ 10axy = 2ay[xy2
− x2
y − 5y + 5x] =
2ay[(xy2
− x2
y) − (5y − 5x)] = 2ay[xy(y − x) − 5(y − x)] = 2ay(y −
x)(xy − 5)
8 Expressões fracionárias
Simplificação de expressões racionais
Sejam u, v e z números reais.
uz
vz
=
u
v
.
z
z
=
u
v
.1 =
u
v
z 6= 0
Para aplicar a propridade para simplificar expressões racionais, o nume-
rador e o denominador da fração devem ser fatorados. Quando todos
os fatores comuns do numerador e do denominador forem removı́dos, a
expressão racional está na forma reduzida.
1. x2−3x
x2−9
= x(x−3)
(x+3)(x−3)
= x
x+3
com x 6= −3 e x 6= 3
2. 8x3+27
4x3−6x2+9x
= (2x)3+33
x(4x2−6x+9)
= (2x+3)(4x2−6x+9)
x(4x2−6x+9)
= 2x+3
x
com x 6= 0
3. m2−2mn+n2
m2−n2 = (m−n)2
(m+n)(m−n)
= (m−n)(m−n)
(m+n)(m−n)
= m−n
m+n
com m 6= n
e m + n 6= 0
13
Operações com expressões racionais
Sejam u, v, w e z números reais.
Operação Exemplo
1. u
v
+ w
v
= u+w
v
2
3
+ 5
3
= 2+5
3
= 7
3
2. u
v
+ w
z
= uz+vw
vz
2
3
+ 4
5
= 2.5+3.4
3.5
= 22
15
3. u
v
+ w
z
=
y
v
.u+y
z
.w
y
onde y = MMC(v, z) 5
6
+ 7
10
= 25+21
30
= 46
30
= 23
15
4. u
v
.w
z
= uw
vz
2
3
.4
5
= 2.4
3.5
= 8
15
5. u
v
÷ w
z
= u
v
. z
w
= uz
vw
2
3
÷ 4
5
= 2
3
.5
4
= 10
12
= 5
6
Multiplicação e divisão de expressões racionais
2x2
+ 11x − 21
x3 + 2x2 + 4x
.
x3
− 8
x2 + 5x − 14
=
(2x2
+ 11x − 21)(x3
− 8)
(x3 + 2x2 + 4x)(x2 + 5x − 14)
=
(2x − 3)(x + 7)(x − 2)(x2
+ 2x + 4)
x(x2 + 2x + 4)(x − 2)(x + 7)
=
2x − 3
x
com x 6= 2, x 6= −7 e x 6= 0
Soma de expressões racionais
x
3x − 2
+
3
x − 5
=
x(x − 5) + 3(3x − 2)
(3x − 2)(x − 5)
=
x2
+ 4x − 6
(3x − 2)(x − 5)
com x 6= 2
3
e x 6= 5
14
Redução ao mesmo denominador (MMC)
2
x2 − 2x
+
1
x
−
3
x2 − 4
Cálculo do MMC:
x2
− 2x x x2
− 4 x
x − 2 1 x2
− 4 x − 2
1 1 x + 2 x + 2
1 1 1
Então, MMC(x2
− 2x, x, x2
− 4) = x(x − 2)(x + 2).
