Recorrências

1. Sum´ario
RECORR ˆENCIAS
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
27 de marc¸o de 2015

2. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Sum´ario
1 Introduc¸ ˜ao
2 Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
3 Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem

3. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
3 Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem

4. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Sequˆencias definidas por recorrˆencia
Definic¸ ˜ao:
Uma sequˆencia ´e definida por recorrˆencia, ou recursivamente,
quando s˜ao definidas por interm´edio de uma regra que permite
calcular qualquer termo em func¸ ˜ao do(s) antecessor(es) imediato(s).
Exemplos:
progress˜oes aritm´eticas: an = an−1 + r
progress˜oes geom´etricas: an = an−1.q
fatorial: an = n.an−1
potˆencias com expoente natural an = a.an−1
Uma recorrˆencia por si s´o n˜ao define a sequˆencia. Para que a
sequˆencia fique perfeitamente determinada ´e necess´ario tamb´em o
conhecimento do(s) primeiro(s) termo(s).

5. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Exemplos e exerc´ıcios
Exemplo 5 p.74: Quantas s˜ao as sequˆencias de 10 termos,
pertencentes a {0, 1, 2}, que n˜ao possuem dois termos consecutivos
iguais a 0?
Exemplo 6 p.75: Seja Dn o n´umero de permutac¸ ˜oes ca´oticas de
1, 2, ..., n, isto ´e, o n´umero de permutac¸ ˜oes simples de 1, 2, ..., n, nas
quais nenhum elemento ocupa o seu lugar primitivo. Mostre que
Dn+2 = (n + 1)(Dn+1 + Dn), se n ≥ 1
Exerc´ıcio p.76 n. 4.2: Seja xn o n´umero m´aximo de regi˜oes em que
n retas podem dividir o plano. Caracterize xn recursivamente
Exerc´ıcio p.76 n. 4.5: Determine xn, dada a sequˆencia:
a) xn+1 = 2xn e x1 = 3
b) xn+1 = xn + 3 e x1 = 2

6. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
3 Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem

7. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
Uma recorrˆencia de primeira ordem expressa xn+1 em func¸ ˜ao
de xn. Ela ´e dita linear se (e somente se) essa func¸ ˜ao for do
primeiro grau.
Exemplo 7: As recorrˆencias xn+1 = 2xn − n2 e xn+1 = nxn s˜ao
lineares e a recorrˆencia xn+1 = xn
2 n˜ao ´e linear. As duas
´ultimas s˜ao ditas homogˆeneas, por n˜ao possu´ırem termo
independente de xn

8. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio p.81 n.4.10: Quantas s˜ao as sequˆencias de n
termos, todos pertencentes a {0, 1}, que possuem um n´umero
´ımpar de termos iguais a 0?
Exerc´ıcio p.81 n. 4.11: Quantas s˜ao as sequˆencias de n
termos, todos pertencentes a {0, 1, 2}, que possuem um
n´umero ´ımpar de termos iguais a 0?

9. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
Qualquer recorrˆencia linear n˜ao homogˆenea de primeira ordem pode
ser transformada em uma da forma xn+1 = xn + f(n)
Teorema: Se an ´e uma soluc¸ ˜ao n˜ao nula da recorrˆencia
xn+1 = g(n)xn, ent˜ao a substituic¸ ˜ao xn = anyn transforma a
recorrˆencia xn+1 = g(n)xn + h(n) em yn+1 = yn + h(n)[g(n).an]
−1
Exerc´ıcio p.81 n. 4.12: Sheila e Helena disputam uma s´erie de partidas. Cada
partida ´e iniciada por quem venceu a partida anterior. Em cada partida, quem iniciou
tem probabilidade de 0.6 de ganh´a-la e probabilidade de 0.4 de perdˆe-la. Se Helena
iniciou a primeira partida, qual ´e a probabilidade de Sheila ganhar a n-´esima partida?
Exerc´ıcio p.81 n. 4.13: Resolva as seguintes recorrˆencias:
a) xn+1 = (n + 1)xn + n e x1 = 3
b) (n + 1)xn+1 + nxn = 2n − 3 e x1 = 1
c) xn+1 − nxn = (n + 1)! e x1 = 1

10. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem
3 Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem

11. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Homogˆeneas com Coeficientes Constantes
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0, sendo q = 0
A cada recorrˆencia linear de segunda ordem homogˆenea, com
coeficientes constantes, da forma acima, associaremos uma
equac¸ ˜ao do segundo grau, r2
+ pr + q = 0, chamada equac¸ ˜ao
caracter´ıstica. A nossa suposic¸ ˜ao preliminar de que q = 0 implica
que 0 n˜ao ´e raiz da equac¸ ˜ao caracter´ıstica.
Teorema: Se as ra´ızes de r2 + pr + q = 0 s˜ao r1 e r2, ent˜ao
an = C1rn
1 + C2rn
2 ´e soluc¸ ˜ao da recorrˆencia
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0, quaisquer que sejam os valores das
constantes C1 e C2

12. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Homogˆeneas com Coeficientes Constantes
Teorema: Se as ra´ızes de r2 + pr + q = 0 s˜ao r1 e r2, com
r1 = r2, ent˜ao todas as soluc¸ ˜oes da recorrˆencia
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0 s˜ao da forma an = C1rn
1 + C2rn
2 , com
C1 e C2 constantes
Exerc´ıcio p.91 n.4.19 letra a: Resolva a recorrˆencia
xn+2 + 5xn+1 + 6xn = 0
Exemplo 17 p.85: (Fibonacci revisitado) Determinemos o
n´umero de Fibonacci Fn definido por
Fn+2 = Fn+1 + Fn, com F1 = F2 = 1

13. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Homogˆeneas com Coeficientes Constantes
Se as ra´ızes da equac¸ ˜ao caracter´ıstica forem complexas:
r1 = ρ(cos θ + i sen θ), r2 = ρ(cos θ − i sen θ)
rn
1 = ρn
(cos nθ + i sen nθ), rn
2 = ρn
(cos nθ − i sen nθ)
an = ρn
[C1 cos nθ + C2 sen nθ]
C1 = C1 + C2 e C2 = i(C1 − C2)
Exemplo 18 p.86: Resolva a recorrˆencia xn+2 + xn+1 + xn = 0

14. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Homogˆeneas com Coeficientes Constantes
Se as ra´ızes da equac¸ ˜ao caracter´ıstica forem iguais:
Teorema: Se as ra´ızes de r2
+ pr + q = 0 s˜ao iguais, r1 = r2 = r,
ent˜ao an = C1rn
+ C2nrn ´e soluc¸ ˜ao da recorrˆencia
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0, quaisquer que sejam os valores das
constantes C1 e C2.
Teorema: Se as ra´ızes de r2
+ pr + q = 0 s˜ao iguais, r1 = r2 = r,
ent˜ao todas as soluc¸ ˜oes da recorrˆencia xn+2 + pxn+1 + qxn = 0 s˜ao
da forma an = C1rn
+ C2nrn
, com C1 e C2 constantes
Exerc´ıcio p.91 n.4.19 letra b: Resolva a recorrˆencia
xn+2 + 6xn+1 + 9xn = 0

15. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem N˜ao
Homogˆeneas
Teorema: Se an ´e uma soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao
xn+2 + pxn+1 + qxn = f(n)
ent˜ao a substituic¸ ˜ao xn = an + yn transforma a equac¸ ˜ao em
yn+2 + pyn+1 + qyn = 0
De acordo com esse teorema a soluc¸ ˜ao de uma recorrˆencia n˜ao
homogˆenea ´e constitu´ıda de duas parcelas: uma soluc¸ ˜ao qualquer
da n˜ao homogˆenea e a soluc¸ ˜ao da homogˆenea. A soluc¸ ˜ao da
homogˆenea sabemos achar. Uma soluc¸ ˜ao da n˜ao homogˆenea,
procuraremos por tentativas

16. Introduc¸ ˜ao Recorrˆencias Lineares de Primeira Ordem Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem
Recorrˆencias Lineares de Segunda Ordem N˜ao
Homogˆeneas
Exemplo 20 p.88: Resolva a recorrˆencia
xn+2 − 6xn+1 + 8xn = n + 3n
Exemplo 21 p.88: Resolva a recorrˆencia
xn+2 − 6xn+1 + 8xn = 1 + 2n
O teorema anterior pode ser utilizado para resolver uma recorrˆencia
linear n˜ao homogˆenea de qualquer grau, toda vez que se conhec¸a a
soluc¸ ˜ao geral yn da recorrˆencia homogˆenea correspondente e uma
soluc¸ ˜ao particular a(n): a soluc¸ ˜ao geral da equac¸ ˜ao n˜ao homogˆenea
´e dada por xn = an + yn
Exemplo 22 p.89: Resolva a recorrˆencia xn+1 = 3xn + 3n,
x1 = 2, usando o m´etodo sugerido pelo teorema anterior