2
x2 − 2x
+
1
x
−
3
x2 − 4
=
2(x + 2) + (x − 2)(x + 2) − 3x
x(x − 2)(x + 2)
=
2x + 4 + x2
− 4 − 3x
x(x − 2)(x + 2)
=
x2
− x
x(x − 2)(x + 2)
=
x(x − 1)
x(x − 2)(x + 2)
=
x − 1
(x − 2)(x + 2)
com x 6= 0, x 6= −2 e x 6= 2
Simplificando uma fração composta
3 − 7
x+2
1 − 1
x−3
=
3(x+2)−7
x+2
(x−3)−1
x−3
=
3x−1
x+2
x−4
x−3
=
(3x − 1)(x − 3)
(x + 2)(x − 4)
com x 6= 3, x 6= −2 e x 6= 4
15
Simplificando uma fração composta usando MMC
1
a2 − 1
b2
1
a
− 1
b
com MMC(a2
, b2
, a, b) = a2
b2
Então,
1
a2 − 1
b2
1
a
− 1
b
=

1
a2 − 1
b2

a2
b2

1
a
− 1
b

a2b2
=
b2
− a2
ab2 − a2b
=
(b + a)(b − a)
ab(b − a)
=
b + a
ab
com a 6= 0, b 6= 0 e a 6= b
16

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  • 1. FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Prof. Dr. Carlos A. P. Campani 23 de outubro de 2017 1 Propriedades Básicas da Álgebra Propriedades da álgebra Sejam u, v e w números reais. 1. Propriedade comutativa u + v = v + u uv = vu 2. Propriedade associativa (u + v) + w = u + (v + w) (uv)w = u(vw) 3. Elemento neutro u + 0 = u u.1 = u 4. Elemento inverso u + (−u) = 0 u.1 u = 1 5. Propriedade distributiva u(v + w) = uv + uw (u + v)w = uw + vw u(v − w) = uv − uw (u − v)w = uw − vw 1
  • 2. Exemplo de uso da propriedade distributiva 1. Obtenha a forma expandida de (a + 2)x. Solução: (a + 2)x = ax + 2x. 2. Obtenha a forma fatorada de 3y − by. Solução: 3y − by = (3 − b)y. Generalizando a propriedade distributiva 1. Obter a forma fatorada de 6yx2 − 12yx + 3ayx. Solução: 6yx2 − 12yx + 3ayx = 3yx(2x − 4 + a) 2. Obter a forma expandida de (2x + 1)(ab + 3c). Solução: (2x + 3)(ab + 3c) = 2xab + 6xc + 3ab + 9c Propriedades da inversa aditiva Sejam u e v números reais. Propriedade Exemplo 1. −(−u) = u −(−3) = 3 2. (−u)v = u(−v) = −(uv) (−4)3 = 4(−3) = −(4.3) = −12 3. (−u)(−v) = uv (−6)(−7) = 6.7 = 42 4. (−1)u = −u (−1)5 = −5 5. −(u + v) = (−u) + (−v) −(7 + 9) = (−7) + (−9) = −16 Valor absoluto ou módulo Seja u um número real |u| = ( u se u ≥ 0 −u se u < 0 Então |2| = 2 e | − 2| = −(−2) = 2. 2
  • 3. Propriedades do valor absoluto Seja u e v números reais e n um número inteiro 1. | − u| = |u| 2. |un | = ( un para n par |u|n para n ı́mpar 3. |u.v| = |u|.|v| 4. |u + v| ≤ |u| + |v| 2 Potenciação Notação exponencial Sejam a um número real e n um número inteiro positivo. an = a.a.a.a . . . a | {z } n fatores Onde n é o expoente e a é a base. Leia-se: “a elevado a n” Exemplos 1. Em 34 , a base é 3 e o expoente é 4 34 = 3.3.3.3 = 81 2. Em (−3)4 , a base é −3 e o expoente é 4 (−3)4 = (−3)(−3)(−3)(−3) = 81 3. Em (−3)5 , a base é −3 e o expoente é 5 (−3)5 = (−3)(−3)(−3)(−3)(−3) = −243 4. Em −35 , a base é 3 e o expoente é 5 −35 = −3.3.3.3.3 = −243 3
  • 4. Propriedades da potenciação Sejam u e v números reais e m e n números inteiros. Todas as bases diferentes de zero. Propriedade Exemplo 1. um un = um+n 53 54 = 53+4 = 57 2. um un = um−n x9 x4 = x9−4 = x5 3. u0 = 1 80 = 1 4. u−n = 1 un y−3 = 1 y3 5. (uv)m = um vm (2z)5 = 25 z5 = 32z5 6. (um )n = umn (x2 )3 = x2.3 = x6 7. u v m = um vm a b 7 = a7 b7 Simplificação de expressões envolvendo potências 1. (2ab3 )(5a2 b5 ) = 2.5(aa2 )(b3 b5 ) = 10a3 b8 2. x2y−2 x−1y3 = x2x1 y2y3 = x3 y5 3. x2 2 −3 = (x2)−3 2−3 = x−6 2−3 = 23 x6 = 8 x6 4. (a2b−3)2(ab−2)−1 a2b = (a2.2b−3.2)(a1(−1)b(−2)(−1)) a2b = (a4b−6)(a−1b2) a2b = (a4a−1)(b−6b2) a2b = a4−1b−6+2 a2b = a3b−4 a2b = (a3 a−2 )(b−4 b−1 ) = a3−2 b−4−1 = ab−5 = a b5 5. x−2y3z x3y2z−1 2 = x−4y6z2 x6y4z−2 = x−4 x−6 y6 y−4 z2 z2 = x−10 y2 z4 = y2z4 x10 4
  • 5. 3 Radiciação Definição de raiz n-ésima de um número real Sejam n um número inteiro maior que 1 e a e b números reais 1. Se bn = a então b é uma raiz n-ésima de a. 2. Se a tem uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a. Notação de raiz A principal raiz n-ésima de a é denotada por n √ a Onde o inteiro positico n é o ı́ndice do radical e a é o radicando. Verificando raı́zes 1. √ 36 = 6 porque 62 = 36. 2. 3 √ 8 = 2 porque 23 = 2.2.2 = 8. 3. 3 √ −8 = −2 porque (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8. 4. 3 q 27 8 = 3 2 porque 3 2 3 = 27 8 . 5. 4 √ −16 não tem solução real porque o ı́ndice 4 da raiz é par e o radicando −16 é negativo (não existe numero real que elevado a uma potência par resulte em número negativo). 5
  • 6. Propriedades dos radicais Sejam u e v números reais e m e n números inteiros positivos maiores que 1. Propriedade Exemplo 1. n √ uv = n √ u n √ v √ 75 = √ 25.3 = √ 25 √ 3 = 5 √ 3 2. n q u v = n √ u n √ v 4 √ 96 4 √ 6 = 4 q 96 6 = 4 √ 16 = 2 3. m q n √ u = mn √ u q 3 √ 7 = 2.3 √ 7 = 6 √ 7 4. ( n √ u) n = u 4 √ 5 4 = 5 5. n √ um = ( n √ u) m 3 √ 272 = 3 √ 27 2 = 32 = 9 6. n √ un = ( |u| para n par u para n ı́mpar q (−6)2 = | − 6| = 6 3 q (−6)3 = −6 Simplificação de expressões com radicais 1. 4 √ 80 = 4 √ 2.2.2.2.5 = 4 √ 245 = 4 √ 24 4 √ 5 = |2| 4 √ 5 = 2 4 √ 5 2. 4 √ x4y4 = 4 q (xy)4 = |xy| 3. √ 18x5 = √ 9x4.2x = q (3x2)2.2x = q (3x2)2. √ 2x = |3x2 | √ 2x = 3x2 √ 2x 4. 3 √ −24y6 = 3 q (−2y2)3.3 = −2y2 3 √ 3 5. 3 q 2x2 √ 16x2 = 3 q 2x2. √ 16. √ x2 = 3 q 2x2.4.|x| = 3 q 8.|x2|.|x| = 3 q 8|x3| = 3 q 8.(|x|)3 = 3 √ 8 3 q (|x|)3 = 2.|x| 6. √ 3x √ 27xy = √ 3x.27xy = √ 81x2y = √ 81 √ x2√ y = 9|x| √ y 6
  • 7. 4 Potenciação com expoentes racionais Definição de expoentes racionais Seja u um número real e n e m números inteiros positivos. u1/n = n √ u um/n = u 1 n .m = u1/n m = n √ u m = n √ um Exemplos de expoentes racionais 1. a1/3 = 3 √ a 2. 5 √ x2 = x2/5 Conversão entre radicais e potências 1. q (x + y)3 = (x + y)3/2 2. 3x 5 √ x2 = 3x.x2/5 = 3x1+2 5 = 3x7/5 3. x2/3 y1/3 = (x2 ) 1/3 y1/3 = (x2 y) 1/3 = 3 √ x2y 4. z−3/2 = 1 z3/2 = 1 √ z3 Simplificação de expressões 1. (x2 y9 )1/3 (xy2 ) = (x2/3 y3 )(xy2 ) = x5/3 y5 2. 3x2/3 y1/2 2x−1/2 y2/5 = 6x1/6 y9/10 3. a−1/2b2/5 a1/5b−1/10 5/2 a5/2 b1/3 = a−5/4b a1/2b−1/4 a5/2 b1/3 = a−5/4 a−1/2 bb1/4 a5/2 b1/3 = a−5/4 a−1/2 a5/2 bb1/4 b1/3 = a−5/4−1/2+5/2 b1+1/4+1/3 = a3/4 b19/12 4. 3 √ xy2 √ x3y5 = 3 √ x 3 √ y2 √ x3 √ y5 = x1/3 y2/3 x3/2 y5/2 = x11/6 y19/6 = 6 √ x11 6 √ y19 = 6 √ x11y19 5. √ xy( √ xy2 − 3 √ x2y) = √ xy √ xy2 − √ xy 3 √ x2y = x1/2 y1/2 x1/2 y − x1/2 y1/2 x2/3 y1/3 = xy3/2 − x7/6 y5/6 = x √ y3 − 6 √ x7y5 7
  • 8. 5 Racionalização de Frações Definição Racionalizar significa eliminar todas as raı́zes no denominador de uma fração. Por exemplo, 1 √ 3 = √ 3 3 , onde √ 3 3 é a forma racionalizada da fração 1 √ 3 . Caso 1: o denominador é uma raiz quadrada O fator racionalizante é a própria raiz que aparece no denominador. 1. 1 √ 3 = 1 √ 3 . √ 3 √ 3 = √ 3 ( √ 3)2 = √ 3 3 2. 3 2 √ 5 = 3 2 √ 5 . √ 5 √ 5 = 3 √ 5 2( √ 5)2 = 3 √ 5 2.5 = 3 √ 5 10 3. √ y y √ x = √ y y √ x . √ x √ x = √ y √ x y( √ x)2 = √ xy xy Caso 2: o denominador é uma raiz n-ésima Se a raiz do denominador é n √ um, o fator racionalizante é n √ un−m. 1. 2 3 √ 2 = 2 3 √ 2 . 3 √ 22 3 √ 22 = 2 3 √ 22 3 √ 2.22 = 2 3 √ 4 3 √ 23 = 2 3 √ 4 2 = 3 √ 4 2. 2 5 √ 9 = 2 5 √ 32 = 2 5 √ 32 . 5 √ 33 5 √ 33 = 2 5 √ 27 5 √ 32.33 = 2 5 √ 27 5 √ 35 = 2 5 √ 27 3 8
  • 9. Caso 3: o denominador é uma soma ou diferença envolvendo raiz quadrada Se o denominador é uma soma, o fator racionalizante é a diferença, e se o denominador é uma diferença, o fator racionalizante é uma soma. Então, por exemplo, se o denominador é a− √ b, o fator racionalizante é a+ √ b. 1. 1 3− √ 2 = 1 3− √ 2 .3+ √ 2 3+ √ 2 = 3+ √ 2 (3− √ 2)(3+ √ 2) = 3+ √ 2 9+3 √ 2−3 √ 2−( √ 2)2 = 3+ √ 2 9−2 = 3+ √ 2 7 2. √ 2 1+ √ 2 = √ 2 1+ √ 2 .1− √ 2 1− √ 2 = √ 2(1− √ 2) 1−2 = √ 2−2 −1 = 2 − √ 2 3. x−y √ x+ √ y = x−y √ x+ √ y . √ x− √ y √ x− √ y = (x−y)( √ x− √ y) x−y = √ x − √ y 6 Polinômios Definição de polinômio Um polinômio em x é uma expressão anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · · + a1x + a0 Onde n é um número inteiro não negativo e an 6= 0. O grau do polinômio é n. Os números reais an, an−1, . . . a0 são chamados de coeficientes e an é chamado de coeficiente principal. Adição e subtração de polinômios Para adicionar ou subtrair polinônimos, adicionamos ou subtraı́mos ter- mos semelhantes. 1. (2x3 − 3x2 + 4x − 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3) = (2x3 + x3 ) + (−3x2 + 2x2 ) + (4x + (−5x)) + (−1 + 3) = 3x3 − x2 − x + 2 2. (4x2 + 3x − 4) − (2x3 + x2 − x + 2) = (0 − 2x3 ) + (4x2 − x2 ) + (3x − (−x)) + (−4 − 2) = −2x3 + 3x2 + 4x − 6 9
  • 10. Multiplicação de polinômios na forma vertical x2 − 4x + 3 x2 + 4x + 5 x4 − 4x3 + 3x2 4x3 − 16x2 + 12x 5x2 − 20x + 15 x4 + 0x3 − 8x2 − 8x + 15 Assim, (x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5) = x4 − 8x2 − 8x + 15 Produtos notáveis Sejam u e v números reais. 1. Produto de uma soma e uma diferença: (u + v)(u − v) = u2 − v2 2. Quadrado de uma soma: (u + v)2 = u2 + 2uv + v2 3. Quadrado de uma diferença: (u − v)2 = u2 − 2uv + v2 4. Cubo de uma soma: (u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv2 + v3 5. Cubo de uma diferença: (u − v)3 = u3 − 3u2 v + 3uv2 − v3 6. Soma de dois cubos: (u + v)(u2 − uv + v2 ) = u3 + v3 7. Diferença de dois cubos: (u − v)(u2 + uv + v2 ) = u3 − v3 Uso dos produtos notáveis para expansão de produtos 1. (3x + 8)(3x − 8) = (3x)2 − 82 = 9x2 − 64 2. (5y − 4)2 = (5y)2 − 2(5y)(4) + 42 = 25y2 − 40y + 16 3. (2x−3y)3 = (2x)3 −3(2x)2 (3y)+3(2x)(3y)2 −(3y)3 = 8x3 −36x2 y+ 54xy2 − 27y3 10
  • 11. 7 Fatoração de polinômios Conceito de fatoração Fatorar é escrever um polinômio como um produto de dois ou mais fatores polinomiais. Uma expressão polinomial: 1. Pode estar completamente fatorada: se estiver escrita como um produto de seus fatores irredutı́veis 2. Ser um polinômio irredutı́vel: um polinômio que não pode ser fa- torado Fatoração por fator comum Este método de fatoração faz uso da propriedade distributiva. 1. 3x2 y − 5xy = xy(3x − 5) 2. 18ab3 − 12a2 b5 + 42a3 b2 = 6ab2 (3b − 2ab3 + 7a2 ) Fatoração usando produtos notáveis: diferença de dois qua- drados 1. 25x2 − 36 = (5x)2 − 62 = (5x + 6)(5x − 6) 2. 4x2 − (y + 3)2 = (2x)2 − (y + 3)2 = [2x + (y + 3)][2x − (y + 3)] = (2x + y + 3)(2x − y − 3) Fatoração usando produtos notáveis: quadrados perfeitos 1. 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x)(1) + 12 = (3x + 1)2 2. 4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 − 2(2x)(3y) + (3y)2 = (2x − 3y)2 11
  • 12. Fatoração usando produtos notáveis: soma e diferença de dois cubos 1. x3 − 64 = x3 − 43 = (x − 4)(x2 + 4x + 16) 2. 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) 3. 2x4 − 54x = 2x(x3 − 27) = 2x(x3 − 33 ) = 2x(x − 3)(x2 + 3x + 9) Fatoração de trinômio do segundo grau Determinando as raı́zes do trinômio usando a fórmula de Bhaskara. ax2 + bx + c x = −b ± √ ∆ 2a ∆ = b2 − 4ac Se ∆ 0 então existem 2 raı́zes reais distintas Se ∆ = 0 então as raı́zes são idênticas Se ∆ 0 então não existem raı́zes reais e o polinômio é irredutı́vel ax2 + bx + c = a(x − x0 )(x − x00 ) ou a(x − x0 )2 Onde x0 e x00 são as raı́zes do polinômio e o segundo caso é quando ∆ = 0 1. x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) onde ∆ = 25, x0 = 2 e x00 = −3 2. 2x2 − 2x − 4 = 2(x + 1)(x − 2) onde ∆ = 36, x0 = −1 e x00 = 2 3. 3x2 − 5x − 2 = 3(x + 1 3 )(x − 2) = (3x + 1)(x − 2) onde ∆ = 49, x0 = −1 3 e x00 = 2 4. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 pois ∆ = 0 e x0 = −2 5. x2 − 3x + 4 é irredutı́vel pois ∆ = −7 12
  • 13. Fatoração por agrupamento Utiliza a propriedade distributiva. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 1. 3x3 +x2 −6x−2 = (3x3 +x2 )−(6x+2) = x2 (3x+1)−2(3x+1) = (3x + 1)(x2 − 2) 2. 2ac−2ad+bc−bd = (2ac−2ad)+(bc−bd) = 2a(c−d)+b(c−d) = (c − d)(2a + b) 3. 2axy3 − 2ax2 y2 − 10ay2 + 10axy = 2ay[xy2 − x2 y − 5y + 5x] = 2ay[(xy2 − x2 y) − (5y − 5x)] = 2ay[xy(y − x) − 5(y − x)] = 2ay(y − x)(xy − 5) 8 Expressões fracionárias Simplificação de expressões racionais Sejam u, v e z números reais. uz vz = u v . z z = u v .1 = u v z 6= 0 Para aplicar a propridade para simplificar expressões racionais, o nume- rador e o denominador da fração devem ser fatorados. Quando todos os fatores comuns do numerador e do denominador forem removı́dos, a expressão racional está na forma reduzida. 1. x2−3x x2−9 = x(x−3) (x+3)(x−3) = x x+3 com x 6= −3 e x 6= 3 2. 8x3+27 4x3−6x2+9x = (2x)3+33 x(4x2−6x+9) = (2x+3)(4x2−6x+9) x(4x2−6x+9) = 2x+3 x com x 6= 0 3. m2−2mn+n2 m2−n2 = (m−n)2 (m+n)(m−n) = (m−n)(m−n) (m+n)(m−n) = m−n m+n com m 6= n e m + n 6= 0 13
  • 14. Operações com expressões racionais Sejam u, v, w e z números reais. Operação Exemplo 1. u v + w v = u+w v 2 3 + 5 3 = 2+5 3 = 7 3 2. u v + w z = uz+vw vz 2 3 + 4 5 = 2.5+3.4 3.5 = 22 15 3. u v + w z = y v .u+y z .w y onde y = MMC(v, z) 5 6 + 7 10 = 25+21 30 = 46 30 = 23 15 4. u v .w z = uw vz 2 3 .4 5 = 2.4 3.5 = 8 15 5. u v ÷ w z = u v . z w = uz vw 2 3 ÷ 4 5 = 2 3 .5 4 = 10 12 = 5 6 Multiplicação e divisão de expressões racionais 2x2 + 11x − 21 x3 + 2x2 + 4x . x3 − 8 x2 + 5x − 14 = (2x2 + 11x − 21)(x3 − 8) (x3 + 2x2 + 4x)(x2 + 5x − 14) = (2x − 3)(x + 7)(x − 2)(x2 + 2x + 4) x(x2 + 2x + 4)(x − 2)(x + 7) = 2x − 3 x com x 6= 2, x 6= −7 e x 6= 0 Soma de expressões racionais x 3x − 2 + 3 x − 5 = x(x − 5) + 3(3x − 2) (3x − 2)(x − 5) = x2 + 4x − 6 (3x − 2)(x − 5) com x 6= 2 3 e x 6= 5 14
  • 15. Redução ao mesmo denominador (MMC) 2 x2 − 2x + 1 x − 3 x2 − 4 Cálculo do MMC: x2 − 2x x x2 − 4 x x − 2 1 x2 − 4 x − 2 1 1 x + 2 x + 2 1 1 1 Então, MMC(x2 − 2x, x, x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2). 2 x2 − 2x + 1 x − 3 x2 − 4 = 2(x + 2) + (x − 2)(x + 2) − 3x x(x − 2)(x + 2) = 2x + 4 + x2 − 4 − 3x x(x − 2)(x + 2) = x2 − x x(x − 2)(x + 2) = x(x − 1) x(x − 2)(x + 2) = x − 1 (x − 2)(x + 2) com x 6= 0, x 6= −2 e x 6= 2 Simplificando uma fração composta 3 − 7 x+2 1 − 1 x−3 = 3(x+2)−7 x+2 (x−3)−1 x−3 = 3x−1 x+2 x−4 x−3 = (3x − 1)(x − 3) (x + 2)(x − 4) com x 6= 3, x 6= −2 e x 6= 4 15
  • 16. Simplificando uma fração composta usando MMC 1 a2 − 1 b2 1 a − 1 b com MMC(a2 , b2 , a, b) = a2 b2 Então, 1 a2 − 1 b2 1 a − 1 b = 1 a2 − 1 b2 a2 b2 1 a − 1 b a2b2 = b2 − a2 ab2 − a2b = (b + a)(b − a) ab(b − a) = b + a ab com a 6= 0, b 6= 0 e a 6= b 16